Εγγεγραμμένο τετράπλευρο

Ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

Στην γεωμετρία, ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ λέγεται εγγεγραμμένο ή εγγράψιμο ή κυκλικό αν οι κορυφές του ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$, ${\rm {\Gamma }}$ και ${\rm {\Delta }}$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται περιγεγραμμένος κύκλος του ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

Ιδιότητες

Οι μεσοκάθετοι των πλευρών ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου τέμνονται στο περίκεντρο.

Οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, δηλαδή ${\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}={\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Delta }}}=180^{\circ }$.

Κάθε γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της, π.χ. η ${\hat {\rm {A}}}$ είναι ίση με την εξωτερική της ${\hat {\rm {\Gamma }}}$.

Οι γωνίες είναι $\angle {\rm {\Delta A\Gamma }}=\angle {\rm {\Delta B\Gamma }}$.

• Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγεγραμμένο αν και μόνο αν οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου και λέγεται περίκεντρο.

Απόδειξη  

($\Rightarrow$) Έστω ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ένα κυρτό εγγεγραμμένο τετράπλευρο, όπου ο περιγεγραμμένος του κύκλος έχει κέντρο ${\rm {O}}$ και ακτίνα $\rho$. Τότε, αφού τα ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$, ${\rm {\Gamma }}$ και ${\rm {\Delta }}$ ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο, έχουμε ότι

${\rm {OA}}={\rm {OB}}={\rm {O\Gamma }}={\rm {O\Delta }}=\rho$.

Επομένως, καταλήγουμε ότι το ${\rm {O}}$ ανήκει στις μεσοκαθέτους των ${\rm {AB}}$, ${\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {\Delta A}}$.

($\Leftarrow$) Έστω ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ένα κυρτό τετράπλευρο, όπου οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το σημείο ${\rm {O}}$. Τότε, έχουμε

${\rm {OA}}={\rm {OB}}={\rm {O\Gamma }}={\rm {O\Delta }}$,

και επομένως ο κύκλος με κέντρο ${\rm {O}}$ και ακτίνα ${\rm {OA}}$ διέρχεται από τα ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$, ${\rm {\Gamma }}$ και ${\rm {\Delta }}$. $\square$

• Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, δηλαδή ${\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}=180^{\circ }$.
• Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της.

Απόδειξη  

Η συνθήκη αυτή προκύπτει από την προηγούμενη, καθώς η εξωτερική γωνία είναι παραπληρωματική της εσωτερικής.

• Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία από τις πλευρές φαίνεται από τις άλλες δύο κορυφές από ίσες γωνίες, δηλαδή $\angle {\rm {A\Gamma B}}=\angle {\rm {A\Delta B}}$.

Το ${\rm {I_{1}I_{2}I_{3}I_{4}}}$ ορθογώνιο και $\rho _{1}+\rho _{3}=\rho _{2}+\rho _{4}$.

• Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$, θεωρούμε τους εγγεγραμμένους κύκλους $({\rm {I}}_{1},\rho _{1})$, $({\rm {I}}_{2},\rho _{2})$, $({\rm {I}}_{3},\rho _{3})$ και $({\rm {I}}_{4},\rho _{4})$ των τριγώνων ${\rm {AB\Gamma }}$, ${\rm {B\Gamma \Delta }}$, ${\rm {\Gamma \Delta A}}$ και ${\rm {\Delta AB}}$. Τότε ισχύει ότι
  • Το τετράπλευρο ${\rm {I_{1}I_{2}I_{3}I_{4}}}$ είναι ορθογώνιο, και
  • (Ιαπωνικό θεώρημα) $\rho _{1}+\rho _{3}=\rho _{2}+\rho _{4}$.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ δίνεται από τον τύπο του Βραγχμαγκούπτα (ο οποίος γενικεύει τον τύπο του Ήρωνα για τα τρίγωνα)

${\rm {E}}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}}$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Για δοσμένα τα μήκη των πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$, το εγγεγραμμένο τετράπλευρο είναι αυτό με το μέγιστο εμβαδόν.

Μετρικές σχέσεις

• (1o Θεώρημα του Πτολεμαίου) Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ισχύει ότι

${\rm {A\Gamma }}\cdot {\rm {B\Delta }}=\alpha \gamma +\beta \delta$.

• (2o Θεώρημα του Πτολεμαίου) Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ισχύει ότι

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \beta +\gamma \delta }}$.

• Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ τα μήκη των διαγωνίων δίνονται από τις σχέσεις

${\rm {A\Gamma }}={\sqrt {\frac {(\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{\alpha \beta +\gamma \delta }}}\quad$ και $\quad {\rm {B\Delta }}={\sqrt {\frac {(\alpha \beta +\gamma \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{\alpha \gamma +\beta \delta }}}$.

Απόδειξη  

Οι τύποι αυτοί προκύπτουν από το πρώτο και το δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου. Για παράδειγμα, από τον πολλαπλασιαμό των σχέσεων

${\rm {A\Gamma }}\cdot {\rm {B\Delta }}=\alpha \gamma +\beta \delta$,

και

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \beta +\gamma \delta }}$,

λαμβάνουμε

${\rm {A\Gamma }}^{2}={\frac {(\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{\alpha \beta +\gamma \delta }}$,

που οδηγεί στον πρότο τύπο.

• (Θεώρημα τεμνόμενων χορδών) Σε ένα εγγεγραμμένο τεράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ όπου ${\rm {I}}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$, ισχύει ότι

${\rm {AI}}\cdot {\rm {I\Gamma }}={\rm {BI}}\cdot {\rm {I\Delta }}$.

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου συναρτήσει των πλευρών του δίνεται από τον τύπο

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(\alpha \beta +\gamma \delta )\cdot (\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )(\tau -\delta )}}}$.

Απόδειξη  

Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ και ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου $R$

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}={\frac {\alpha \beta \gamma }{4R}}$.

Τώρα στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ τον εφαρμόζουμε στα τρίγωνα ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {A\Delta \Gamma }}$ που έχουν τον ίδιο περιγεγραμμένο κύκλο, έχουμε ότι

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {A\Delta \Gamma }}={\frac {\alpha \beta {\rm {A\Gamma }}}{4R}}+{\frac {\gamma \delta {\rm {A\Gamma }}}{4R}}={\frac {\rm {A\Gamma }}{4R}}\cdot (\alpha \beta +\gamma \delta )$.

Λύνοντας προς $R$ λαμβάνουμε

$R={\frac {\rm {A\Gamma }}{4{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}}}\cdot (\alpha \beta +\gamma \delta )$.

Τέλος, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Βραχμαγκούπτα για το εμβαδόν του ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και τον τύπο για το μήκος της διαγωνίου λαμβάνουμε το ζητούμενο.

• Για την γωνία ${\hat {\rm {A}}}$ ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ισχύει ότι

$\sin {\hat {\rm {A}}}={\frac {2{\sqrt {(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )(\tau -\delta )}}}{(\alpha \delta +\beta \gamma )}},$

$\cos {\hat {\rm {A}}}={\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}}{2(\alpha \delta +\beta \gamma )}},$

$\tan {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )(\tau -\delta )}{(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}}}$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Ειδικές περιπτώσεις

• Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι εγγραγραμμένο και είναι το μόνο εγγεγραμμένο παραλληλόγραμμο.
• Το ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγεγραμμένο και είναι το μόνο εγγεγραμμένο τραπέζιο.

Εφαρμογές

Τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα και οι ιδιότητες αυτών, χρησιμοποιούνται στις αποδείξεις των εξής θεωρημάτων:

• Στην απόδειξη ύπαρξης του ορθόκεντρου τριγώνου
• Στον απόδειξη του κύκλου Όιλερ ενός τριγώνου
• Στην απόδειξη της ευθείας Σίμσον
• Στην απόδειξη του θεωρήματος Νάγκελ
• Στην απόδειξη του σημείου Στάινερ
• Στην απόδειξη του σημείου ΜακΛώριν

Δείτε επίσης

• Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
• Εγγεγραμμένο πολύγωνο
• Περιγεγραμμένο τετράπλευρο