Διαιρέτης

Η διαιρετότητα είναι μια από της βασικές έννοιες της θεωρίας αριθμών και αναφέρεται στην διαίρεση ακεραίων.

Ορισμός

Ένας ακέραιος αριθμός δ ονομάζεται διαιρέτης ενός ακέραιου αριθμού α, αν και μόνο αν ισχύει $\, a = \pi\delta$ για κάποιον ακέραιο π. Ο π λέγεται πηλίκο της διαίρεσης. Συμβολίζουμε το παραπάνω ως $\, \delta | a$ (ο δ διαιρεί τον α).

Για παράδειγμα ο 2 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 3), αφού 6=3 2.

Το σύνολο των διαιρετών ενός αριθμού μπορεί να βρεθεί με την ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (βλ. και θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής).

Ιδιότητες

Για $a, b, c, d\in\mathbb{Z}$ ισχύουν τα ακόλουθα:

• 1 | a και − 1 | a για κάθε α.
• a | 0 για κάθε α.
• Αν 0 | a, τότε a = 0.
• Αν a | b και b | a, τότε a = b ή a = − b.
• Αν a | b, τότε ac | bc για κάθε c.
• Αν a | b και c | d, τότε ac | bd
• Αν a | b και a | c, τότε a | (b + c). Γενικότερα a | (mb + nc) για κάθε m και n.
• Αν a | b και b | c, τότε a | c (μεταβατικότητα)