Μηνίσκοι του Ιπποκράτη

Το άθροισμα του εμβαδού των μηνίσκων (γκρί) ισούται με το εμβαδό του ορθωγώνιου τριγώνου (πορτοκαλί).

Στην γεωμετρία, οι μηνίσκοι του Ιπποκράτη είναι δύο μηνίσκοι που σχηματίζονται από τα ημικύκλια στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Οι μηνίσκοι παίρνουν το όνομα του μαθηματικού Ιπποκράτη από τη Χίο (450 π.Χ.), ο οποίος απέδειξε ότι το εμβαδό τους είναι ίσο με το εμβαδό του τριγώνου.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ θεωρούμε τα ημικύκλια $C_{\rm {AB}}$, $C_{\rm {\Gamma A}}$, $C_{\rm {B\Gamma }}$ στις πλευρές του και του μηνίσκους $M_{\rm {AB}}=C_{\rm {AB}}-C_{\rm {B\Gamma }}$ και $M_{\rm {A\Gamma }}=C_{\rm {A\Gamma }}-C_{\rm {B\Gamma }}$. Τότε, το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των μηνίσκων

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}={\rm {E}}_{M_{\rm {AB}}}+{\rm {E}}_{M_{\rm {A\Gamma }}}$.

Απόδειξη

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι

${\rm {B\Gamma }}^{2}={\rm {AB}}^{2}+{\rm {A\Gamma }}^{2}$.

Το εμβαδόν ενός ημικυκλίου ακτίνας $r$ είναι ${\tfrac {1}{2}}\pi r^{2}$. Επομένως,

${\rm {E}}_{C_{\rm {AB}}}={\tfrac {1}{8}}\pi \cdot {\rm {AB}}^{2}$,

${\rm {E}}_{C_{\rm {A\Gamma }}}={\tfrac {1}{8}}\pi \cdot {\rm {A\Gamma }}^{2}$, και

${\rm {E}}_{C_{\rm {B\Gamma }}}={\tfrac {1}{8}}\pi \cdot {\rm {B\Gamma }}^{2}$.

Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέυσεις με την σχέση από το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε ότι το εμβαδόν του μεγάλου ημικυκλίου είναι ίσο με το άθροισμα των δύο μικρών

${\rm {E}}_{C_{\rm {B\Gamma }}}={\rm {E}}_{C_{\rm {AB}}}+{\rm {E}}_{C_{\rm {A\Gamma }}}$.

Τα ημικύκλια $C_{\rm {AB}}$, $C_{\rm {\Gamma A}}$ και το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ επικαλύπτουν πλήρως το $C_{\rm {B\Gamma }}$, επομένως

${\begin{aligned}{\rm {E}}_{M_{\rm {AB}}}+{\rm {E}}_{M_{\rm {A\Gamma }}}&={\rm {E}}_{C_{\rm {AB}}}+{\rm {E}}_{C_{\rm {A\Gamma }}}+{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}-{\rm {E}}_{C_{\rm {B\Gamma }}}\\&={\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}.\end{aligned}}$

Αναδιπλώνοντας το ημικύκλιο της υποτείνουσας και αφαιρώντας τις επιφάνειες που τέμνονται, απομένουν οι δύο εξωτερικοί μηνίσκοι (γκρι) και το ορθογώνιο τρίγωνο (πορτοκαλί).

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική απόδειξη του θεωρήματος στο Geogebra
• Οι μηνίσκοι του Ιπποκράτη στο Φωτόδεντρο.
• Τετραγωνισμός μηνίσκου στο Cut The Knot.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Postnikov, M. M. (2000). «The problem of squarable lunes». American Mathematical Monthly 107 (7): 645–651. doi:10.2307/2589121. 
• Otero, Daniel E. (2010). «The Quadrature of the Circle and Hippocrates' Lunes - Hippocrates' Lunes». Convergence. 
• Corso, Alberto (2006). «Hippocrates' Quadrature of the Lune (ca. 440 BC)». MA 330 — History of Mathematics. 

Δείτε επίσης

• Μηνίσκος
• Πυθαγόρειο θεώρημα