Τόρος

Στη γεωμετρία, o τόρος είναι ένα στερεό εκ περιστροφής που παράγεται από την περιστροφή ενός κύκλου στον τρισδιάστατο χώρο γύρω από άξονα συνεπίπεδο με τον κύκλο. Συνήθως θεωρείται ότι ο άξονας δεν τέμνει ούτε εφάπτεται με τον κύκλο - οπότε σε αυτή την περίπτωση η επιφάνεια έχει σχήμα δακτυλιοειδές και καλείται δακτυλιοειδής τόρος ή και απλά τόρος και υπονοείται σιωπηρά ότι γίνεται αναφορά σε δακτυλιοειδή. Ορισμένες φορές καλείται (λανθασμένα) δακτύλιος, ωστόσο ο δακτύλιος είναι ένα δισδιάστατο επίπεδο σχήμα διαφορετικό από τον τρισδιάστατο τόρο.

Άλλοι τύποι τόρου είναι ο κερατοειδής τόρος, ο οποίος παράγεται όταν ο άξονας είναι εφαπτόμενος στον κύκλο, και ο αξονικός ή ατρακτοειδής τόρος, ο οποίος παράγεται όταν ο άξονας είναι μια χορδή του κύκλου. Μια εκφυλισμένη περίπτωση τόρου έχουμε όταν ο άξονας είναι διάμετρος του κύκλου, οπότε παράγεται απλώς η επιφάνεια μιας σφαίρας. Ο δακτυλιοειδής τόρος οριοθετεί ένα γεωμετρικό στερεό σχήμα που λέγεται τοροειδές. Διάφορα αντικείμενα που έχουν σχήμα που μοιάζει με το τοροειδές είναι τα δακτυλιοειδή πηνία, το κουλούρι, το ντόνατς ,τα σωσίβια κλπ.

Στην τοπολογία, ο δακτυλιοειδής τόρος είναι ομοιομορφικός προς το καρτεσιανό γινόμενο δύο κύκλων: S¹ × S¹, που θεωρείται και ο ορισμός του τόρου στο πλαίσιο της τοπολογίας. Ο τόρος από τοπολογική άποψη είναι μια συνεκτική 2-πολλαπλότητα.

Αλγεβρική μορφή

Ο τόρος στο παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων

$X(u,v)=cos(u)*(R*sin(v)+r)$
$Y(u,v)=sin(u)*(R*sin(v)+r)$
$Z(u,v)=R*cos(v)$


0≤$u$≤(2π)
0≤$v$≤(2π)

$R$ η ακτίνα του σωληνοειδούς
$r$ η ακτίνα της στεφάνης (τόρου) μέχρι το κέντρο της στεφάνης
πρέπει $R<r$

Παραπομπή:commons:file:parametric system of coordinates.pdf