Τόξο (γεωμετρία)

Ελάσσον τόξο ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ και η αντίστοιχη κυρτή επίκεντρη γωνία του ${\widehat {\rm {AOB}}}$.

Μείζον τόξο ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ και η αντίστοιχη μη-κυρτή επίκεντρη γωνία του ${\widehat {\rm {AOB}}}$.

Στην γεωμετρία, τόξο ενός κύκλου λέγεται το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τα κοινά σημεία του κύκλου και μιας επίκεντρης γωνίας του.

Το τόξο αυτό λέγεται το αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας, και λέμε ότι η επίκεντρη γωνία βαίνει σε αυτό.

Δύο σημεία του κύκλου ορίζουν πάνω στον κύκλο δύο τόξα, το ελάσσον τόξο, που αντιστοιχεί στην κυρτή επίκεντρη γωνία, και το μείζον τόξο που αντιστοιχεί στην μη-κυρτή επίκεντρη γωνία.

Μήκος τόξου

Σε έναν κύκλο ακτίνας $\rho$, ένα τόξο με αντίστοιχη επίκεντρη γωνία

• $\theta$ ακτινίων έχει μήκος ${\ell }=\rho \cdot \theta$ και

• $\mu$ μοιρών έχει μήκος ${\ell }=2\pi \rho \cdot {\frac {\mu }{360}}$.

Ιδιότητες

• Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους, ίσες επίκεντρες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα. Αντίστροφα, στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους, ίσα τόξα φαίνονται υπό ίσες επίκεντρες γωνίες.

Απόδειξη  

($\Rightarrow$) Έστω $({\rm {O}},\rho )$ ένας κύκλος και ${\rm {\widehat {AOB}}}$, ${\rm {\widehat {\Gamma O\Delta }}}$ ίσες επίκεντρες γωνίες που βαίνουν αντίστοιχα στα τόξα ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ και ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$. Μετατοπίζουμε τη γωνία ${\widehat {\rm {\Gamma O\Delta }}}$ έτσι ώστε η ημιευθεία ${\rm {O\Delta }}$ να ταυτιστεί με την ημιευθεία ${\rm {OB}}$. Τότε η ημιευθεία ${\rm {O\Gamma }}$ θα ταυτιστεί με την ημιευθεία ${\rm {OA}}$ από την ισότητα των γωνιών και τα σημεία $\Gamma$ και ${\rm {\Delta }}$ θα ταυτιστούν με τα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ αντίστοιχα επειδή ${\rm {OA=OB=O\Gamma =O\Delta =\rho }}$ (ισότητα ευθύγραμμων τμημάτων).

Επίσης, κάθε σημείο του τόξου ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ συμπίπτει κατά τη μετατόπισή του με ένα σημείο του τόξου ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$: αν υπήρχε σημείο του τόξου ${\rm {\Gamma \Delta }}$ που δεν θα ανήκε στο τόξο ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$, τότε θα έπρεπε να είναι είτε εξωτερικό είτε εσωτερικό σημείο του κύκλου, που είναι σε κάθε περίπτωση αδύνατο αφού είναι σημείο τόξου του κύκλου (απαγωγή σε άτοπο)· συνεπώς τα τόξα είναι ίσα.

Ίσες επίκεντρες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα και αντίστροφα.

($\Leftarrow$) Ας είναι $(\mathrm {O} ,\rho )$ ένας κύκλος και ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$, ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ ίσα τόξα που φαίνονται αντίστοιχα υπό τις επίκεντρες γωνίες ${\widehat {\rm {AOB}}}$ και ${\widehat {\rm {\Gamma O\Delta }}}$. Μετατοπίζουμε το τόξο ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ έτσι ώστε να ταυτιστεί με το τόξο ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$. Τότε η πλευρά ${\rm {O\Gamma }}$ ταυτίζεται με την ${\rm {OA}}$ και η ${\rm {O\Delta }}$ ταυτίζεται με την ${\rm {OB}}$ και έτσι οι γωνίες είναι ίσες.$\quad \square$

• Μέσο ενός τόξου ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ είναι ένα σημείο ${\rm {N}}$ στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε τα τόξα ${\overset {\frown }{\rm {AN}}}$ και ${\overset {\frown }{\rm {NB}}}$ να είναι ίσα. Κάθε τόξο έχει ένα μόνο μέσο.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Αν ${\rm {N}}$ είναι το μέσο ενός τόξου ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$, τότε θα είναι ${\overset {\frown }{\rm {AN}}}={\overset {\frown }{\rm {NB}}}$ (ισότητα τόξων). Για τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες θα ισχύει ${\widehat {\rm {AON}}}={\widehat {\rm {NOB}}}$ (ισότητα γωνιών), που σημαίνει ότι η ημιευθεία ${\rm {ON}}$ είναι η διχοτόμος της γωνίας ${\widehat {\rm {AOB}}}$. Η διχοτόμος μίας γωνίας όμως είναι μοναδική, συνεπώς το ${\rm {N}}$ θα είναι και αυτό μοναδικό.$\quad \square$

• Ο φορέας του αποστήματος μίας χορδής, διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο.

Απόδειξη  

Το απόστημα ${\rm {OM}}$ της χορδής ${\rm {AB}}$

Έστω ένας κύκλος $(\mathrm {O} ,\rho )$ και ${\rm {AB}}$ μία χορδή του. Αν ${\rm {OM}}$ είναι το απόστημα της ${\rm {AB}}$ τότε τα τρίγωνα ${\rm {OMB}}$ και ${\rm {OMA}}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και υποτείνουσα ίση. Έτσι $\mathrm {MA} =\mathrm {MB}$, άρα το ${\rm {M}}$ θα είναι μέσο της ${\rm {AB}}$ και ${\widehat {\rm {MOA}}}={\widehat {\rm {MOB}}}$ (ισότητα γωνιών), δηλαδή ${\overset {\frown }{\rm {NA}}}={\overset {\frown }{\rm {NB}}}$ (ισότητα τόξων) και το ${\rm {N}}$ είναι το μέσο του τόξου ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$.$\quad \square$

• Σε έναν κύκλο τα τόξα που περιέχονται μεταξύ παραλλήλων χορδών του κύκλου είναι ίσα, και αντιστρόφως.

Απόδειξη  

Τόξα μεταξύ παραλλήλων χορδών.

($\Rightarrow$) Έστω ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ δύο παράλληλες χορδές σε έναν κύκλο $(\mathrm {O} ,\rho )$.

Οι εγγεγραμμένες στον κύκλο γωνίες ${\widehat {\rm {A\Gamma \Delta }}}$ και ${\widehat {\rm {\Gamma AB}}}$ είναι ίσες ως εντός και εναλλάξ των παραλλήλων ${\rm {AB||\Gamma \Delta }}$ που τέμνονται από την ${\rm {A\Gamma }}$.

Σύμφωνα την ιδιότητα ότι ίσες εγγεγραμμένες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα έπεται ότι είναι ${\overset {\frown }{\rm {A\Delta }}}={\overset {\frown }{\rm {B\Gamma }}}$.

($\Leftarrow$) Έστω ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ δύο χορδές σε έναν κύκλο $(\mathrm {O} ,\rho )$ με ${\overset {\frown }{\rm {A\Delta }}}={\overset {\frown }{\rm {B\Gamma }}}$.

Οι εγγεγραμμένες στον κύκλο γωνίες ${\widehat {\rm {A\Gamma \Delta }}}$ και ${\widehat {\rm {\Gamma AB}}}$ είναι ίσες διότι βαίνουν σε ίσα τόξα.

Συνεπώς οι ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ τεμνόμενες από την ${\rm {A\Gamma }}$ σχηματίζουν τις εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες άρα είναι παράλληλες.

Ανισοτικές σχέσεις

• Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους, σε άνισα τόξα αντιστοιχούν άνισες χορδές και στο μεγαλύτερο τόξο αντιστοιχεί η μεγαλύτερη χορδή, εφ' όσον το τόξο δεν είναι μεγαλύτερο από το ημικύκλιο και αντιστρόφως.

Απόδειξη  

Μεγαλύτερη επίκεντρη γωνία αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη χορδή.

Θεωρούμε δύο ίσους κύκλους $(\mathrm {O_{1}} ,\rho )$ και $(\mathrm {O_{2}} ,\rho )$.

($\Rightarrow$)Έστω τα τόξα ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ στον κύκλο $(\mathrm {O_{1}} ,\rho )$ και ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ στον κύκλο $(\mathrm {O_{2}} ,\rho )$ τέτοια ώστε ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}>{\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$. Θα αποδείξουμε ότι είναι ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$.

Επειδή είναι ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}>{\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ θα είναι και ${\widehat {\rm {AO_{1}B}}}>{\widehat {\rm {\Gamma O_{2}\Delta }}}$.

Τα τρίγωνα ${\rm {AO_{1}B}}$ και ${\rm {\Gamma O_{2}\Delta }}$ έχουν δύο πλευρές τους ίσες ${\rm {O_{1}A=O_{1}B=O_{2}\Gamma =O_{2}\Delta =\rho }}$ και τις περιεχόμενες γωνίες τους άνισες ${\widehat {\rm {AO_{1}B}}}>{\widehat {\rm {\Gamma O_{2}\Delta }}}$ άρα είναι και ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$.

($\Leftarrow$)Έστω τα τόξα ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ στον κύκλο $(\mathrm {O_{1}} ,\rho )$ και ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ στον κύκλο $(\mathrm {O_{2}} ,\rho )$ τέτοια ώστε ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$. Θα αποδείξουμε ότι είναι ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}>{\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$.

Τα τρίγωνα ${\rm {AO_{1}B}}$ και ${\rm {\Gamma O_{2}\Delta }}$ έχουν δύο πλευρές του ίσες ${\rm {O_{1}A=O_{1}B=O_{2}\Gamma =O_{2}\Delta =\rho }}$ και τις άλλες πλευρές τους άνισες ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$ άρα έχουν τις περιεχόμενες των ίσων πλευρών γωνίες τους άνισες δηλαδή είναι ${\widehat {\rm {AO_{1}B}}}>{\widehat {\rm {\Gamma O_{2}\Delta }}}$.$\quad \square$

Γωνία με κορυφή εντός κύκλου

Γωνία ως άθροισμα δύο εγγεγραμμένων γωνιών

Θεώρημα — Κάθε γωνία η οποία έχει την κορυφή της εντός κύκλου, ισούται με το άθροισμα των δύο εγγεγραμμένων γωνιών, οι οποίες βαίνου στα τόξα που περιλαμβάνονται μεταξύ των πλευρών της γωνίας και της κατά κορυφήν της.

Απόδειξη  

Έστω η γωνία ${\rm {\widehat {BA\Gamma }}}$, της οποίας η κορυφή ${\rm {A}}$ βρίσκεται εντός του κύκλου. Οι πλευρές της γωνίας τέμνουν τον κύκλο στα σημεία ${\rm {B}}$, ${\rm {\Gamma }}$ και οι πλευρές της κατά κορυφήν της στα σημεία ${\rm {\Delta }}$, ${\rm {E}}$.

Φέρνουμε την ${\rm {BE}}$. Θα αποδείξουμε ότι ${\rm {{\widehat {BA\Gamma }}={\widehat {BE\Gamma }}+{\widehat {EB\Delta }}}}$.

Στο τρίγωνο ${\rm {BAE}}$ η γωνία ${\rm {\widehat {BA\Gamma }}}$ είναι εξωτερική του και ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών,

δηλαδή ${\rm {{\widehat {BA\Gamma }}={\widehat {BE\Gamma }}+{\widehat {EB\Delta }}}}$.

$\square$

Παρατήρηση. Επειδή κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του τόξου στο οποίο βαίνει, από το παραπάνω θεώρημα προκύπτει ότι

${\rm {{\widehat {BA\Gamma }}={\frac {{\overset {\frown }{\rm {B\Gamma }}}+{\overset {\frown }{\rm {E\Delta }}}}{2}}}}$.

Πόρισμα: Κάθε γωνία η οποία έχει την κορυφή της εντός κύκλου, είναι μεγαλύτερη από την εγγεγραμμένη που βαίνει στο ίδιο τόξο. Είναι δηλαδή ${\rm {{\widehat {BA\Gamma }}>{\widehat {BE\Gamma }}}}$.

Γωνία με κορυφή εκτός κύκλου

Γωνία ως διαφορά δύο εγγεγραμμένων γωνιών

Θεώρημα — Κάθε γωνία η οποία έχει την κορυφή της εκτός κύκλου, και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο, ισούται με την διαφορά των δύο εγγεγραμμένων γωνιών, οι οποίες βαίνου στα τόξα που περιλαμβάνονται μεταξύ των πλευρών της γωνίας.

Απόδειξη  

Έστω η γωνία ${\rm {\widehat {BA\Gamma }}}$, της οποίας η κορυφή ${\rm {A}}$ βρίσκεται εκτός του κύκλου. Οι πλευρές της γωνίας τέμνουν τον κύκλο στα σημεία ${\rm {B}}$, ${\rm {\Gamma }}$, ${\rm {\Delta }}$, ${\rm {E}}$.

Φέρνουμε την ${\rm {BE}}$. Θα αποδείξουμε ότι ${\rm {{\widehat {BA\Gamma }}={\widehat {BE\Gamma }}-{\widehat {EB\Delta }}}}$.

Στο τρίγωνο ${\rm {BAE}}$ η γωνία ${\rm {\widehat {BE\Gamma }}}$ είναι εξωτερική του και ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών, δηλαδή ${\rm {{\widehat {BA\Gamma }}+{\widehat {EB\Delta }}={\widehat {BE\Gamma }}}}$.

Άρα είναι ${\rm {{\widehat {BA\Gamma }}={\widehat {BE\Gamma }}-{\widehat {EB\Delta }}}}$.

$\square$

Παρατήρηση. Επειδή κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του τόξου στο οποίο βαίνει, από το παραπάνω θεώρημα προκύπτει ότι

${\rm {{\widehat {BA\Gamma }}={\frac {{\overset {\frown }{\rm {B\Gamma }}}-{\overset {\frown }{\rm {\Delta E}}}}{2}}}}$.

Πόρισμα: Κάθε γωνία η οποία έχει την κορυφή της εκτός κύκλου, και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο, είναι μικρότερη από την εγγεγραμμένη που βαίνει στο μεγαλύτερο από τα δύο τόξα που περιλαμβάνονται μεταξύ των πλευρών της. Είναι δηλαδή ${\rm {{\widehat {BA\Gamma }}>{\widehat {BE\Gamma }}}}$.

Σύγκριση τόξων και πράξεις

• Σε έναν κύκλο, θα λέμε ότι ένα τόξο είναι μεγαλύτερο ή ίσο ή μικρότερο από ένα άλλο όταν η επίκεντρη γωνία του πρώτου είναι μεγαλύτερη ή ίση ή μικρότερη από την επίκεντρη γωνία του άλλου.
• Οι πράξεις στα τόξα (προσθαφαίρεση τόξου με τόξο και πολλαπλασιασμός - διαίρεση τόξου με αριθμό) ορίζονται με βάση τις επίκεντρες γωνίες όπου αντιστοιχούν. Σε κάθε περίπτωση, το τόξο-αποτέλεσμα της πράξης είναι το τόξο που αντιστοιχεί στην επίκεντρη γωνία-αποτέλεσμα της αντίστοιχης πράξης.
• Επειδή, σύμφωνα με το θεώρημα αντιστοιχίας, ίσα τόξα αντιστοιχούν σε ίσες επίκεντρες γωνίες, μπορούμε να αναγάγουμε τη μέτρηση των γωνιών στη μέτρηση των τόξων. Έτσι όταν λέμε άνοιγμα γωνίας μπορούμε εναλλακτικά να εννοούμε το μήκος του αντίστοιχου τόξου της, αν αυτή θεωρηθεί ως επίκεντρη. Στη μέτρηση σε μοίρες λοιπόν, το άνοιγμα της μοναδιαίας γωνίας θα ισούται με 1°, της πλήρους γωνίας με 360°, της ευθείας γωνίας με 180°, και της ορθής με 90°.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για το μήκος τόξου στο Φωτόδεντρο.
• Διαδραστική εφαρμογή για την γωνία και το μήκος τόξου στο Φωτόδεντρο.
• Υπολογίζοντας τα μέτρα τόξων στο Φωτόδεντρο.
• Διαδραστική εφαρμογή για την σύγκριση τόξων στο Φωτόδεντρο.

Δείτε επίσης

• Κύκλος
• Χορδή (γεωμετρία)
• Κυκλικός δίσκος