Σώμα (άλγεβρα)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Σώμα (Άλγεβρα)
Ταξινόμηση
Dewey 512
MSC2010 16-XX

Σώμα (από το γαλλικό Corps) είναι ένα σύνολο F (από το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο δυαδικές πράξεις + και * ορισμένες στο F, οι οποίες απεικονίζουν 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F στα a+b και a*b, επίσης στοιχεία του F. Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

  1. (a+b)+c=a+(b+c)
  2. Υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει στο F τέτοιο ώστε
    1. a+0=a για κάθε a που ανήκει στο F, και
    2. Για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0.
  3. a+b=b+a Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο F
  4. (a*b)*c=a*(b*c)
  5. Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1.
  6. a*b=b*a
  7. a*(b+c)=a*b+a*c

Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το \mathbb{Q} και το \mathbb{R} και το σώμα των μιγαδικών αριθμών \mathbb{C}. Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση. Το στοιχείο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ώστε για κάθε a να υπάρχει -a, τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού συμβολίζεται με a^{-1} , τέτοιο ώστε, για κάθε a που ανήκει στο F, να υπάρχει a^{-1} τέτοιο ώστε a*a^{-1} =1.

Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b*\sqrt{2} και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν.

Ένας δακτύλιος (R,\circ,+) καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής :

  • Ο δακτύλιος είναι μεταθετικός.
  • Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο1_R \in R ώστε r\circ 1_R=1_R \circ r=r για κάθε r \in R
  • Για κάθε r \in R υπάρχει στοιχείο του  R το οποίο συμβολίζουμε με r^{-1} τέτοιο ώστε r \circ r^{-1}=r^{-1} \circ r =1_R

Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών \mathbb{R}, καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο.