Δυαδική πράξη

Μια δυαδική πράξη $\circ$ είναι ένας κανόνας για τον συνδυασμό των ορίσματος $x$ και $y$ για να παράγει $x\circ y$

Στα μαθηματικά, δυαδική πράξη είναι η πράξη (ή ο τελεστής) που περιλαμβάνει δύο ορίσματα (ή τελεσταίους). Με άλλα λόγια, η πράξη που έχει τάξη δύο. Οι δυαδικές πράξεις μπορούν να συμβολίζονται είτε με μια δυαδική συνάρτηση ή με ένα δυαδικό τελεστή. Οι δυαδικές πράξεις μπορεί να αναφέρονται ενίοτε και περιγραφικά ώς "πράξεις (τελεστές) με δυο ορίσματα (τελεσταίους)", για την αποφυγή σύγχυσης με τις πράξεις στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης και στην άλγεβρα Μπουλ. Παραδείγματα είναι οι συνήθεις αριθμητικές πράξεις, η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση.

Πιο συγκεκριμένα, μια δυαδική πράξη σε ένα σύνολο S είναι μια δυαδική σχέση που αντιστοιχεί στοιχεία του καρτεσιανού γινομένου S × S σε στοιχεία του S:

$\,f\colon S\times S\rightarrow S.$

Αν η f δεν είναι συνάρτηση, αλλά μερική συνάρτηση, τότε λέγεται μερική πράξη. Για παράδειγμα, η διαίρεση πραγματικών αριθμών είναι μερική συνάρτηση, αφού δεν γίνεται διαίρεση με το μηδέν: τα 1/0 και 0/0 δεν ορίζονται.

Μερικές φορές, ειδικά στην επιστήμη υπολογιστών, ο όρος χρησιμοποιείται για κάθε δυαδική συνάρτηση. Το ότι η f έχει τιμές στο ίδιο σύνολο S από όπου προέρχονται τα ορίσματά της, είναι η ιδιότητα της κλειστότητας.

Οι δυαδικές πράξεις είναι κλειδί για τις αλγεβρικές δομές που μελετώνται στην άλγεβρα: αποτελούν μέρος των ομάδων, μονοειδών, ημιομάδων, δακτυλίων και άλλων. Γενικά, ένα μάγμα είναι ένα σύνολο μαζί με κάποια δυαδική πράξη που ορίζεται πάνω του.

Πολλές ενδιαφέρουσες δυαδικές πράξεις, τόσο στην άλγεβρα όσο και στην τυπική λογική είναι μεταβατικές ή προσεταιριστικές. Ακόμα, πολλές έχουν μοναδιαίο στοιχείο και αντίστροφο στοιχείο. Τυπικά παραδείγματα δυαδικών πράξεων είναι η πρόσθεση (+) και ο πολλαπλασιασμός (×) αριθμών, και πινάκων, όπως και η σύνθεση συναρτήσεων πάνω σε ένα σύνολο.

Βιβλιογραφία

• Landin, Joseph (29 Αυγούστου 2012). An Introduction to Algebraic Structures. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15041-3. 
• KISHAN, HARI· TOMAR, H. S. ADVANCED CALCULUS & GROUP THEORY. Ram Prasad Publications(R.P.H.). 
• Santhanam, G. (31 Ιανουαρίου 2017). Algebra. Alpha Science International Limited. ISBN 978-1-78332-448-4. 
• Sharma, Dr Ramdev· Goyal, Er Meera (27 Σεπτεμβρίου 2022). Mathematics Class 12. SBPD Publications. 
• Martin, G. E. (19 Δεκεμβρίου 1997). The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90694-2. 
• Shoup, Victor (2009). A Computational Introduction to Number Theory and Algebra. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-51644-0. 
• Sigler, L. E. (6 Δεκεμβρίου 2012). Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-9410-5. 

Πηγές

• Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan 
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8 
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd έκδοση), Boston: Allyn and Bacon