Χορδή (γεωμετρία)

Το κόκκινο ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ είναι μια χορδή του κύκλου.

Στην γεωμετρία, χορδή είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου.

Ιδιότητες

• Σε ίσα τόξα ενός κύκλου αντιστοιχούν ίσες χορδές και αντίστροφα.

Απόδειξη  

Σε ίσα τόξα αντιστοιχούν ίσες χορδές

($\Rightarrow$) Έστω ένας κύκλος $(\mathrm {O} ,\rho )$ και ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$, ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ δύο ίσα του τόξα. Θεωρούμε τις ακτίνες ${\rm {OA}}$, ${\rm {OB}}$, ${\rm {O\Gamma }}$, ${\rm {O\Delta }}$ και τις χορδές ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$. Σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, τα τρίγωνα ${\rm {OAB}}$ και ${\rm {O\Gamma \Delta }}$ είναι ίσα. Συνεπώς θα είναι και ${\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}$.

($\Leftarrow$) Θεωρούμε δύο ίσες χορδές ${\rm {AB}}$, ${\rm {\Gamma \Delta }}$ σε κύκλο $(\mathrm {O} ,\rho )$. Τα τρίγωνα ${\rm {OAB}}$ και ${\rm {O\Gamma \Delta }}$ που σχηματίζονται είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς. Συνεπώς ${\widehat {\rm {AOB}}}={\widehat {\rm {\Gamma O\Delta }}}$ (ισότητα γωνιών) από όπου ${\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}$ (ισότητα τόξων).

• Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου προς μία χορδή του, διχοτομεί τη χορδή.

Απόδειξη  

Το απόστημα ${\rm {OM}}$ της χορδής ${\rm {AB}}$

Έστω ένας κύκλος $(\mathrm {O} ,\rho )$ και ${\rm {AB}}$ μία χορδή του. Αν ${\rm {OM}}$ είναι το απόστημα της ${\rm {AB}}$ τότε τα τρίγωνα ${\rm {OMB}}$ και ${\rm {OMA}}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη (την ${\rm {OM}}$) και τις υποτείνουσές τους ίσες (καθώς ${\rm {OA=OB}}$). Έτσι $\mathrm {MA} =\mathrm {MB}$, άρα το ${\rm {M}}$ θα είναι μέσο της ${\rm {AB}}$ και ${\widehat {\rm {MOA}}}={\widehat {\rm {MOB}}}$ (ισότητα γωνιών), δηλαδή $\mathrm {NA} =\mathrm {NB}$ (ισότητα τόξων) και το ${\rm {N}}$ είναι το μέσο του τόξου ${\rm {AB}}$.

• Δύο χορδές κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.

Απόδειξη  

Δύο χορδές είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.

($\Rightarrow$) Έστω ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ ίσες χορδές σε έναν κύκλο $(\mathrm {O} ,\rho )$. Φέρνουμε τα αποστήματα ${\rm {OK}}$ και ${\rm {O\Lambda }}$ και τις ακτίνες ${\rm {OA}}$ και ${\rm {O\Gamma }}$ αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ${\rm {OKA}}$ και ${\rm {O\Lambda \Gamma }}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με ρ. Έτσι και οι ${\rm {OK}}$ και ${\rm {O\Lambda }}$ θα είναι ίσες.

($\Leftarrow$) Έστω ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ χορδές σε έναν κύκλο $(\mathrm {O} ,\rho )$ με ίσα αποστήματα ${\rm {OK}}$ και ${\rm {O\Lambda }}$ αντίστοιχα. Φέρνουμε τις ακτίνες ${\rm {OA}}$ και ${\rm {O\Gamma }}$. Τα τρίγωνα ${\rm {OKA}}$ και ${\rm {O\Lambda \Gamma }}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με $\rho$. Έτσι και $\mathrm {AK} =\mathrm {\Gamma \Lambda }$, δηλαδή οι χορδές θα είναι ίσες μεταξύ τους.

• Κάθε χορδή σε κύκλο είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου.

Σχετικές έννοιες

Ο φορέας μίας χορδής ενός κύκλου λέγεται τέμνουσα του κύκλου.

Χορδή επαφών είναι η χορδή που συνδέει τα σημεία επαφής δυο εφαπτόμενων που φέρονται από ένα εξωτερικό σημείο του κύκλου.

Δείτε επίσης

• Τόξο (γεωμετρία)
• Κύκλος
• Ευθεία τέμνουσα κύκλου