Θεώρημα τεμνομένων χορδών

Στην γεωμετρία, το θεώρημα τεμνομένων χορδών λέει ότι για δύο χορδές ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$ ενός κύκλου που τέμνονται στο σημείο ${\rm {I}}$ , ισχύει ότι^[1]^[2]^:310^[3]^:156-157

{\rm {AI\cdot I\Gamma =BI\cdot I\Delta }}

.

Το θεώρημα είναι ειδική περίπτωση της δύναμης σημείου ως προς κύκλου. Το θεώρημα είναι η πρόταση 35 στο Βιβλίο 3 στα Στοιχεία του Ευκλείδη.^[4]

Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος: Αν δύο ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$ τέμνονται στο σημείο ${\rm {I}}$ και ισχύει ότι ${\rm {AI\cdot I\Gamma =BI\cdot I\Delta }}$ , τότε τα σημεία ${\rm {A,B,\Gamma ,\Delta }}$ είναι ομοκυκλικά.^[3]

Απόδειξη

Έστω δύο χορδές ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$ ενός κύκλου, που τέμνονται στο σημείο ${\rm {I}}$ . Τότε τα τρίγωνα ${\rm {AIB}}$ και ${\rm {\Gamma I\Delta }}$ είναι όμοια καθώς έχουν δύο γωνίες ίσες:

${\widehat {\rm {AIB}}}={\widehat {\rm {\Gamma I\Delta }}}$ ως κατακορυφήν, και
${\widehat {\rm {BAI}}}={\widehat {\rm {\Gamma \Delta I}}}$ ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ${\rm {B\Gamma }}$ .

Συνεπώς, έχουμε ότι

{\frac {\rm {AI}}{\rm {I\Delta }}}={\frac {\rm {BI}}{\rm {I\Gamma }}}

,

πολλαπλασιάζοντας χιαστί, λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση.

$\square$

Απόδειξη αντιστρόφου

Έστω ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$ ευθύγραμμα τμήματα που τέμνονται στο σημείο ${\rm {I}}$ και ισχύει ότι ${\rm {AI\cdot I\Gamma =BI\cdot I\Delta }}$ ή ισοδύναμα

{\frac {\rm {AI}}{\rm {BI}}}={\frac {\rm {\Delta I}}{\rm {\Gamma I}}}

.

Τα τρίγωνα ${\rm {AIB}}$ και ${\rm {\Delta I\Gamma }}$ είναι όμοια, καθώς έχουν δύο πλευρές ανάλογες μία προς μία (τις ${\rm {AI,\Delta I}}$ και ${\rm {BI,\Gamma I}}$ ) και την περιεχόμενη τους γωνία ίση ( ${\widehat {\rm {AIB}}}={\widehat {\rm {\Delta I\Gamma }}}$ ως κατακορυφήν). Επομένως, έχουμε ότι ${\widehat {\rm {BAI}}}={\widehat {\rm {\Gamma \Delta I}}}$ .

Συνεπώς, το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγράψιμο καθώς μία από τις πλευρές του (η ${\rm {B\Gamma }}$ φαίνεται από τις άλλες δύο κορυφές από ίσες γωνίες. $\quad \square$

Πορίσματα

Έστω ${\rm {I}}$ το σημείο μίας χορδής ${\rm {AB}}$ ενός κύκλου με κέντρο ${\rm {O}}$ και ακτίνα $r$ . Τότε, ${\rm {AI}}\cdot {\rm {IB}}=r^{2}-{\rm {OI}}^{2}$ .

Απόδειξη

Έστω ${\rm {\Gamma \Delta }}$ η διάμετρος του κύκλου που διέρχεται από το ${\rm {I}}$ (με το ${\rm {I}}$ μεταξύ των ${\rm {\Gamma }}$ και ${\rm {O}}$ . Τότε, από το θεώρημα τεμνομένων χορδών έχουμε ότι

{\rm {AI\cdot IB=\Gamma I\cdot I\Delta }}

.

Χρησιμοποιώντας ότι ${\rm {\Gamma I}}=r-{\rm {OI}}$ και ${\rm {I\Delta }}=r+{\rm {OI}}$ , έχουμε ότι

{\begin{aligned}{\rm {\Gamma I}}\cdot {\rm {I\Delta }}&=(r-{\rm {OI}})\cdot (r+{\rm {OI}})\\&=r^{2}-{\rm {OI}}^{2},\end{aligned}}

όπου στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα για την διαφορά τετραγώνων. $\quad \square$

(Μήκος εσωτερικής διχοτόμου) Σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ το μήκος της εσωτερικής διχοτόμου $\delta _{\rm {A}}$ δίνεται από τον τύπο

\delta _{\rm {A}}={\sqrt {\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)}}

.

Απόδειξη

Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ και έστω ${\rm {E}}$ το σημείο τομής του με την επέκταση της διχοτόμου ${\rm {A\Delta }}$ .

Τα τρίγωνα ${\rm {AB\Delta }}$ και ${\rm {AE\Gamma }}$ είναι όμοια καθώς έχουν δύο γωνίες ίσες: ${\widehat {\rm {BA\Delta }}}={\widehat {\rm {\Gamma A\Delta }}}$ (καθώς ${\rm {A\Delta }}$ η διχοτόμος της ${\hat {\rm {A}}}$ ) και ${\hat {\rm {B}}}={\hat {\rm {E}}}$ (καθώς βαίνουν στο ίδιο τόξο ${\rm {A\Gamma }}$ ). Επομένως,

{\frac {\rm {AE}}{\rm {AB}}}={\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {A\Delta }}}\quad

ή ισοδύναμα

\quad {\frac {\rm {A\Delta +\Delta E}}{\rm {AB}}}={\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {A\Delta }}}

.

Πολλαπλασιάζοντας χιαστί έχουμε ότι

${\rm {A\Delta }}^{2}={\rm {AB}}\cdot {\rm {A\Gamma }}-{\rm {A\Delta }}\cdot {\rm {\Delta E}}$ .

(1)

Από το θεώρημα τεμνομένων χορδών έχουμε ότι

${\rm {A\Delta }}\cdot {\rm {\Delta E}}={\rm {B\Delta }}\cdot {\rm {\Delta \Gamma }}$ .

(2)

Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε ότι

{\frac {\rm {B\Delta }}{\rm {AB}}}={\frac {\rm {\Gamma \Delta }}{\rm {A\Gamma }}}={\frac {\rm {B\Delta +\Delta \Gamma }}{\rm {AB+A\Gamma }}}={\frac {\rm {B\Gamma }}{\rm {AB+A\Gamma }}}

.

Επομένως,

${\rm {B\Delta }}\cdot {\rm {\Gamma \Delta }}=\left({\frac {\rm {AB\cdot A\Gamma }}{\rm {AB+A\Gamma }}}\right)^{2}$ .

(3)

Συνδυάζοντας, τις (1), (2) και (3), έχουμε ότι

{\rm {A\Delta }}^{2}={\rm {AB}}\cdot {\rm {A\Gamma }}-\left({\frac {\rm {AB\cdot A\Gamma }}{\rm {AB+A\Gamma }}}\right)^{2}

.

Τέλος, παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και χρησιμοποιώντας ${\rm {A\Delta }}=\delta _{\rm {A}}$ , ${\rm {A\Gamma }}=\beta$ και ${\rm {AB}}=\gamma$ , λαμβάνουμε τον ζητούμενο τύπο

$\delta _{\rm {A}}={\sqrt {\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)}}$ .

$\square$

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Αργυρόπουλος Ηλίας· Βλάμος Παναγιώτης· Κατσουλης Γεωργιος· Μαρκατης Στυλιανος· Σιδερης Πολυχρονης. «Κεφάλαιο 9: Μετρικές σχέσεις». Ευκλείδεια Γεωμετρία Τεύχος Β'. Αθήνα: Διόφαντος.
↑ Παπανικολάου, Χρήστος Γ. (1971). Στοιχεία γεωμετρίας Μέρος α' επιπεδομετρία. Αθήνα.
1 2 Κανελλου, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων.
↑ Ευκλείδης (2024). Ροκοπάνος, Νίκος· Σακελλάρη, Στέλλα· Τσολομύτης, Αντώνης, επιμ. Στοιχεία (PDF). Σάμος. σελ. 108. ISBN 9786180052046.

[1] Αργυρόπουλος Ηλίας· Βλάμος Παναγιώτης· Κατσουλης Γεωργιος· Μαρκατης Στυλιανος· Σιδερης Πολυχρονης. «Κεφάλαιο 9: Μετρικές σχέσεις». Ευκλείδεια Γεωμετρία Τεύχος Β'. Αθήνα: Διόφαντος.

[2] Παπανικολάου, Χρήστος Γ. (1971). Στοιχεία γεωμετρίας Μέρος α' επιπεδομετρία. Αθήνα.

[K75-3] 1 2 Κανελλου, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων.

[4] Ευκλείδης (2024). Ροκοπάνος, Νίκος· Σακελλάρη, Στέλλα· Τσολομύτης, Αντώνης, επιμ. Στοιχεία (PDF). Σάμος. σελ. 108. ISBN 9786180052046.

[1]

[2]

[3]

[4]