Ινδικά μαθηματικά

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Τα ινδικά μαθηματικά αναδύθηκαν στην Ινδική ενδοχώρα[1] από το 1200 π.Χ.[2] μέχρι το τέλος του 18ου αιώνα . Στην κλασική περίοδο των ινδικών μαθηματικών (400 μ.Χ. έως το 1600 μ.Χ.), σημαντικές συνεισφορές έγιναν από μελετητές όπως οι ΑριαμπάταΒραχμαγκούπταΜαχαβίρα (μαθηματικός) , Μπχασκάρα Β΄Μαντχάβα της Σανγαμάγκραμα και Νιλακάνθα Σομαΐτζι. Το δεκαδικό αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιείται σήμερα[3] για πρώτη φορά καταγράφηκε στα ινδικά μαθηματικά.[4] Ινδοί μαθηματικοί έκαναν τις αρχικές συνεισφορές στη μελέτη της έννοιας του μηδέν ως αριθμό,[5] των αρνητικών αριθμών,[6] της αριθμητικής, και της άλγεβρας.[7] Επιπρόσθετα η τριγωνομετρία [8] προόδευσε στην Ινδία, και, ιδίως, οι σύγχρονοι ορισμοί του ημίτονου και συνημίτονου αναπτύχθηκαν εκεί.[9] Αυτές οι μαθηματικές έννοιες διαβιβάστηκαν στη Μέση Ανατολή, την Κίνα, και την Ευρώπη[7] και οδήγησαν σε περαιτέρω εξελίξεις που σχηματίζουν τώρα τα θεμέλια σε πολλούς τομείς των μαθηματικών.

Αρχαίες και μεσαιωνικές Ινδικές μαθηματικές εργασίες, όλες γραμμένες στα σανσκριτικά, συνήθως αποτελούμενες από ένα τμήμα με σούτρες στο οποίο υπήρχε ένα σύνολο κανόνων ή προβλημάτων με μεγάλη οικονομία στους στίχους ώστε να διευκολυνθεί η αποστήθιση από έναν μαθητή. Αυτό ακολουθούνταν από ένα δεύτερο τμήμα αποτελούμενο από σχολιασμό σε πεζό λόγο (μερικές φορές πολλαπλοί σχολιασμοί από διαφορετικούς μελετητές) αυτό επεξηγούσε το πρόβλημα πιο λεπτομερειακά και παρείχε δικαιολόγηση για την λύση. Στο πεζό τμήμα , η μορφή (και παράλληλα η αποστήθιση του) δεν θεωρούνταν τόσο σηματική όσο οι ιδέες που εμπέεκονταν .[10][11] Όλες οι μαθηματικές εργασίες διαδίδονταν προφορικά μέχρι περίππου το 500 π.Χ. ` από τότε και στην συνέχεια, διαδίδονταν τόσο προφορικά όσο και σε μορφή χειρόγραφου . Το παλαιότερο εκτεταμένο μαθηματικό έγγραφο που παράχθηκε στην Ινδική ενδοχώρα είναι το, σε φλοιό από σημύδα χειρόγραφο Μπακχσάλι( Bakhsali), το οποίο ανακαλύφθηκε το 1881 στο χωριό Μπακχσάλι (Bakhshali), κοντά στο Πεσαγουάρ (Peshawar) (σύγχρονο Πακιστάν) και πιθανολογείτε ότι προέρχεται από τον 7o αιώνα μ.Χ..[12][13]

Μία μεταγενέστερη καμπή στα ινδικά μαθηματικά ήταν η δημιουργία των αναπτυγμάτων με σειρές για τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ημίτονο , συνημίτονο, και τόξο εφαπτομένης) από μαθηματικούς της σχολής της Κεράλα ( Kerala school ) τον 15ο αιώνα μ.Χ. .Το αξιωσημείωτο επίτευγμα τους, συμπλήρωσε δύο αιώνες πριν η εφεύρεση του λογισμού στην ευρώπη , αποδεικνύοντας αυτό που τώρα θεωρείτε ως το πρώτο παράδειγμα δυναμοσειρών ( power series ) (εκτώς από γεωμετρικές σειρές).[14] Παρ' όλα αυτα, δεν διατύπωσαν μια συστηματική θεωρία παραγώγισης και ολοκλήρωσης ,ούτε υπάρχει κάποια άμεση ένδειξη διάδωσης των αποτελεσμάτων τους εκτός της Κεράλα.[15][16][17][18]

Προϊστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ανασκαφές στην Χαράππα , Μοχέντζο ντάρο και άλλες τοποθεσίες τoy πολιτισμού Κοιλάδας του Ινδικού Ποταμού αποκάλυψαν ενδείξεις χρήσης των "πρακτικών μαθηματικών ".Οι κάτοικοι της ΚΙΠ κατασκεύασαν τούβλα των οποίων οι διαστάσεις με αναλογίες 4:2:1, οι οποίες θεωρούνταν ευνοϊκές για την σταθερότητα της κατασκευής των τούβλων. Χρησιμοποίησαν ένα τυποποιημένο σύστημα βαρών βασισμένο στους λόγους : 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, και 500, με την μονάδα βάρους να ισούται περίπου με 28 γραμμάρια (και περίπου ίσο με την Αγγλική Ουγγία ή την Ελληνική ουγγία). Παρήγαγαν μαζικά βάρη σε κανονικά γεωμετρικά σχήματα ,τα οποία εμπεριείχαν εξάεδρα, βαρέλια, κώνους, και κυλίνδρους, και με αυτόν τον τρόπο επιδεικνύοντας γνώσεις βασικής γεωμετρίας.[19] Οι κάτοικοι της κοιλάδας του Ινδικού ποταμού επίσης προσπάθησαν να τυποποιήσουν την μέτρηση του μήκους σε ένα υψηλό βαθμό ακρίβειας. Σχεδίασαν έναν χάρακα—τον Χάρακα του Μοχέντζο-ντάρο —του οποίου η μονάδα μήκους (περίπου 1.32 ίντσες ή 3.4 εκατοστά) διαχωρίζονταν σε δέκα ίσα μέρη. Τούβλα κατασκευασμένα στο αρχαίο Μοχέντζο-ντάρο συχνά είχαν διαστάσεις οι οποίες αποτελούσαν ακέραια πολλαπλάσια αυτής της μονάδας μήκους.[20][21]

Βεδική περίοδος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Samhitas και Brahmanas[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα θρησκευτικά κείμενα της Βεδικής περιόδου παρείχαν στοιχεία για την χρήση μεγάλων αριθμών. Κατά την περίοδο του Yajurvedasaṃhitā (1200–900 π.Χ.), αριθμοί μεγάλοι όσο το 1012 εμπεριέχονταν σε κείμενα.[2] Για παράδειγμα , το Μάντρα (θυσιαστήρια τελετουργία ) στο τέλος του annahoma ("τελετή αφαίρεσης τροφής") τελούμενη κατά την διάρκεια της aśvamedha, και εκφράζεται ακριβώς πριν-, κατά την διάρκεια-, και αμέσως μετά τημ ανατολή του ηλίου, επικαλείται δυνάμεις του δέκα από το εκατό εώς και το τρις-εκατομμύριο [2]

"Hail to śata ("hundred," 102), hail to sahasra ("thousand," 103), hail to ayuta ("ten thousand," 104), hail to niyuta ("hundred thousand," 105), hail to prayuta ("million," 106), hail to arbuda ("ten million," 107), hail to nyarbuda ("hundred million," 108), hail to samudra ("billion," 109, literally "ocean"), hail to madhya ("ten billion," 1010, literally "middle"), hail to anta ("hundred billion," 1011,lit., "end"), hail to parārdha ("one trillion," 1012 lit., "beyond parts"), hail to the dawn (us'as), hail to the twilight (Πρότυπο:IAST), hail to the one which is going to rise (Πρότυπο:IAST), hail to the one which is rising (udyat), hail to the one which has just risen (udita), hail to svarga (the heaven), hail to martya (the world), hail to all."[2]

Η λύση για μερικά κλάσματα ήταν γνωστή στους Rigvedic ανθρώπους ως κράτη της purush Sukta ( RV 10.90.4 )

Με τα τρία τέταρτα Puruṣa ανέβηκε : το ένα τέταρτο από αυτόν ήταν και πάλι εδώ.

Η Satapatha Brahmana (-σαταπάθα μπραχμάνα-) ( προσεγγιστικά 7ος αιώνας π.Χ.) εμπεριέχει κανόνες για τελετουργικές γεωμετρικές κατασκευές που είναι παρόμοιες με τις Σούλμπα Σούτρας (Sulba Sutras).[22]

Śulba Sūtras[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Śulba Sūtras

Οι Śulba Sūtras(-Σούλμπα Σούτρας-)( (κυριολεκτικά, "Αφορισμοί των συγχορδιών" στα Βεδικά Σανσκριτικά) (προσεγγιστικά 700–400 π.Χ.) απαριθμούν κανόνες για την κατασκευή των θυσιαστήριον βωμών πυράς.[23] Τα περισσότερα μαθηματικά προβλήματα που εξετάζονται στις Śulba Sūtras πηγάζουν από "μία μοναδική ανάγκη,"[24] αυτήν της κατασκευής βωμών πυράς οι οποίοι έχουν διαφορετικά σχήματα αλλά καταλαμβάνουν την ίδια επιφάνεια. Οι βωμοί απαιτούνταν να κατασκευάζονται από πέντε επίπεδα από ψημένα τούβλα , με επιπλέον συνθήκη το ότι κάθε ένα από αυτούς θα αποτελείται από διακόσια τούβλα και το ότι δύο διπλανά επίπεδα δεν θα πρέπει να έχουν ομόλογες διατάξεις τούβλων.[24]

Σύμφωνα με το(Hayashi 2005, σελ. 363), οι Śulba Sūtras περιέχουν "την αρχική προφορική έκφραση του Πυθαγορείου θεωρήματος ,παρόλο που ήταν ήδη γνωστό στους παλιούς Βαβυλώνιους."

The diagonal rope (Πρότυπο:IAST) of an oblong (rectangle) produces both which the flank (pārśvamāni) and the horizontal (Πρότυπο:IAST) <ropes> produce separately."[25]

Από την στιγμή που η πρόταση είναι μία sūtra, είναι αναγκαστικά συμπιεσμένη και ότι το σχοινί παράγει δεν επεξηγείται ,αλλά το γενικό πλαίσιο αφήνει ξεκάθαρα να εννοηθεί τις τετραγωνικές επιφάνειες που κατασκευάζονται από τα μήκη τους, και θα αυτό θα είχε επεξηγηθεί από τον δάσκαλο στον μαθητή.[25]

Περιέχουν λίστες από Πυθαγόρειες τριάδες,[26] οι οποίες είναι συγκεκριμένες περιπτώσεις των Διοφαντικών εξισώσεων .[27] Περιέχουν επιπλέον προτάσεις (οι οποίες εκ των υστέρων γνωρίζουμε να είναι προσεγγιστικές) για τον τετραγωνισμό του κύκλου και "κυκλοποιήση του τετραγώνου".[28]

Οι Baudhayana (μποτηαγιάνα) (προσεγγιστικά 8ος αιώνας π.Χ.) συνέθεσαν την Baudhayana Sulba Sutra, την γνωστή ως Sulba Sutra,η οποία περιέχει παραδείγματα από απλά Πυθαγόρειες τριάδες ,όπως: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), και (12, 35, 37),[29] όπως επίσης και η πρόταση του Πυθαγόρειου θεωρήματος για τις πλευρές τετραγώνου : "Το σχοινί το οποίο είναι τεντομένο πάνω στης διαγώνιο ενός τετραγώνου παράγει μία περιοχή διπλάσια στο μέγεθος από το αρχικό τετράγωνο."[29] Επιπλέον περιέχει την γενική πρόταση του Πυθαγορείου θεωρήματος (για τις πλευρές ενός ορθογωνίου): "Το σχοινί τεντομένο πάνω στο μήκος της διαγωνίου ενός ορθογωνίου δημιουργεί μία περιοχή την οποία σχηματίζουν μαζί οι κάθετες και οριζόντιες πλευρές."[29] Baudhayana δίνει τον τύπο για την τετραγωνική ρίζα,[30]

Ο τύπος αυτός έχει ακρίβεια πέντε δεκαδικών στοιχείων,η πραγματική τιμή είναι 1.41421356...[31] Αυτός ο τύπος είναι παρόμοιος σε δομή με τον τύπο που βρέθηκε σε Μεσοποτάμεια πινακίδα[32] από την Παλαιά Βαβυλώνια περίοδο (1900–1600 π.Χ.):[30]

ο οποίος εκφράζει την √2 σε εξηνταδικό σύστημα,και ο οποίος έχει επίσης ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων (μετά τη στρογγυλοποίηση ).

Σύμφωνα με τον μαθηματικό S. G. Dani,η Βαβυλωνιακή πινακίδα (σε σφηνοειδή γραφή)Plimpton 322 γραμμένη προσεγγιστικά το 1850 π.Χ.[33] "περιέχει δεκαπέντε Πυθαγόρειες τριάδες με σχετικά μεγάλες τιμές ,συμπεριλαμβανομένου του (13500, 12709, 18541) η οποία είναι μία αρχέτυπη τριάδα ,[34] υποδεικνύοντας ,συγκεκριμένα ,ότι υπήρχε n εξελιγμένη κατανόηση του θέματος" στην Μεσοποταμία το 1850 π.Χ.. "Αφού αυτές οι πινακίδες προηγούνται χρονικά της περιόδου κατά αρκετούς αιώνες,λαμβάνοντας υπόψη την παρόμοια εμφάνιση κάποιων από τις τριάδες , είναι λογικό να αναμένουμε παρόμοια κατανόηση να συμβαίνει και εκεί στην Ινδία."[35] Ο Ντάνι συνεχίζει λέγοντας :

"Δεδομένου ότι ο κύριος στόχος της Sulvasutras ήταν να περιγράψει τις κατασκευές βωμών και τις γεωμετρικές αρχές που εμπλέκονται σε αυτά , το θέμα του Πυθαγόρειου τρίκλινα, ακόμη και αν είχε πλήρως κατανοητή μπορεί να εξακολουθούν να μην έχουν εμφανίζονται στην Sulvasutras. Η εμφάνιση των τρίκλινων του Sulvasutras είναι συγκρίσιμα με τα μαθηματικά που μπορεί κανείς να συναντήσει σε ένα εισαγωγικό βιβλίο για την αρχιτεκτονική ή άλλη παρόμοια εφαρμοσμένη περιοχή , και δεν θα ανταποκρίνεται άμεσα στη γενική γνώση για το θέμα εκείνη τη στιγμή . Δεδομένου ότι, δυστυχώς , δεν έχουν βρεθεί άλλες σύγχρονες πηγές, δεν μπορεί ποτέ να είναι δυνατόν να επιλυθεί αυτό το ζήτημα με ικανοποιητικό τρόπο . "[35]

Τελικώς , τρεις Sulba Sutras έχουν συνταχθεί.Οι δύο που απομένουν, η Manava Sulba Sutra συνεταγμένη από την Manava (προσεγγιστικά 750–650 π.Χ.) και η Apastamba Sulba Sutra, συνεταγμένη από την Apastamba (προσεγγιστικά 600 π.Χ.), περιλαμβάνοντας αποτελέσματα παρόμοια με την Baudhayana Sulba Sutra.

Vyakarana

Ένα σημαντικό ορόσημο της Βεδικής περιόδου ήταν η εργασία της Σανσκριτικής γραμματικής (προσεγγιστικά 520–460 π.Χ.).Η γραμματική αυτή χρησιμοποιήσε μια αρχική μορφη της λογικής Μπουλέν, του μηδενικού τελεστή , και τις γραμματικές ελεύθερου πλαισίου , και εμπεριέχει έναν πρόδρομο της μορφής Μπάκους - Νάουρ (χρησιμοποιούμενη στην περιγραφή των προγραμματιστικών γλωσσών).

Pingala[edit][Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ανάμεσα στις δημοσιεύσεις των μελετητών της Βεδικής περιόδου , όπου συνείσφεραν στα μαθηματικά , ο πιο φημισμένος είναι ο Πίνγκαλα (piṅgalá) (fl. 300–200 BCE), ένας μουσικός θεωρητικός , ο οποίος έγραψε το Chhandas Shastra (chandaḥ-śāstra, also Chhandas Sutra chhandaḥ-sūtra),μια  σανσκριτική πραγματεία στην προσωδία. Υπάρχουν στοιχειά , ότι στην δουλειά που έκανε στην απαρίθμηση των συνδυασμών των συλλαβών , ο Pingala στηρίχθηκε πάνω στο τρίγωνο του Pascal και στους Διωνιμικούς συντελεστές , παρολαυτα δεν είχε γνώση στο του Διωνυμικού θεωρήματος.[35][36]   Η δουλειά του Pingala's περιέχει επίσης την βασική ιδέα των αριθμών Fibonacci(που ονομάζονται maatraameru). Παρολαυτα το Chandah sutra δεν επέζησε από μόνο του τελείως, σχολιασμός στον 10ου αιώνα από τον Halāyudha, ο οποίος αναφέρεται στο τρίγωνο του Pascal σαν  Meru-prastāra (οπού σημαίνει "η σκάλα για το όρος meru"), έχει να πει  :

"Σχεδίασε ένα τετράγωνο .Ξεκινά από το μισό του τετραγώνου , και σχεδίασε άλλα δυο τρίγωνα γύρω του, σε αυτά τα δυο σχεδίασε άλλα τρία και συνέχισε έτσι. Το μαρκάρισμα πρέπει να ξεκινήσει βάζοντας τον αριθμό 1 στο πρώτο τετράγωνο. Βάλε επίσης τον αριθμό 1 στα άλλα δυο τετράγωνα την δεύτερης σειράς. Στην τρίτη σειρά βάλε τον αριθμό 1 στα δυο τρίγωνα στο τέλος και στο μεσαίο, το άθροισμα των ψηφιων στα δυο τετράγωνα βρίσκονται από πάνω του. Στην τετάρτη σειρά βάλε τον αριθμό 1 στα δυο τετράγωνα στο τέλος. Στα μεσαία βάλε το άθροισμα των ψηφίων από τα τετράγωνα που βρίσκονται από πάνω του. Συνέχισε με αυτόν τον τρόπο. Σε αυτές τις σειρές , η δεύτερη δίνει τούς συνδυασμούς με μια συλλαβή , η τρίτη με δυο συλλαβές, ..."[35]

Το άρθρο επίσης περιεχέι αυτό που ο Πινγκαλα ονόμαζε την ταυτότητα της συνδυαστικής :[36]

Katyayana

Katyayana (c. 3rd century BCE) είναι γνωστός ο τελευταίος μαθηματικός την βεδικής περιόδου. Έγραψε το Katyayana Sulba Sutra, όπου περιέχει αρκετή γεωμετρία, περιλαμβάνοντας την γενική διατύπωση του Πυθαγώριου θεωρήματος και τον υπολογισμό τον ρίζας του 2 σωστά με πέντε δεκαδικά ψηφία.

Jain Mathematics (400 BC – 200 AD)[edit][Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παρόλο Jainism σαν θρησκεία και φιλοσοφία προηγείται τον πιο διάσημο εκφραστής της, Mahavira (6th century BC) όπου ήταν σύγχρονος του Gautama Buddha περισσότερα κείμενα Jain με θέματα μαθηματικών γράφτηκαν μετά τον 6ο αιώνα π.Χ. Οι περισσότεροι Jain μαθηματικοί είναι σημαντικοί ιστορικά σαν τους ζωτικούς δεσμούς μεταξύ των μαθηματικών της Βεδικής περιόδου και της "Κλασσικής περιόδου ."

Μια σημαντική ιστορική συμβολή έχουν θέση οι Jain μαθηματικοί στην απελευθέρωση των ινδικών μαθηματικών από την θρησκεία και τους τελετουργικούς περιορισμούς . Συγκεκριμένα οι γοητεία τους με την απαρίθμηση των πολύ μεγάλων αριθμών και άπειρα, τους οδήγησε να χωρίσουν τους αριθμούς σε τρεις κατηγορίες : αυτούς που μπορούμε να μετρήσουμε , αυτούς που δεν μπορούμε να μετρήσουμε και τους άπειρους. Δεν είναι ικανοποιημένοι με μια απλή έννοια του απείρου, αλλά όρισαν πέντε είδη απείρων αριθμών :τους άπειρους σε μια κατεύθυνση , τους άπειρους σε δύο κατευθύνσεις , τους άπειρους σε μια περιοχή, τους άπειρους παντού και τους άπειρους διαρκώς.Επιπλέον, οι Jain μαθηματικοί επινόησαν συμβολισμούς για απλές αρμοδιότητες (και εκθέτες) αριθμών όπως τα τετράγωνα, οι κύβοι, οι οποίοι τους επέτρεψαν να καθορίσουν απλές αλγεβρικές εξισώσεις (beejganita samikaran).Οι Jain μαθηματικοί ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν τη γλώσσα shunya (κυριολεκτικά κενό στα Sanskrit) όταν αναφέρονταν στο μηδέν. Περισσότερο από μια χιλιετία μετά, η ονομασία τους έγινε στα Αγγλικά η λέξη "zero" μετά από ένα βασανιστικό ταξίδι των μεταφράσεων και μεταγραφές από την Ινδία προς την Ευρώπη. (Δες Μηδέν: Ετυμολογία.)

Επιπλέον το  Surya Prajnapti, σημαντική δουλειά των Jain στα μαθηματικά περιλαμβάνει το Vaishali Ganit (c. 3rd century BC); , το Sthananga Sutra (fl. 300 BC – 200 AD); το Anoyogdwar Sutra (fl. 200 BC – 100 AD); και το  Satkhandagama (c. 2nd century AD). Στους σημαντικούς Jain μαθηματικούς περιλαμβάνονται ο  Bhadrabahu (d. 298 BC), ο συγγραφέας των δύο αστρονομικών βιβλίων , ο Bhadrabahavi-Samhita και ο σχολιαστής στο Surya Prajinapti; Yativrisham Acharya (c. 176 BC), που έγραψε ένα μαθηματικό κείμενο που ονομάζεται  Tiloyapannati; και Umasvati (c. 150 BC), ο οποίος έγινε πιο γνωστός για την επιρροή στα κείμενά του για την Jain φιλοσοφία και μεταφυσική, στην σύνδεση ένα μαθηματικό έργο που ονομάζεται Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya.

Προφορική παράδοση [edit][Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μαθηματικοί της αρχαιότητας και της πρόωρης μεσαιωνικής Ινδίας ήταν σχεδόν όλοι Sanskrit pandits (paṇḍita "γνωκιστικιστής άνθρωπος"),[37]  ο οποίος έμαθε την Sanskrit γλώσσα και λογοτεχνία, και διέθετε «ένα κοινό απόθεμα των γνώσεων στη γραμματική (vyākaraṇa),εξήγηση (mīmāṃsā) και λογική (nyāya)."[37]  Απομνημόνευση του "τι ακούστηκε" (śruti in Sanskrit) μέσω απαγγελίας έπαιξε σημαντικό ρόλο στη μετάδοση των ιερών κειμένων στην αρχαία Ινδία. Απομνημόνευση και απαγγελία χρησιμοποιούνταν επίσης για να μεταφέρουν τα φιλοσοφικά και λογοτεχνικά έργα , καθώς και πραγματείες για την τελετουργία και τη γραμματική. Οι σύγχρονοι μελετητές της αρχαίας Ινδίας έχουν σημειωθεί για τα "πραγματικά αξιοσημείωτα επιτεύγματα των ινδικών pandits που έχουν διατηρηθεί πάρα πολύ ογκώδη κείμενα από το στόμα σε στόμα για χιλιετίες.."[38]

Τεχνικές απομνημόνευσης[edit][Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Prodigous ενέργεια που δαπανάται από την αρχαία ινδική κουλτούρα στην εξασφάλιση ότι τα κείμενα αυτά μεταδίδονται από γενιά σε γενιά με την υπέρμετρη πιστότητα.[39] Για παράδειγμα, η απομνημόνευση των ιερών Vedas περιλαμβάνει πάνω από έντεκα μορφές απαγγελία του ίδιου κειμένου. Τα κείμενα ήταν συνέχεια "απόδειξη-ανάγνωση" από τη σύγκριση των διαφόρων απάγγελων εκδόσεων .Στις μορφές απαγγελίας περιλαμβάνονται το jaṭā-pāṭha (literally "mesh recitation") στο οποίο κάθε δυο παρακείμενες λέξεις στο κείμενο για πρώτη φορά αναφέρεται στην αρχική τους σειρά, μετά επαναλαμβάνονται με την αντίθετη φορά και τελικά επαναλαμβάνονται ξανά με την κανονική φορά .[40] Έτσι, η απαγγελία προχώρησε όπως:

word1word2, word2word1, word1word2; word2word3, word3word2, word2word3; ...

Σε μια άλλη μορφή της απαγγελίας, dhvaja-pāṭha[40] (κυριολεκτικά "σημαία απαγγελία") μια σειρά από Ν λέξεις όπου απήγγειλε (και απομνημόνευση) ζευγαρώνοντας τα δύο πρώτα δύο και την τελευταία λέξη και, στη συνέχεια, προχωρεί ως:

word1word2, wordN − 1wordN; word2word3, wordN − 3wordN − 2; ..; wordN − 1wordN, word1word2;

Η πιο σύνθετη μορφή της απαγγελίας, ghana-pāṭha (literally "dense recitation"), σύμφωνα με (Filliozat 2004, p. 139), πήρε την μορφή:

word1word2, word2word1, word1word2word3, word3word2word1, word1word2word3; word2word3, word3word2, word2word3word4, word4word3word2, word2word3word4;...

Αυτοί οι μέθοδοι είναι αποτελεσματικοί ,μαρτυρείται από τη διατήρηση του αρχαιότερου ινδικού θρησκευτικού κειμένου, το Ṛgveda (ca. 1500 BCE),σαν μοναχικό κείμενο, χωρίς οποιαδήποτε παραλλαγή αναγνώσεις.[40] Παρόμοιες μέθοδοι χρησιμοποιούνταν για την απομνημόνευση μαθηματικών κείμενων, των οποίων η μετάδοση παρέμεινε αποκλειστικά προφορική μέχρι το τέλος της Βεδικής περιόδου  (ca. 500 BCE).

The Sūtra genre[edit][Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μαθηματική δραστηριότητα στην αρχαία Ινδία ξεκίνησε ως μέρος ενός «μεθοδολογικού προβληματισμού» για το ιερό Vedas, η οποία πήρε τη μορφή των έργων που ονομάζεται Vedāṇgas, ή, "Ancillaries of the Veda" (7th–4th century BCE).[41] Η ανάγκη για τη διατήρηση της υγιούς του ιερού κειμένου με τη χρήση της śikṣā (phonetics) και chhandas (metrics);να διατηρήσει το νόημά της με τη χρήση vyākaraṇa (grammar) και nirukta (etymology);και να εκτελέσει σωστά τις τελετουργίες στο σωστό χρόνο με τη χρήση της kalpa (ritual) και jyotiṣa(astrology), οδήγησαν στις έξι κλάδους της Vedāṇgas.[41] Μαθηματικά προέκυψε ως μέρος των τελευταίων δύο κλάδων, τελετουργικό και την αστρονομία (η οποία περιελάμβανε, επίσης, αστρολογία). Απο τα Vedāṇgas αμέσως πριν από την χρήση της γραφής στην αρχαία Ινδία,που διαμορφώθηκαν την τελευταία του αποκλειστικά προφορικής λογοτεχνίας.Είχαν εκφράζεται σε εξαιρετικά συμπιεσμένη μορφή μνημονική, το sūtra (literally, "thread"):

Οι γνώστες της σούτρα το γνωρίζουν ότι έχουν λίγα φωνήματα , να στερείται αμφισημίας , που περιέχουν την ουσία , που αντιμετωπίζει τα πάντα , όντας χωρίς παύση και αρεστός.[41]

Ακραία συντομία επιτεύχθηκε μέσω πολλαπλών μέσων,η οποία περιελάμβανε τη χρήση αποσιωπητικά "η οποία περιελάμβανε τη χρήση αποσιωπητικά,"[41] χρησιμοποιώντας τεχνικές ονομασίες αντί περισσότερο περιγραφικά ονόματα, σύντομες λίστες μόνο που παραπέμπουν το πρώτο και τελευταίο εγγραφές, και χρησιμοποιώντας δείκτες και οι μεταβλητές.[41] Το sūtras δημιουργεί την εντύπωση ότι η επικοινωνία μέσω κειμένου ήταν "μόνο ένα μέρος του όλου διδασκαλίας. Το υπόλοιπο της εντολής πρέπει να έχουν μεταδοθεί από το λεγόμενο Guru-shishya paramparai, 'αδιάκοπη διαδοχή από το δάσκαλό (guru) για το μαθητή (śisya),' και δεν ήταν ανοιχτή για το ευρύ κοινό »και ίσως ακόμη κρυμμένο μυστικό.[42] Η συντομία επιτευχθεί μια sūtra καταδεικνύεται στο ακόλουθο παράδειγμα από το Baudhāyana Śulba Sūtra (700 BCE).

Ο σχεδιασμός της εγχώριας βωμό φωτιά στο Śulba Sūtra

Ο σχεδιασμός της εγχώριας βωμό φωτιά στην Βεδική περίοδο ήταν υποχρεωμένη από το τελετουργικό να έχει μια τετράγωνη βάση και αποτελείται από πέντε στρώματα των τούβλων με 21 τούβλα σε κάθε στρώμα. Μια μέθοδος για την κατασκευή του βωμού ήταν να διαιρέσει μια πλευρά του τετραγώνου σε τρία ίσα μέρη, χρησιμοποιώντας ένα καλώδιο ή σχοινί,στην επόμενη να διαιρέσει την εγκάρσια (ή κάθετη) πλευρά σε επτά ίσα μέρη, και με αυτόν τον τρόπο υπο-διαιρέσει την πλατεία σε 21 παράλληλα ορθογώνια. Τα τούβλα ακολούθως σχεδιαστεί ώστε να είναι το σχήμα του στοιχείου παραλληλόγραμμο και δημιουργήθηκε η στοιβάδα. Για να σχηματίσουν την επόμενη στρώση,ο ίδιος τύπος χρησιμοποιήθηκε, αλλά τα τούβλα διατεταγμένα εγκαρσίως.[43] Η διαδικασία ακολούθως επαναλήφθηκε τρεις ακόμη φορές (με εναλλασσόμενες κατευθύνσεις) προκειμένου να ολοκληρωθεί η κατασκευή.Στο Baudhāyana Śulba Sūtra,Αυτή η διαδικασία περιγράφεται στις ακόλουθες λέξεις:

"II.64. Μετά τη διαίρεση του quadri - πλευρική σε επτά ,το ένα χωρίζει την εγκάρσια [ κορδόνι ] στα τρία. II.65. Σε άλλο ένα στρώμα τοποθετεί την [ τούβλα ] Βορρά- κατάδειξης."[43]

Σύμφωνα με (Filliozat 2004, p. 144),ο αντιπρόσωπος του την κατασκευή του βωμού έχει μόνο μερικά εργαλεία και τα υλικά που έχει στη διάθεσή του: ένα καλώδιο(Sanskrit, rajju, f.), δύο μανταλάκια (Sanskrit, śanku, m.), και πηλό για να κάνει τα τούβλα (Sanskrit, iṣṭakā, f.). Συντομίας επιτυγχάνεται στο sūtra, με το να μην παραπέμπουν ρητά πια είναι το επίθετο "εγκάρσια" πληροί τις προϋποθέσεις; Ωστόσο, από τη θηλυκή μορφή του (Sanskrit) επίθετο που χρησιμοποιείται, είναι εύκολα συμπεραίνεται ότι πληρούν τις προϋποθέσεις "καλώδιο". Ομοίως, στη δεύτερη stanza, "τούβλα" δεν αναφέρονται ρητά, αλλά προκύπτει και πάλι από το θηλυκό πληθυντικό του «Βορρά-κατάδειξης." Τέλος, η πρώτη stanza, Ποτέ δεν λέει ρητά ότι το πρώτο στρώμα των τούβλων είναι προσανατολισμένες στην κατεύθυνση Ανατολής-Δύσης, αλλά και αυτό υπονοείται με τη ρητή αναφορά του «Βορρά-κατάδειξης" στη δεύτερη stanza;για, εάν ο προσανατολισμός προορίστηκε να είναι η ίδια στις δύο στρώσεις, Δεν θα πρέπει είτε να αναφέρεται καθόλου ή να αναφέρεται μόνο στο πρώτο stanza. Όλα αυτά τα συμπεράσματα στα οποία κατέληξε το officiant καθώς θυμάται τον τύπο από τη μνήμη του.[43]

Γραπτή παράδοση: σχολιασμός πεζογραφία[edit][Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Με την αυξανόμενη πολυπλοκότητα των μαθηματικών και των άλλων θετικών επιστήμων,τόσο εγγράφως και υπολογισμού όφειλαν. Κατά συνέπεια, πολλές μαθηματικές εργασίες άρχισαν να γράφονται σε χειρόγραφα που είχαν τότε αντιγραφεί και εκ νέου αντιγραφεί από γενιά σε γενιά.

"Η Ινδία σήμερα υπολογίζεται ότι έχει περίπου τριάντα εκατομμύρια χειρόγραφα , το μεγαλύτερο σώμα του χειρόγραφο υλικό ανάγνωσης οπουδήποτε στον κόσμο. Η εγγράμματη κουλτούρα της ινδικής επιστήμης χρονολογείται τουλάχιστον από τον πέμπτο αιώνα π.Χ. ... Όπως προκύπτει από τα στοιχεία της Μεσοποταμίας λογοτεχνία οιωνό και της αστρονομίας που τέθηκε Ινδία εκείνη την εποχή και ( ήταν) σίγουρα δεν ... σώζεται προφορικά . "[44]

Η παλαιότερη μαθηματική πεζογραφία η οποία σχολιάστηκε ήταν για το έργο, Āryabhaṭīya (written 499 CE), ένα έργο σχετικά με την αστρονομία και τα μαθηματικά. Το μαθηματικό τμήμα της Āryabhaṭīya αποτελούνταν από 33 sūtras (σε μορφή στίχο) που αποτελούνται από μαθηματικές δηλώσεις ή κανόνες, αλλά χωρίς αποδείξεις.[45] Ωστόσο, σύμφωνα με την (Hayashi 2003, p. 123),"αυτό δεν σημαίνει κατ 'ανάγκη ότι οι συντάκτες τους δεν το αποδεικνύουν. Ήταν μάλλον θέμα στυλ της έκθεση. " Από τη στιγμή του Bhaskara I (600 CE onwards),πεζογραφία σχόλια άρχισαν όλο και περισσότερο να περιλαμβάνει ορισμένα παράγωγα(upapatti). Τα σχόλια του Bhaskara I στο Āryabhaṭīya, είχαν την ακόλουθη δομή::[45]

  • Κανόνας  ('sūtra') αντίθετα από Āryabhaṭa
  • Σχόλια από Bhāskara I, που αποτελείται από:
    • Διευκρίνηση του κανόνα (παράγωγα ήταν ακόμη σπάνια τότε, αλλά έγινε πιο κοινή αργότερα)
    • Παράδειγμα (uddeśaka) συνήθως σε στίχο.
    • Ρυθμίσεις (nyāsa/sthāpanā) των αριθμητικών δεδομένων.
    • Δουλεύοντας (karana) του διαλύματος.
    • Επαλήθευση (pratyayakaraṇa,κυριολεκτικά "για να καταδικαστική απόφαση") της απάντησης. Αυτά έγιναν σπάνια από τον 13ο αιώνα, παράγωγα ή αποδείξεις που ευνοείται από τότε.[45]

Τυπικά, για κάθε μαθηματικό θέμα, οι μαθητές στην αρχαία Ινδία απομνημονεύουν πρώτα το sūtras, η οποία, όπως προαναφέρθηκε, ήταν "εσκεμμένα ανεπαρκείς» [44]στην αιτιολογική λεπτομέρειες (για να μεταφέρω περιεκτικά τα γυμνά-οστά μαθηματικών κανόνων). Οι μαθητές στη συνέχεια εργάστηκε με τα θέματα των σχολίων πεζογραφίας με το γράψιμο (και με βάση τα διαγράμματα) σχετικά με κιμωλία και τους μαυροπίνακες.Η τελευταία αυτή δραστηριότητα, μια βάση της μαθηματικής εργασίας, ήταν αργότερα άμεση μαθηματικός-αστρονόμος, Brahmagupta (fl. 7th century CE),να χαρακτηρίσει αστρονομικό υπολογισμούς ως «έργο σκόνη" (Sanskrit: dhulikarman).[46]

Οι αριθμοί και το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης[edit][Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Είναι γνωστό ότι καταγράφηκε το δεκαδικό σύστημα θέσης-αξίας που χρησιμοποιούνται σήμερα για πρώτη φορά στην Ινδία, στη συνέχεια διαβιβάστηκε προς τον ισλαμικό κόσμο, και τελικά στην Ευρώπη.[47] Η συριακή επίσκοπος Severus Sebokht έγραψε στα μέσα του 7ου αιώνα μ.Χ. για τα "εννέα σημεία" των Ινδιάνων για την έκφραση αριθμούς.[47] Ωστόσο, το πώς, πότε και πού εφευρέθηκε το πρώτο δεκαδικό σύστημα αξία τόπος δεν είναι τόσο σαφής.[48]

Το πρώτα σωζόμενα σενάριο που χρησιμοποιείται στην Ινδία ήταν η Kharoṣṭhī γραφή που χρησιμοποιούνται για την καλλιέργεια Gandhara της βόρειο-δυτικά. Είναι πιστεύεται ότι είναι Αραμαϊκή προέλευση και ήταν σε χρήση από τον 4ο αιώνα π.Χ. έως τον 4ο αιώνα μ.Χ..Σχεδόν ταυτόχρονα, μια άλλη γραφή, η γραφή του Brāhmī , εμφανίστηκε σε ένα μεγάλο μέρος της υπο-ηπείρου, και θα γινόταν αργότερα το θεμέλιο της πολλά σενάρια της Νότιας Ασίας και Νοτιοανατολική Ασία. Και τα δύο σενάρια είχαν αριθμητικό σύμβολα και ο αριθμός των συστημάτων, τα οποία αρχικά δεν βασίζεται σε ένα σύστημα θέσης-αξίας.[49]

ο πρώτο σωζόμενο αποδείξεις των δεκαδικών αριθμών αξίας χώρα στην Ινδία και η Νοτιοανατολική Ασία είναι από τα μέσα της πρώτης χιλιετίας CE.[50] Μία πλάκα χαλκού από Gujarat, Ινδία αναφέρει την ημερομηνία 595 CE, γραμμένο σε δεκαδική μορφή αξίας θέση, αν υπάρχει κάποια αμφιβολία ως προς τη γνησιότητα της πλάκας.[50] Δεκαδικοί αριθμοί εγγραφής τα έτη 683 CE έχουν επίσης βρεθεί σε επιγραφές πέτρα στην Ινδονησία και στην Καμπότζη, όπου ινδική πολιτιστική επιρροή ήταν σημαντική.[50]

Υπάρχουν παλαιότερες γραπτές πηγές, αν και τα σωζόμενα χειρόγραφα αντίγραφα του έργου αυτών των κειμένων είναι από πολύ μεταγενέστερες ημερομηνίες.[51] Ίσως η πρώτη τέτοια πηγή είναι το έργο της βουδιστικής φιλόσοφος Vasumitra χρονολογείται πιθανότατα στον 1ο αιώνα μ.Χ..[51] Συζητώντας τα λάκκους καταμέτρηση των εμπόρων, Vasumitra παρατηρήσεις, «Όταν [η ίδια] πηλό καταμέτρηση-κομμάτι είναι στη θέση των μονάδων, που χαρακτηρίζεται ως μία, όταν εκατοντάδες, εκατό."[51] Παρά το γεγονός ότι αυτές οι αναφορές φαίνεται να υπονοεί ότι οι αναγνώστες του είχαν γνώση ενός δεκαδική αναπαράσταση τιμή τόπο, η "συντομίας υπαινιγμών τους και την ασάφεια των ημερομηνιών τους, ωστόσο, δεν αποδεικνύουν σταθερά τη χρονολογία της ανάπτυξης της ιδέας αυτής."[51]

Ένα τρίτο δεκαδικό εκπροσώπηση εργαζόταν σε τεχνική σύνθεση στίχο, στη συνέχεια επισημαίνονται  Bhuta-sankhya (κυριολεκτικά, "οι αριθμοί αντικείμενο") χρησιμοποιείται από τις αρχές του σανσκριτικά συντάκτες των τεχνικών βιβλίων.[52] Επειδή ήταν πολλή νωρίς, τα τεχνικά έργα που αποτελείται στο στίχο, αριθμοί συχνά εκπροσωπούνται από τα αντικείμενα στο φυσικό ή θρησκευτικό κόσμο ότι η αλληλογραφία τους, Αυτό επέτρεψε μια σχέση πολλά-προς-ένα αντιστοιχία για κάθε αριθμό και έκανε σύνθεση στίχο ευκολότερη.[52] Σύμφωνα με Plofker 2009, ο αριθμός 4, για παράδειγμα, θα μπορούσε να εκπροσωπείται από τη λέξη "Veda"δεδομένου ότι υπήρχαν τέσσερα από αυτά τα θρησκευτικά κείμενα), ο αριθμός 32 με τη λέξη «δόντια» (από ένα πλήρες σύνολο αποτελείται από 32), και τον αριθμό 1 από το "φεγγάρι" (δεδομένου ότι δεν υπάρχει μόνο ένα φεγγάρι).[52] Έτσι, Veda / δόντια / φεγγάρι θα αντιστοιχεί στο δεκαδικό αριθμητικό 1324, όπως η σύμβαση για τους αριθμούς ήταν να απαριθμήσει τα ψηφία τους από δεξιά προς τα αριστερά.[52] Η παλαιότερη αναφορά που απασχολούν τους αριθμούς αντικείμενο είναι μια ca. 269 ​​CE Sanskrit κείμενο,Yavanajātaka (κυριολεκτικά «Ελληνική Horoscopy") του Sphujidhvaja, η στιχουργία του προγενέστερου (περίπου 150 CE) Ινδικής προσαρμογής της πεζογραφίας στο χαμένο έργο της Ελληνιστικής αστρολογίας.[53]Η χρήση αυτή φαίνεται να κάνει την υπόθεση ότι από τη σήμανση μέσα του 3ου αιώνα, το δεκαδικό σύστημα αξιών μέρος ήταν γνωστό, τουλάχιστον στους αναγνώστες του αστρονομικά και αστρολογικά κείμενα στην Ινδία.[52]

Έχει διατυπωθεί η υπόθεση ότι το ινδικό σύστημα δεκαδική τιμή τόπο βασίστηκε στα σύμβολα χρησιμοποιείται στις κινεζικές πίνακες καταμέτρηση ήδη από τα μέσα της πρώτης χιλιετίας π.Χ.. [54] Σύμφωνα με Plofker 2009,

Αυτοί οι πίνακες μέτρησης, όπως οι ινδικές λάκκους καταμέτρηση;, ..., είχε μια δομή δεκαδική τιμή τόπο ... Ινδοί μπορεί κάλλιστα να έχουν μάθει από αυτά την δεκαδική τιμή τόπο "αριθμοί ράβδος» από την Κινέζους βουδιστές προσκυνητές ή άλλους ταξιδιώτες, ή μπορεί να έχουν αναπτύξει την έννοια ανεξάρτητα από τις προηγούμενες σύστημα μη-τόπος-η αξία τους, αποδεικτικά στοιχεία δεν επιβιώνει για να επιβεβαιώσει είτε συμπέρασμα."[54]

Bakhshali Manuscript[edit][Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το παλαιότερο σωζόμενο χειρόγραφο μαθηματική στη Νότια Ασία είναι η Bakhshali χειρόγραφο, το φλοιό σημύδας χειρόγραφο γραμμένο σε "Buddhist hybrid Sanskrit"[12] στο Śāradāscript, το οποίο χρησιμοποιήθηκε στη βορειοδυτική περιοχή της την ινδική υποήπειρο μεταξύ του 8ου και του 12ου αιώνα CE.[55] Το χειρόγραφο ανακαλύφθηκε το 1881 από έναν αγρότη, ενώ το σκάψιμο σε ένα πέτρινο περίβλημα στο χωριό Bakhshali, κοντά στο Peshawar (στη συνέχεια, στη βρετανική Ινδία και τώρα στο Πακιστάν). Αγνώστου πατρότητας και σήμερα διατηρείται στη βιβλιοθήκη Bodleian στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, το χειρόγραφο έχει ποικιλοτρόπως ημερομηνία—ήδη από τα «πρώτους αιώνες της χριστιανικής εποχής" [56] και τόσο αργά όσο μεταξύ του 9ου και 12ου αιώνα μ.Χ...[57] Το 7ο αιώνα μ.Χ. θεωρείται πλέον μια εύλογη ημερομηνία,[58] έστω και με την πιθανότητα ότι το "χειρόγραφο σε μορφή σημερινή του αποτελεί ένα σχόλιο ή ένα αντίγραφο ενός πρόσθιου μαθηματικής εργασίας.""[59]

Το επιζών χειρόγραφο έχει εβδομήντα φύλλα, μερικά από τα οποία βρίσκονται σε θραύσματα. Μαθηματικού περιεχομένου του αποτελείται από κανόνες και παραδείγματα, γραμμένο σε στίχους, μαζί με πεζογραφικά σχόλια, τα οποία περιλαμβάνουν λύσεις για τα παραδείγματα.[55] Τα θέματα που αντιμετωπίζονται περιλαμβάνουν αριθμητικό (κλάσματα, τετραγωνικές ρίζες, κέρδη και ζημίες, απλό ενδιαφέρον, therule των τριών, και κανονισμούς falsi) και της άλγεβρας (ταυτόχρονες γραμμικές εξισώσεις και δευτεροβάθμιων εξισώσεων), και την αριθμητική πρόοδοι.Επιπλέον, υπάρχει μια χούφτα των γεωμετρικών προβλημάτων (συμπεριλαμβανομένων των προβλημάτων σχετικά με τον όγκο των παράνομων στερεών). Το χειρόγραφο Bakhshali επίσης «χρησιμοποιεί ένα δεκαδικό σύστημα αξιών χώρα με μια τελεία για το μηδέν."[55] Πολλά από τα προβλήματά της είναι μια κατηγορία γνωστή ως «προβλήματα εξισορρόπησης», που οδηγούν σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Ένα παράδειγμα από Θραύσμα ΙΙΙ-5-3V είναι η ακόλουθη:

"Ένας έμπορος έχει επτά άλογα asava, ένα δεύτερο έχει εννέα άλογα haya, και ένας τρίτος έχει δέκα καμήλες. Είναι εξίσου καλά μακριά στην αξία των ζώων τους, εάν καθένας δίνει δύο ζώα, ένα σε κάθε μία από τις άλλες. Βρείτε την τιμή του κάθε ζώο και η συνολική αξία των ζώων που κατέχονται από κάθε έμπορο. "[60]

Ο σχολιασμός πεζογραφία συνοδεύει το παράδειγμα λύνει το πρόβλημα με τη μετατροπή του σε τρεις (κάτω προσδιορίζεται) εξισώσεις σε τέσσερις αγνώστους και με την παραδοχή ότι οι τιμές είναι όλοι ακέραιοι.[60]

Κλασσική περίοδος(400–1600)[edit][Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αυτή η περίοδος είναι συχνά γνωστό ως η χρυσή εποχή του Ινδικού Μαθηματικών. Αυτή η περίοδος είδε μαθηματικούς ,όπως Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhaskara I,Mahavira, Bhaskara II, Madhava of Sangamagrama and Nilakantha Somayaji δίνουν σε ευρύτερα και σαφέστερα σχήμα σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών. Η συνεισφορά τους θα εξαπλωθεί στην Ασία, τη Μέση Ανατολή, και τελικά στην Ευρώπη. Σε αντίθεση με τα μαθηματικά στην Βεδική περίοδο , τα έργα τους περιλαμβάνονται τόσο αστρονομικές και μαθηματικές εισφορές.Στην πραγματικότητα, τα μαθηματικά της περιόδου αυτής είχε συμπεριληφθεί στην «αστρικό επιστήμη» (jyotiḥśāstra) και αποτελείται από τρεις επιμέρους κλάδους: μαθηματικές επιστήμες (gaṇita ή tantra),ωροσκόπιο, αστρολογία (horā ή jātaka) και τη μαντεία (saṃhitā).[46] Αυτή η τριμερής διαίρεση παρατηρείται σε Varāhamihira'sΚατάρτιση του 6ου αιώνα—Pancasiddhantika[61](κυριολεκτικά panca, "πέντε" Siddhanta, "το συμπέρασμα της διαβούλευσης», με ημερομηνία 575 CE)—πέντε προηγούμενα έργα, Surya Siddhanta, Romaka Siddhanta, Paulisa Siddhanta,Vasishtha Siddhanta και Paitamaha Siddhanta, που ήταν προσαρμογές ακόμα παλαιότερα έργα της Μεσοποταμίας, ελληνική, αιγυπτιακή, ρωμαϊκά και ινδική αστρονομία. Όπως εξηγήθηκε προηγουμένως, τα βασικά κείμενα γράφτηκαν στα σανσκριτικά στίχο, και ακολούθησαν πεζογραφία σχόλια.[46]

Το πέμπτο και τον έκτο αιώνα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Surya Siddhanta

Αν και την πατρότητά του είναι άγνωστη, η Surya Siddhanta (c. 400) περιέχει τις ρίζες της σύγχρονης τριγωνομετρίας.[citation needed] Λόγω του ότι περιέχει πολλές λέξεις ξένης προέλευσης, ορισμένοι συγγραφείς θεωρούν ότι γράφτηκε υπό την επήρεια της Μεσοποταμίας και την Ελλάδα.[62]

Αυτό το αρχαίο κείμενο χρησιμοποιεί τα ακόλουθα ως τριγωνομετρικές συναρτήσεις για πρώτη φορά:[εκκρεμεί παραπομπή]

  • Ημίτονο (Jya).
  • Συνημίτονο(Kojya).
  • Τόξο ημιτόνου (Otkram jya).

Περιέχει, επίσης, τις πρώτες χρήσεις των:[εκκρεμεί παραπομπή]

  • Εφαπτομένη.
  • Συνεφαπτομένη.

Αργότερα ινδικοί μαθηματικοί όπως ο Aryabhata έκαναν αναφορές σε αυτό το κείμενο, ενώ αργότερα αραβικές and λατινικές μεταφράσεις είχαν επιρροές στην Ευρώπη και στη μέση Ανατολή.

Chhedi calendar

Αυτό το ημερολόγιο του Chhedi (594) περιέχει μια πρώιμη χρήση του σύγχρονου θεσιακού Ινδο-Αραβικού συστήματος αρίθμησης που τώρα χρησιμοποιέιται παγκοσμίως(βλέπε επίσης Hindu-Arabic numerals).

Aryabhata I

Ο Αριαμπάτα (476–550) έγραψε το Aryabhatiya. Περιέγραψε τις σημαντικές θεμελιώδεις αρχές των μαθηματικών το 332. Η πραγματεία που περιέχονται:

Ο Αραμπιάτα έγραψε επίσης το Arya Siddhanta, το οποίο σήμερα έχει χαθεί. Οι συνεισφορές του Αραμπιάτα περιέχουν:

Τριγωνομετρία:

(Βλέπε επίσης : Aryabhata's sine table)

  • Εισήγαγε την Τριγωνομετρική συνάρτηση.
  • Όρισε το ημίτονο (jy]) ως τη σύγχρονη σχέση μεταξύ μισής γωνίας και μισή χορδή.
  • Όρισε το συνημίτονο (kojya).
  • Όρισε το versine ('[utkrama-jya).
  • Όρισε the τόξο ημιτόνου (otkram jya).
  • Έδωσε μεθόδους υπολογισμού κατά προσέγγιση αριθμητικές τιμές τους.
  • Περιέχει τα πρώτα τραπέζια του ημιτόνου, συνημιτόνου και τιμές versine, σε 3.75° διαστήματα από 0° ως 90°, με 4 δεκαδικά ψηφία ακρίβειας.
  • Περιέχει το τριγωνομετρικό τύπο sin(n + 1)x − sin nx = sin nx − sin(n − 1)x − (1/225)sin nx.
  • Σφαιρικό τρίγωνο.

Αριθμητική:

  • Συνεχές κλάσμα.

Άλγεβρα:

  • Λύσεις ταυτόχρονης δευτεροβάθμιες εξισώσεις.
  • Πλήρεις λύσεις αριθμών γραμμικών εξισώσεων με μια μέθοδο ανάλογη με σημερινή.
  • Γενική λύση του απροσδιόριστου γραμμική εξίσωση .

μαθηματική Αστρονομία:

  • Ακριβείς υπολογισμούς για τις αστρονομικές σταθερές, όπως:
    • Έκλειψη Ηλίου.
    • Σεληνιακή έκλειψη].
    • Τον τύπο για το άθροισμα των [[[Κύβος (άλγεβρα)|κύβων]], το οποίο ήταν ένα σημαντικό βήμα για την ανάπτυξη του ολοκληρωτικού λογισμού.[36]
Varahamihira

ο Varahamihira (505–587) δημιούργησε το Pancha Siddhanta (Οι Πέντε Αστρονομική Κανόνες). Έκανε σημαντικές συνεισφορές στην τριγωνομετρία, συμπεριλαμβανομένων πίνακες ημίτονο και συνημιτόνου με 4 δεκαδικά ψηφία ακρίβειας και τους ακόλουθους τύπους σχετικά με τις συναρτήσεις ημιτόνου και συνημιτόνου:

Έβδομος και όγδοος αιώνας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το Θεώρημα Brahmagupta αναφέρει ότι AF = FD .

Τον 7ο αιώνα, δύο ξεχωριστά πεδία,Η Αριθμητική (η οποία περιελάμβανε Μέτρηση) και η Άλγεβρα, άρχισαν να εμφανίζονται στα ινδικά μαθηματικά. Τα δύο πεδία αργότερα ονομάστηκαν pāṭī-gaṇita (κυριολεκτικά "μαθηματικά αλγορίθμων") και bīja-gaṇita (κυριολεκτικά "μαθηματικά των σπόρων", με σπόρους—όπως οι σπόροι των φυτών—εκπροσωπούν αγνώστους με τη δυνατότητα να δημιουργήσουν, σε αυτήν την περίπτωση, the solutions of equations).[37] Η Βραχμαγκούπτα, στο αστρονομικό έργο του Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 αιών.), περιλάμβανε δύο κεφάλαια (12 και 18) αφιερωμένα σε αυτούς τους τομείς. Το κεφάλαιο 12,που περιέχει 66 σανσκριτικούς στίχους, χωρίστηκε σε δύο τμήματα: "βασικές λειτουργίες" (συμπεριλαμβανομένων κυβικών ριζών, κλάσματα, λόγους και αναλογίες, και αντιπραγματισμού) και "πρακτικά μαθηματικά" (περιλαμβανομένων του μείγματος, μαθηματική σειρά, τα στοιχεία αεροπλάνο, στοίβαξη τούβλα, πριόνισμα ξυλείας, και συσσωρεύονται των σιτηρών).[38] Στην τελευταία ενότητα, δήλωσε το περίφημο θεώρημα του για τις διαγώνιες ενός κυκλικού τετραπλεύρου:[38]

Θεώρημα του Βραχμαγκούπτα: Εάν ένα κυκλικό τετράπλευρο έχει διαγωνίους που είναι κάθετες μεταξύ τους, τότε η κάθετη γραμμή που σύρεται από το σημείο τομής των διαγωνίων σε οποιαδήποτε πλευρά του τετραπλεύρου διχοτομεί πάντα την αντίθετη πλευρά.

Το κεφάλαιο 12 περιλάμβανε επίσης έναν τύπο για την περιοχή ενός κυκλικού τετραπλεύρου (μια γενίκευση του τύπου του Ήρωνα), καθώς και μια πλήρη περιγραφή του ακέραιου τριγώνου (δηλαδή τρίγωνα με ορθολογικές πλευρές και ορθολογικές περιοχές).

Τύπος του Βραχμαγκούπτα:Η περιοχή, A, ενός κυκλικού τετραπλεύρου με πλευρές μήκους a, b, c, d, αντίστοιχα, δίνεται από

όπου s, η ημιπερίμετρος, δίνεται από

Θεώρημα του Βραχμαγκούπτα για ορθολογικά τρίγωνα: Ένα τρίγωνο με ορθολογικές πλευρές και ορθολογική περιοχή είναι της μορφής:

για ορισμένους ρητούς αριθμούς και .[39]

Το Κεφάλαιο 18 περιείχε 103 στίχους σανσκριτικά οι οποίοι ξεκίνησαν με τους κανόνες για τις αριθμητικές πράξεις που αφορούν το μηδέν και αρνητικούς αριθμούς[38] και θεωρείται η πρώτη συστηματική θεραπεία του υποκειμένου. Οι κανόνες (που συμπεριλάμβαναν και ) ήταν όλοι σωστοί με μια εξαιρεση: .[38] Αργότερα στο κεφάλαιο, έδωσε την πρώτη ρητή (αν και ακόμα δεν είναι εντελώς γενική) λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης:

Αυτό είναι ισοδύναμο με:

Επίσης, στο κεφάλαιο 18,Ο Brahmagupta ήταν σε θέση να σημειώσει πρόοδο στην εξεύρεση (ολοκληρωτικών) λύσεων της εξίσωσης του Pell,[41]

όπου είναι ένας μη τετραγωνικός ακέραιος. Έκανε αυτό ανακαλύπτωντας την ακόλουθη ταυτότητα:[41]

Ταυτότητα του Brahmagupta: η οποία ήταν μια γενίκευση της προγενέστερης ταυτότητας του Διοφάντου:[41] Ο Brahmagupta χρησιμοποίησε την ταυτότητά του για να αποδείξει το ακόλουθο λήμμα:[41]

Λήμμα (Brahmagupta): Άν είναι λύση της και, είναι λύση της , then:

είναι λύση της

Συνήθιζε τότε να χρησιμοποιεί αυτό το λήμμα τόσο για τη δημιουργία απείρως πολλών (ολοκληρωτικών) λύσεων της εξίσωσης Pell, δεδομένου μιας λύσης, όσο και για την διατύπωση του παρακάτω θεωρήματος:

Θεώρημα (Brahmagupta): Αν η εξίσωση έχει ακέραια λύση για κάποια τότε η εξίσωση του Pell:

έχει επίσης μια ακέραια λύση.[42]

Ο Brahmagupta δεν απέδειξε όντως το θεώρημα, αλλά έδωσε παραδείγματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αυτή. Το πρώτο παράδειγμα που παρουσιάστηκε ήταν:[41]

Παράδειγμα (Brahmagupta): Βρείτε ακεραίους έτσι ώστεt:

Σε σχόλιό του, ο Brahmagupta πρόσθεσε, "ένας άνθρωπος που θα λύσει αυτό το πρόβλημα εντός ενός έτους είναι μαθηματικός."[41] Η λύση που έδωσε ήταν:

Bhaskara I

Ο Bhaskara I (600–680) επέκτεινε την εργασία του Αραμπιάτα στα βιβλία του με τίτλους Mahabhaskariya, Aryabhatiya-bhashya και Laghu-bhaskariya. Παρήγαγε:

  • Λύσεις αορίστων εξισώσεων.
  • Μια ορθολογική προσέγγιση της συνάρτησης ημιτόνου.
  • Ένας τύπος για τον υπολογισμό του ημιτόνου μιας οξείας γωνίας χωρίς τη χρήση ενός πίνακα, σωστή με δύο δεκαδικά ψηφία.

Ένατος εως ενδέκατος αιώνας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βιρασένα

Ο Βιρασένα (Virasena, 8ος αιώνας) ήταν ένας Jain μαθηματικός στην αυλή του Rashtrakut βασιλιά Amoghavarsha των Manyakheta, Karnataka. Έγραψε το Dhavala, ένα σχόλιο για Jain μαθηματικά, όπου:

  • Ασχολείται με την έννοια της ardhaccheda, ο αριθμός των φορών που ένας αριθμός θα μπορούσε να μειωθεί κατά το ήμισυ;

αποτελεσματικά λογαρίθμους με βάση 2, και απαριθμεί διάφορους κανόνες που αφορούν αυτή τη λειτουργία.[43][44]

  • Χρησιμοποιεί πρώτος λογαρίθμους με βάση το 3 (trakacheda) και το 4 (caturthacheda).

Ο Virasena επίσης έδωσε:

  • Η παραγωγή του όγκου του frustum από ένα είδος άπειρης διαδικασίας.

Πιστεύεται ότι μεγάλο μέρος του μαθηματικού υλικού στο Dhavala μπορεί να αποδοθεί σε προηγούμενους συγγραφείς, ειδικότερα στους Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra και Bappadeva και η ημερομηνία που έγραψε μεταξύ 200 και 600 αιών..[44]

Mahavira

Ο Mahavira Acharya (800–870) από την Καρνάτακα, ο τελευταίος των αξιοσημείωτων Jain μαθηματικών, έζησε τον 9ο αιώνα και υποστηρίχθηκε από τον Amoghavarsha βασιλία των Rashtrakuta. Έγραψε ένα βιβλίο με τίτλο Ganit Saar Sangraha σχετικά με τα αριθμητικά μαθηματικά, αι επίσης έγραψε πραγματείες για ένα ευρύ φάσμα θεμάτων μαθηματικών. Αυτά περιλαμβάνουν τα μαθηματικά:

Ο Mahavira επίσης:

  • υποστήριξε ότι η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν υπάρχει
  • Έδωσε το άθροισμα μιας σειράς της οποίας οι όροι είναι τετράγωνα μιας αριθμητικής προόδου, και έδωσε εμπειρικούς κανόνες για την περιοχή και περίμετρο μιας έλλειψης.
  • Έλυσε κυβικές εξισώσεις.
  • Έλυσε τετραγωνικές εξισώσεις.
  • Έλυσε μερικές εξισώσεις quintic και πολυώνυμα υψηλότερου βαθμού.
  • Έδωσε τις γενικές λύσεις για τις εξισώσεις υωηλότερου βαθμού:
  • Έλυσε απροσδιόριστες δευτεροβάθμιες εξισώσεις.
  • Έλυσε απροσδιόριστες τριτοβάθμιες εξισώσεις.
  • Έλυσε απροσδιόριστες εξισώσεις υψηλότερου βαθμού.
Shridhara

Ο Shridhara (870–930), ο οποίος έζησε στη Βεγγάλη, έγραψε τα βιβλία με τίτλο Nav Shatika, Tri Shatika και Pati Ganita. Έδωσε:

  • Έναω καλό κανόνα για την εύρεση του όγκου μιας σφαίρας.
  • Τον τύπο για τη λώση τετραγωνικών εξισώσεων.

Το Pati Ganita είναι ένα έργο για την αριθμητική και τη μέτρηση. Ασχολείται με διάφορες πράξεις, συμπεριλαμβανομένου:

  • Στοιχειώδεις λειτουργίες
  • Εξαγωγή τετραγωνικών και κυβικών ριζών.
  • Κλάσματα.
  • Οκτώ κανόνες που δίνονται για πράξεις που αφορούν το μηδέν.
  • Μεθόδους άθροισης διάφορων αριθμητικών και γεωμετρικών σειρών, οι οποίες επρόκειτο να γίνουν πρότυπες αναφορές σε μεταγενέστερα έργα.
Manjula

Οι διαφορικές εξισώσεις του Aryabhata εκπονήθηκαν τον 10ο αιώνα από τον Manjula (επίσης Munjala), ο οποίος συνειδητοποίησε ότι η έκφραση[45]

θα μπορούσε να εκφραστεί περίπου ως

Κατάλαβε την έννοια της διαφοροποίησης μετά την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων που προέκυψαν από την υποκατάσταση αυτής της έκφρασης σε διαφορική εξίσωση του Aryabhata.[45]

Aryabhata II

O Aryabhata II (920–1000) έγραψε ένα σχόλιο πάνω στο Shridhara, και ένα αστρονομικό σύγγραμμα Maha-Siddhanta. Το Maha-Siddhanta έχει 18 κεφάλαια, και συζητά:

  • Αριθμητικά Μαθηματικά (Ank Ganit).
  • Άλγεβρα.
  • Λύσεις αορίστων εξισώσεων (kuttaka).
Shripati

Ο Shripati Mishra (1019–1066) έγραψε τα βιβλία Siddhanta Shekhara, ένα σημαντικό έργο για την αστρονομία σε 19 κεφάλαια, και Ganit Tilaka, μια ατελής αριθμητική πραγματεία σε 125 στίχους βασισμένο σε ένα έργο του Shridhara. Εργάστηκε κυρίως σε:

  • Μεταθέσεις και συνδυασμούς.
  • Γενική λύση της ταυτόχρονης απροσδιόριστης γραμμικής εξίσωσης.

Ήταν επίσης ο συγγραφέας του Dhikotidakarana, ένα έργο είκοσι στίχων για:

Το Dhruvamanasa είναι ένα έργο 105 στίχων για:

Nemichandra Siddhanta Chakravati

Ο Nemichandra Siddhanta Chakravati (1100) έγραψε μια μαθηματική πραγματεία με τίτλο Gome-mat Saar.

Bhaskara II

Ο Bhāskara II (1114–1185) Ήταν ένας μαθηματικός, αστρονόμος ο οποίος έγραψε μια σειρά σημαντικών πραγματειών, όπως τα Siddhanta Shiromani, Lilavati, Bijaganita, Gola Addhaya, Griha Ganitam και Karan Kautoohal. Ένας αριθμός των εισφορών του αργότερα μεταδίδεται προς τη Μέση Ανατολή και την Ευρώπη. Οι συνεισφορές του περιλαμβάνουν: Αριθμητική:

  • Υπολογισμοί ενδιαφέροντος
  • Αριθμητικές και η γεωμετρικές πρόοδοι
  • Επιπεδομετρία
  • Στερεά γεωμετρία
  • Η σκιά του Γνώμονα
  • Λύσεις για συνδυασμούς
  • Απέδειξε ότι η διαίρεση με το μηδέν είναι Άπειρο.

Άλγεβρα:

  • Η αναγνώριση ότι ένας θετικός αριθμός έχει δύο τετραγωνικές ρίζες.
  • Νιοστή ρίζα.
  • Πράξεις με τα προϊόντα των διαφόρων αγνώστων.
  • Τις λύσεις για:
    • Τετραγωνικές εξισώσεις.
    • Κυβικές εξισώσεις.
    • Εξισώσεις Quartic.
    • Εξισώσεις με περισσότερες από μία άγνωστη.
    • Εξισώσεις Quadratic με περισσότερες από μία άγνωστη.
    • Η γενική μορφή της εξίσωσης Pell χρησιμοποιώντας τη μέθοδο chakravala method.
    • Η γενική αόριστη τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο chakravala.
    • Απροσδιόριστες κυβικές εξισώσεις.
    • Απροσδιόριστες εξισώσεις quartic.
    • Απροσδιόριστες εξισώσεις πολυωνύμων μεγαλύτερων βαθμών.

Γεωμετρία:

Λογισμός:

  • Σύλληψη του διαφορικού λογισμού.
  • Ανακάλυψε την παράγωγο.
  • Ανακάλυψε του διαφορικού συντελεστή.
  • Ανέπτυξε τη διαφοροποίηση.
  • Δήλωσε το θεώρημα του Rolle, μια ειδική περίπτωση του Θεωρήματος μέσης τιμής (ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα του λογισμού και της ανάλυσης).
  • Βρήκε το διαφορικό της συνάρτησης ημιτόνου.
  • Υπολόγισε το π, σωστό σε πέντε δεκαδικά ψηφία.
  • Υπολόγισε το μήκος της περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο σε 9 δεκαδικά ψηφία.

Τριγωνομετρία:

  • Εξελίξεις της σφαιρικής τριγωνομετρίας
  • Οι τριγωνομετρικοί τύποι:

Μαθηματικά Kerala (1300–1600)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το Kerala school of astronomy and mathematics ιδρύθηκε από τον Madhava από το Sangamagrama στο Kerala, Νότια Ινδία και συμπεριλάμβανε μεταξύ των μελών της: τον Parameshvara, τον Neelakanta Somayaji, τον Jyeshtadeva, τον Achyuta Pisharati, τον Melpathur Narayana Bhattathiri και τον Achyuta Panikkar. Άκμασε μεταξύ του 14ου και 16ου αιώνα και οι αρχικές ανακαλύψεις του σχολείου φαίνεται να έχουν τελειώσει με τον Narayana Bhattathiri (1559–1632). Στην προσπάθεια για την επίλυση αστρονομικών προβλημάτων, οι αστρονόμοι του σχολείου Kerala independently δημιούργησαν μια σειρά από σημαντικές έννοιες των μαθηματικών. Τα πιο σημαντικά αποτελέσματα, επέκταση σε σειρά για τριγωνομετρικές συναρτήσεις, δόθηκαν στην Σανσκριτική γλώσσα σε στίχο στο βιβλίο του Neelakanta με το όνομα Tantrasangraha και ένα σχόλιο για αυτό το έργο που ονομάζεται Tantrasangraha-vakhya αγνώστου πατρότητας. Τα θεωρήματα είχαν δηλωθεί χωρίς απόδειξη, αλλά οι αποδείξεις για τις σειρές ημίτονο, συνημίτονο , και αντίστροφη εφαπτομένη δόθηκαν έναν αιώνα αργότερα στο έργο Yuktibhāṣā (1500–1610), γραμμένο σε Malayalaμ, από τον Jyesthadeva, καθώς επίσης και στον σχολιασμό Tantrasangraha.[46]

Η ανακάλυψή τους από αυτές τις τρεις σημαντικές επεκτάσεις σειρών λογισμού—πολλούς αιώνες πριν ο λογισμός αναπτύχθηκε στην Ευρώπη από τον Ισαάκ Νεύτωνn και τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς—ήταν κατόρθωμα. Ωστόσο, το σχολείο Kerala δεν εφηύρε τον λογισμό,[47] διότι, ενώ ήταν σε θέση να αναπτύξουν Σειρά Τέιλορ επεκτάσεις για τις σημαντικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, παραγώγους, όρο προς όρο Ολοκλήρωση, δοκιμές σύγκλισης, επαναληπτικές μεθόδους λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων, και η θεωρία ότι η περιοχή κάτω από την καμπύλη είναι ολοκλήρωμά της, δεν ανέπτυξαν ούτε θεωρία της παραγώγισης ούτε Ολοκλήρωση, ούτε για το Θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού.[48] Τα αποτελέσματα που προέκυψαν από το σχολείο Κεράλα περιλαμβάνουν:

  • Την (άπειρη) γεωμετρική σειρά: [49] Αυτός ο τύπος ήταν ήδη γνωστός, για παράδειγμα, στο έργο του Αραβικού μαθηματικού του 10ου αιώνα Alhazen (η λατινοποιημένη μορφή του ονόματος Ibn Al-Haytham (965–1039)).[50]
  • Μια ημι-αυστηρή απόδειξη (see "induction" remark below) of the result: for large n. Αυτό το αποτέλεσμα ήταν επίσης γνωστό στον Alhazen.[46]

Διαισθητική χρήση της Μαθηματική επαγωγής, ωστόσο, η επαγωγική υπόθεση δεν είχε διατυπωθεί σε αποδείξεις.[46]

  • Εφαρμογές των ιδεών του (που ήταν να γίνει) διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού να αποκτήσουν το θεώρημα του Taylor-Maclaurin άπειρων σειρών για , , και [47] Το Tantrasangraha-vakhya δίνει τη σειρά στο στίχο, το οποίο όταν μεταφράζεται στη μαθηματική σημειογραφία, μπορεί να γραφτεί ως:[46]
όπου, για r = 1, Η σειρά μειώνεται στην τυπική δύναμη σειράς για αυτές τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, για παράδειγμα:
και
  • Χρήση της διόρθωσης (υπολογισμός μήκους) του τόξου ενός κύκλου για να δώσει μια απόδειξη αυτού του αποτελέσματος. (Η τελευταία μέθοδος του Leibniz, χρησιμοποιώντας τετραγωνισμό (δηλαδή

υπολογισμός της περιοχής κάτω από το τόξο του κύκλου, δεν χρησιμοποιήθηκε.)[46]

  • Χρήση της σειράς επέκτασης του να αποκτήσει μια άπειρη έκφραση σειράς (αργότερα γνωστό ως σειρά Gregory) για :[46]
  • Μια ορθολογική προσέγγιση του σφάλματος για το πεπερασμένο σύνολο των σειρών που τους ενδιαφέρει. Για παράδειγμα, το σφάλμα, , (για n περιττός, και i = 1, 2, 3) για τη σειρά:
όπου
  • Χειραγώγηση του όρους λάθος να αποκομίσουν μια πιο γρήγορη σειρά συγκλινουσών :[46]
  • Χρησιμοποιώντας τη βελτιωμένη σειρά για να αντλήσει μια λογική έκφραση,[46] 104348/33215 για π σωστό μέχρι εννιά δεκαδικά ψηφία, 'δηλαδή 3.141592653.
  • Χρήση μιας διαισθητικής αντίληψης του ορίου για τον υπολογισμό αυτών των αποτελεσμάτων.[46]
  • Μια ημι-αυστηρή (βλέπε παρατήρηση σχετικά με τα όρια πάνω) μέθοδος διαφοροποίησης ορισμένων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.[48] Ωστόσο, δεν διατυπώνουν την έννοια της συνάρτησης, ούτε έχουν γνώση της εκθετικής ή λογαριθμικής λειτουργίας.

Οι εργασίες του σχολείου Κεράλα γράφτηκαν για πρώτη φορά για τον δυτικό κόσμο από τον Englishman C.M. Whish το 1835. Σύμφωνα με τον Whish, οι μαθηματικοί του Kerala "είχαν θέσει τα θεμέλια για ένα ολοκληρωμένο σύστημα ρευστοποίησης" και αυτά τα έργα αφθονούσαν "με συνεχείς αλλαγές μορφής και σειρών για να μην βρεθεί σε καμία εργασία των ξένων χωρών."[51]

Ωστόσο, τα αποτελέσματα του Whish είχαν σχεδόν εντελώς παραμεληθεί, μέχρι πάνω από ένα αιώνα αργότερα, όταν οι ανακαλύψεις του σχολείου Κεράλα ερευνήθηκαν και πάλι από τον C. Rajagopal και τους συνεργάτες του. Η εργασία τους περιλαμβάνει σχόλια σχετικά με τις αποδείξεις της σειράε τόξου ημιτόνου στα Yuktibhāṣā δίδεται σε δύο έγγραφα,[52][53] ένα σχόλιο για την απόδειξη του Yuktibhāṣā' της σειράς ημιτόνου και συνημιτόνου[54] και δύο έγγραφα που παρέχουν τους στίχους σανσκριτικά της Tantrasangrahavakhya για τη σειρά για τοξεφ, το ημίτονο, και συνημίτονο ( με την αγγλική μετάφραση και σχόλια).[55][56]

Οι μαθηματικοί Κεράλα περιλαμβαναν Narayana Pandit]][αμφίβολο ] (1340–1400), ο οποίος συνέθεσε τα δύο έργα, μια αριθμητική πραγματεία, Ganita Kaumudi, και μια αλγεβρική πραγματεία, Bijganita Vatamsa. Ο Narayana επίσης πιστεύεται ότι είναι ο συγγραφέας ενός περίτεχνου σχολιασμό του Lilavati του Bhaskara II, με τίτλο KarmapradipikaKarma-Paddhati). Ο Madhava of Sangamagrama (1340–1425) ήταν ο ιδρυτής της Κεράλα Σχολής. Αν και είναι πιθανό ότι έγραψε το Karana Paddhati ένα έργο που γράφτηκε κάποτε μεταξύ 1375 και 1475, γνωρίζουμε πραγματικά το έργο του προέρχεται από έργα μεταγενέστερων λογίων.

Ο Parameshvara (1370–1460) Έγραψε σχόλια για τα έργα του Bhaskara I, Αραμπιάτα και Bhaskara II. Το Lilavati Bhasya, σχολιασμός του Lilavati του Bhaskara II, περιέχει μία από τις σημαντικές ανακαλύψεις του: μια έκδοση για το Θεώρημα μέσης τιμής. Ο Nilakantha Somayaji (1444–1544) συνέθεσε το Tantra Samgraha (που «γέννησε» ένα μεταγενέστερο ανώνυμο σχόλιο Tantrasangraha-vyakhya και περαιτέρω σχολιασμό από το όνομα Yuktidipaika, γραμμένο το 1501). Αναφέρθηκε και επέκτεινε τις εισφορές του Madhava.

Ο Citrabhanu (1530) ήταν ένας μαθηματικός του 16ου αιώνα από την Κεράλα ο οποίος έδωσε ακέραιες λύσεις έως 21 τύπους των συστημάτων των δύο ταυτόχρονη αλγεβρικές εξισώσεις με δύο αγνώστους. Αυτοί οι τύποι είναι όλα τα πιθανά ζεύγη των εξισώσεων από τις ακόλουθες επτά μορφές:

Για κάθε περίπτωση, ο Citrabhanu έδωσε μια εξήγηση και αιτιολόγηση της διακυβέρνησής του, καθώς και ένα παράδειγμα. Μερικές από τις εξηγήσεις του είναι αλγεβρικές, ενώ άλλες είναι γεωμετρικές. Ο Jyesthadeva (1500–1575) ήταν ένα άλλο μέλος της σχολής Kerala. Βασικό έργο του ήταν το Yukti-bhāṣā (γραμμένο στα Malayalam, μια περιφερειακή γλώσσα της Kerala). Ο Jyesthadeva παρουσίασε αποδείξεις από πολλά μαθηματικά θεωρήματα και άπειρες σειρές που νωρίτερα ανακαλύφθηκε από τον Madhava και άλλους μαθηματικούς της σχολής Kerala.


Επιρροή από τον Ευρωκεντρισμό
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έχει ειπωθεί ότι οι ινδικές συνεισφορές στα μαθηματικά δεν έχουν λάβει τη δέουσα αναγνώριση στη σύγχρονη ιστορία και ότι πολλές ανακαλύψεις και εφευρέσεις από τους Ινδούς μαθηματικούς αποδίδεται σήμερα σε πολιτισμικά Δυτικούς ομολόγους τους, ως αποτέλεσμα της ευρωκεντρισμού. Σύμφωνα με την υιοθέτηση από τον GG Ιωσήφ των "Εθνομαθηματικών":

[Το έργο τους] υιοθετεί ορισμένες από τις αιτίες που διατυπώθηκαν σχετικά με την κλασσική Ευρωκεντρική τροχιά. Η συνειδητοποίηση [των Ινδικών και Αράβικων μαθηματικών] είναι πολύ πιθανό να μετριάζεται με απαξιωτικές απορρίψεις της σημασίας τους σε σχέση με τα Ελληνικά μαθηματικά. Οι συνεισφορές από άλλους πολιτισμούς - κυρίως την Κίνα και την Ινδία, γίνονται αντιληπτές είτε ως δανεικές από ελληνικές πηγές ή έχει να κάνει μόνο με μικρές εισφορές για την ενσωμάτωση της ανάπτυξης των μαθηματικών. Ένα άνοιγμα στα πιο πρόσφατα ευρήματα της έρευνας, ειδικά στην περίπτωση των Ινδικών και των Κινέζικων μαθηματικών, δυστυχώς λείπει "[57]

Ο ιστορικός των μαθηματικών, Florian Cajori, πρότεινε ότι ο ίδιος και οι άλλοι "υποψιάζονται ότι ο Διόφαντος πήρε την πρώτη γεύση αλγεβρικής γνώσης από την Ινδία». [84] Ωστόσο, ο ίδιος έγραψε ότι «είναι βέβαιο ότι τμήματα των ινδουιστών μαθηματικών είναι ελληνικής καταγωγής ".[58]

Πιο πρόσφατα, όπως συζητήθηκε στην παραπάνω ενότητα, η άπειρη σειρά του λογισμού για τριγωνομετρικές λειτουργίες (ανακαλύφθηκε από τον Gregory, ο Taylor και Maclaurin στα τέλη του 17ου αιώνα) έχουν περιγραφεί (με αποδείξεις) στην Ινδία, από μαθηματικούς του σχολείου της Κεράλα, αξιοσημείωτα περίπου δύο αιώνες νωρίτερα. Μερικοί μελετητές έχουν προτείνει πρόσφατα ότι η γνώση των αποτελεσμάτων αυτών θα μπορούσε να έχει διαβιβαστεί στην Ευρώπη μέσω της εμπορικής οδού από την Κεράλα από τους εμπόρους και τους Ιησουίτες ιεραποστόλους .[59] Η Κεράλα ήταν σε συνεχή επαφή με την Κίνα και την Αραβία, και, από το 1500, με την Ευρώπη. Η ύπαρξη των διόδων επικοινωνίας και ένα κατάλληλο χρονολόγιο κάνει σίγουρα μια τέτοια μετάδοση εφικτή. Ωστόσο, δεν υπάρχει καμία άμεση απόδειξη, μέσω των σχετικών χειρογράφων, ότι η διαβίβαση αυτή όντως πραγματοποιήθηκε.[59] Σύμφωνα με τον David Bressoud, «δεν υπάρχει καμία απόδειξη ότι το ινδικό έργο των σειρών ήταν γνωστό πέρα από την Ινδία, ή ακόμη και εκτός της Κεράλα, μέχρι τον δέκατο ένατο αιώνα. »[60][61]

Και οι δύο, Άραβες και Ινδοί μελετητές, έκαναν ανακαλύψεις πριν από το 17ο αιώνα, που θεωρούνται πλέον μέρος του λογισμού.[62] Ωστόσο, δεν ήταν στην ίδια θέση, όπως ήταν ο Νεύτωνας και ο Leibniz, για να «συνδυάσουν πολλές διαφορετικές ιδέες στο πλαίσιο των δύο κεντρικών θεμάτων της παραγώγου και του ολοκληρώματος, που δείχνουν τη σύνδεση μεταξύ των δύο, και να μετατρέψουν τον λογισμό στο μεγάλο εργαλείο για την επίλυση των προβλημάτων που έχουμε σήμερα ».[62] Η πνευματική σταδιοδρομία τόσο του Νεύτωνα όσο και του Leibniz είναι καλά τεκμηριωμένες και δεν υπάρχει καμία ένδειξη ότι το έργο τους δεν είναι  δικό τους?[62] Ωστόσο, δεν είναι γνωστό με βεβαιότητα αν οι άμεσοι προκάτοχοί του Νεύτωνα και του Leibniz, "συμπεριλαμβανομένων, ιδίως, του Fermat και του Roberval, έμαθαν μερικές από τις ιδέες των ισλαμικών και των ινδικών μαθηματικών μέσω πηγών που δεν είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε ακόμη και τώρα.»[62] Αυτό είναι ένας ενεργός τομέας της τρέχουσας έρευνας, κυρίως στις χειρόγραφες συλλογές της Ισπανίας και του Μαγκρέμπ, έρευνα που τώρα ακολουθείται, μεταξύ άλλων θέσεων, από το Centre National de Recherche Scientifique στο Παρίσι.[62]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υποσημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Encyclopaedia Britannica (Kim Plofker) 2007, σελ. 1
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 (Hayashi 2005, σελίδες 360–361)
  3. Ifrah 2000, σελ. 346: "The measure of the genius of Indian civilisation, to which we owe our modern (number) system, is all the greater in that it was the only one in all history to have achieved this triumph. Some cultures succeeded, earlier than the Indian, in discovering one or at best two of the characteristics of this intellectual feat. But none of them managed to bring together into a complete and coherent system the necessary and sufficient conditions for a number-system with the same potential as our own."
  4. Plofker 2009, σελίδες 44–47
  5. Bourbaki 1998, σελ. 46: "...our decimal system, which (by the agency of the Arabs) is derived from Hindu mathematics, where its use is attested already from the first centuries of our era. It must be noted moreover that the conception of zero as a number and not as a simple symbol of separation) and its introduction into calculations, also count amongst the original contribution of the Hindus."
  6. Bourbaki 1998, σελ. 49: Modern arithmetic was known during medieval times as "Modus Indorum" or method of the Indians. of Pisa wrote that compared to method of the Indians all other methods is a mistake. This method of the Indians is none other than our very simple arithmetic of addition, subtraction, multiplication and division. Rules for these four simple procedures was first written down by Brahmagupta during 7th century AD. "On this point, the Hindus are already conscious of the interpretation that negative numbers must have in certain cases (a debt in a commercial problem, for instance). In the following centuries, as there is a diffusion into the West (by intermediary of the Arabs) of the methods and results of Greek and Hindu mathematics, one becomes more used to the handling of these numbers, and one begins to have other "representation" for them which are geometric or dynamic."
  7. 7,0 7,1 "algebra" 2007. Concise Encyclopedia. Encyclopædia Britannica Online. 16 May 2007. Quote: "A full-fledged decimal, positional system certainly existed in India by the 9th century (AD), yet many of its central ideas had been transmitted well before that time to China and the Islamic world. Indian arithmetic, moreover, developed consistent and correct rules for operating with positive and negative numbers and for treating zero like any other number, even in problematic contexts such as division. Several hundred years passed before European mathematicians fully integrated such ideas into the developing discipline of algebra."
  8. (Pingree 2003, σελ. 45) Quote: "Geometry, and its branch trigonometry, was the mathematics Indian astronomers used most frequently. Greek mathematicians used the full chord and never imagined the half chord that we use today. Half chord was first used by Aryabhata which made trigonometry much more simple. In fact, the Indian astronomers in the third or fourth century, using a pre-Ptolemaic Greek table of chords, produced tables of sines and versines, from which it was trivial to derive cosines. This new system of trigonometry, produced in India, was transmitted to the Arabs in the late eighth century and by them, in an expanded form, to the Latin West and the Byzantine East in the twelfth century."
  9. (Bourbaki 1998, σελ. 126): "As for trigonometry, it is disdained by geometers and abandoned to surveyors and astronomers; it is these latter (Aristarchus, Hipparchus[νεκρός σύνδεσμος], Ptolemy) who establish the fundamental relations between the sides and angles of a right angled triangle (plane or spherical) and draw up the first tables (they consist of tables giving the chord of the arc cut out by an angle on a circle of radius r, in other words the number ; the introduction of the sine, more easily handled, is due to Hindu mathematicians of the Middle Ages)."
  10. Encyclopaedia Britannica (Kim Plofker) 2007, σελ. 1
  11. Filliozat 2004, σελίδες 140–143
  12. Hayashi 1995
  13. Encyclopaedia Britannica (Kim Plofker) 2007, σελ. 6
  14. Stillwell 2004, σελ. 173
  15. Bressoud 2002, σελ. 12 Quote: "There is no evidence that the Indian work on series was known beyond India, or even outside Kerala, until the nineteenth century. Gold and Pingree assert [4] that by the time these series were rediscovered in Europe, they had, for all practical purposes, been lost to India. The expansions of the sine, cosine, and arc tangent had been passed down through several generations of disciples, but they remained sterile observations for which no one could find much use."
  16. Plofker 2001, σελ. 293 Quote: "It is not unusual to encounter in discussions of Indian mathematics such assertions as that “the concept of differentiation was understood [in India] from the time of Manjula (... in the 10th century)” [Joseph 1991, 300], or that "we may consider Madhava to have been the founder of mathematical analysis" (Joseph 1991, 293), or that Bhaskara II may claim to be "the precursor of Newton and Leibniz in the discovery of the principle of the differential calculus" (Bag 1979, 294). ... The points of resemblance, particularly between early European calculus and the Keralese work on power series, have even inspired suggestions of a possible transmission of mathematical ideas from the Malabar coast in or after the 15th century to the Latin scholarly world (e.g., in (Bag 1979, 285)). ... It should be borne in mind, however, that such an emphasis on the similarity of Sanskrit (or Malayalam) and Latin mathematics risks diminishing our ability fully to see and comprehend the former. To speak of the Indian "discovery of the principle of the differential calculus" somewhat obscures the fact that Indian techniques for expressing changes in the Sine by means of the Cosine or vice versa, as in the examples we have seen, remained within that specific trigonometric context. The differential "principle" was not generalised to arbitrary functions—in fact, the explicit notion of an arbitrary function, not to mention that of its derivative or an algorithm for taking the derivative, is irrelevant here"
  17. Pingree 1992, σελ. 562 Quote:"One example I can give you relates to the Indian Mādhava's demonstration, in about 1400 A.D., of the infinite power series of trigonometrical functions using geometrical and algebraic arguments. When this was first described in English by Charles Matthew Whish, in the 1830s, it was heralded as the Indians' discovery of the calculus. This claim and Mādhava's achievements were ignored by Western historians, presumably at first because they could not admit that an Indian discovered the calculus, but later because no one read anymore the Transactions of the Royal Asiatic Society, in which Whish's article was published. The matter resurfaced in the 1950s, and now we have the Sanskrit texts properly edited, and we understand the clever way that Mādhava derived the series without the calculus; but many historians still find it impossible to conceive of the problem and its solution in terms of anything other than the calculus and proclaim that the calculus is what Mādhava found. In this case the elegance and brilliance of Mādhava's mathematics are being distorted as they are buried under the current mathematical solution to a problem to which he discovered an alternate and powerful solution."
  18. Katz 1995, σελίδες 173–174 Quote:"How close did Islamic and Indian scholars come to inventing the calculus? Islamic scholars nearly developed a general formula for finding integrals of polynomials by A.D. 1000—and evidently could find such a formula for any polynomial in which they were interested. But, it appears, they were not interested in any polynomial of degree higher than four, at least in any of the material that has come down to us. Indian scholars, on the other hand, were by 1600 able to use ibn al-Haytham's sum formula for arbitrary integral powers in calculating power series for the functions in which they were interested. By the same time, they also knew how to calculate the differentials of these functions. So some of the basic ideas of calculus were known in Egypt and India many centuries before Newton. It does not appear, however, that either Islamic or Indian mathematicians saw the necessity of connecting some of the disparate ideas that we include under the name calculus. They were apparently only interested in specific cases in which these ideas were needed. ... There is no danger, therefore, that we will have to rewrite the history texts to remove the statement that Newton and Leibniz invented calculus. Thy were certainly the ones who were able to combine many differing ideas under the two unifying themes of the derivative and the integral, show the connection between them, and turn the calculus into the great problem-solving tool we have today."
  19. Sergent, Bernard (1997), Genèse de l'Inde, Paris: Payot, σελ. 113, ISBN 2-228-89116-9 
  20. Coppa, A. (6 April 2006), «Early Neolithic tradition of dentistry: Flint tips were surprisingly effective for drilling tooth enamel in a prehistoric population», Nature 440 (7085): 755–6, doi:10.1038/440755a, PMID 16598247, http://www.nature.com/nature/journal/v440/n7085/pdf/440755a.pdf 
  21. Bisht, R. S. (1982), «Excavations at Banawali: 1974–77», στο: Possehl, Gregory L. (ed.), επιμ., Harappan Civilisation: A Contemporary Perspective, New Delhi: Oxford and IBH Publishing Co., σελ. 113–124 
  22. A. Seidenberg, 1978. The origin of mathematics. Archive for the history of Exact Sciences, vol 18.
  23. (Staal 1999)
  24. 24,0 24,1 (Hayashi 2003, σελ. 118)
  25. 25,0 25,1 (Hayashi 2005, σελ. 363)
  26. Pythagorean triples are triples of integers (a, b, c) with the property: a2+b2 = c2. Thus, 32+42 = 52, 82+152 = 172, 122+352 = 372, etc.
  27. (Cooke 2005, σελ. 198): "The arithmetic content of the Śulva Sūtras consists of rules for finding Pythagorean triples such as (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), and (12, 35, 37). It is not certain what practical use these arithmetic rules had. The best conjecture is that they were part of religious ritual. A Hindu home was required to have three fires burning at three different altars. The three altars were to be of different shapes, but all three were to have the same area. These conditions led to certain "Diophantine" problems, a particular case of which is the generation of Pythagorean triples, so as to make one square integer equal to the sum of two others."
  28. (Cooke 2005, σελίδες 199–200): "The requirement of three altars of equal areas but different shapes would explain the interest in transformation of areas. Among other transformation of area problems the Hindus considered in particular the problem of squaring the circle. The Bodhayana Sutra states the converse problem of constructing a circle equal to a given square. The following approximate construction is given as the solution.... this result is only approximate. The authors, however, made no distinction between the two results. In terms that we can appreciate, this construction gives a value for π of 18 (3 − 2√2), which is about 3.088."
  29. 29,0 29,1 29,2 (Joseph 2000, σελ. 229)
  30. 30,0 30,1 (Cooke 2005, σελ. 200)
  31. The value of this approximation, 577/408, is the seventh in a sequence of increasingly accurate approximations 3/2, 7/5, 17/12, ... to √2, the numerators and denominators of which were known as "side and diameter numbers" to the ancient Greeks, and in modern mathematics are called the Pell numbers. If x/y is one term in this sequence of approximations, the next is (x + 2y)/(x + y). These approximations may also be derived by truncating the continued fraction representation of √2.
  32. Neugebauer, O. and A. Sachs. 1945. Mathematical Cuneiform Texts, New Haven, CT, Yale University Press. p. 45.
  33. Mathematics Department, University of British Columbia, The Babylonian tabled Plimpton 322.
  34. Three positive integers form a primitive Pythagorean triple if c2 = a2+b2 and if the highest common factor of a, b, c is 1. In the particular Plimpton322 example, this means that 135002+127092 = 185412 and that the three numbers do not have any common factors. However some scholars have disputed the Pythagorean interpretation of this tablet; see Plimpton 322 for details.
  35. 35,0 35,1 (Dani 2003)
  36. Katz, Victor J. (1995), «Ideas of Calculus in Islam and India», Mathematics Magazine 68 (3): 163–174, doi:10.2307/2691411 
  37. (Hayashi 2005, σελ. 369)
  38. 38,0 38,1 38,2 38,3 (Hayashi 2003, σελίδες 121–122)
  39. (Stillwell 2004, σελ. 77)
  40. (Stillwell 2004, σελ. 87)
  41. 41,0 41,1 41,2 41,3 41,4 41,5 (Stillwell 2004, σελίδες 72–73)
  42. (Stillwell 2004, σελίδες 74–76)
  43. Gupta, R. C. (2000), «History of Mathematics in India», στο: Hoiberg, Dale; Ramchandani, Indu, επιμ., Students' Britannica India: Select essays, Popular Prakashan, σελ. 329, http://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false 
  44. 44,0 44,1 Singh, A. N., Mathematics of Dhavala, Lucknow University, http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm 
  45. 45,0 45,1 Joseph (2000), p. 298–300.
  46. 46,0 46,1 46,2 46,3 46,4 46,5 46,6 46,7 46,8 (Roy 1990)
  47. 47,0 47,1 (Bressoud 2002)
  48. 48,0 48,1 (Katz 1995)
  49. Singh, A. N. Singh (1936), «On the Use of Series in Hindu Mathematics», Osiris 1: 606–628, doi:10.1086/368443 
  50. Edwards, C. H., Jr. 1979. The Historical Development of the Calculus. New York: Springer-Verlag.
  51. (Whish 1835)
  52. Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1949), «A Neglected Chapter of Hindu Mathematics», Scripta Mathematica 15: 201–209 
  53. Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1951), «On the Hindu proof of Gregory's series», Ibid. 17: 65–74 
  54. Rajagopal, C.; Venkataraman, A. (1949), «The sine and cosine power series in Hindu mathematics», Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal (Science) 15: 1–13 
  55. Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1977), «On an untapped source of medieval Keralese mathematics», Archive for the History of Exact Sciences 18: 89–102 
  56. Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1986), «On Medieval Kerala Mathematics», Archive for the History of Exact Sciences 35 (2): 91–99, doi:10.1007/BF00357622 
  57. Ιωσήφ, GG 1997. "Ιδρύματα της ευρωκεντρισμού στα Μαθηματικά." InEthnomathematics: Αμφισβήτηση Ευρωκεντρισμός Διδακτικής των Μαθηματικών (επιμ Powell, AB et al..). SUNY Press. ISBN 0-7914-3352-8. p.67-68.
  58. Florian Cajori (2010). "Μια ιστορία του Δημοτικού Μαθηματικά - με υποδείξεις για τις μεθόδους διδασκαλίας". p.94. ISBN 1-4460-2221-8
  59. 59,0 59,1 Almeida, Δ Ρ .; John, J. Κ .; Zadorozhnyy, A. (2001), "Keralese Μαθηματικά: πιθανής μετάδοσης της στην Ευρώπη και οι συνακόλουθες εκπαιδευτικές επιπτώσεις», Journal of Natural Γεωμετρία 20: 77-104.
  60. (Bressoud 2002)
  61. Gold, D .; Pingree, D. (1991), «Μια άγνωστη έως σήμερα σανσκριτικές εργασίες που αφορούν την παραγωγή Madhava της σειράς ισχύος για ημίτονο και συνημίτονο», Ιστορία Scientiarum 42: 49-65.
  62. 62,0 62,1 62,2 62,3 62,4 (Katz 1995)

Πηγαία Βιβλία στα Σανσκριτικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Keller, Agathe (2006), Expounding the Mathematical Seed. Vol. 1: The Translation: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya, Basel, Boston, and Berlin: Birkhäuser Verlag, 172 pages, ISBN 3-7643-7291-5 .
  • Keller, Agathe (2006), Expounding the Mathematical Seed. Vol. 2: The Supplements: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya, Basel, Boston, and Berlin: Birkhäuser Verlag, 206 pages, ISBN 3-7643-7292-3 .
  • Neugebauer, Otto; Pingree (eds.), David (1970), The Pañcasiddhāntikā of Varāhamihira, New edition with translation and commentary, (2 Vols.), Copenhagen .
  • Pingree, David (ed) (1978), The Yavanajātaka of Sphujidhvaja, edited, translated and commented by D. Pingree, Cambridge, MA: Harvard Oriental Series 48 (2 vols.) .
  • Sarma, K. V. (ed) (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa with the commentary of Sūryadeva Yajvan, critically edited with Introduction and Appendices, New Delhi: Indian National Science Academy .
  • Sen, S. N.; Bag (eds.), A. K. (1983), The Śulbasūtras of Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana and Mānava, with Text, English Translation and Commentary, New Delhi: Indian National Science Academy .
  • Shukla, K. S. (ed) (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa with the commentary of Bhāskara I and Someśvara, critically edited with Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, New Delhi: Indian National Science Academy .
  • Shukla, K. S. (ed) (1988), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa, critically edited with Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, in collaboration with K.V. Sarma, New Delhi: Indian National Science Academy .

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί Σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]