Διοφαντική εξίσωση

Στην θεωρία αριθμών, διοφαντική εξίσωση ονομάζεται οποιαδήποτε πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές για την οποία ζητούμε μόνο ακέραιες λύσεις. Ο όρος "διοφαντική" είναι προς τιμήν του μαθηματικού του τρίτου αιώνα Διόφαντου τον Αλεξανδρέα, που ασχολήθηκε με αυτού του τύπου τις εξισώσεις.

Παραδείγματα διοφαντικών εξισώσεων

Γραμμική διοφαντική εξίσωση

Οι γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις είναι εξισώσεις της μορφής

$ax+by=c$,

όπου $a,b,c$ είναι δοσμένοι ακέραιοι. Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ύπαρξη λύσεων είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των $(a,b)$ να διαιρεί το $c$.

Επιπλέον είναι γνωστό ότι αν $(x_{0},y_{0})$ είναι μία λύση της διοφαντικής εξίσωσης τότε το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης δίνεται από τα ακέραια ζεύγη $(x,y)$ όπου

$x=x_{0}+{\frac {b}{d}}t$ και $y=y_{0}-{\frac {a}{d}}t$, για κάθε ακέραιο $t\in \mathbb {Z}$

όπου $d$ είναι ο ΜΔΚ των α και β.

Πυθαγόρειες τριάδες

Οι λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης

$x^{2}+y^{2}=z^{2}$,

ονομάζονται Πυθαγόρειες τριάδες, καθώς ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή είναι τα μήκη πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Για παράδειγμα, η τριάδα $(x,y,z)=(3,4,5)$ είναι Πυθαγόρεια καθώς $3^{2}+4^{3}=5^{2}$. Από τους αρχαίους χρόνους είναι γνωστό ότι υπάρχουν άπειρες Πυθαγόρειες τριάδες καθώς και η μορφή τους.

Γενίκευση τους είναι οι Πυθαγόρειες τετράδες, δηλαδή οι λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=w^{2}$.

Τελευταίο θεώρημα του Φερμά

Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά ασχολείται με την γενίκευση των Πυθαγορείων τριάδων μεγαλύτερες δυνάμες, δηλαδή τις λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$.

O Άντριου Γουάιλς απέδειξε ότι για $n>3$ δεν υπάρχουν θετικές ακέραιες λύσεις

Η εικασία Έρντος-Στράους

Η εικασία Έρντος-Στράους λέει ότι η διοφαντική εξίσωση

${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}$

έχει λύσεις για κάθε $n\geq 2$. Προς το παρόν αυτό έχει επαληθευφθεί για όλα τα $n\leq 10^{17}$.

Εξίσωση Πελ

Η εξίσωση Πελ είναι η διοφαντική εξίσωση

$x^{2}-ny^{2}=\pm 1$,

που μελετήθηκε από τον μαθηματικό Τζον Πελ και παλαιότερα από τον Βραχμαγκούπτα και τον Φερμά.

Αριθμοί των ταξί

Οι αριθμοί των ταξί είναι σχετίζεται με το πλήθος των τετράδων που ικανοποιούν την διοφαντική εξίσωση

$x^{3}+y^{3}=z^{3}+w^{3}$.

Κινεζικό θεώρημα υπολοίπων

Το κινεζικό θεώρημα υπολοίπων λύνει το σύστημα των εξής διοφαντικών εξισώσεων

$x=a_{1}+y_{1}n_{1}$,

$\qquad \vdots$

$x=a_{k}+y_{k}n_{k}$,

με αγνώστους τα $x,y_{1},\ldots ,y_{k}$, και τα $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ακεραίους και τα $n_{1},\ldots ,n_{k}$ σχετικά πρώτους μεταξύ τους.

Δείτε επίσης

• Γραμμική διοφαντική εξίσωση
• Κινεζικό Θεώρημα Υπολοίπων