Σώμα (άλγεβρα)

Σώμα (Άλγεβρα)

Ταξινόμηση
Dewey	512
MSC2010	16-XX

Σώμα (από το γαλλικό Corps) είναι ένα σύνολο F (από το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο δυαδικές πράξεις + και * ορισμένες στο F, οι οποίες απεικονίζουν 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F στα a+b και a*b, επίσης στοιχεία του F. Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

1. (a+b)+c=a+(b+c)
2. Υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει στο F τέτοιο ώστε
   1. a+0=a για κάθε a που ανήκει στο F, και
   2. Για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0.
3. a+b=b+a Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο F
4. (a*b)*c=a*(b*c)
5. Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1.
6. a*b=b*a
7. a*(b+c)=a*b+a*c

Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το $\mathbb{Q}$ και το $\mathbb{R}$ και το σώμα των μιγαδικών αριθμών $\mathbb{C}$. Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση. Το στοιχείο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ώστε για κάθε a να υπάρχει -a, τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού συμβολίζεται με $a^{-1}$ , τέτοιο ώστε, για κάθε a που ανήκει στο F, να υπάρχει $a^{-1}$ τέτοιο ώστε a*$a^{-1}$ =1.

Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b*$\sqrt{2}$ και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν.

Ένας δακτύλιος $(R,\circ,+)$ καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής :

• Ο δακτύλιος είναι μεταθετικός.
• Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο$1_R \in R$ ώστε $r\circ 1_R=1_R \circ r=r$ για κάθε $r \in R$
• Για κάθε $r \in R$ υπάρχει στοιχείο του $R$ το οποίο συμβολίζουμε με $r^{-1}$ τέτοιο ώστε $r \circ r^{-1}=r^{-1} \circ r =1_R$

Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb{R}$, καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο.