Σώμα (άλγεβρα)

Στα μαθηματικά, ένα Σώμα (από το γαλλικό Corps) (το αγγλικό Field)^[1]^[2]^[3] είναι ένα σύνολο στο οποίο η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση ορίζονται και συμπεριφέρονται ως οι αντίστοιχες πράξεις σε ρητούς και πραγματικούς αριθμούς. Ένα σώμα είναι επομένως μια θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρησιμοποιείται ευρέως στην άλγεβρα, τη θεωρία αριθμών και σε πολλούς άλλους τομείς των μαθηματικών.

Τα πιο γνωστά σώματα είναι το σώμα των ρητών αριθμών, το σώμα των πραγματικών αριθμών και το σώμα των μιγαδικών αριθμών. Πολλά άλλα σώματα, όπως τα σώματα ρητών συναρτήσεων, τα σώματα αλγεβρικών συναρτήσεων, τα σώματα αλγεβρικών αριθμών και τα p-adic σώματα χρησιμοποιούνται και μελετώνται συνήθως στα μαθηματικά, ιδίως στη θεωρία αριθμών και την αλγεβρική γεωμετρία. Τα περισσότερα κρυπτογραφικά πρωτόκολλα βασίζονται σε πεπερασμένα σώματα, δηλαδή σώματα με πεπερασμένα πολλά στοιχεία.

Η θεωρία των σωμάτων αποδεικνύει ότι η τριχοτόμηση της γωνίας και ο τετραγωνισμός του κύκλου δεν μπορούν να γίνουν με πυξίδα και διαβήτη. Η Θεωρία Γκαλουά, η οποία είναι αφιερωμένη στην κατανόηση των συμμετριών των επεκτάσεων των πεδίων, παρέχει μια κομψή απόδειξη του θεωρήματος Άμπελ-Ράφινι ότι οι γενικές πενταγωνικές εξισώσεις δεν μπορούν να επιλυθούν με ρίζες.

Τα σώματα χρησιμεύουν ως θεμελιώδεις έννοιες σε διάφορους μαθηματικούς τομείς. Αυτό περιλαμβάνει διάφορους κλάδους της μαθηματικής ανάλυσης, οι οποίοι βασίζονται σε σώματα με πρόσθετη δομή. Βασικά θεωρήματα στην ανάλυση εξαρτώνται από τις δομικές ιδιότητες του σώματος των πραγματικών αριθμών. Το πιο σημαντικό για αλγεβρικούς σκοπούς, οποιοδήποτε σώμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως τα κλιμάκια για έναν διανυσματικό χώρο, ο οποίος αποτελεί το τυπικό γενικό πλαίσιο για τη γραμμική άλγεβρα. Τα σώµατα αριθµών, τα αδέρφια του σώµατος των ρητών αριθµών, µελετώνται σε βάθος στη θεωρία αριθµών. Τα σώματα συναρτήσεων μπορούν να βοηθήσουν στην περιγραφή ιδιοτήτων γεωμετρικών αντικειμένων.

Ιδιότητες

Ένα σύνολο $\mathbb {F}$ αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο δυαδικές πράξεις + και * ορισμένες στο $\mathbb {F}$ , οι οποίες απεικονίζουν 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F στα a+b και a*b, επίσης στοιχεία του F. Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

$(a+b)+c=a+(b+c)$
$\exists 0\in \mathbb {F}$ (υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει στο F), τέτοιο ώστε

$a+0=a,\forall a\in \mathbb {F}$ για κάθε $a$ που ανήκει στο $\mathbb {F}$ , και
$\forall a\in \mathbb {F} ,\exists b\in \mathbb {F} \ s.t.\ a+b=0$ (για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0).

$a+b=b+a$ Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο F
$(a*b)*c=a*(b*c)$
Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1.
$a*b=b*a$
$a*(b+c)=a*b+a*c$

Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το $\mathbb {Q}$ και το $\mathbb {R}$ και το σώμα των μιγαδικών αριθμών $\mathbb {C}$ . Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση. Το στοιχείο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ώστε για κάθε a να υπάρχει -a, τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού συμβολίζεται με $a^{-1}$ , τέτοιο ώστε, για κάθε a που ανήκει στο F, να υπάρχει $a^{-1}$ τέτοιο ώστε a* $a^{-1}$ =1.

Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b* ${\sqrt {2}}$ και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν.

Ένας δακτύλιος $(R,\circ ,+)$ καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής :

Ο δακτύλιος είναι μεταθετικός.
Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο $1_{R}\in R$ ώστε $r\circ 1_{R}=1_{R}\circ r=r$ για κάθε $r\in R$
Για κάθε $r\in R$ υπάρχει στοιχείο του $R$ το οποίο συμβολίζουμε με $r^{-1}$ τέτοιο ώστε $r\circ r^{-1}=r^{-1}\circ r=1_{R}$

Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb {R}$ , καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο.

Παραδείγματα

Ρητοί αριθμοί

Οι ρητοί αριθμοί χρησιμοποιούνταν ευρέως πολύ καιρό πριν από την επεξεργασία της έννοιας του σώματος. Είναι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσματα $a / b$ , όπου $a$ και $b$ είναι ακέραιοι αριθμοί και $b \neq 0$ . Το προσθετικό αντίστροφο ενός τέτοιου κλάσματος είναι $- a / b$ και το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο (υπό την προϋπόθεση ότι $a \neq 0$ ) είναι $b / a$ , το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως εξής:

{\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1.

Τα αφηρημένα απαιτούμενα αξιώματα πεδίου ανάγονται σε τυπικές ιδιότητες των ρητών αριθμών. Παραδείγματος χάριν, ο νόμος της διανεμητικότητας μπορεί να αποδειχθεί ως εξής:^[4]

{\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]={}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}.\end{aligned}}

Πραγματικοί και μιγαδικοί αριθμοί

Οι πραγματικοί αριθμοί $R$ , με τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, αποτελούν επίσης ένα σώμα. Οι μιγαδικοί αριθμοί $C$ αποτελούνται από εκφράσεις

a + bi,

με

a, b

πραγματικό,

όπου $i$ είναι η φανταστική μονάδα, δηλαδή ένας (μη πραγματικός) αριθμός που ικανοποιεί $i 2 = -1$ . Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των πραγματικών αριθμών ορίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε οι εκφράσεις αυτού του τύπου να ικανοποιούν όλα τα αξιώματα του πεδίου και συνεπώς να ισχύουν για το $C$ . Παραδείγματος χάριν, ο διανεμητικός νόμος επιβάλλει

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac - bd) + (bc + ad) i .

Είναι άμεσο ότι πρόκειται και πάλι για μια έκφραση του παραπάνω τύπου και έτσι οι μιγαδικοί αριθμοί αποτελούν ένα σώμα. Οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν γεωμετρικά ως σημεία στο επίπεδο, με καρτεσιανές συντεταγμένες που δίνονται από τους πραγματικούς αριθμούς της έκφρασης που τους περιγράφει, ή ως τα βέλη από την αρχή προς αυτά τα σημεία, που καθορίζονται από το μήκος τους και μια γωνία που περικλείεται από κάποια διακριτή κατεύθυνση. Η πρόσθεση αντιστοιχεί τότε στο συνδυασμό των βελών στο διαισθητικό παραλληλόγραμμο (πρόσθεση των καρτεσιανών συντεταγμένων), ενώ ο πολλαπλασιασμός είναι - λιγότερο διαισθητικά - ο συνδυασμός της περιστροφής και της κλιμάκωσης των βελών (πρόσθεση των γωνιών και πολλαπλασιασμός των μηκών). Τα σώματα των πραγματικών και των μιγαδικών αριθμών χρησιμοποιούνται σε όλα τα μαθηματικά, τη φυσική, τη μηχανική, τη στατιστική και σε πολλούς άλλους επιστημονικούς κλάδους.

Κατασκευάσιμοι αριθμοί

Κύριο άρθρο:Κατασκευάσιμος αριθμός

Στην αρχαιότητα, διάφορα γεωμετρικά προβλήματα αφορούσαν την (μη) δυνατότητα κατασκευής ορισμένων αριθμών με διαβήτη και χάρακα. Παραδείγματος χάριν, ήταν άγνωστο στους Έλληνες ότι είναι, γενικά, αδύνατο να τριχοτομήσουμε μια δεδομένη γωνία με αυτόν τον τρόπο. Τα προβλήματα αυτά μπορούν να επιλυθούν με τη χρήση του σώματος των κατασκευάσιμων αριθμών^[5]. Οι πραγματικοί κατασκευάσιμοι αριθμοί είναι, εξ ορισμού, τα μήκη των τμημάτων ευθείας που μπορούν να κατασκευαστούν από τα σημεία 0 και 1 σε πεπερασμένα βήματα χρησιμοποιώντας μόνο διαβήτη και χάρακα. Αυτοί οι αριθμοί, εφοδιασμένοι με τις πράξεις σώματος των πραγματικών αριθμών, που περιορίζονται στους κατασκευάσιμους αριθμούς, σχηματίζουν ένα σώμα, το οποίο περιλαμβάνει κατάλληλα το σώμα $Q$ των ρητών αριθμών. Η εικόνα δείχνει την κατασκευή των τετραγωνικών ριζών των κατασκευάσιμων αριθμών, που δεν περιέχονται απαραίτητα στο $Q$ . Χρησιμοποιώντας την επισήμανση της εικόνας, σχεδιάστε τα τμήματα $AB$ , $BD$ και ένα ημικύκλιο πάνω από το $AD$ (κέντρο στο μέσο σημείο $C$ ), το οποίο τέμνει την κάθετη ευθεία που διέρχεται από το $B$ σε ένα σημείο $F$ , σε απόσταση ακριβώς $h={\sqrt {p}}$ από το $B$ όταν το $BD$ έχει μήκος ένα.

Δεν είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί κατασκευάσιμοι. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο ${\sqrt[{3}]{2}}$ δεν είναι κατασκευάσιμος αριθμός, πράγμα που σημαίνει ότι είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε με διαβήτη και χάρακα το μήκος της πλευράς ενός κύβου με όγκο 2, ένα άλλο πρόβλημα που έθεσαν οι αρχαίοι Έλληνες.

Σώμα με τέσσερα στοιχεία

Πρόσθεση

Πολλαπλασιασμός

+	$O$	$I$	$A$	$B$
$O$	$O$	$I$	$A$	$B$
$I$	$I$	$O$	$B$	$A$
$A$	$A$	$B$	$O$	$I$
$B$	$B$	$A$	$I$	$O$

⋅	$O$	$I$	$A$	$B$
$O$	$O$	$O$	$O$	$O$
$I$	$O$	$I$	$A$	$B$
$A$	$O$	$A$	$B$	$I$
$B$	$O$	$B$	$I$	$A$

Εκτός από τα γνωστά αριθμητικά συστήματα, όπως οι ρητοί αριθμοί, υπάρχουν και άλλα, λιγότερο άμεσα παραδείγματα. Το ακόλουθο παράδειγμα αποτελείται από τέσσερα στοιχεία που ονομάζονται $O$ , $I$ , $A$ , και $B$ . Ο συμβολισμός έχει επιλεγεί έτσι ώστε το $O$ να παίζει το ρόλο του προσθετικού στοιχείου ταυτότητας (συμβολίζεται με 0 στα παραπάνω αξιώματα), και το $I$ είναι η πολλαπλασιαστική ταυτότητα (συμβολίζεται με $1$ στα παραπάνω αξιώματα). Τα αξιώματα σώματος μπορούν να επαληθευτούν με τη χρήση κάποιας άλλης θεωρίας σώματος ή με άμεσο υπολογισμό. Παραδείγματος χάριν,

A \cdot (B + A) = A \cdot I = A

, που ισούται με

A \cdot B + A \cdot A = I + B = A

, όπως απαιτεί η κατανεμητικότητα.

Το πεδίο αυτό ονομάζεται πεπερασμένο σώμα ή σώμα Γκαλουά με τέσσερα στοιχεία και συμβολίζεται $F 4$ ή $GF(4)$ .^[6] Το υποσύνολο που αποτελείται από $O$ και $I$ (επισημαίνεται με κόκκινο χρώμα στους πίνακες στα δεξιά) είναι επίσης ένα πεδίο, γνωστό ως δυαδικό σώμα $F 2$ ή $GF(2)$ .

Υπόσωμα

Έστω F σώμα. Ένα υποσύνολο του F, έστω Κ, ονομάζεται υπόσωμα του F αν ισχύουν τα εξης: α) το Κ είναι υποδακτύλιος του F β) για κάθε κ που ανήκει στο Κ\(0) υπάρχει κ^(-1) που ανήκει στο Κ

Δημοσιεύσεις

Adamson, I. T. (2007), Introduction to Field Theory, Dover Publications, ISBN 978-0-486-46266-0
Allenby, R. B. J. T. (1991), Rings, Fields and Groups, Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2
Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2 , especially Chapter 13
Artin, Emil; Schreier, Otto (1927), «Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5: 225–231, doi:10.1007/BF02952522, ISSN 0025-5858
Ax, James (1968), «The elementary theory of finite fields», Ann. of Math., 2 88 (2): 239–271, doi:10.2307/1970573
Baez, John C. (2002), «The octonions», Bulletin of the American Mathematical Society 39 (2): 145–205, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X
Banaschewski, Bernhard (1992), «Algebraic closure without choice.», Z. Math. Logik Grundlagen Math. 38 (4): 383–385, doi:10.1002/malq.19920380136, Zbl 0739.03027
Beachy, John. A; Blair, William D. (2006), Abstract Algebra (3 έκδοση), Waveland Press, ISBN 1-57766-443-4
Blyth, T. S.; Robertson, E. F. (1985), Groups, rings and fields: Algebra through practice, Cambridge University Press . See especially Book 3 ((ISBN 0-521-27288-2)) and Book 6 ((ISBN 0-521-27291-2)).
Borceux, Francis; Janelidze, George (2001), Galois theories, Cambridge University Press, ISBN 0-521-80309-8, Zbl 0978.12004
Bourbaki, Nicolas (1994), Elements of the history of mathematics, Springer, doi:10.1007/978-3-642-61693-8, ISBN 3-540-19376-6
Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra II. Chapters 4–7, Springer, ISBN 0-387-19375-8
Cassels, J. W. S. (1986), Local fields, London Mathematical Society Student Texts, 3, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139171885, ISBN 0-521-30484-9
Clark, A. (1984), Elements of Abstract Algebra, Dover Books on Mathematics Series, Dover, ISBN 978-0-486-64725-8, https://books.google.com/books?id=bj1kOY8gOfcC
Conway, John Horton (1976), On Numbers and Games, Academic Press
Corry, Leo (2004), Modern algebra and the rise of mathematical structures (2nd έκδοση), Birkhäuser, ISBN 3-7643-7002-5, Zbl 1044.01008
Dirichlet, Peter Gustav Lejeune (1871), Dedekind, Richard, επιμ., Vorlesungen über Zahlentheorie (Lectures on Number Theory), 1 (2nd έκδοση), Braunschweig, Germany: Friedrich Vieweg und Sohn, https://books.google.com/books?id=SRJTAAAAcAAJ&pg=PA424
Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, en:Graduate Texts in Mathematics, 150, New York: en:Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 0-387-94268-8
Escofier, J. P. (2012), Galois Theory, Springer, ISBN 978-1-4613-0191-2
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: en:Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Fricke, Robert; Weber, Heinrich Martin (1924), Lehrbuch der Algebra, Vieweg, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN234788267
Gouvêa, Fernando Q. (1997), p-adic numbers, Universitext (2nd έκδοση), Springer
Gouvêa, Fernando Q. (2012), A Guide to Groups, Rings, and Fields, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-355-9
Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Field», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/f040090
Hensel, Kurt (1904), «Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 128: 1–32, ISSN 0075-4102, https://eudml.org/doc/149187
Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), «Die Struktur der absoluten Galoisgruppe 𝔭-adischer Zahlkörper. [The structure of the absolute Galois group of 𝔭-adic number fields»], Invent. Math. 70 (1): 71–98, doi:10.1007/bf01393199, http://epub.uni-regensburg.de/26689/
Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, επιμ., A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4
Kiernan, B. Melvin (1971), «The development of Galois theory from Lagrange to Artin», Archive for History of Exact Sciences 8 (1–2): 40–154, doi:10.1007/BF00327219
Kuhlmann, Salma (2000), Ordered exponential fields, Fields Institute Monographs, 12, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0943-1
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (3rd έκδοση), Springer, doi:10.1007/978-1-4613-0041-0, ISBN 0-387-95385-X
Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (2008), Finite fields (2nd έκδοση), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-06567-2, Zbl 1139.11053
Lorenz, Falko (2008), Algebra, Volume II: Fields with Structures, Algebras and Advanced Topics, Springer, ISBN 978-0-387-72487-4
Marker, David; Messmer, Margit; Pillay, Anand (2006), Model theory of fields, Lecture Notes in Logic, 5 (2nd έκδοση), Association for Symbolic Logic, ISBN 978-1-56881-282-3, https://archive.org/details/modeltheoryoffie0000mark
McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon
Mines, Ray; Richman, Fred; Ruitenburg, Wim (1988), A course in constructive algebra, Universitext, Springer, doi:10.1007/978-1-4419-8640-5, ISBN 0-387-96640-4
Moore, E. Hastings (1893), «A doubly-infinite system of simple groups», Bulletin of the American Mathematical Society 3 (3): 73–78, doi:10.1090/S0002-9904-1893-00178-X
Prestel, Alexander (1984), Lectures on formally real fields, Lecture Notes in Mathematics, 1093, Springer, doi:10.1007/BFb0101548, ISBN 3-540-13885-4
Ribenboim, Paulo (1999), The theory of classical valuations, Springer Monographs in Mathematics, Springer, doi:10.1007/978-1-4612-0551-7, ISBN 0-387-98525-5
Scholze, Peter (2014), «Perfectoid spaces and their Applications», Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2014, Kyung Moon SA, ISBN 978-89-6105-804-9, http://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/ICM.pdf
Schoutens, Hans (2002), The Use of Ultraproducts in Commutative Algebra, Lecture Notes in Mathematics, 1999, Springer, ISBN 978-3-642-13367-1
Serre, Jean-Pierre (1996), A course in arithmetic. Translation of Cours d'arithmetique, Graduate Text in Mathematics, 7 (2nd έκδοση), Springer, ISBN 9780387900407, Zbl 0432.10001, https://archive.org/details/courseinarithmet00serr
Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, 67, Springer, ISBN 0-387-90424-7
Serre, Jean-Pierre (1992), Topics in Galois theory, Jones and Bartlett Publishers, ISBN 0-86720-210-6, Zbl 0746.12001
Serre, Jean-Pierre (2002), Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42192-4, Zbl 1004.12003
Sharpe, David (1987), Rings and factorization, Cambridge University Press, ISBN 0-521-33718-6, Zbl 0674.13008, https://archive.org/details/ringsfactorizati0000shar
Steinitz, Ernst (1910), «Algebraische Theorie der Körper», Journal für die reine und angewandte Mathematik 1910 (137): 167–309, doi:10.1515/crll.1910.137.167, ISSN 0075-4102, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002167042
Tits, Jacques (1957), «Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes», Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain, Paris: Librairie Gauthier-Villars, σελ. 261–289
van der Put, M.; Singer, M. F. (2003), Galois Theory of Linear Differential Equations, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 328, Springer, http://www4.ncsu.edu/~singer/papers/dbook2.ps
von Staudt, Karl Georg Christian (1857), Beiträge zur Geometrie der Lage (Contributions to the Geometry of Position), 2, Nürnberg (Germany): Bauer and Raspe, https://books.google.com/books?id=XwEHAAAAcAAJ&pg=PA127
Wallace, D. A. R. (1998), Groups, Rings, and Fields, SUMS, 151, Springer
Warner, Seth (1989), Topological fields, North-Holland, ISBN 0-444-87429-1, Zbl 0683.12014
Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2nd έκδοση), Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1934-7, ISBN 0-387-94762-0
Weber, Heinrich (1893), «Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie», Mathematische Annalen 43 (4): 521–549, doi:10.1007/BF01446451, ISSN 0025-5831, https://eudml.org/doc/157689

Παραπομπές

↑ Field (mathematics) - Saylor Academy
↑ «Field | mathematics | Britannica». www.britannica.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 21 Ιουνίου 2024.
↑ Roman, Steven (20 Δεκεμβρίου 2013). Field Theory. Springer. ISBN 978-1-4612-2516-4.
↑ Beachy & Blair (2006), p. 120, Ch. 3
↑ Artin (1991), Chapter 13.4
↑ Lidl & Niederreiter (2008), Example 1.62

[1] Field (mathematics) - Saylor Academy

[2] «Field | mathematics | Britannica». www.britannica.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 21 Ιουνίου 2024.

[3] Roman, Steven (20 Δεκεμβρίου 2013). Field Theory. Springer. ISBN 978-1-4612-2516-4.

[4] Beachy & Blair (2006), p. 120, Ch. 3

[5] Artin (1991), Chapter 13.4

[6] Lidl & Niederreiter (2008), Example 1.62

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]