Δευτεροβάθμια εξίσωση

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στα μαθηματικά, δευτεροβάθμια εξίσωση ονομάζεται κάθε πολυωνυμική εξίσωση δευτέρου βαθμού. Μαρικές φορές αναφέρεται και ως τετραγωνική εξίσωση.

Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:

όπου τα γράμματα α, β και γ παριστάνουν σταθερούς αριθμούς, με

Οι σταθερές α, β και γ ονομάζονται συντελεστές, με το α να είναι ο συντελεστής του x2, το β να είναι ο συντελεστής του x και γ ο σταθερός όρος. Οι συντελεστές μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.

Απόδειξη με συμπλήρωση τετραγώνου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θέλουμε να φέρουμε την εξίσωση στη μορφή ώστε να είναι πιο εύκολο να λυθεί.


Aρχικά εξετάζουμε τους όρους με x2 και x και τους χωρίζουμε από τη σταθερά γ:

Κατόπιν προσθαφαιρούμε στο αριστερό μέλος της εξίσωσης κατάλληλη σταθερά, ώστε να «συμπληρωθεί» το τετράγωνο:

και φέρνουμε τη σταθερά στο δεξί μέρος:

Φέρνουμε στο αριστερό μέρος όλα τα μεγέθη που μπορούν να γραφούν ως τετράγωνο:


Το δεξί μέρος της εξίσωσης ονομάζεται διακρίνουσα:


Οπότε έχουμε φέρει την εξίσωση στη μορφή που θέλουμε και συγκεκριμένα:

Αποτετραγωνίζοντας και τα δύο μέλη, έχουμε:


Από την προκύπτει, ότι η εξίσωση έχει πάντα δύο ρίζες, μία που περιέχει το και μία που περιέχει το Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας διακρίνονται τρεις περιπτώσεις:

  • Αν , τότε προκύπτουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες:
  • Αν , τότε προκύπτουν δύο ρίζες, που εκφυλίζονται σε μια διπλή πραγματική ρίζα:
  • Αν , τότε η διακρίνουσα μπορεί να γραφεί ως , όπου η φανταστική μονάδα με και η απόλυτη τιμή της διακρίνουσας. Τώρα, η υπόριζη ποσότητα είναι μη αρνητική και επομένως ορίζεται στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Επομένως, σε αυτή τη περίπτωση προκύπτουν δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες:


Από τα παραπάνω συνάγεται, ότι για να έχει η εξίσωση πραγματικές λύσεις, πρέπει να ισχύει , επειδή κάθε πραγματικός αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι μη αρνητικός (αριστερό μέρος της εξίσωσης 6), η διακρίνουσα (δεξί μέρος της εξίσωσης 6) πρέπει να είναι και αυτή μη αρνητικός αριθμός.

Οι τύποι του Βιετά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι τύποι του Βιετά (François Viète) δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου και των συντελεστών του. Στην περίπτωση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνουν την ακόλουθη μορφή:

και

Αν συμβολίσουμε με το άθροισμα των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και με το γινόμενό τους τότε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται και ως εξής:

όπου

και


Commons logo
Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα