Σεβιανή

Το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AA'}}$ είναι μία σεβιανή στο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$.

Στην γεωμετρία, σεβιανή ενός τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει την κορυφή ενός τριγώνου με ένα σημείο της απέναντι του πλευράς. Για παράδειγμα, στο σχήμα δεξιά, το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AA'}}$ είναι μία σεβιανή στο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$.

Γνωστές σεβιανές στα τρίγωνα είναι οι διάμεσοι, τα ύψη, οι διχοτόμοι και οι συμμετροδιάμεσοι.

Το όνομα σεβιανή είναι προς τιμήν του Ιταλού μαθηματικού Τζιοβάνι Τσέβα που δημοσίευσε το θεώρημα που φέρει το όνομά του σχετικά με τρεις συντρέχουσες σεβιανές.

Γνωστές σεβιανές τριγώνου

Τέσσερις γνωστές περιπτώσεις σεβιανών:

• Διάμεσος τριγώνου: Συνδέει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.
• Ύψος τριγώνου: Συνδέει μία κορυφή του τριγώνου με το ίχνος της κάθετης από την κορυφή προς την απέναντι πλευρά.
• Διχοτόμος τριγώνου: Συνδέει μία κορυφή του τριγώνου με το σημείο τομής της διχοτόμου με την απέναντι πλευρά.
• Συμμετροδιάμεσος τριγώνου: Η σεβιανή που σχηματίζει την ίδια γωνία με την διάμεσο και μία από της προσκείμενες πλευρές

Διάμεσος τριγώνου

Ύψος τριγώνου

Διχοτόμος τριγώνου

Συμμετροδιάμεσος τριγώνου

Σχετικά θεωρήματα

Θεώρημα Τσέβα

Τα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {AA'}}$, ${\rm {BB'}}$ και ${\rm {\Gamma \Gamma '}}$ συντρέχουν.

Το θεώρημα του Τσέβα δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε τρεις σεβιανές σε ένα τρίγωνο να συντρέχουν. Πιο συγκεκριμένα, σε κάθε τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ οι σεβιανές ${\rm {AA'}}$, ${\rm {BB'}}$ και ${\rm {\Gamma \Gamma '}}$ συντρέχουν ανν ισχύει ότι

${\rm {{\frac {A'B}{A'\Gamma }}\cdot {\frac {B'\Gamma }{B'A}}\cdot {\frac {\Gamma 'A}{\Gamma 'B}}=1}}$.

Θεώρημα Στιούαρτ

Το Θεώρημα Στιούαρτ δίνει έναν τύπο για τον υπολογισμό του μήκους μία σεβιανής. Πιο συγκεκριμένα, σε κάθε τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με ${\rm {AA'}}$ μία σεβιανή, ισχύει ότι

$\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma A'} +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {BA'} =\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {AA'} ^{2}+\mathrm {\Gamma A'} \cdot \mathrm {BA'} )$,

από τον οποίο προκύπτει ότι το μήκος της σεβιανής είναι

$\mathrm {AA'} ={\sqrt {{\frac {\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma A'} +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {BA'} }{\mathrm {B\Gamma } }}-\mathrm {\Gamma A'} \cdot \mathrm {BA'} }}$.

Δείτε επίσης

• Ευθύγραμμο τμήμα
• Θεώρημα του Τσέβα
• Θεώρημα Στιούαρτ