Δευτεροβάθμια εξίσωση

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στα μαθηματικά, δευτεροβάθμια εξίσωση ονομάζεται κάθε πολυωνυμική εξίσωση δευτέρου βαθμού. Μαρικές φορές αναφέρεται και ως τετραγωνική εξίσωση.

Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:

\alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0,\,

όπου τα γράμματα α, β και γ παριστάνουν σταθερούς αριθμούς, με

\alpha\ne 0 \,

Οι σταθερές α, β και γ ονομάζονται συντελεστές, με το α να είναι ο συντελεστής του x2, το β να είναι ο συντελεστής του x και γ ο σταθερός όρος. Οι συντελεστές μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.

Απόδειξη με συμπλήρωση τετραγώνου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θέλουμε να φέρουμε την εξίσωση \alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0\quad στη μορφή (a x +b)^2=c ώστε να είναι πιο εύκολο να λυθεί.


Aρχικά εξετάζουμε τους όρους με x2 και x και τους χωρίζουμε από τη σταθερά γ:

\alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0
\quad \iff\quad \alpha \left(x^2 +\frac{\beta}{\alpha} x\right)=-\gamma\qquad (1)

Κατόπιν προσθαφαιρούμε στο αριστερό μέλος της εξίσωσης κατάλληλη σταθερά, ώστε να «συμπληρωθεί» το τετράγωνο:

(1)
\quad \iff\quad \alpha \left(x^2 +2\frac{\beta}{2\alpha}x+\frac{\beta^2}{4\alpha^2}-\frac{\beta^2}{4\alpha^2}\right)=-\gamma
\quad \iff\quad \alpha \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2-\,\alpha\left(\frac{\beta^2}{4\alpha^2}\right)=-\gamma\qquad (2)

και φέρνουμε τη σταθερά στο δεξί μέρος:

(2)
\quad \iff\quad \alpha \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\frac{\beta^2}{4\alpha}-\gamma
\quad \iff\quad \alpha \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\frac{\beta^2-4\alpha\gamma}{4\alpha}\qquad (3)

Φέρνουμε στο αριστερό μέρος όλα τα μεγέθη που μπορούν να γραφούν ως τετράγωνο:

(3)
\quad \iff\quad  (2\alpha)^2 \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\beta^2-4\alpha\gamma
\quad \iff\quad \left(2\alpha x +\beta\right)^2=\beta^2-4\alpha\gamma\qquad (4)


Το δεξί μέρος της εξίσωσης ονομάζεται διακρίνουσα: \Delta=\beta^2-4\alpha\gamma\qquad (5)


Οπότε έχουμε φέρει την εξίσωση στη μορφή που θέλουμε και συγκεκριμένα:

(4),(5)\quad \iff\quad \left( 2\alpha x +\beta\right)^2=\Delta\qquad (6)

Αποτετραγωνίζοντας και τα δύο μέλη, έχουμε:

(6)
\quad \iff\quad 2\alpha x +\beta=\pm \sqrt{\Delta}
\quad \iff\quad x=\frac{-\beta\pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}\qquad (7)


Από την (7) προκύπτει, ότι η εξίσωση έχει πάντα δύο ρίζες, μία που περιέχει το +\sqrt{\Delta} και μία που περιέχει το -\sqrt{\Delta}. Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας \Delta, διακρίνονται τρεις περιπτώσεις:

 x_+ =\frac{-\beta+ \sqrt{\Delta}}{2\alpha}
 x_- =\frac{-\beta- \sqrt{\Delta}}{2\alpha}
  • Αν \Delta=0, τότε προκύπτουν δύο ρίζες, που εκφυλίζονται σε μια διπλή πραγματική ρίζα:
 x_\pm =\frac{-\beta}{2\alpha}
 x_+ =\frac{-\beta+i \sqrt{|\Delta|}}{2\alpha}
 x_- =\frac{-\beta-i \sqrt{|\Delta|}}{2\alpha}


Από τα παραπάνω συνάγεται, ότι για να έχει η εξίσωση πραγματικές λύσεις, πρέπει να ισχύει \Delta\geq 0, επειδή κάθε πραγματικός αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι μη αρνητικός (αριστερό μέρος της εξίσωσης 6), η διακρίνουσα \Delta (δεξί μέρος της εξίσωσης 6) πρέπει να είναι και αυτή μη αρνητικός αριθμός.

Οι τύποι του Βιετά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι τύποι του Βιετά (François Viète) δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου και των συντελεστών του. Στην περίπτωση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνουν την ακόλουθη μορφή:

 x_+ + x_- = -\frac{\beta}{\alpha}

και

 x_+ \cdot x_- = \frac{\gamma}{\alpha}

Αν συμβολίσουμε με S το άθροισμα των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και με P το γινόμενό τους τότε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται και ως εξής:

 x^2-Sx+P=0 \

όπου

 S = x_+ + x_- = -\frac{\beta}{\alpha}

και

 P = x_+ \cdot x_- = \frac{\gamma}{\alpha}


Commons logo
Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα