Εγγεγραμμένη γωνία

Η γωνία ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$.

Στην γεωμετρία, μία γωνία ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ είναι εγγεγραμμένη σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$ αν τα ${\rm {A,B,\Gamma }}$ είναι σημεία του κύκλου.

Ιδιότητες

• Για κάθε εγγεγραμμένη γωνία ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$, η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία ${\rm {\widehat {AO\Gamma }}}$ είναι διπλάσια.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης της σχέσης μεταξύ επίκεντρης και εγγεραμμένης γωνίας.

Θεωρούμε τα ${\rm {OA,OB,O\Gamma }}$, τα οποία είναι ίσα ως ακτίνες του ίδιου κύκλου. Επομένως, τα τρίγωνα ${\rm {AOB}}$ και ${\rm {BO\Gamma }}$ είναι ισοσκελή. Έτσι προκύπτει ότι ${\rm {{\widehat {OBA}}={\widehat {OAB}}=x}}$ και ${\rm {{\widehat {B\Gamma O}}={\widehat {\Gamma BO}}=y}}$.

Αφού οι γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα $180^{\circ }$, έχουμε ότι ${\widehat {\rm {AOB}}}=180^{\circ }-2x$ και ${\widehat {\rm {BO\Gamma }}}=180^{\circ }-2y$. Επομένως,

${\begin{aligned}{\widehat {\rm {AO\Gamma }}}&=360^{\circ }-(180^{\circ }-2x)-(180^{\circ }-2y)\\&=2x+2y=2\cdot (x+y)\\&=2\cdot {\widehat {\rm {AB\Gamma }}}.\end{aligned}}$.

• Η εγγεγραμμένη γωνία ${\rm {AB\Gamma }}$ ισούται με την γωνία της εφαπτομένης στο σημείο ${\rm {A}}$ και της χορδής ${\rm {A\Gamma }}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης της σχέσης μεταξύ εγγεγραμμένης και εφαπτομένης.

Από την προηγούμενη ιδιότητα έχουμε ότι ${\widehat {\rm {AO\Gamma }}}=2\cdot {\widehat {\rm {AB\Gamma }}}=2x$. Το τρίγωνο ${\rm {AO\Gamma }}$ είναι ισοσκελές και επομένως,

$y={\tfrac {1}{2}}\cdot (180^{\circ }-2x)=90^{\circ }-x$.

Αφού η ${\rm {O\Gamma \perp \Gamma z}}$, έχουμε ότι ${\widehat {\rm {A\Gamma z}}}=90^{\circ }-(90^{\circ }-{\widehat {\rm {O\Gamma A}}})=x$.

Δείτε επίσης

• Επίκεντρη γωνία
• Ευθεία εφαπτόμενη σε κύκλο