Εξίσωση

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Εξίσωση στα μαθηματικά είναι ισότητα που συνδέει γνωστές ποσότητες με άγνωστες, τις οποίες θέλουμε να προσδιορίσουμε. Η εξίσωση λοιπόν είναι μια μαθηματική δήλωση που βεβαιώνει την ισότητα των δύο εκφράσεων. Στη σύγχρονη σημειογραφία, αυτό γράφεται τοποθετώντας εκφράσεις και στις δύο πλευρές από το σύμβολο ίσον, για παράδειγμα

x + 3 = 5\, βεβαιώνει ότι x+ 3 είναι ίσο με το 5. Το σύμβολο = επινοήθηκε από τον Ρόμπερτ Ρέκορντ (1512-1558), ο οποίος θεώρησε ότι τίποτα δεν μπορεί να είναι πιο ίσο από τις παράλληλες ευθείες γραμμές με το ίδιο μήκος.

Λύση μιας εξίσωσης με x αγνώστους είναι μία x-άδα (αριθμών, συναρτήσεων) που επαληθεύει την εξίσωση: αντικαθιστώντας τους άγνωστους στην εξίσωση με το αντίστοιχο στοιχείο της x-άδας, η ισότητα γίνεται αληθής. Μια εξίσωση που δεν έχει καμία λύση λέγεται αδύνατη. Μια εξίσωση που έχει άπειρες λύσεις λέγεται "ταυτότητα", για παράδειγμα: 0x=0, όπου για κάθε τιμή του x η εξίσωση αληθεύει.

Ειδικές περιπτώσεις εξισώσεων είναι οι πολυωνυμικές εξισώσεις, οι διαφορικές εξισώσεις, οι εξισώσεις διαφορών.

Γνωστοί και άγνωστοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι εξισώσεις συχνά εκφράζουν σχέσεις μεταξύ δοσμένων ποσοτήτων, τις γνωστές και τις ποσότητες που δεν έχουν προσδιοριστεί ακόμη, τις άγνωστες. Κατά σύμβαση, οι άγνωστοι δηλώνονται με γράμματα στο τέλος του αλφαβήτου, x,y,z,w,..., καθώς οι γνωστοί δηλώνονται με γράμματα στην αρχή του αλφαβήτου a,b,c,d,... Ο άγνωστος για τον οποίο η εξίσωση είναι αληθής ονομάζεται λύση ή ρίζα (μαθηματικά) της εξίσωσης. Σε μια σειρά ταυτόχρονων εξισώσεων, ή σύστημα εξισώσεων, οι πολλαπλές εξισώσεις δίνονται με πολλαπλούς αγνώστους. Μια λύση του συστήματος είναι η τοποθέτηση τιμών σε όλους τους αγνώστους έτσι ώστε όλες οι εξισώσεις να είναι αληθείς.

Τύποι των εξισώσεων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι εξισώσεις μπορούν να ταξινομηθούν σε σχέση με το είδος των διαδικασιών που συμπεριλαμβάνονται και τις ποσότητες. Σημαντικοί τύποι περιέχουν:

  • Μια αλγεβρική εξίσωση είναι μια εξίσωση που περιέχει μόνο αλγεβρικές εκφράσεις στους αγνώστους. Αυτές έχουν περαιτέρω ταξινομηθεί ανάλογα με τον βαθμό τους.
  • Μια γραμμική εξίσωση είναι αλγεβρική εξίσωση βαθμού ένα.
  • Μια πολυωνυμική συνάρτηση είναι μια εξίσωση στην οποία ένα πολυώνυμο ορίζεται ίσο με ένα άλλο πολυώνυμο.
  • Μια υπερβατική εξίσωση είναι μια εξίσωση που περιλαμβάνει μια υπερβατική λειτουργία ενός εκ των μεταβλητών της.
  • Μια λειτουργική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία οι άγνωστοι είναι λειτουργίες
  • Μια Διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που περιλαμβάνει παραγώγους.
  • Μια ολοκληρωτική εξίσωση είναι μια εξίσωση που περιλαμβάνει ολοκληρώματα.
  • Μια Διοφαντική εξίσωση είναι μια εξίσωση όπου οι άγνωστοι απαιτείται να είναι ακέραιοι.

Ταυτότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια χρήση των εξισώσεων είναι στις μαθηματικές ταυτότητες, οι ισχυρισμοί ότι είναι αληθείς ανεξάρτητα από την αξία των μεταβλητών που περιέχονται σε αυτές. Για παράδειγμα, για μια δεδομένη τιμή του x είναι αληθές ότι: x  (x-1) = x^2-x\,.. Ωστόσο, οι εξισώσεις μπορούν επίσης να είναι σωστές μόνο για ορισμένες τιμές των μεταβλητών. Σ' αυτή την περίπτωση, μπορούν να λυθούν για να βρεθούν οι τιμές που ικανοποιούν την εξίσωση. Για παράδειγμα, θεωρείστε το εξής:

x^2-x = 0\,..

Η εξίσωση είναι αληθής μόνο για δύο τιμές του x, οι λύσεις της εξίσωσης. Σ' αυτή την περίπτωση, οι λύσεις είναι x=0 και x=1.

Πολλοί μαθηματικοί χρησιμοποιούν τον όρο εξίσωση αποκλειστικά για τον δεύτερο τύπο, για να υποδηλώσουν μια ισότητα η οποία δεν είναι μια ταυτότητα. Η διάκριση μεταξύ των δύο εννοιών μπορεί να είναι λεπτή. Για παράδειγμα: (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 είναι μια ταυτότητα, καθώς η

(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1

είναι μια εξίσωση με λύσεις x=0 και x=1. Είτε μια δήλωση προορίζεται να είναι μια ταυτότητα είτε μια εξίσωση μπορεί συνήθως να προσδιοριστεί από το περιεχόμενό της. Σε μερικές περιπτώσεις, γίνεται μια διάκριση μεταξύ του συμβόλου της ισότητας (=) για μια εξίσωση και το σύμβολο για μια ταυτότητα. Γράμματα από την αρχή της αλφαβήτου όπως α, β, γ,..συχνά δηλώνουν σταθερές στο πλαίσιο της συζήτησης στο χέρι, ενώ τα γράμματα από το τέλος της αλφαβήτου, όπως χ, ψ,ζ που συνήθως κρατιούνται για τις μεταβλητές, μια σύμβαση που ξεκίνησε από τον Ρενέ Ντεκάρτ.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν μια εξίσωση στην άλγεβρα είναι γνωστή να είναι αληθής οι ακόλουθες πράξεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να παράγουν μια άλλη αληθής εξίσωση:

  1. Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να προστεθεί και στις δύο πλευρές.
  2. Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να αφαιρείται από τις δύο πλευρές.
  3. Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να πολλαπλασιάζεται και στις δύο πλευρές.
  4. Κάθε μη μηδενικός πραγματικός αριθμός μπορεί να διαιρέσει και τις δύο πλευρές.
  5. Κάποιες λειτουργίες μπορούν να εφαρμοστούν και στις δύο πλευρές. Πρέπει να δίνεται προσοχή για να επιβεβαιωθεί ότι η πράξη δεν προκαλεί ελλιπείς ή άσχετες λύσεις. Για παράδειγμα, η εξίσωση y*x=x έχει δύο λύσεις: y=1 και x=0. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με x απλοποιείται η εξίσωση σε y=1, αλλά χάνεται η δεύτερη λύση.

Οι αλγεβρικές ιδιότητες (1-4) υπονοούν ότι η ισότητα είναι μια σχέση συμβατότητας για ένα πεδίο, στην πραγματικότητα αυτή είναι ουσιαστικά η μόνη.

Το πιο γνωστό σύστημα αριθμών το οποίο επιτρέπει όλες αυτές τις διεργασίες είναι οι πραγματικοί αριθμοί, το οποίο είναι ένα παράδειγμα από ένα πεδίο. Ωστόσο, αν η εξίσωση βασιζόταν στους φυσικούς αριθμούς για παράδειγμα, μερικές από αυτές τις πράξεις (όπως η διαίρεση και η αφαίρεση) ίσως να μην είναι έγκυρη καθώς δεν επιτρέπονται αρνητικοί αριθμοί και μη ακέραιοι αριθμοί. Οι ακέραιοι είναι ένα παράδειγμα ενός αναπόσπαστου τομέα που δεν επιτρέπει διαιρέσεις καθώς χρειάζονται ξανά ακέραιοι αριθμοί. Ωστόσο, η αφαίρεση επιτρέπεται και είναι η αντίστροφη πράξη σ' αυτό το σύστημα.

Αν μια συνάρτηση δεν είναι αμφιμονότιμη εφαρμόζεται και στις δύο πλευρές από μια αληθής εξίσωση, τότε η προκύπτουσα εξίσωση θα είναι ακόμη αληθής, αλλά θα είναι λιγότερο χρήσιμη. Επομένως το ένα έχει επίπτωση, όχι μια ισοδυναμία, έτσι το σύνολο των λύσεων μπορεί να είναι μεγαλύτερο. Οι συναρτήσεις που παρουσιάζονται στις ιδιότητες (1), (2), και (4) είναι πάντα αμφιμονότιμες,όπως και η (3) αν δεν πολλαπλασιάζεται με το μηδέν. Μερικά γενικευμένα γινόμενα, όπως ένα τέλειο γινόμενο δεν είναι ποτέ αμφιμονότιμο.

Εξωτερικές συνδέσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Wiktionary logo
Το Βικιλεξικό έχει λήμμα που έχει σχέση με το λήμμα:
Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Equation της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).