Απόστημα χορδής

Το απόστημα ${\rm {OM}}$ της χορδής ${\rm {AB}}$.

Στην γεωμετρία, απόστημα μίας χορδής σε έναν κύκλο είναι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει το μέσο της χορδής με το κέντρο του κύκλου.

Ιδιότητες

• Το απόστημα μίας χορδής είναι και μεσοκάθετός της.

Απόδειξη  

Το απόστημα χορδής ${\rm {OM}}$ της χορδής ${\rm {AB}}$.

Έστω ένας κύκλος $(\mathrm {O} ,\rho )$ και ${\rm {AB}}$ μία χορδή του. Το τρίγωνο ${\rm {OAB}}$ είναι ισοσκελές, καθώς ${\rm {OA=OB}}$. Άρα η διάμεσος του ${\rm {OM}}$ είναι και ύψος του τριγώνου, δηλαδή ${\rm {OM\perp AB}}$. Άρα ο φορέας του αποστήματος ταυτίζεται με τη μεσοκάθετο του ${\rm {AB}}$.

• Δύο χορδές κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.

Απόδειξη  

Δύο χορδές είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.

($\Rightarrow$) Έστω ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ ίσες χορδές σε έναν κύκλο $(\mathrm {O} ,\rho )$. Φέρνουμε τα αποστήματα ${\rm {OK}}$ και ${\rm {O\Lambda }}$ και τις ακτίνες ${\rm {OA}}$ και ${\rm {O\Gamma }}$ αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ${\rm {OKA}}$ και ${\rm {O\Lambda \Gamma }}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με ρ. Έτσι και οι ${\rm {OK}}$ και ${\rm {O\Lambda }}$ θα είναι ίσες.

($\Leftarrow$) Έστω ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ χορδές σε έναν κύκλο $(\mathrm {O} ,\rho )$ με ίσα αποστήματα ${\rm {OK}}$ και ${\rm {O\Lambda }}$ αντίστοιχα. Φέρνουμε τις ακτίνες ${\rm {OA}}$ και ${\rm {O\Gamma }}$. Τα τρίγωνα ${\rm {OKA}}$ και ${\rm {O\Lambda \Gamma }}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με $\rho$. Έτσι και $\mathrm {AK} =\mathrm {\Gamma \Lambda }$, δηλαδή οι χορδές θα είναι ίσες μεταξύ τους.

Μετρικές σχέσεις

• Σε έναν κύκλο ακτίνας $R$, το απόστημα μίας χορδής μήκους $d$, έχει μήκος

$\ell ={\sqrt {R^{2}-\left({\tfrac {d}{2}}\right)^{2}}}$.

• Σε έναν κύκλο ακτίνας $R$, το απόστημα χορδής που αντιστοιχεί σε γωνία $\theta$ έχει μήκος

$\ell =R\cdot \cos {\tfrac {\theta }{2}}$.

Ανισοτικές σχέσεις

• Σε μεγαλύτερες χορδές αντιστοιχούν μικρότερα αποστήματα.

Δείτε επίσης

• Χορδή
• Κύκλος