Θεώρημα του Θαλή

Το θεώρημα τομής του Θαλή λέει ότι

{\rm {{\tfrac {\Sigma A}{AB}}={\tfrac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}

.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα του Θαλή (ή αλλιώς το θεώρημα τομής), είναι ένα θεώρημα που αφορά τις αναλογίες των ευθυγράμμων τμημάτων, τα οποία δημιουργούνται όταν δύο τεμνόμενες μεταξύ τους ευθείες τέμνονται και από ένα ζεύγος παραλλήλων ευθειών.^[1]^[2]^[3]^:136-139^[4]^:9^[5]^:64

Πιο συγκεκριμένα, αν $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ είναι δύο ευθείες παράλληλες, και $\Sigma$ ένα τυχόν σημείο του επιπέδου, τότε για οποιεσδήποτε δύο ευθείες που διέρχονται από το $\Sigma$ και τέμνουν την $\varepsilon _{1}$ στα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {\Gamma }}$ , και την $\varepsilon _{2}$ στα ${\rm {B}}$ και ${\rm {\Delta }}$ , ισχύει ότι^[6]^[7]^[8]

{\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}

.

Αντίστροφα, ισχύει ότι αν

{\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}

,

τότε οι ευθείες $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ είναι παράλληλες.

Το θεώρημα παραδοσιακά αποδίδεται στον Έλληνα μαθηματικό Θαλή τον Μιλήσιο.^[9]^[10] Η πρώτη γνωστή απόδειξη βρίσκεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη (Πρόταση 17 Βιβλίο 11)^[11]. Το θεώρημα είναι ισοδύναμο με αυτό περί των αναλογιών σε όμοια τρίγωνα.

Απόδειξη

Θεωρούμε τις παράλληλες ευθείες ${\rm {\varepsilon _{1}}}$ και ${\rm {\varepsilon _{2}}}$ και το σημείο ${\rm {\Sigma }}$ εκτός της ζώνης των παραλλήλων ${\rm {\varepsilon _{1}}}$ και ${\rm {\varepsilon _{2}}}$ .

Θεωρούμε επίσης τις ευθείες ${\rm {\delta _{1}}}$ και ${\rm {\delta _{2}}}$ οι οποίες διέρχονται από το ${\rm {\Sigma }}$ και δεν είναι παράλληλες προς τις ${\rm {\varepsilon _{1}}}$ , ${\rm {\varepsilon _{2}}}$ , άρα θα τις τέμνουν.

Έστω ${\rm {A,B}}$ τα σημεία τα σημεία τομής της ${\rm {\delta _{1}}}$ με τις ${\rm {\varepsilon _{1}}}$ , ${\rm {\varepsilon _{2}}}$ αντίστοιχα και ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$ τα σημεία τομής της ${\rm {\delta _{2}}}$ με τις ${\rm {\varepsilon _{1}}}$ , ${\rm {\varepsilon _{2}}}$ αντίστοιχα.

Θα αποδείξουμε ότι ισχύει

{\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}

.

Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ${\rm {\Sigma A\Delta }}$ και ${\rm {\Sigma B\Delta }}$ έχουν κοινό ύψος το ${\rm {\Delta \Delta '}}$ . Άρα για τον λόγο των εμβαδών τους ισχύει ότι,

${\rm {{\frac {(\Sigma A\Delta )}{(\Sigma B\Delta )}}={\frac {1/2\cdot \Sigma A\cdot \Delta \Delta '}{1/2\cdot \Sigma B\cdot \Delta \Delta '}}={\frac {\Sigma A}{\Sigma B}}}}$ .

(1)

Ομοίως τα τρίγωνα ${\rm {\Sigma B\Gamma }}$ και ${\rm {\Sigma B\Delta }}$ έχουν κοινό ύψος το ${\rm {BB'}}$ . Άρα ισχύει ότι,

${\rm {{\frac {(\Sigma B\Gamma )}{(\Sigma B\Delta )}}={\frac {1/2\cdot \Sigma \Gamma \cdot BB'}{1/2\cdot \Sigma \Delta \cdot BB'}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Sigma \Delta }}}}$ .

(2)

Ακόμα ισχύει ότι,

${\rm {(\Sigma A\Delta )=(\Sigma A\Gamma )+(A\Gamma \Delta )}}$ .

(3)

${\rm {(\Sigma B\Gamma )=(\Sigma A\Gamma )+(BA\Gamma )}}$ .

(4)

Αλλά τα τρίγωνα ${\rm {A\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {BA\Gamma }}$ έχουν κοινή πλευρά την ${\rm {A\Gamma }}$ και ίσα ύψη τα ${\rm {BB''=\Delta \Delta ''}}$ τα οποία είναι ίσα με την απόσταση των παραλλήλων ευθειών ${\rm {\varepsilon _{1}}}$ και ${\rm {\varepsilon _{2}}}$ .

Άρα είναι,

${\rm {(A\Gamma \Delta )=(BA\Gamma )}}$ .

