Εγγεγραμμένη γωνία

Η γωνία ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$.

Στην γεωμετρία, μία γωνία ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ είναι εγγεγραμμένη σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$ αν τα ${\rm {A,B,\Gamma }}$ είναι σημεία του κύκλου.

Ιδιότητες

• (Σχέση επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας) Για κάθε εγγεγραμμένη γωνία ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$, η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία ${\rm {\widehat {AO\Gamma }}}$ είναι διπλάσια.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης της σχέσης μεταξύ επίκεντρης και εγγεραμμένης γωνίας.

Έστω ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ μία γωνία εγγεγραμμένη σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$. Θα αποδείξουμε ότι ${\widehat {\rm {AO\Gamma }}}=2\cdot {\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$.

Φέρνουμε τις ακτίνες ${\rm {OA,OB,O\Gamma }}$, οι οποίες είναι ίσες. Επομένως, τα τρίγωνα ${\rm {AOB}}$ και ${\rm {BO\Gamma }}$ είναι ισοσκελή. Έτσι προκύπτει ότι

${\rm {{\widehat {OBA}}={\widehat {OAB}}=\varphi }}$

και

${\rm {{\widehat {B\Gamma O}}={\widehat {\Gamma BO}}=\omega }}$.

Αφού οι γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα $180^{\circ }$, έχουμε ότι ${\widehat {\rm {AOB}}}=180^{\circ }-2\varphi$ και ${\widehat {\rm {BO\Gamma }}}=180^{\circ }-2\omega$. Επομένως,

${\begin{aligned}{\widehat {\rm {AO\Gamma }}}&=360^{\circ }-(180^{\circ }-2\varphi )-(180^{\circ }-2\omega )\\&=2\varphi +2\omega \\&=2\cdot (\varphi +\omega )\\&=2\cdot {\widehat {\rm {AB\Gamma }}},\end{aligned}}$

το οποίο είναι το ζητούμενο.

$\square$

• (Γωνία χορδής και εφαπτομένης) Η εγγεγραμμένη γωνία ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ ισούται με την γωνία της εφαπτομένης ευθείας στο σημείο ${\rm {\Gamma }}$ και της χορδής ${\rm {A\Gamma }}$.

Δείτε επίσης

• Επίκεντρη γωνία
• Ευθεία εφαπτόμενη σε κύκλο