Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Το σχήμα της ημισελήνου που σχηματίζεται από δύο τεμνόμενους κύκλους ονομάζεται μηνίσκος (με γκρι χρώμα). Υπάρχουν δύο μηνίσκοι σε κάθε διάγραμμα, εκ των οποίων μόνο ο ένας είναι σκιασμένος.
Στην επιπεδομετρία , ο μηνίσκος είναι μια κοίλη-κυρτή περιοχή που οριοθετείται από δύο τόξα δύο διαφορετικών κύκλων .
Πιο συγκεκριμένα, ένας μηνίσκος είναι το σχετικό συμπλήρωμα ενός κυκλικού δίσκου σε έναν άλλον με τον οποίο τέμνονται . Δηλαδή, μία περιοχή
L
{\displaystyle L}
C
1
{\displaystyle C_{1}}
C
2
{\displaystyle C_{2}}
[ 1] :362 [ 2]
L
=
C
1
−
C
1
∩
C
2
{\displaystyle L=C_{1}-C_{1}\cap C_{2}}
όπου
C
1
∩
C
2
{\displaystyle C_{1}\cap C_{2}}
τομή τους.
Κατά τον 5ο αιώνα π.Χ., ο Ιπποκράτης ο Χίος έδειξε ότι ορισμένοι μηνίσκοι μπορούσαν να τετραγωνιστούν ακριβώς με κανόνα και διαβήτη .
Το εμβαδόν ενός μηνίσκου που ορίζεται από τους τεμνόμενους κύκλους
(
O
1
,
r
1
)
{\displaystyle ({\rm {O_{1}}},r_{1})}
(
O
2
,
r
2
)
{\displaystyle ({\rm {O_{2}}},r_{2})}
δ
=
O
1
O
2
{\displaystyle \delta ={\rm {O_{1}O_{2}}}}
E
=
π
r
1
2
−
r
1
2
cos
−
1
(
r
1
2
+
δ
2
−
r
2
2
2
r
1
δ
)
−
r
2
2
cos
−
1
(
r
2
2
+
δ
2
−
r
1
2
2
r
2
δ
)
+
1
2
(
r
1
+
r
2
+
δ
)
⋅
(
r
1
+
r
2
−
δ
)
⋅
(
r
1
−
r
2
+
δ
)
⋅
(
−
r
1
+
r
2
+
δ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {E}}&=\pi r_{1}^{2}-r_{1}^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {r_{1}^{2}+\delta ^{2}-r_{2}^{2}}{2r_{1}\delta }}\right)-r_{2}^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {r_{2}^{2}+\delta ^{2}-r_{1}^{2}}{2r_{2}\delta }}\right)\\&\quad +{\frac {1}{2}}{\sqrt {(r_{1}+r_{2}+\delta )\cdot (r_{1}+r_{2}-\delta )\cdot (r_{1}-r_{2}+\delta )\cdot (-r_{1}+r_{2}+\delta )}}\\\end{aligned}}}
Απόδειξη
Έστω δύο κύκλοι
C
1
=
(
O
1
,
r
1
)
{\displaystyle C_{1}=({\rm {O_{1}}},r_{1})}
C
2
=
(
O
2
,
r
2
)
{\displaystyle C_{2}=({\rm {O_{2}}},r_{2})}
δ
=
O
1
O
2
{\displaystyle \delta ={\rm {O_{1}O_{2}}}}
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
B
{\displaystyle {\rm {B}}}
Έστω
S
1
{\displaystyle S_{1}}
C
1
{\displaystyle C_{1}}
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
B
{\displaystyle {\rm {B}}}
S
2
{\displaystyle S_{2}}
C
2
{\displaystyle C_{2}}
L
=
C
1
−
C
1
∩
C
2
{\displaystyle L=C_{1}-C_{1}\cap C_{2}}
E
L
=
E
C
1
−
E
C
1
∩
C
2
=
E
C
1
−
(
E
S
1
+
E
S
2
−
E
O
1
A
O
2
B
)
{\displaystyle {\rm {E}}_{L}={\rm {E}}_{C_{1}}-{\rm {E}}_{C_{1}\cap C_{2}}={\rm {E}}_{C_{1}}-({\rm {E}}_{S_{1}}+{\rm {E}}_{S_{2}}-{\rm {E}}_{\rm {O_{1}AO_{2}B}})}
Το εμβαδόν του τετραπλεύρου
O
1
A
O
2
B
{\displaystyle {\rm {O_{1}AO_{2}B}}}
O
1
A
O
2
{\displaystyle {\rm {O_{1}AO_{2}}}}
τύπο του Ήρωνα , λαμβάνουμε ότι
E
O
1
A
O
2
B
=
2
E
O
1
A
O
2
B
=
1
2
(
r
1
+
r
2
+
δ
)
⋅
(
r
1
+
r
2
−
δ
)
⋅
(
r
1
−
r
2
+
δ
)
⋅
(
−
r
1
+
r
2
+
δ
)
.
{\displaystyle {\rm {E}}_{\rm {O_{1}AO_{2}B}}=2{\rm {E}}_{\rm {O_{1}AO_{2}B}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {(r_{1}+r_{2}+\delta )\cdot (r_{1}+r_{2}-\delta )\cdot (r_{1}-r_{2}+\delta )\cdot (-r_{1}+r_{2}+\delta )}}.}
Από τον νόμο των συνημιτόνων , έχουμε
A
O
1
B
^
=
2
cos
−
1
(
r
1
2
+
δ
2
−
r
2
2
2
r
1
δ
)
{\displaystyle {\widehat {\rm {AO_{1}B}}}=2\cos ^{-1}\left({\frac {r_{1}^{2}+\delta ^{2}-r_{2}^{2}}{2r_{1}\delta }}\right)}
A
O
2
B
^
=
2
cos
−
1
(
r
2
2
+
δ
2
−
r
1
2
2
r
2
δ
)
{\displaystyle {\widehat {\rm {AO_{2}B}}}=2\cos ^{-1}\left({\frac {r_{2}^{2}+\delta ^{2}-r_{1}^{2}}{2r_{2}\delta }}\right)}
Τα εμβαδά των κυκλικών τομέων δίνονται από
E
S
1
=
r
1
2
⋅
A
O
1
B
^
{\displaystyle {\rm {E}}_{S_{1}}=r_{1}^{2}\cdot {\widehat {\rm {AO_{1}B}}}}
E
S
2
=
r
2
2
⋅
A
O
2
B
^
{\displaystyle {\rm {E}}_{S_{2}}=r_{2}^{2}\cdot {\widehat {\rm {AO_{2}B}}}}
Συνδυάζοντας τους παραπάνω τύπους λαμβάνουμε τον ζητούμενο.
↑ Πάμφιλος, Πάρις (2016). Γεωμετρικόν (PDF) . ↑ Αργυρόπουλος Ηλίας· Βλάμος Παναγιώτης· Κατσουλης Γεωργιος· Μαρκατης Στυλιανος· Σιδερης Πολυχρονης. «Κεφάλαιο 11: Μέτρηση κύκλου». Ευκλείδεια Γεωμετρία
Μέρη Γωνίες Περίμετρος/Εμβαδόν Σχετικές θέσεις
Κύκλοι τριγώνου Κύκλοι τριγώνου Σχετικά πολύγωνα Σχετικά σχήματα