(5)

Από τις (3) και (4) λόγω της (5) έχουμε,

${\rm {(\Sigma A\Delta )=(\Sigma B\Gamma )}}$ .

(6)

Από τις (1) και (2) λόγω της (6) έχουμε,

{\rm {{\frac {\Sigma A}{\Sigma B}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Sigma \Delta }}}}

και κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων των αναλογιών παίρνουμε,

{\rm {{\frac {\Sigma A}{\Sigma B-\Sigma A}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Sigma \Delta -\Sigma \Gamma }}}}

,

{\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}

Ομοίως αποδεικνύεται το θεώρημα και στην περίπτωση που το ${\rm {\Sigma }}$ βρίσκεται εντός της ζώνης των παραλλήλων ${\rm {\varepsilon _{1}}}$ και ${\rm {\varepsilon _{2}}}$ .

$\square$

Αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή

Έστω $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ είναι δύο ευθείες και $\Sigma$ ένα τυχόν σημείο του επιπέδου. Αν για οποιεσδήποτε δύο ευθείες που διέρχονται από το $\Sigma$ και τέμνουν την $\varepsilon _{1}$ στα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {\Gamma }}$ , και την $\varepsilon _{2}$ στα ${\rm {B}}$ και ${\rm {\Delta }}$ , ισχύει ότι,

{\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}

,

τότε οι $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ είναι παράλληλες.^[12]^[13]^[14]

Απόδειξη

Θεωρούμε τις ευθείες ${\rm {\delta _{1}}}$ και ${\rm {\delta _{2}}}$ οι οποίες διέρχονται από το ${\rm {\Sigma }}$ και δεν είναι παράλληλες προς τις ${\rm {\varepsilon _{1}}}$ , ${\rm {\varepsilon _{2}}}$ , άρα θα τις τέμνουν.

Έστω ${\rm {A,B}}$ τα σημεία τα σημεία τομής της ${\rm {\delta _{1}}}$ με τις ${\rm {\varepsilon _{1}}}$ , ${\rm {\varepsilon _{2}}}$ αντίστοιχα και ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$ τα σημεία τομής της ${\rm {\delta _{2}}}$ με τις ${\rm {\varepsilon _{1}}}$ , ${\rm {\varepsilon _{2}}}$ αντίστοιχα. Αν ισχύει,

${\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}$ ,

(1)

θα αποδείξουμε ότι οι ευθείες $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ είναι παράλληλες.

Από το σημείο ${\rm {A}}$ φέρνουμε την παράλληλη προς την ${\rm {\varepsilon _{2}}}$ η οποία τέμνει την ${\rm {\delta _{2}}}$ στο σημείο έστω ${\rm {\Gamma '}}$ .

Από το θεώρημα του Θαλή ισχύει ότι,

${\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma '}{\Gamma '\Delta }}}}$ .

(2)

Από τις (1) και (2) βρίσκουμε ότι είναι,

{\rm {{\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}={\frac {\Sigma \Gamma '}{\Gamma '\Delta }}}}

και με χρήση των ιδιοτήτων των αναλογιών έχουμε,

{\rm {{\frac {\Sigma \Gamma }{\Sigma \Gamma +\Gamma \Delta }}={\frac {\Sigma \Gamma '}{\Sigma \Gamma '+\Gamma '\Delta }}}}

,

{\rm {{\frac {\Sigma \Gamma }{\Sigma \Delta }}={\frac {\Sigma \Gamma '}{\Sigma \Delta }}}}

,

Συνεπώς είναι ${\rm {\Sigma \Gamma =\Sigma \Gamma '}}$ , δηλαδή το σημείο ${\rm {\Gamma '}}$ συμπίπτει με το ${\rm {\Gamma }}$ , άρα η ευθεία ${\rm {\varepsilon _{1}}}$ συμπίπτει με την παράλληλη προς την ${\rm {\varepsilon _{2}}}$ .

Αποδείξαμε λοιπόν ότι οι ευθείες ${\rm {\varepsilon _{1}}}$ και ${\rm {\varepsilon _{2}}}$ είναι παράλληλες.

$\square$

Εφαρμογές

Το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει ότι σε μια συγκεκριμένη κατασκευή κάποια ευθύγραμμα τμήματα είναι παράλληλα. Για παράδειγμα:

Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο με την τρίτη πλευρά του τριγώνου.

Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα τα μέσα δύο μη-παραλλήλων πλευρών ενός τραπεζίου είναι παράλληλο στις δύο βάσεις του τραπεζίου.

