Αντιμεταθετική ιδιότητα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Η εικόνα δείχνει ότι η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική πράξη.

Ως αντιμεταθετική ιδιότητα χαρακτηρίζουμε στα μαθηματικά, την ιδιότητα μιας πράξης μεταξύ δύο μελών, να έχει το ίδιο αποτέλεσμα ακόμα και αν ανταλλάξουμε τη σειρά των μελών μεταξύ τους. Αποτελεί βασική ιδιότητα πολλών δυαδικών πράξεων και πολλές μαθηματικές αποδείξεις στηρίζονται σε αυτήν. Εκτός από τη γνωστή χρήση της ιδιότητας π.χ.: "3 + 4 = 4 + 3" ή "2 x 5 = 5 x 2", χρησιμοποιείται επίσης και σε πιο περίπλοκες εφαρμογές. Η ονομασία αυτής είναι απαραίτητη καθώς υπάρχουν πράξεις, όπως η αφαίρεση και η διαίρεση στις οποίες δεν ισχύει ( π.χ.: 3 - 5 ≠ 5 - 3). Τέτοιου είδους πράξεις λέμε ότι δεν είναι αντιμεταθετικές ή ότι είναι μη-αντιμεταθετικές. Η ιδέα ότι απλές πράξεις όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των αριθμών, είναι αντιμεταθετικές προϋπήρχε για πολλά χρόνια χωρίς να της έχει δοθεί κάποιο όνομα μέχρι το 19ο αιώνα όταν τα μαθηματικά ξεκίνησαν να τυποποιούνται.

Χρήσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η αντιμεταθετική ιδιότητα συνδέεται με δυαδικές πράξεις και συναρτήσεις. Αν αυτή ισχύει για δύο στοιχεία σε μια συγκεκριμένη δυαδική πράξη τότε τα στοιχεία αυτά λέμε ότι αντιμετατίθενται ως προς τη πράξη αυτή.

Μαθηματικοί ορισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο όρος "αντιμεταθετικότητα" χρησιμοποιείται σε αρκετές σχετικές μεταξύ τους περιπτώσεις.

1.Μια δυαδική πράξη \ast σε ένα σύνολο S λέγεται αντιμεταθετική αν:

x \ast y = y \ast x \; \; \; \forall x,y\in \mathbb{R}

Μια πράξη η οποία δεν ικανοποιεί την παραπάνω πράξη καλείται μη-αντιμεταθετική.

2.Λέμε ότι το x αντιμετατίθεται με το y ως προς μια πράξη \ast αν:

x \ast y = y \ast x

3.Μία δυαδική συνάρτηση f:A\times A\rightarrow B ονομάζεται αντιμεταθετική αν:

f(x,y)=f(y,x)\; \; \; \forall x,y\in A

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αντιμεταθετικές πράξεις στην καθημερινότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Η διαδικασία που εκτελούμε για να βάλουμε κάλτσες μοιάζει με μία αντιμεταθετική πράξη, αφού δεν έχει σημασία ποια κάλτσα θα βάλουμε πρώτη. Σε κάθε περίπτωση το αποτέλεσμα (έχουμε φορέσει και τις δύο κάλτσες) είναι το ίδιο.
  • Η αντιμεταθετικότητα της πρόσθεσης παρατηρείται όταν αγοράζουμε κάτι με μετρητά. Ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία θα δώσουμε τα λεφτά, στο τέλος το άθροισμα θα είναι το ίδιο.
Η πρόσθεση διανυσμάτων είναι αντιμεταθετική πράξη αφού \vec{a}+ \vec{b}=\vec{b}+\vec{a}

Αντιμεταθετικές πράξεις στα μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δύο γνωστά παραδείγματα αντιμεταθετικών δυαδικών πράξεων είναι τα εξής:

y+z=z+y\; \; \; \forall y,z\in \mathbb{R}

Για παράδειγμα, 4 + 5 = 5 + 4, αφού και οι δύο εκφράσεις βγάζουν άθροισμα 9.

yz=zy\; \; \; \forall y,z\in \mathbb{R}

Για παράδειγμα, 3 x 5 = 5 x 3, αφού και οι δύο εκφράσεις βγάζουν 15.

Για παράδειγμα, η λογική ισοδυναμία p ↔ q είναι ίδια με την q ↔ p. Αυτή η συνάρτηση γράφεται και ως p αν-ν q ή p ≡ q ή Εpq.

Μη-αντιμεταθετικές πράξεις στην καθημερινότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Συνένωση (ή παράθεση), δηλαδή η πράξη με την οποία τοποθετούνται ακολουθίες χαρακτήρων μαζί, είναι μία μη-αντιμεταθετική πράξη. Για παράδειγμα,

EA+T=EAT\neq TEA=T+EA

  • Το πλύσιμο και το στέγνωμα των ρούχων μοιάζει με αντιμεταθετική πράξη, αφού είναι διαφορετικό αν πλύνεις πρώτα τα ρούχα και μετά τα στεγνώσεις από το να κάνεις την αντίστροφη διαδικασία.
  • Η περιστροφή ενός βιβλίου κατά 90° γύρω από έναν κάθετο άξονα και μετά κατά 90° γύρω από έναν οριζόντιο άξονα έχει διαφορετικό αποτέλεσμα από το να γίνουν οι περιστροφές με διαφορετική σειρά.
  • Οι περιστροφές του Κύβου το Ρούμπικ είναι μη-αντιμεταθετικές. Αυτό μπορεί να κατανοηθεί καλύτερα μελετώντας τη θεωρία των ομάδων.

Μη-αντιμεταθετικές πράξεις στα μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάποιες μη-αντιμεταθετικές δυαδικές πράξεις είναι οι εξής:

Για παράδειγμα, οι πίνακες αληθείας για τις f (A,B) = A Λ ¬B (A ΚΑΙ ΟΧΙ B) και f (B,A) = B Λ ¬A είναι οι εξής

A B f (A,B) f (B,A)
Ψ Ψ Ψ Ψ
Ψ Α Ψ Α
Α Ψ Α Ψ
Α Α Ψ Ψ
  • Ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι μη-αντιμεταθετική πράξη, αφού

\begin{bmatrix}
 0&2 \\ 
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 1& 1\\ 
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot 
\begin{bmatrix}
 0& 1\\ 
0 & 1
\end{bmatrix}
\neq 
\begin{bmatrix}
0 & 1\\ 
 0& 1
\end{bmatrix}
\cdot 
\begin{bmatrix}
1 & 1\\ 
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1\\ 
0 & 1
\end{bmatrix}

  • Ο πολλαπλασιασμός δύο διανυσμάτων τριών διαστάσεων είναι μη-αντιμεταθετική πράξη. π.χ.: b × a = −(a × b).

Ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο όρος έγινε γνωστός για πρώτη φορά όταν δημοσιεύθηκε το 1814 από το γαλλικό Τύπο.

Η ιδέα της αντιμεταθετικής ιδιότητας είναι αρκετά παλιά. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι γνώριζαν και χρησιμοποιούσαν την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού για να απλοποιήσουν τις πράξεις τους.[1][2] Επίσης στα Στοιχεία φαίνεται ότι ο Ευκλείδης έχει επίγνωση της αντιμεταθετικής ιδιότητας.[3] Οι πρώτες χρήσεις της αντιμεταθετικής ιδιότητας εμφανίζονται στα τέλη του 18ου αιώνα και αρχές του 19ου αιώνα, όταν οι μαθηματικοί ξεκίνησαν να ασχολούνται με τη θεωρία των συναρτήσεων. Σήμερα, η αντιμεταθετική ιδιότητα είναι γνωστή και βασική στους περισσότερους κλάδους των μαθηματικών.

Η πρώτη καταγραφή του όρου αντιμεταθετικότητα βρίσκεται στο βιογραφικό του Φρανσουά Σερβουά (François Servois) το 1814, ο οποίος χρησιμοποίησε τη λέξη αντιμεταθετική όταν περιέγραφε συναρτήσεις οι οποίες είχαν αυτό που τώρα λέγεται αντιμεταθετική ιδιότητα. Αυτή η σύνθετη λέξη αποτελείται από τη πρόθεση αντί, το χρονικό επίρρημα μετά και το ρήμα θέτω.

