Βαρύκεντρο τριγώνου
Στην γεωμετρία, το βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) ενός τριγώνου είναι το σημείο του τριγώνου όπου διέρχονται οι τρεις διάμεσοί του. Πιο συγκεκριμένα:[1]:142-143[2]:70-73[3]:97-98
Σε ένα τρίγωνο , οι τρεις διάμεσοι διέρχονται από το ίδιο σημείο . Επιπλέον ισχύει ότι
- , και .
Αποδείξεις
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Απόδειξη (με θεώρημα τομής του Θαλή) |
Έστω και οι διάμεσοι του τριγώνου και το σημείο της τομής τους. Επίσης, θεωρούμε το σημείο το συμμετρικό του ως προς το , και το σημείο τομής του με το . Τα ευθύγραμμα τμήματα και χωρίζουν τo και σε ίσα μέρη. Από το θεώρημα τομής του Θαλή, προκύπτει ότι
και αντίστοιχα για τα ευθύγραμμα τμήματα και
Επομένως, το τετράπλευρο έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται, άρα είναι το μέσο του και άρα η διάμεσος της κορυφής . Επίσης, το μέσο του και άρα . |
Απόδειξη (με διανύσματα) |
Θεωρούμε ένα σημείο αναφοράς και το σημείο Θα δείξουμε ότι η προέκταση της κατά είναι διάμεσος. που είναι το μέσο του . |
Απόδειξη (με το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα) |
Από το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα προκύπτει ότι οι τρεις διάμεσοι , και συντρέχουν, καθώς
|
Ιδιότητες
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Κάποιες από τις κυριότερες ιδιότητες του βαρύκεντρου είναι οι εξής:[4]:90-92
- Το βαρύκεντρο χωρίζει τις διαμέσους σε δύο ευθύγραμμα τμήματα με λόγο , δηλαδή .
- Οι συντεταγμένες του βαρύκεντρου δίνονται από τον μέσο όρο των συντεταγμένων των τριών κορυφών του τριγώνου:
- (Θεώρημα Πάππου) Έστω μία ευθεία στο επίπεδο που δεν έχει κοινά σημεία με το . Τότε η απόσταση του βαρύκεντρου από την είναι ο αριθμητικός μέσος των αποστάσεων των τριών κορυφών από την .
- (Ευθεία του Όιλερ) Έστω το περίκεντρο, το ορθόκεντρο του τριγώνου . Τότε τα είναι συνευθειακά και .
- (Σχέση του Λάιμπνιτς) Έστω ένα τυχόν σημείο του επιπέδου. Τότε,
- Το συμπληρωματικό τρίγωνο έχει τις ίδιες διαμέσους και το ίδιο βαρύκεντρο με το τρίγωνο .
Δείτε επίσης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Αυτό το λήμμα σχετικά με τη γεωμετρία χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |