Μαθηματική αναγωγή

Η μαθηματική αναγωγή ονομάζεται η μετατροπή μιας έκφρασης σε ταυτόσιμη αλλά απλούστερη μορφή. Χρησιμοποιείται σε όλους σχεδόν τους κλάδους των μαθηματικών. Στα κλάσματα, (μαθηματική) αναγωγή ονομάζεται και «απλοποίηση» και ονομάζεται η επανεγγραφή των όρων του κλάσματος με απλούστερους όρους. Στα ριζικά (μαθηματική) αναγωγή ονομάζεται η επανεγγραφή του περιεχομένου των ριζικών με απλούστερο τρόπο.

Στη Γραμμική Άλγεβρα η (μαθηματική) αναγωγή εφαρμόζει κανόνες για να μετατρέψει την εξίσωση, το σύστημα εξισώσεων ή τους πίνακες (μήτρες) σε ισοδύναμη αλλά απλούστερη μορφή.

Τέλος η (μαθηματική) αναγωγή αναφέρεται και στην τεχνική της ολοκλήρωσης κατά μέλη για τη διευκόλυνση του υπολογισμού τους με την επανεγγραφή τους ως έκφρασης που περιέχει απλούστερα (στον υπολογισμό) ολοκληρώματα.

Άλγεβρα

Στη γραμμική άλγεβρα, η αναγωγή αναφέρεται στην εφαρμογή απλών κανόνων σε μια σειρά εξισώσεων ή πινάκων για να τις μετατρέψει σε μια απλούστερη μορφή. Στην περίπτωση των πινάκων, η διαδικασία περιλαμβάνει τη χειραγώγηση είτε των γραμμών είτε των στηλών του πίνακα και έτσι συνήθως αναφέρεται ως αναγωγή γραμμών ή αναγωγή στηλών, αντίστοιχα.

Συχνά ο στόχος της αναγωγής είναι να μετατρέψει έναν πίνακα σε «αναγωγική μορφή σειράς» ή «αναγωγική μορφή στήλης». Αυτός είναι ο στόχος της γκαουσιανής απαλοιφής.

Στατική Αναγωγή ή Αναγωγή Guyan

Στη δυναμική ανάλυση. η «στατική αναγωγή» ή «αναγωγή Guyan» αναφέρεται στη (μαθηματική) αναγωγή των βαθμών ελευθερίας. Η στατική αναγωγή μπορεί επίσης να εφαρμοστεί για την απλοποίηση ενός προβλήματος γραμμικής άλγεβρας. Π.χ. έστω το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

$\mathrm {\alpha _{11}x_{1}+\alpha _{12}x_{2}=\beta _{1}}$
$\mathrm {\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}=\beta _{2}}$

• όπου α,β οι γνωστοί και Χ οι άγνωστοι όροι, που τοποθετούνται σε πίνακες.

Η παραπάνω μορφή γράφεται ισοδύναμα και σε μορφή εξίσωσης πινάκων:

$\mathrm {{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\beta _{2}\end{bmatrix}}}$

Αν τώρα β₂=0 και χρειαζόμαστε μόνο τον όρο x₁, η εξίσωση των πινάκων μπορεί να αναχθεί στην ακόλουθη εξίσωση:

$\mathrm {\alpha _{11\alpha \nu .}x_{1}=\beta _{1}}$

Η αναγωγή στον όρο α_11αν. φαίνεται πώς γίνεται αν ξαναγράψουμε το αρχικό σύστημα εξισώσεων στην ακόλουθη μορφή, εφαρμόζοντας την προϋπόθεση β₂=0:

$\mathrm {\alpha _{11}x_{1}+\alpha _{12}x_{2}=\beta _{1}\;}$
$\mathrm {\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}=0\;}$

Είναι φανερό τώρα ότι για τη δεύτερη (2^η) εξίσωση ισχύει:

$\mathrm {\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}=0\Leftrightarrow \alpha _{21}x_{1}=-\alpha _{22}x_{2}\Leftrightarrow x_{2}=-{\frac {\alpha _{21}}{\alpha _{22}}}x_{1}}$

Αντικαθιστώντας τώρα το x₂ στην πρώτη εξίσωση, αυτή γίνεαι:

$\mathrm {\alpha _{11}x_{1}-\alpha _{12}{\frac {\alpha _{21}}{\alpha _{22}}}x_{1}=\beta _{1}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}\alpha _{11}-\alpha _{12}{\frac {\alpha _{21}}{\alpha _{22}}}\end{pmatrix}}x_{1}=\beta _{1}}$

Τέλος θέτοντας $\mathrm {\alpha _{11\alpha \nu .}=\alpha _{11}-\alpha _{12}{\frac {\alpha _{21}}{\alpha _{22}}}}$ διαμορφώθηκε η «αναγμένη» εξίσωση:

$\mathrm {\alpha _{11\alpha \nu .}x_{1}=\beta _{1}}$

• Παρόμοια αναγωγή μπορεί να γίνει και αν κάποιο από τα α_ij είναι 0, ενώ φυσικά μπορεί ομοίως να αναχθεί το α₂₁ αν β₁=0.

Ιστορία

Τον 9ο αιώνα, ο Πέρσης μαθηματικός Αλ-Χουαρίζμι εισήγαγε στο έργο του Αλ-Τζαμπρ τις θεμελιώδεις έννοιες της «μείωσης» και της «εξισορρόπησης», αναφερόμενος στη μεταφορά των αφαιρεθέντων όρων στην άλλη πλευρά μιας εξίσωσης και στην ακύρωση όμοιων όρων στις αντίθετες πλευρές της εξίσωσης. Αυτή είναι η πράξη που ο Αλ-Χουαρίζμι περιέγραψε αρχικά ως αλ-τζαμπρ.

Βιβλιογραφία

• Hylton, Peter (22 Σεπτεμβρίου 2005). Propositions, Functions, and Analysis: Selected Essays on Russell's Philosophy. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-151596-5. 
• Hieke, Alexander· Leitgeb, Hannes (2 Μαΐου 2013). Reduction - Abstraction - Analysis: Proceedings of the 31th International Ludwig Wittgenstein-Symposium in Kirchberg, 2008. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-032887-5. 
• Zhang, Shizao (31 Ιουλίου 2023). The Pedagogy of Secondary-School Mathematics. Springer Nature. ISBN 978-981-99-1248-3. 
• Echeverria, Javier· Ibarra, Andoni (25 Οκτωβρίου 2012). The Space of Mathematics: Philosophical, Epistemological, and Historical Explorations. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-087029-9. 
• Hazewinkel, M. (1 Δεκεμβρίου 2013). Encyclopaedia of Mathematics: Monge—Ampère Equation — Rings and Algebras. Springer. ISBN 978-1-4899-3791-9. 
• Brown, James Robert (1999). Philosophy of Mathematics: An Introduction to the World of Proofs and Pictures. Psychology Press. ISBN 978-0-415-12274-0. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.

Το όνομα "άλγεβρα" προέρχεται από το "al-jabr" στον τίτλο του βιβλίου του.