Προτασιακή λογική[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κανόνας της αντικατάστασης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην αληθο-συναρτησιακή προτασιακή λογική, η αντιμετάθεση ή η αντιμεταθετικότητα αναφέρεται σε δύο βασικούς κανόνες αντικατάστασης. Οι κανόνες αυτοί μας επιτρέπουν να αντιμεταθέσουμε προτασιακές μεταβλητές μέσα σε λογικές εκφράσεις με λογικές αποδείξεις. Οι κανόνες είναι οι εξής:

(P\vee Q)\Leftrightarrow \left ( Q\vee P \right )

και

(P\wedge  Q)\Leftrightarrow \left ( Q\wedge  P \right )

όπου "\Leftrightarrow" είναι ένα σύμβολο που σημαίνει "το ένα μέλος συνεπάγεται το άλλο."

Αληθο-συναρτησιακοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αντιμεταθετικότητα είναι μία ιδιότητα μερικών λογικών σχέσεων της αληθο-συναρτησιακής προτασιακής λογικής. Οι ακόλουθες λογικές ισοδυναμίες δείχνουν ότι η αντιμεταθετικότητα είναι μία ιδιότητα συγκεκριμένων συνδέσμων. Οι παρακάτω είναι αληθο-συναρτησιακές ταυτολογίες.

Αντιμεταθετικότητα της τομής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

(P\wedge Q) \leftrightarrow (Q\wedge P)

Αντιμεταθετικότητα της ένωσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

(P \vee  Q) \leftrightarrow (Q\vee  P)

Αντιμεταθετικότητα της συνεπαγωγής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

(P\rightarrow (Q\rightarrow R))\leftrightarrow (Q\rightarrow (P\rightarrow R))

Αντιμεταθετικότητα της ισοδυναμίας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

(P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)

Θεωρία συνόλων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στις ομάδες και στη θεωρία συνόλων, πολλές αλγεβρικές δομές ονομάζονται αντιμεταθετικές όταν ορισμένοι τελεστές ικανοποιούν την αντιμεταθετική ιδιότητα. Σε ανώτερους κλάδους των μαθηματικών, όπως η ανάλυση και η γραμμική άλγεβρα, η αντιμεταθετικότητα των γνωστών πράξεων (όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των πραγματικών και των μιγαδικών αριθμών) χρησιμοποιείται σε αποδείξεις.

Μαθηματικές δομές και αντιμεταθετικότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Προσεταιριστική ιδιότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Λήμμα: Προσεταιριστική ιδιότητα

Η προσεταιριστική ιδιότητα σχετίζεται άμεσα με την αντιμεταθετική. Σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα μιας έκφρασης που περιλαμβάνει δύο ή περισσότερες εμφανίσεις του ίδιου τελεστή, η σειρά που εκτελούνται οι πράξεις δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, αν και μόνον αν η σειρά των όρων δεν αλλάζει. Αντιθέτως, σύμφωνα με την αντιμεταθετική ιδιότητα η σειρά των όρων δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.

Οι περισσότερες αντιμεταθετικές πράξεις που συναντάμε είναι επίσης προσεταιριστικές. Ωστόσο, η αντιμεταθετική ιδιότητα δε συνεπάγεται την προσεταιριστική. Ένα παράδειγμα είναι η συνάρτηση

f(x,y)=\frac{x+y}{2}

η οποία είναι ξεκάθαρα αντιμεταθετική (εναλλάσσοντας το x με το y δεν επηρεάζεται το αποτέλεσμα) αλλά δεν είναι προσεταιριστική ( για παράδειγμα,

f(-4,f(0,+4))=-1f(f(-4,0),+4)=+1).

Συμμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το γράφημα δείχνει τη συμμετρία της προσθετικής συνάρτησης

Λήμμα: Συμμετρία

Πολλές μορφές συμμετρίας συνδέονται άμεσα με την αντιμεταθετικότητα. Όταν ένας αντιμεταθετικός τελεστής είναι γραμμένος σαν δυαδική συνάρτηση τότε η τελική συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς την ευθεία y = x. Για παράδειγμα, αν θέσουμε τη συνάρτσηση f να αναπαριστάνει την πρόσθεση (μία αντιμεταθετική πράξη) έτσι ώστε f(x,y) = x + y τότε η f είναι μία συμμετρική συνάρτηση, όπως φαίνεται και στην εικόνα.

Για τις σχέσεις, μια συμμετρική σχέση είναι ανάλογη μιας αντιμεταθετικής πράξης, έτσι ώστε αν μία σχέση R είναι συμμετρική, τότε aRb\Leftrightarrow bRa.

