Μαθηματική αναγωγή

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Η μαθηματική αναγωγή ονομάζεται η μετατροπή μιας έκφρασης σε ταυτόσιμη αλλά απλούστερη μορφή. Χρησιμοποιείται σε όλους σχεδόν τους κλάδους των μαθηματικών. Στα κλάσματα, (μαθηματική) αναγωγή ονομάζεται και «απλοποίηση» και ονομάζεται η επανεγγραφή των όρων του κλάσματος με απλούστερους όρους. Στα ριζικά (μαθηματική) αναγωγή ονομάζεται η επανεγγραφή του περιεχομένου των ριζικών με απλούστερο τρόπο.

Στη Γραμμική Άλγεβρα η (μαθηματική) αναγωγή εφαρμόζει κανόνες για να μετατρέψει την εξίσωση, το σύστημα εξισώσεων ή τους πίνακες (μήτρες) σε ισοδύναμη αλλά απλούστερη μορφή.

Τέλος η (μαθηματική) αναγωγή αναφέρεται και στην τεχνική της ολοκλήρωσης κατά μέλη για τη διευκόλυνση του υπολογισμού τους με την επανεγγραφή τους ως έκφρασης που περιέχει απλούστερα (στον υπολογισμό) ολοκληρώματα.

Στατική Αναγωγή ή Αναγωγή Guyan[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στη δυναμική ανάλυση. η «στατική αναγωγή» ή «αναγωγή Guyan» αναφέρεται στη (μαθηματική) αναγωγή των βαθμών ελευθερίας. Η στατική αναγωγή μπορεί επίσης να εφαρμοστεί για την απλοποίηση ενός προβλήματος γραμμικής άλγεβρας. Π.χ. έστω το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:


  • όπου α,β οι γνωστοί και Χ οι άγνωστοι όροι, που τοποθετούνται σε πίνακες.

Η παραπάνω μορφή γράφεται ισοδύναμα και σε μορφή εξίσωσης πινάκων:

Αν τώρα β2=0 και χρειαζόμαστε μόνο τον όρο x1, η εξίσωση των πινάκων μπορεί να αναχθεί στην ακόλουθη εξίσωση:

Η αναγωγή στον όρο α11αν. φαίνεται πώς γίνεται αν ξαναγράψουμε το αρχικό σύστημα εξισώσεων στην ακόλουθη μορφή, εφαρμόζοντας την προϋπόθεση β2=0:


Είναι φανερό τώρα ότι για τη δεύτερη (2η) εξίσωση ισχύει:

Αντικαθιστώντας τώρα το x2 στην πρώτη εξίσωση, αυτή γίνεαι:

Τέλος θέτοντας διαμορφώθηκε η «αναγμένη» εξίσωση:

  • Παρόμοια αναγωγή μπορεί να γίνει και αν κάποιο από τα αij είναι 0, ενώ φυσικά μπορεί ομοίως να αναχθεί το α21 αν β1=0.
Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Reduction (mathematics) της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).