Μονοειδές

Στην αφηρημένη άλγεβρα, ένα μονοειδές είναι ένα σύνολο εξοπλισμένο με μια αντιμεταθετική δυαδική πράξη και ένα ταυτοτικό στοιχείο. Παραδείγματος χάριν, οι μη αρνητικοί ακέραιοι με πρόσθεση σχηματίζουν ένα μονοειδές, με ταυτοτικό στοιχείο το 0.

Τα μονοειδή είναι ημιομάδες με ταυτοτικότητα. Τέτοιες αλγεβρικές δομές εμφανίζονται σε διάφορους κλάδους των μαθηματικών.

Οι συναρτήσεις από ένα σύνολο στο ίδιο το σύνολο σχηματίζουν ένα μονοειδές σε σχέση με τη σύνθεση συναρτήσεων. Γενικότερα, στην θεωρία κατηγοριών, οι μορφισμοί ενός αντικειμένου στο ίδιο το αντικείμενο σχηματίζουν ένα μονοειδές και, αντιστρόφως, ένα μονοειδές μπορεί να θεωρηθεί ως μια κατηγορία με ένα μόνο αντικείμενο.

Στην επιστήμη των υπολογιστών και στον προγραμματισμό υπολογιστών, το σύνολο των συμβολοσειρών που σχηματίζονται από ένα δεδομένο σύνολο χαρακτήρων είναι ένα ελεύθερο μονοειδές. Τα μονοειδή μετάβασης και τα συντακτικά μονοειδή χρησιμοποιούνται για την περιγραφή μηχανών πεπερασμένων καταστάσεων. Τα μονοειδή ιχνών και τα μονοειδή ιστορικού παρέχουν τη βάση για τους υπολογισμούς διεργασιών και τον παράλληλο υπολογισμό.

Στην θεωρητική επιστήμη των υπολογιστών, η μελέτη των μονοειδών είναι θεμελιώδης για τη θεωρία των αυτομάτων (θεωρία Κρον-Ρόουντς) και τη θεωρία των τυπικών γλωσσών (πρόβλημα ύψους αστεριού).

Δείτε ημιομάδα για την ιστορία του θέματος και μερικές άλλες γενικές ιδιότητες των μονοειδών.

Ιδιοτήτες

Πιο συγκεκριμένα, το ζεύγος $(X,\ast )$, όπου $\ast :X\times X\to X$ είναι μία δυαδική πράξη στο σύνολο $X$, καλείται μονοειδές, αν:

1. Η πράξη $\ast$ είναι προσεταιριστική.
2. Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο $e\in X$ για την πράξη $\ast$, δηλαδή

$x\ast e=e\ast x=x$, για κάθε $x\in X$.

Μεταθετικό μονοειδές

Το μονοειδές $(X,\ast )$ καλείται µεταθετικό µονοειδές, όταν η πράξη $\ast$ είναι μεταθετική.

Βιβιογραφία

• Fundamental Concepts of Algebra: Fundamental Concepts of Algebra. Academic Press. 1 Ιανουαρίου 1957. ISBN 978-0-08-087315-2. 
• Jüttler, Bert· Piene, Ragni (24 Δεκεμβρίου 2007). Geometric Modeling and Algebraic Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-72185-7. 
• Elements of Automata Theory. Cambridge University Press. 
• Abramsky, Samson· Gavoille, Cyril (30 Ιουνίου 2010). Automata, Languages and Programming: 37th International Colloquium, ICALP 2010, Bordeaux, France, July 6-10, 2010, Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-14161-4. 
• Manglik, Mr Rohit (24 Μαρτίου 2024). Advanced Discrete Mathematics. EduGorilla Publication. ISBN 978-93-6984-642-9. 
• Güntürkün, Sema· Snowden, Andrew (22 Ιουνίου 2023). The Representation Theory of the Increasing Monoid. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-6546-9. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.