Διαιρέτης

Η διαιρετότητα είναι μια από της βασικές έννοιες της θεωρίας αριθμών και αναφέρεται στην διαίρεση ακεραίων.

Ορισμός

Ένας ακέραιος αριθμός δ ονομάζεται διαιρέτης ενός ακέραιου αριθμού α, αν και μόνο αν ισχύει $\, a = \pi\delta$ για κάποιον ακέραιο π. Ο π λέγεται πηλίκο της διαίρεσης. Συμβολίζουμε το παραπάνω ως $\, \delta | a$ (ο δ διαιρεί τον α).

Για παράδειγμα ο 2 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 3), αφού 6=3 2.

Το σύνολο των διαιρετών ενός αριθμού μπορεί να βρεθεί με την ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (βλ. και θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής).

Ιδιότητες

Για $a, b, c, d\in\mathbb{Z}$ ισχύουν τα ακόλουθα:

• $1|a$ και $-1|a$ για κάθε α.
• $a|0$ για κάθε α.
• Αν $0|a$, τότε $a=0$.
• Αν $a | b$ και $b | a$, τότε $a = b$ ή $a = -b$.
• Αν $a | b$, τότε $ac| bc$ για κάθε c.
• Αν $a | b$ και $c | d$, τότε $ac | bd$
• Αν $a | b$ και $a | c$, τότε $a | (b + c)$. Γενικότερα $a | (mb + nc)$ για κάθε $m$ και $n$.
• Αν $a | b$ και $b | c$, τότε $a | c$ (μεταβατικότητα)
• Αν $a | b$ τότε |$a | =< |b$|