Μη-αντιμεταθετικοί τελεστές στη κβαντική μηχανική[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στη κβαντική μηχανική όπως διατυπώθηκε από τον Σρέντιγκερ (Schrödinger), οι φυσικές μεταβλητές εκφράζονται με γραμμικούς τελεστές όπως το x (πολλαπλασιασμός επί x) και το \frac{d}{dx}. Αυτοί οι τελεστές δεν αντιμετατίθενται όπως γίνεται αντιληπτό θεωρώντας την επίδραση των συνθέσεών τους x\frac{d}{dx} και \frac{d}{dx}x (που λέγονται και γινόμενα τελεστών) σε μία μονοδιάστατη κυματική συνάρτηση \psi (x):

x\frac{d}{dx}\psi =x{\psi }'\neq  \frac{d}{dx}x\psi =\psi +x{\psi }'

Σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας του Χάιζενμπεργκ (Heisenberg), αν δύο τελεστές που εκφράζουν ένα ζευγάρι μεταβλητών δεν αντιμετατίθενται, τότε οι μεταβλητές αυτές είναι μεταξύ τους συμπληρωματικές, που σημαίνει ότι δεν μπορούν να υπολογιστούν ταυτόχρονα ή με ακρίβεια. Για παράδειγμα, η θέση και η γραμμική ορμή στη x-διάσταση ενός σωματιδίου εκφράζονται με τους τελεστές x και -i\hbar\frac{\partial }{\partial x} (όπου \hbar είναι η σταθερά του Πλανκ). Είναι το ίδιο αν εξαιρέσουμε τη σταθερά -i\hbar, έτσι ώστε οι τελεστές να μην αντιμετατίθενται και τελικά η φυσική εξήγηση να είναι ότι η θέση και η γραμμική ορμή σε μια δοσμένη κατεύθυνση είναι συμπληρωματικές μεταξύ τους.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Lumpkin, p.11
  2. Gay and Shute, p.?
  3. O'Conner and Robertson, Real Numbers

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Άρθρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Άρθρο (στα αγγλικά) που περιγράφει τις δυνατότητες των αρχαίων πολιτισμών.
  • Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4
Μετάφραση (στα αγγλικά) και ερμηνεία του μαθηματικού παπύρου του Ριν (Πάπυρος 10057 του Βρετανικού Μουσείου).
Άρθρο (στα αγγλικά) αναφερόμενο στην ιστορία των πραγματικών αριθμών

Βιβλία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεωρία αφηρημένης άλγεβρας. Καλύπτει την αντιμεταθετικότητα σε ευρύτερο πλαίσιο. Χρησιμοποιεί την ιδιότητα σε όλο το βιβλίο.
  • Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic. Prentice Hall.
  • Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra, 6e. Boston, Mass.: Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.
Θεωρία γραμμικής άλγεβρας. Εξηγεί την αντιμεταθετικότητα στο κεφάλαιο 1, τη χρησιμοποιεί σε όλο το υπόλοιπο βιβλίο.
  • Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.
Θεωρία αφηρημένης άλγεβρας. Χρησιμοποιεί την αντιμεταθετική ιδιότητα σε όλο το βιβλίο.
  • Hurley, Patrick (1991). A Concise Introduction to Logic 4th edition. Wadsworth Publishing.

Διαδικτυακές πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Commutativity", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath.org., Accessed 8 August 2007.
Ορισμός αντιμεταθετικότητας και παραδείγματα αντιμεταθετικών πράξεων.
  • Weisstein, Eric W., "Commute", MathWorld., Accessed 8 August 2007.
Εξήγηση του όρου αντιμεταθέτω.
  • Yark. Examples of non-commutative operations atPlanetMath.org., Accessed 8 August 2007
Παραδείγματα που αποδεικνύουν ότι κάποιες πράξεις είναι μη-αντιμεταθετικές.
  • O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor history of real numbers, Accessed 8 August 2007
Άρθρο για ιστορία των πραγματικών αριθμών.
  • Cabillón, Julio and Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Accessed 22 November 2008
Σελίδα για τις πρώτες χρήσεις των μαθηματικών όρων.
  • O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor biography of François Servois, Accessed 8 August 2007
Βιογραφία του Francois Servois, ο οποίος χρησιμοποίησε πρώτος τον όρο.