Ευθεία εφαπτόμενη σε κύκλο

Η εφαπτόμενη $\varepsilon$ στον κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$ στο σημείο επαφής ${\rm {A}}$.

Στην γεωμετρία, μία ευθεία λέγεται εφαπτόμενη σε έναν κύκλο εάν έχει ακριβώς ένα κοινό σημείο με αυτόν. Το σημείο αυτό ονομάζεται σημείο επαφής.

Ιδιότητες

Οι δύο εφαπτόμενες που άγονται από το σημείο ${\rm {P}}$ προς τον κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$.

• Η εφαπτόμενη $\varepsilon$ στον κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$ στο σημείο ${\rm {A}}$ είναι κάθετη στην ακτίνα ${\rm {OA}}$.
• Από κάθε εξωτερικό σημείο ${\rm {P}}$ του κύκλου άγονται δύο εφαπτόμενες στον κύκλο. Αν ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ τα σημεία επαφής τους αντίστοιχα, τότε ${\rm {PA}}={\rm {PB}}$.

Ισχύει ότι ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}={\widehat {{\rm {A\Gamma }}z}}$.

• (Γωνία χορδής και εφαπτομένης) Η εγγεγραμμένη γωνία ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ ισούται με την γωνία της εφαπτομένης ευθείας στο σημείο ${\rm {\Gamma }}$ και της χορδής ${\rm {A\Gamma }}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης της σχέσης μεταξύ εγγεγραμμένης και εφαπτομένης.

Θεωρούμε την εγγεγραμμένη γωνία ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}=\varphi$ σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$ και την εφαπτομένη ευθεία $z$ στο σημείο ${\rm {\Gamma }}$. Θα αποδείξουμε ότι ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}={\widehat {{\rm {A\Gamma }}z}}$.

Από την σχέση επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας έχουμε ότι ${\widehat {\rm {AO\Gamma }}}=2\cdot {\widehat {\rm {AB\Gamma }}}=2\varphi$. Το τρίγωνο ${\rm {AO\Gamma }}$ είναι ισοσκελές (καθώς ${\rm {OA=O\Gamma }}$ ως ακτίνες του ίδιου κύκλου) και άρα

${\widehat {\rm {OA\Gamma }}}={\widehat {\rm {O\Gamma A}}}=\omega$.

Επομένως,

$\omega ={\tfrac {1}{2}}\cdot (180^{\circ }-2\varphi )=90^{\circ }-\varphi$.

Αφού η ${\rm {O\Gamma }}\perp {\rm {\Gamma }}z$, καταλήγουμε ότι

${\widehat {{\rm {A\Gamma }}z}}=90^{\circ }-{\widehat {\rm {OA\Gamma }}}=\varphi$.

$\square$

Κοινή εφαπτομένη δύο κύκλων

Δύο κύκλοι έχουν

• Καμία κοινή εφαπτομένη (όταν ο ένας κύκλος είναι εσωτερικός του άλλου)
• Μία κοινή εφαπτόμενη (όταν εφάπτονται εσωτερικά).
• Δύο κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες (όταν τέμνονται).
• Δύο κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες και μία κοινή εφαπτόμενη (όταν εφάπτονται εξωτερικά).
• Δύο κοινές εξωτερικές και δύο εσωτερικές εφαπτόμενες (όταν ο ένας κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου).

Κοινή εφαπτομένη για εσωτερικά εφαπτόμενους κύκλους.

Οι δύο κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες δύο εξωτερικών κύκλων.

Κοινή εφαπτομένη για εξωτερικά εφαπτόμενους κύκλους.

Οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες δύο εξωτερικών κύκλων.

Δείτε επίσης

• Εγγεγραμμένη γωνία
• Κύκλος
• Ευθεία τέμνουσα κύκλου
• Δύναμη σημείου ως προς κύκλο
• Τεμνόμενοι και μη-τεμνόμενοι κύκλοι