Συνάρτηση

Οι αντιστοιχίσεις b), c) d) είναι συναρτήσεις. Η αντιστοίχιση a) δεν αποτελεί συνάρτηση διότι υπάρχει στοιχείο του συνόλου ορισμού που αντιστοιχίζεται σε δύο διαφορετικά στοιχεία του συνόλου τιμών.

Στα μαθηματικά, συνάρτηση (ή απεικόνιση) είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων, που καλούνται πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών, μέσω της οποίας κάθε ένα στοιχείο του πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο στοιχείο του πεδίου τιμών.

Ιστορικά η έννοια της συνάρτησης εισήχθη στα μαθηματικά από τον θεμελιωτή του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού Γερμανό μαθηματικό Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς το 1694.

Ο αυστηρός ορισμός της συνάρτησης ήρθε αργότερα με την ανάπτυξη της θεωρίας συνόλων. Μία συνάρτηση $f$ από το σύνολο $A$ στο σύνολο $B$ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου $f\subseteq A\times B$, δηλαδή ένα σύνολο από διατεταγμένα ζεύγη $(a,b)$ με $a\in A$ και $b\in B$, που ικανοποιεί την ιδιότητα της μονοτιμίας:

• (Ύπαρξη) Για κάθε $a\in A$, υπάρχει $b\in B$ ώστε $(a,b)\in f$, και
• (Μοναδικότητα) Για κάθε $a\in A$, αν $(a,b_{1})\in f$, και $(a,b_{2})\in f$, τότε $b_{1}=b_{2}$.

Για το σύνολο όλων των συναρτήσεων από το $A$ στο $B$, γράφουμε $A\to B$, και για την συνάρτηση $f$ συνήθως γράφουμε $f:A\to B$ (αντί για $f\in A\to B$).

Οι όροι συνάρτηση και απεικόνιση είναι συνώνυμοι. Ο πρώτος χρησιμοποιείται περισσότερο στα διακριτά μαθηματικά και τον απειροστικό λογισμό, ενώ ο δεύτερος στην γραμμική άλγεβρα.

Γενικά

Μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση είναι ο «τρόπος» ή «κανόνας» με τον οποίο αντιστοιχίζεται μία μοναδική τιμή της εξαρτημένης ποσότητας (σύνολο τιμών) σε κάθε τιμή της ανεξάρτητης ποσότητας (πεδίο ορισμού). Η έννοια της συνάρτησης εκφράζει τη διαισθητική ιδέα της ντετερμινιστικής εξάρτησης μιας ποσότητας από μια άλλη. Τούτο διότι εξορισμού απαγορεύεται η αντιστοίχιση μιας τιμής της ανεξάρτητης ποσότητας σε περισσότερες από μία τιμές της εξαρτημένης ποσότητας κατά τρόπο στοχαστικό ή τυχαίο, δηλαδή κατά τρόπο που δεν θα μπορούσαμε να γνωρίζουμε από πριν δεδομένο όρισμα σε ποια ακριβώς τιμή αντιστοιχεί. (Δηλαδή κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου τιμών).

Εισαγωγή και παραδείγματα

Παράδειγμα 1ο: Από σχήματα σε χρώματα

Μια συνάρτηση που τον συνδέει με οποιοδήποτε από τα τέσσερα χρωματιστά διαμορφώνει το χρώμα του

Για ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης, έστω $X$ το σύνολο που αποτελείται από τέσσερα σχήματα: ένα κόκκινο τρίγωνο, ένα κίτρινο ορθογώνιο, ένα πράσινο εξάγωνο και ένα κόκκινο τετράγωνο και έστω $Y$ το σύνολο που αποτελείται από πέντε χρώματα: κόκκινο, μπλε, πράσινο, ροζ και κίτρινο. Αντιστοιχώντας κάθε σχήμα στο χρώμα του ορίζει μια συνάρτηση από το $A$ στο $Y$: κάθε σχήμα αντιστοιχείται σε ένα χρώμα (δηλαδή, ένα στοιχείο στο $Y$), και κάθε σχήμα είναι αντιστοιχείται, σε ακριβώς ένα χρώμα. Με άλλα λόγια δεν υπάρχει σχήμα που δεν έχει χρώματος και ούτε κάποιο σχήμα που έχει δύο ή περισσότερα χρώματα. Στο εξής θα αναφέρουμε αυτή την συνάρτηση ως "συνάρτηση χρώματος σχήματος".

Η είσοδος σε μια συνάρτηση ονομάζεται όρισμα και η έξοδος ονομάζεται τιμή. Το σύνολο όλων των επιτρεπόμενων ορισμάτων σε μια συγκεκριμένη συνάρτηση ονομάζεται πεδίο ορισμού,ενώ το σύνολο των επιτρεπόμενων εξόδων ονομάζεται σύνολο τιμών. Έτσι, το σύνολο ορισμού του "συνάρτηση χρώματος σχήματος" είναι το σύνολο των τεσσάρων σχημάτων, και το συνόλου τιμών αποτελείται από τα πέντε χρώματα.Η έννοια της συνάρτησης δεν απαιτεί ότι κάθε πιθανή έξοδος είναι η τιμή κάποιου ορίσματος, π.χ. το μπλε χρώμα δεν είναι το χρώμα κανενός από τα τέσσερα σχήματα στο Χ.

Παράδειγμα 2ο: Από χώρες σε πρωτεύουσες

Ένα δεύτερο παράδειγμα είναι η αντιστοίχιση των χωρών στις πρωτεύουσές τους, π.χ. η Ελλάδα αντιστοιχείται στην Αθήνα, η Αγγλία στο Λονδίνο, κ.ο.κ. Σε αυτή την περίπτωση το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των χωρών $A=\{$Ελλάδα, Αγγλία, Γαλλία,$\ldots \}$ και σύνολο τιμών είναι το σύνολο των πόλεων $B=\{$Αθήνα, Λονδίνο, Παρίσι,$\ldots \}$. Με όρους θεωρίας συνόλων η συνάρτηση είναι το εξής σύνολο

$f=\{$(Ελλάδα, ΑΘήνα), (Αγγλία, Λονδίνο), (Γαλλία, Παρίσι)$,\ldots \}$.

Παράδειγμα 3ο: Από πολύγωνα στο πλήθος των κορυφών τους

Ένα άλλο παράδειγμα μιας συνάρτησης έχει το σύνολο των πολυγώνων ως σύνολο ορισμού και το σύνολο των φυσικών αριθμών ως σύνολο τιμών. Η συνάρτηση συσχετίζει ένα πολύγωνο με τον αριθμό των κορυφών του. Για παράδειγμα, ένα τρίγωνο συνδέεται με τον αριθμό 3, ένα τετράγωνο με τον αριθμό 4, και ούτω καθεξής.

Παράδειγμα 4ο: Από τους φυσικούς στους ακεραίους

Θεωρούμε το πεδίο ορισμού να είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ και το πεδίο τιμών να είναι το σύνολο των ακεραίων $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}$.

• Ορίζουμε την συνάρτηση $f_{1}:\mathbb {N} \to \mathbb {Z}$ που αντιστοιχεί έναν φυσικό αριθμό $n$ με τον ακέραιο αριθμό $4-n$, δηλαδή $f(n)=4-n$. Επομένως,

$f_{1}=\{(0,-4),(1,-5),(2,-6),(3,-7),(4,-8),\ldots \}$.

• Ορίζουμε επίσης την συνάρτηση $f_{2}:\mathbb {N} \to \mathbb {Z}$ που αντιστοιχεί έναν ζυγό φυσικό αριθμό $n$ με τον ακέραιο αριθμό $n/2$ και έναν μονό αριθμό $n$ με τον ακέραιο $(n+1)/2$. Επομένως,

$f_{2}=\{(0,0),(1,-1),(2,+1),(3,-2),(4,+2),\ldots \}$.

Συμβολισμός

Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $A$ και σύνολο τιμών το $B$ συνήθως συμβολίζεται με

$f\colon A\rightarrow B$

ή

$A{\stackrel {f}{\rightarrow }}B.$

Τα στοιχεία του $X$ ονομάζονται ορίσματα της $f$. Για κάθε όρισμα $x$, το αντίστοιχο μοναδικό $y$ του συνόλου τιμών ονομάζεται η τιμή του $x$ ή η εικόνα του $x$ ως προς την $f$. Γράφεται ως $f(x)$ και λέμε ότι η $f$ αντιστοιχεί το $y$ με το $x$ ή στέλνει το $x$ στο $y$. Με σύμβολα αυτό γράφεται ως

$y=f(x)$.

Συνήθη γράμματα που χρησιμοποιούνται για να συμβολίσουν συναρτήσεις είναι το $f,g,h$. Ειδικές συναρτήσεις έχουν ονομασίες, όπως είναι για παράδειγμα η συνάρτηση προσήμου που συμβολίζεται με $\operatorname {sgn}$. Για τον πραγματικό αριθμό $x$, η εικόνα του ως προς τη συνάρτηση προσήμου γράφεται ως $\operatorname {sgn} (x)$. Εδώ, το όρισμα συμβολίζεται με το σύμβολο $x$, αλλά διαφορετικά σύμβολα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε άλλα πλαίσια. Για παράδειγμα, στη φυσική, η ταχύτητα κάποιου σώματος, αναλόγως του χρόνου, συμβολίζεται με $v(t)$. Οι παρενθέσεις γύρω από το όρισμα μπορούν να παραλειφθούν όταν υπάρχει μικρή πιθανότητα σύγχυσης, όπως για παράδειγμα $\sin x$.

Μία συνάρτηση μπορεί να οριστεί με τον συμβολισμό $\mapsto$ (ένα βέλος με μια μπάρα στην ουρά του). Για παράδειγμα, η παραπάνω συνάρτηση διαβάζει

${\begin{aligned}f_{1}\colon \mathbb {N} &\to \mathbb {Z} \\n&\mapsto 4-n.\end{aligned}}$

Το πρώτο μέρος μπορεί να διαβαστεί ως εξής:

• "Η $f$ είναι μια συνάρτηση από το σύνολο των φυσικών αριθμών $\mathbb {N}$ στο σύνολο των ακεραίων $\mathbb {Z}$".

Το δεύτερο μέρος μπορεί να διαβαστεί ως εξής:

• "το $x$ αντιστοιχεί στο $4-n$."

