Αβελιανή ομάδα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στα Μαθηματικά, μια αβελιανή ομάδααντιμεταθετική ομάδα) είναι μια ομάδα στην οποία πέραν από τις συνήθης ιδιότητες η πράξη της έχει και αυτή της αντιμεταθετικότητας, δηλαδή κάθε όρος της ομάδος μετατίθεται με τους υπόλοιπους. Οι αβελιανές ομάδες πήραν την ονομασία τους από τον Νορβηγό μαθηματικό Νιλς Χένρικ Άμπελ (Nils Henrik Abel) διότι ο Abel ήταν ο πρώτος που βρήκε ότι η μεταθετικότητα των στοιχείων μίας ομάδας ενός πολυωνύμου σχετίζεται με τον υπολογισμό των ριζών του. Η χρήση της λέξης «αβελιανή» έχει γίνει τόσο κοινή στα Μαθηματικά, ώστε καθιερώθηκε να γράφεται με μικρό «α».

Η έννοια των αβελιανών ομάδων είναι από τις πρώτες που εισάγονται στον τομέα της αφηρημένης άλγεβρας πάνω στην οποία βασίζονται βασικές έννοιες όπως τα ισουπόλοιπα (modules) , διανυσματικοί χώροι κ.α.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια αβελιανή ομάδα ειναι ενα σύνολο Α εφοδιασμένο με μια πράξη η οποία συνδιάζει δύο στοιχεία και δίνοντας μας ενα στοιχείο της ομάδος Με τις ιδιότητες της ομάδος (κλειστότητα,μεταθετικότητα,ύπαρξη αντιστρόφου στοιχείου ,ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου) μαζί με αυτή της μεταθετικότητας .Δηλαδή για καθε εχω .

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μαζί με την πρόσθεση. (R,+)
  • Κάθε κυκλική ομάδα G ειναι αβελιανή . γιατι αν x, y ανήκουν G, τοτε xy = aman = am + n = an + m = anam = yx. Οι ακέραιοι, Z, φτιάχνουν μια αβελιανή ομάδα με πράξη την προσθεση , συνεπώς είναι αβελιανή και ακέραιοι modulo ''n'', Z/nZ.
  • Κάθε δακτύλιος μαζί με την πρόσθεση.

ισχύει η ιδιότητα για κάθε .