Το θεώρημα του Θαλή χρησιμοποιείται στην απόδειξη πολλών θεωρημάτων στην γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένων των εξής:

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Διαδραστική εφαρμογή για θεώρημα του Θαλή στο Geogebra.
Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα του Θαλή σε ασύμβατες ευθείες στο Φωτόδεντρο.
Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα του Θαλή στο Geogebra

Ελληνικά άρθρα

Αρδαβάνη, Καλλιόπη; Μάλλιαρης, Χρήστος (Οκτώβριος 2022). «Το θεώρημα Θαλή και οι εφαρμογές του». Ευκλείδης Α΄ (126): 29-31. http://niobe.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_A_t126_2022.pdf.
Στέλλας Χρήστος; Μαρουσάκης Παρασκευάς (1980). «Θεώρημα Θαλή». Ευκλείδης Α΄ (4): 111-113. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=1371.
Γ. Δημάκος; Δ. Κοντογιάννης (1986). «Το θεώρημα Θαλή και οι εφαρμογές του». Ευκλείδης Β΄ (1): 43-45. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=1371.
«Θεώρημα Θαλή». Ευκλείδης Β΄ (1): 21-26. 1977. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3108.
Δ. Ζέρβας; Λ. Γιαννακόπουλος (1977). «Θαλής και ομοιότητα». Ευκλείδης Β΄ (1): 24-27. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2768.

Παραπομπές

↑ Agricola, Ilka· Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. σελ. 16. ISBN 0-8218-4347-8.
↑ Stillwell, John (2005). The Four Pillars of Geometry. Springer. σελ. 34. ISBN 978-0-387-25530-9.
↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Στεργίου, Μπάμπης. Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, Πολύγωνα, Εμβαδά. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-159-0.
↑ Βασιλειάδης, Παν. Κ. (1966). Γεωμετρία Τόμος α' Επιπεδομετρία. Θεσσαλονίκη.
↑ Agricola, Ilka· Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. σελίδες 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8. (online copy, σ. 10, στα Google Books)
↑ French, Doug (2004). Teaching and Learning Geometry. BLoomsbury. σελίδες 84–87. ISBN 9780826473622. (online copy, σ. 84, στα Google Books)
↑ Stillwell, John (2005). The Four Pillars of Geometry. Springer. σελ. 34. ISBN 978-0-387-25530-9.
↑ Ostermann, Alexander· Wanner, Gerhard (2012). Geometry by Its History. Springer. σελίδες 3–7. ISBN 978-3-642-29163-0. (online copy, σ. 3, στα Google Books)
↑ Halbeisen, Lorenz· Hungerbühler, Norbert· Läuchli, Juan (2016). Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie (στα Γερμανικά). Springer. σελίδες 191–208. ISBN 9783662530344.
↑ Ευκλείδης (2024). Ροκοπάνος, Νίκος· Σακελλάρη, Στέλλα· Τσολομύτης, Αντώνης, επιμ. Στοιχεία (PDF). Σάμος. σελ. 361. ISBN 9786180052046.
↑ Agricola, Ilka· Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. σελίδες 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8. (online copy, σ. 10, στα Google Books)
↑ French, Doug (2004). Teaching and Learning Geometry. BLoomsbury. σελίδες 84–87. ISBN 9780826473622. (online copy, σ. 84, στα Google Books)
↑ Stillwell, John (2005). The Four Pillars of Geometry. Springer. σελ. 34. ISBN 978-0-387-25530-9.

Αυτό το λήμμα σχετικά με τη γεωμετρία χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[1] Agricola, Ilka· Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. σελ. 16. ISBN 0-8218-4347-8.

[2] Stillwell, John (2005). The Four Pillars of Geometry. Springer. σελ. 34. ISBN 978-0-387-25530-9.

[Tav-3] Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.

[4] Στεργίου, Μπάμπης. Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, Πολύγωνα, Εμβαδά. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-159-0.

[5] Βασιλειάδης, Παν. Κ. (1966). Γεωμετρία Τόμος α' Επιπεδομετρία. Θεσσαλονίκη.

[6] Agricola, Ilka· Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. σελίδες 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8. (online copy, σ. 10, στα Google Books)

[7] French, Doug (2004). Teaching and Learning Geometry. BLoomsbury. σελίδες 84–87. ISBN 9780826473622. (online copy, σ. 84, στα Google Books)

[8] Stillwell, John (2005). The Four Pillars of Geometry. Springer. σελ. 34. ISBN 978-0-387-25530-9.

[9] Ostermann, Alexander· Wanner, Gerhard (2012). Geometry by Its History. Springer. σελίδες 3–7. ISBN 978-3-642-29163-0. (online copy, σ. 3, στα Google Books)

[10] Halbeisen, Lorenz· Hungerbühler, Norbert· Läuchli, Juan (2016). Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie (στα Γερμανικά). Springer. σελίδες 191–208. ISBN 9783662530344.

[11] Ευκλείδης (2024). Ροκοπάνος, Νίκος· Σακελλάρη, Στέλλα· Τσολομύτης, Αντώνης, επιμ. Στοιχεία (PDF). Σάμος. σελ. 361. ISBN 9786180052046.

[12] Agricola, Ilka· Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. σελίδες 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8. (online copy, σ. 10, στα Google Books)

[13] French, Doug (2004). Teaching and Learning Geometry. BLoomsbury. σελίδες 84–87. ISBN 9780826473622. (online copy, σ. 84, στα Google Books)

[14] Stillwell, John (2005). The Four Pillars of Geometry. Springer. σελ. 34. ISBN 978-0-387-25530-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]