Με άλλα λόγια, η συνάρτηση αυτή έχει τους φυσικούς αριθμούς ως πεδίο ορισμού και τους ακεραίους ως πεδίο τιμών. Για να είμαστε ακριβείς, η αντιστοίχιση $n\mapsto 4-n$ έχει νόημα μόνο όταν δώσουμε το πεδίο ορισμού. Δηλαδή, η συνάρτηση

${\begin{aligned}g\colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\n&\mapsto 4-n.\end{aligned}}$

(με διαφορετικό πεδίο ορισμού) δεν θεωρείται η ίδια συνάρτηση, παρόλο που η αντιστοίχιση που ορίζουν οι $f$ και $g$ συμφωνούν. Παρ 'όλα αυτά, πολλοί συγγραφείς παραλείπουν τον καθορισμό του συνόλου ορισμού και του συνόλου τιμών, ειδικά αν αυτά είναι σαφή από τα συμφραζόμενα. Έτσι, σε αυτό το παράδειγμα, πολλοί απλά γράφουν $f(n)=4-n$. Μερικές φορές, το μέγιστο δυνατό πεδίο ορισμού είναι επίσης κατανοητό έμμεσα: ένας τύπος όπως ο ${\textstyle f(x)={\sqrt {x^{2}-5x+6}}}$ μπορεί να σημαίνει ότι το πεδίο ορισμού της $f$ το σύνολο των πραγματικών αριθμών $x$ όπου η τετραγωνική ρίζα ορίζεται, που σε αυτή την περίπτωση είναι $(-\infty ,2]\cup [3,\infty )$.

Μερικές φορές, για να οριστεί μια συνάρτηση, αντί να χρησιμοποιηθεί κάποια μεταβλητή χρησιμοποιείται μια τελεία. Για παράδειγμα, ο τύπος ${\textstyle a(\cdot )^{2}}$ συμβολίζει τη συνάρτηση ${\textstyle x\mapsto ax^{2}}$, ο τύπος ${\textstyle \int _{a}^{\,\cdot }f(u)\,du}$ συμβολίζει το ολοκλήρωμα της συνάρτησης ${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)du}$, κι ούτω καθεξής.

Ορολογία

Γραφική παράσταση της συνάρτησης
${\begin{aligned}&\textstyle f(x)={\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}$
στο διάστημα ορισμού [-1,1.5] του $\mathbb {R}$ και με πεδίο τιμών επίσης στο [-1,1.5] του $\mathbb {R}$.

Έστω $A$ και $B$ είναι δύο σύνολα και $f:A\to B$ μια συνάρτηση από το $A$ στο $B$, το $A$ λέγεται πεδίο ορισμού και το $B$ πεδίο τιμών. Κάθε στοιχείο $a$ του $A$ λέγεται όρισμα της $f$ και το στοιχείο $b$ του $B$ στο οποίο αντιστοιχίζεται το $a$ λέγεται τιμή ή εικόνα του $a$ μέσω της $f$, και γράφουμε $b=f(a)$.

Σύμφωνα με τον προηγούμενο ορισμό, για να είναι η $f$ συνάρτηση, ισχύει ότι αν $f(a)\neq f(a')$ τότε $a\neq a'$. Δηλαδή δυο τιμές που είναι διαφορετικές να μην αντιστοιχούν παρά σε διαφορετικά ορίσματα.

Το τυχαίο στοιχείο του συνόλου $A$, δηλαδή του πεδίου ορισμού, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης. Ενώ το τυχαίο στοιχείο του συνόλου $B$, δηλαδή του συνόλου τιμών, ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή της συνάρτησης. Θα μπορούσε να ειπωθεί ότι οι δύο όροι δηλώνουν τη διαισθητική σχέση αιτιότητας μεταξύ των δύο μεταβλητών. Η ανεξάρτητη μεταβλητή λαμβάνει τιμή αυθαίρετα, ενώ η εξαρτημένη μεταβλητή λαμβάνει την τιμή της πάντα σε σχέση με την ίδια τη συνάρτηση και την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Το γράφημα της συνάρτησης $f:A\to B$ είναι το σύνολο που αποτελείται από τα διατεταγμένα ζεύγη της αντιστοίχισης

$G(f)=\{(a,b)\in A\times B:b=f(a)\}$.

Για συναρτήσεις ορισμένες στους πραγματικούς αριθμούς το γράφημα ή αλλιώς γραφική παράσταση είναι η απεικόνιση αυτών των ζευγαριών στο καρτεσιανό επίπεδο, όπου κάθε ζευγάρι ορίσματος-τιμής είναι ένα σημείο της γραφικής παράστασης και το σύνολο των σημείων σχηματίζουν την καμπύλη της γραφικής παράστασης.

Η αντίστροφη σχέση $f^{-1}$ της συνάρτησης $f$ είναι η αντιστοίχιση από το $B$ στο $A$, που ορίζεται ως εξής:

$f^{-1}(b)=a$ αν και μόνο αν $f(a)=b$.

Η αντίστροφη σχέση μιας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε συνάρτηση, μιας και δεν ικανοποιεί απαραίτητα την ιδιότητα της μονοτιμίας: ένα στοιχείο $b$ μπορεί να είναι τιμή δύο διαφορετικών ορισμάτων $a$ και $a'$ της $f$. Στην περίπτωση πάντως που την ικανοποιεί, η $f$ λέγεται αντιστρέψιμη και η $f^{-1}$ αντίστροφη συνάρτηση της $f$.

Ορισμοί

Θεωρία συνόλων

Στα πλαίσια της θεωρίας συνόλων η συνάρτηση ορίζεται από το γράφημά της. Συγκεκριμένα, μια συνάρτηση $f:A\to B$ θεωρείται ως σχέση μεταξύ των $A$ και $B$, δηλαδή ως ένα υποσύνολο του Καρτεσιανού γινομένου $f\subseteq A\times B$ η οποία υπακούει στο αξίωμα της μονοτιμίας, που εδώ παίρνει την εξής μορφή:

Για κάθε $a\in A,b\in B$ με $(a,b)\in f$ και $(a,b')\in f$ ισχύει ότι $b=b'$.

Μαθηματική λογική

Από την άποψη της μαθηματικής λογικής, η έννοια της συνάρτησης εκφράζεται με βάση μια τυπική γλώσσα ως ένα σύμβολο $f$ βαθμού 2, το οποίο πάλι υπακούει στο αξίωμα μονοτιμίας:

Για κάθε $a\in A,b\in B$ με $f(a)=b$ και $f(a)=b'$ ισχύει ότι $b=b'$.

Λογισμός λ

Στα πλαίσια του λογισμού λ, η έννοια της συνάρτησης εκφράζεται με βάση μία τυπική γλώσσα ως λογικός όρος $t$, ο οποίος μπορεί αξιωματικά να

• εφαρμόζεται σε άλλον όρο $s$, ο οποίος συμπεριφέρεται ως όρισμα, με αποτέλεσμα η σύνταξη $t\ s$ να ανάγεται (β-αναγωγή) σε έναν νέο όρο που μαθηματικά είναι η τιμή του $t(s)$
• μετατρέπεται σε συνάρτηση ως προς κάποια του μεταβλητή $x$, με αποτέλεσμα έναν νέο όρο $\lambda x.t$, ο οποίος συμπεριφέρεται ως γενικός κανόνας αντιστοίχισης μέσα από τον κανόνα της αντικατάστασης:

$(\lambda x.t)(s)=t[x:=s]$.

Η συνηθισμένη διαισθητική ερμηνεία των παραπάνω είναι ότι «η ανεξάρτητη μεταβλητή $x$ αντιστοιχίζεται στην εξαρτημένη μεταβλητή $t(x)$, ώστε αν εφαρμοστεί σε όρισμα $s$, τότε θα προκύψει η τιμή $t(s)$».

Είδη συναρτήσεων

• Μία συνάρτηση $f:A\to B$ λέγεται ένα προς ένα (1-1) ή αμφιμονότιμη όταν αντιστοιχίζει κάθε όρισμα σε αποκλειστικά μία τιμή, δηλαδή όταν διαφορετικά ορίσματα απεικονίζονται σε διαφορετικές τιμές. Δηλαδή,

για κάθε $a_{1},a_{2}\in A$ αν $a_{1}\neq a_{2}$ τότε $f(a_{1})\neq f(a_{2})$.

• Μία συνάρτηση $f:A\to B$ λέγεται επί (με την έννοια: «το $A$ απεικονίζεται μέσω της $f$ επί του $B$, πάνω στο $B$») ή επιρριπτική όταν δεν υπάρχει στοιχείο στο $B$ που να μην είναι η εικόνα κάποιου στοιχείου στο $A$. Δηλαδή,

για κάθε $b\in B$ υπάρχει $a\in A$ ώστε $b=f(a)$.

• Μία συνάρτηση $f:A\to B$ λέγεται αμφιμονοσήμαντη αν είναι ένα προς ένα και επί.

Παράδειγμα συνάρτησης που είναι αμφιμονότιμης.

Παράδειγμα συνάρτησης που είναι επιρριπτική.

Παράδειγμα συνάρτησης που είναι αμφιμονοσήμαντη.

Παραδείγματα

• Η παραπάνω συνάρτηση για τα χρώματα των σχημάτων δεν είναι αμφιμονότιμη αφού δύο διαφορετικά σχήματα (το κόκκινο τρίγωνο και το κόκκινο ορθογώνιο) έχουν την ίδια τιμή. Επιπλέον, δεν είναι επί, δεδομένου ότι το σύνολο τιμών περιέχει μόνο τρία, αλλά όχι και τα πέντε χρώματα του πεδίου τιμών.
• Η συνάρτηση από τις χώρες στις πόλεις είναι ένα προς ένα, αφού δεν υπάρχουν δύο χώρες με την ίδια πρωτεύουσα. Επιπλέον είναι επί, γιατί ορίσαμε το πεδίο τιμών να είναι ίσο με το πεδίο τιμών. Άρα είναι αμφιμονοσήμαντη.
• Συνάρτηση για τα πολύγωνα δεν είναι ένα προς ένα, καθώς υπάρχουν πολύγωνα με το ίδιο πλήθος κορυφών που δεν είναι ίδια (π.χ. ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα σκαληνό τρίγωνο).
• Η συνάρτηση $f_{1}$ είναι ένα προς ένα, αλλά όχι επί. Η συνάρτηση $f_{2}$ είναι ένα προς ένα και επί (δηλαδή αμφιμονοσήμαντη).

Καθορισμός συνάρτησης

Ορισμός συνάρτησης πρωτευουσών

Χώρα	Πρωτεύουσα
Ελλάδα	Αθήνα
Αγγλία	Λονδίνο
Γαλλία	Παρίσι
Ισπανία	Μαδρίτη
...	..

Μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί σχετίζοντας το κάθε όρισμα (τιμή εισόδου) σε μία τιμή εξόδου. Εάν το σύνολο ορισμού είναι πεπερασμένο, μια συνάρτηση $f$ μπορεί να είναι μία απλή απαρίθμηση (ή πίνακας) με όλα τα ορίσματα $x$ και την αντίστοιχη τιμή τους $f(x)$. Συνηθέστερα, μια συνάρτηση ορίζεται από έναν μαθηματικό τύπο, ή (γενικότερα) από έναν αλγόριθμο - μια διαδικασία από βήματα που λέει πώς να υπολογιστεί η τιμή του $f(x)$ για κάθε $x$ στο πεδίο ορισμού της.

Υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι να οριστεί μία συνάρτηση. Παραδείγματα περιλαμβάνουν τμηματικούς ορισμούς, μαθηματική επαγωγή ή αναδρομή, αλγεβρική ή αναλυτική συνάρτηση, όρια, αναλυτική συνέχεια, άπειρες σειρές, και λύσεις σε ολοκληρωτικές και διαφορικές εξισώσεις. Ο λογισμός λάμδα παρέχει μια ισχυρή και ευέλικτη σύνταξη για τον καθορισμό και το συνδυασμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Σε προχωρημένα μαθηματικά, ορισμένες συναρτήσεις δεν ορίζονται με κατασκευή αλλά η ύπαρξη τους αιτιολογείται μέσω κάποιου αξιώματος, όπως το αξίωμα της επιλογής.

Γραφική παράσταση

Γραφική παράσταση της $f(x)=x^{2}$.

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών $f$. Αυτό είναι μια αφαίρεση της ιδέας ενός γραφήματος, σαν μια εικόνα που δείχνει τη συνάρτηση να απεικονίζεται σε ένα ζεύγος αξόνων συντεταγμένων. Για παράδειγμα, το σημείο $(3,9)$ έχει τετμημένη $3$ και τεταγμένη $9$, και βρίσκεται πάνω στη γραφική παράσταση της $y=x^{2}$.

Τύποι και αλγόριθμοι

Διαφορετικοί τύποι ή αλγόριθμοι μπορεί να περιγράψουν την ίδια συνάρτηση.Για παράδειγμα, $f(x)=(x+1)(x-1)$ είναι ακριβώς η ίδια συνάρτηση με την $f(x)=x^{2}-1$, όταν το πεδίο ορισμού είναι οι πραγματικοί αριθμοί.. Επιπλέον, η συνάρτηση δεν χρειάζεται να περιγράφεται από έναν τύπο, έκφραση, ή αλγόριθμο, ούτε απαιτείται να ασχολείται με τους αριθμούς. Το πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών μιας συνάρτησης μπορεί να είναι αυθαίρετα σύνολα.

Ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης που ενεργεί για μη αριθμητικές εισόδους παίρνει ελληνικές λέξεις ως τιμή εισόδου, και επιστρέφει το πρώτο και το τελευταίο γράμμα της λέξης ως τιμή εξόδου.

// Συνάρτηση που ορίζεται μέσω ενός αλγορίθμου που επιστρέφει το πρώτο και το 
// τελευταίο γράμμα μίας λέξης.
// Για παράδειγμα,
//    "μά" = ΠρώτοΚαιΤελευταίοΓράμμα("μαθηματικά")
//    "σο" = ΠρώτοΚαιΤελευταίοΓράμμα("σύνολο")
string ΠρώτοΚαιΤελευταίοΓράμμα(string s) {
  return s[0] + s[s.size() - 1];
}

Άλλο παράδειγμα είναι η συνάρτηση για το παραγοντικό που ορίζεται στους φυσικούς αριθμούς και δίνει έναν φυσικό αριθμό. Ορίζεται ως το γινόμενο $1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n$ αν $n>0$ και $1$ αν $n=0$. Συνήθως, συμβολίζεται με το θαυμαστικό (που απεικονίζει το σύμβολο της συνάρτησης) μετά τη μεταβλητή, δηλαδή $n!$. Είναι ένα κλασσικό παράδειγμα συνάρτησης που μπορεί να οριστεί αναδρομικά ως $n!=n\cdot (n-1)!$ για $n\geq 1$ και με $0!=1$. Παρακάτω δίνονται τρεις ισοδύναμοι τρόποι να οριστεί η συνάρτηση του παραγοντικού.

Τμηματικός ορισμός:

$n!={\begin{cases}1&{\text{αν }}n=0\\n\cdot (n-1)!&{\text{αν }}n>0.\end{cases}}$

Αναδρομικός ορισμός:

int Παραγοντικό(int n) {
  if (n == 0) retun 1;
  else return n * Παραγοντικό(n-1);
}

Γραμμικός ορισμός:

int Παραγοντικό(int n) {
  int ans = 1;
  for (i = 1 to n) {
    ans = ans * i;
  }
  return ans;
}

Υπολογισιμότητα

Συναρτήσεις που στέλνουν ακέραιους αριθμούς σε ακέραιους αριθμούς, ή πεπερασμένο συμβολοσειρές σε πεπερασμένες συμβολοσειρές (όπως η συνάρτηση για τις ελληνικές λέξεις που είδαμε παραπάνω), μπορεί μερικές φορές να ορίζονται από έναν αλγόριθμο, που δίνει μια ακριβή περιγραφή μιας σειράς βημάτων για τον υπολογισμό της εξόδου της συνάρτησης από την είσοδο του. Οι συναρτήσεις που προσδιορίζονται από έναν αλγόριθμο ονομάζονται υπολογίσιμες συναρτήσεις. Για παράδειγμα, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη δίνει μία διαδικασία για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο θετικών ακεραίων. Πολλές από τις συναρτήσεις που μελετήθηκαν στο πλαίσιο της Θεωρίας Αριθμών είναι υπολογίσιμες.

Θεμελιώδη αποτελέσματα της θεωρίας υπολογισιμότητας δείχνουν ότι υπάρχουν συναρτήσεις που μπορούν να προσδιοριστούν επακριβώς, αλλά δεν είναι υπολογίσιμες. Από το θεώρημα του Καντόρ, σχεδόν όλες οι συναρτήσεις από τους ακέραιους αριθμούς σε ακέραιους δεν είναι υπολογίσιμες. Το πλήθος των υπολογίσιμων συναρτήσεων από ακέραιους αριθμούς σε ακέραιους αριθμούς είναι αριθμήσιμο, επειδή ο αριθμός των πιθανών αλγορίθμων είναι. Το πλήθος όλων των συναρτήσεων από ακέραιους σε ακέραιους είναι υψηλότερος, και το ίδιο συμβαίνει και με το πλήθος των πραγματικών αριθμών. Έτσι, οι περισσότερες συναρτήσεις από ακέραιους αριθμούς σε ακέραιους αριθμούς δεν είναι υπολογίσιμες. Συγκεκριμένα παραδείγματα μη υπολογίσιμων συναρτήσεων είναι γνωστά, συμπεριλαμβανομένου της Busy beaver και των συναρτήσεων που σχετίζονται με το πρόβλημα τερματισμού και άλλα μη αποφασίσιμα προβλήματα.

Πράξεις μεταξύ συναρτήσεων

Ισότητα

Δύο συναρτήσεις $f:A\to B$ και $g:C\to D$ είναι ίσες αν

$A=C$ και για κάθε $a\in A$ ισχύει ότι $f(a)=g(a)$.

Αυτός ο ορισμός συμφωνεί και τον συνολοθεωρητικό ορισμό ότι δύο συναρτήσεις είναι ίσες όταν τα γραφήματά τους ταυτίζονται (ως σύνολα).

Παραδείγματα

• Η συνάρτηση $f:\mathbb {N} \setminus \{0\}\to \mathbb {R}$ με $f(x)=x+1$ και η συνάρτηση $g:\mathbb {N} \setminus \{0\}\to \mathbb {R}$ με $g(x)=x+x/x$ είναι ίσες.
• Η συνάρτηση $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με $f(x)=x^{2}$ και η συνάρτηση $g:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ με $g(x)=x^{2}$ δεν είναι ίσες.
• Η συνάρτηση $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με $f(x)=x^{2}$ και η συνάρτηση $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με $g(x)=x+5$ δεν είναι ίσες.

Ξένη ένωση

Η ξένη ένωση δύο συναρτήσεων $f:A\to B$ και $g:A'\to B'$, όπου τα $A,A'$ είναι σύνολα ξένα μεταξύ τους (δηλαδή $A\cap A'=\emptyset$), είναι η συνάρτηση $f\cup g:A\cup A'\to B\cup B'$ που ορίζεται ως

$(f\cup g)(a)=f(a)$ και $(f\cup g)(a')=g(a')$ για κάθε $a\in A,a'\in A'$.

Παραδείγματα

Έστω η συνάρτηση $f_{+}:\mathbb {R} _{+}\cup \{0\}\to \mathbb {R}$ που αντιστοιχεί τους μη-αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς στον εαυτό τους

$f_{+}(x)=x$,

και η συνάρτηση $f_{-}:\mathbb {R} _{0}\to \mathbb {R}$ που αντιστοιχεί τους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς στον αντίθετό τους

$f_{-}(x)=-x$,

τότε η ξένη ένωσή τους $(f_{-}\cup f_{+}):\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ είναι η συνάρτηση της απόλυτης τιμής, δηλαδή

$(f_{-}\cup f_{+})(x)=|x|={\begin{cases}x&{\text{αν }}x\geq 0\\-x&{\text{αν }}x<0\end{cases}}$

Τομή

Η τομή δύο συναρτήσεων $f:A\to B$ και $g:A'\to B'$ είναι η συνάρτηση $f\cap g:A\cap A'\to B\cap B'$ που ορίζεται ως

$(f\cap g)(a)=b$ αν και μόνο αν $f(a)=g(a)=b$,

για κάθε $a\in A\cap A'$.

Παραδείγματα

• Η τομή της συνάρτησης $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με $f(x)=x^{2}$ με την συνάρτηση $g:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ με $g(x)=x^{2}$ είναι η $g$.
• Η τομή της συνάρτησης $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με $f(x)=x^{2}$ με την συνάρτηση $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με $g(x)=4$ είναι η $h=\{(-2,4),(+2,4)\}$.
• Η τομή της συνάρτησης $f=\{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{3}),(a_{4},b_{4})\}$ με την συνάρτηση $g=\{(a_{1},b_{4}),(a_{2},b_{2}),(a_{4},b_{4}),(a_{5},b_{2}),(a_{6},b_{1})\}$ είναι η $h=\{(a_{2},b_{2}),(a_{4},b_{4})\}$.

Σύνθεση

Η σύνθεση $g(f(x))$ ως συνδυασμός δυο "μηχανών". Η πρώτη παίρνει ως είσοδο το $x$ και εξάγει το $f(x)$. Η δεύτερη εισάγει το $f(x)$ και εξάγει το $g(f(x))$.

Η σύνθεση της συνάρτησης $f:A\to B$ με την $g:B\to C$ είναι η συνάρτηση $g\circ f:A\to C$, που ορίζεται ως

$(g\circ f)(a)=g(f(a))$ για κάθε $a\in A$ και $f(a)\in B$.

Είναι ειδική περίπτωση της σύνθεσης σχέσεων.

Δηλαδή, η τιμή του $a$ προέρχεται εφαρμόζοντας πρώτα την $f$ στο $a$ λαμβάνοντας $b=f(a)$ και έπειτα εφαρμόζοντας την $g$ στο $b$ λαμβάνοντας την τελική τιμή $c=g(b)$. Στο συμβολισμό $g\circ f$, η συνάρτηση στα δεξιά, η $f$, εφαρμόζεται πρώτη και η συνάρτηση στα αριστερά, η $g$ εφαρμόζεται δεύτερη, αντιστρέφοντας τη σειρά ανάγνωσης. Η σύνθεση $g\circ f$ ορίζεται μόνο όταν το σύνολο τιμών της $f$ είναι το σύνολο ορισμού της $g$.

Υποθέτοντας ότι η σύνθεση $g\circ f$ ορίζεται, τότε δεν είναι κατά ανάγκη ότι και η $f\circ g$ ορίζεται. Ακόμα κι αν ορίζεται, δηλαδή, αν το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο τιμών της g, σε γενικές γραμμές δεν ισχύει ότι

$g\circ f=f\circ g.$

Δηλαδή, η διάταξη της σύνθεσης είναι σημαντική.

Παραδείγματα

Έστω $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με $f(x)=x^{2}$ και $g(x)=x+1$. Τότε

• $g(f(x))=x^{2}+1$, ενώ
• $f(g(x))=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$,

δύο συναρτήσεις που διαφέρουν σε όλα τα ορίσματα εκτός από το $x=0$.

Ιδιότητες

Υπάρχουν ορισμένες βασικές ιδιότητες και έννοιες. Σε αυτή την ενότητα,f είναι μια συνάρτηση με σύνολο ορισμού Χ και σύνολου τιμών Y.

Εικόνα και αντίστροφη εικόνα

Αν το $X$ είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του πεδίου ορισμού $A$, τότε το $f(X)$ είναι το υποσύνολο του συνόλου τιμών του $B$ που αποτελείται από όλες τις τιμές των στοιχείων του $X$, δηλαδή

$f[X]=\{f(a)\in B:a\in X\}$.

Λέμε ότι το $f[X]$ είναι η εικόνα του $X$. Η εικόνα της $f$ είναι η εικόνα του πεδίου ορισμού της $f[A]$. Για παράδειγμα, η εικόνα του $\{-4,2,3\}$ ως προς την συνάρτηση τετραγώνου είναι το σύνολο $\{16,4,9\}$.

Από την άλλη πλευρά, η αντίστροφη εικόνα ενός υποσυνόλου $Y$ του πεδίου τιμών $B$ ως προς την συνάρτηση $f$ είναι το υποσύνολο του πεδίου ορισμού $A$ που ορίζεται από την

$f^{-1}[Y]=\{a\in A:f(a)\in Y\}.$

Έτσι, για παράδειγμα, η αντίστροφη εικόνα του $\{4,9\}$ υπό την συνάρτηση τετράγωνου είναι το σύνολο $\{-3,-2,2,3\}$.

Εξ ορισμού μιας συνάρτησης, η εικόνα ενός στοιχείου $x$ του συνόλου ορισμού είναι πάντα ένα μόνο στοιχείο $y$ του συνόλου τιμών. Αντίθετα, όμως, η αντίστροφη εικόνα του μονοσύνολου (ένα σύνολο με ακριβώς ένα στοιχείο) μπορεί γενικά να περιέχει οποιοδήποτε αριθμό στοιχείων. Για παράδειγμα, αν $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με $f(x)=7$ (η σταθερή συνάρτηση, παίρνει την τιμή $7$), τότε η αντίστροφη εικόνα του $\{5\}$ είναι το κενό σύνολο, αλλά του $\{7\}$ είναι ολόκληρο το πεδίο ορισμού $\mathbb {R}$. Είναι σύνηθες να γράφουμε $f^{-1}[b]$ αντί $f^{-1}[\{b\}]$, δηλαδή

$f^{-1}[b]=\{a\in A:f(a)=b\}$.

Ταυτοτική συνάρτηση

Για ένα σύνολο $A$ η συνάρτηση που αντιστοιχεί το κάθε στοιχείο στον εαυτό του ονομάζεται ταυτοτική συνάρτηση του $A$, είναι μοναδική και συνήθως συμβολίζεται με $\operatorname {id} _{A}$. Κάθε σύνολο έχει τη δική του ταυτοτική συνάρτηση, οπότε ο δείκτης δεν μπορεί να παραλειφθεί εκτός εάν το σύνολο μπορεί προκύψει από τα συμφραζόμενα. Η ταυτοτική συνάρτηση είναι το ουδέτερο στοιχείο της σύνθεσης συναρτήσεων, δηλαδή αν η $f$ είναι οποιαδήποτε συνάρτηση από το $A$ στο $B$, τότε

${\begin{aligned}f\circ \operatorname {id} _{A}&=f,\\\operatorname {id} _{B}\circ f&=f.\end{aligned}}$

Περιορισμοί και επεκτάσεις

Ανεπίσημα, ο περιορισμός μιας συνάρτησης $f$ είναι η συνάρτηση περιορισμένη σε ένα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. Πιο συγκεκριμένα, αν $S$ είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του $X$, ο περιορισμός της $f$ στο $S$ είναι η συνάρτηση $f_{|S}$ από το $S$ στο $Y$, έτσι ώστε $f_{|S}(s)=f(s)$ για όλα τα $s$ του $S$. Αν $g$ είναι ένας περιορισμός του $f$, τότε λέγεται ότι η $f$ είναι επέκταση της $g$.

Αντίστροφη συνάρτηση

Η αντίστροφη συνάρτηση της $f:A\to B$, συμβολίζεται με $f^{-1}$, και είναι μια συνάρτηση προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή από το $B$ στο $A$ που ικανοποιεί τις σχέσεις

$f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{B}$ και $f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{A}$.

Δηλαδή, οι δύο πιθανές συνθέσεις των $f$ και $f^{-1}$ πρέπει να είναι οι ταυτοτικές συναρτήσεις των $A$ και $B$.

Για παράδειγμα, αν η $f$ είναι η συνάρτηση που μετατρέπει τη θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου $C$ σε βαθμούς Φαρενάιτ $F$,

$f(C)={\frac {9}{5}}C+32$

η συνάρτηση που μετατρέπει τους βαθμούς Φαρενάιτ σε βαθμούς Κελσίου είναι η αντίστροφή της, δηλαδή

$f^{-1}(F)={\frac {5}{9}}(F-32)$.

Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι

$f(f^{-1}(F))={\frac {9}{5}}\cdot \left({\frac {5}{9}}(F-32)\right)+32=F$, και

$f^{-1}(f(C))={\frac {5}{9}}\cdot \left(\left({\frac {9}{5}}C+32\right)-32\right)=C$.

Μια τέτοια αντίστροφη συνάρτηση υπάρχει αν και μόνο αν η $f$ είναι αμφιμονοσήμαντη. Σε αυτή την περίπτωση, η $f$ ονομάζεται αντιστρέψιμη. Ο συμβολισμός $g\circ f$ (ή, σε κάποια κείμενα, απλά $gf$) και $f^{-1}$ είναι παρόμοιος με τον πολλαπλασιασμό. Έτσι, οι ταυτοτικές συναρτήσεις είναι σαν την μονάδα 1, και οι αντίστροφες συναρτήσεις είναι σαν πολλαπλασιαστικοί αντίστροφοι εξ ου και ο συμβολισμός.

Γενικεύσεις

• Μία σχέση $f\subseteq A\times B$, η οποία δεν είναι απαραίτητα μονότιμη, αλλά μπορεί να αποδίνει περισσότερες από μία τιμές σε ένα όρισμα, λέγεται πολύτιμη ή πλειότιμη ή πολυσήμαντη συνάρτηση. Παράδειγμα πολύτιμης συνάρτησης είναι η αντίστροφη μιας συνάρτησης.
• Μία σχέση $f\subseteq A\times B$, η οποία δεν αποδίνει απαραίτητα τιμή σε κάθε όρισμα του $A$, λέγεται μερική συνάρτηση (σε αντίθεση με τις συναρτήσεις που αναφέρονται ως ολικές συναρτήσεις. Στην περίπτωση της μερικής συνάρτησης, λέμε ότι η $f$ ορίζεται σε κάποιο στοιχείο $a$ του $A$ όταν το αντιστοιχίζει σε κάποιο στοιχείο $b$ του $B$· το υποσύνολο $A'$ του πεδίου ορισμού $A$ στο οποίο ορίζεται η $f$, λέγεται πεδίο ορισμού, και το υποσύνολο $B'$ του συνόλου τιμών $B$, που αποτελείται από τις εικόνες της f, λέγεται σύνολο τιμών της $f$.
• Μία συνάρτηση $F:(A\to B)\to C$, που δέχεται δηλαδή συναρτήσεις $f:A\to B$ ως ορίσματα και τους αποδίδει τιμές $F(f)$ στο σύνολο $C$, λέγεται συναρτησοειδές. Τυπικά παραδείγματα συναρτησιακών στη μαθηματική ανάλυση είναι το ολοκλήρωμα και η παράγωγος συνάρτησης.

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Ε. Πανάς (1979). «Γενικά περί συναρτήσεων». Ευκλείδης Β΄ (1): 30-37. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3564. 
• Ν. Παξινός (1981). «Αντιστοιχίες-Συναρτήσεις». Ευκλείδης Β΄ (1): 52-57. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2718. 
• Ν. Παξινός (1982). «Συναρτήσεις». Ευκλείδης Β΄ (3): 171-176. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3137. 
• Θ. Μαμούρη (1984). «Συναρτήσεις». Ευκλείδης Β΄ (1): 50-55. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2772. 
• Γ. Στρατής (1985). «Οι απεικονίσεις-συναρτήσεις σ'ένα ευρύ φάσμα μαθηματικών εννοιών». Ευκλείδης Β΄ (2): 68-75. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2980. 

Δείτε επίσης

• Γραφική παράσταση συνάρτησης
• Συνέχεια συνάρτησης
• Πραγματική συνάρτηση
• Μιγαδική συνάρτηση
• Μερική συνάρτηση
• Σχέση