Κυκλικός τομέας

Κυκλικός τομέας που αντιστοιχεί στην γωνία ${\rm {\widehat {AOB}}}$.

Στην γεωμετρία, κυκλικός τομέας είναι το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τα κοινά σημεία ενός κυκλικού δίσκου και μίας επίκεντρης γωνίας του, όπως είναι το γραμμοσκιασμένο σύνολο διπλανού σχήματος.

Ειδικές περιπτώσεις κυκλικού τομέα είναι το τεταρτημόριο, το ημικύκλιο και ο κύκλος, με επίκεντρες γωνίες 90°, 180° και 360° αντίστοιχα.

Εμβαδόν

Σε έναν κύκλο ακτίνας $\rho$, το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία μέτρου

• $\theta$ ακτινίων είναι ίσο με ${\rm {E}}={\frac {1}{2}}\rho ^{2}\cdot \theta$ και
• $\mu$ μοιρών είναι ίσο με ${\rm {E}}=\pi \rho ^{2}\cdot {\frac {\mu }{360}}$.

Απόδειξη (Με αναλογία)  

Ο κύκλος έχει εμβαδόν $\pi \rho ^{2}$ και αντιστοιχεί σε κυκλικό τομέα $2\pi$ ακτινίων. Λόγω της αναλογίας, προκύπτει ότι ο κυκλικός τομέας $\theta$ ακτινίων έχει εμβαδόν ίσο με ${\frac {\theta }{2\pi }}$ του εμβαδού του κύκλου, δηλαδή

${\rm {E}}={\frac {\theta }{2\pi }}\cdot \pi \rho ^{2}={\frac {1}{2}}\rho ^{2}\cdot \theta$.

Αν αντικαταστήσουμε το $\theta$ με ${\frac {2\pi \mu }{360}}$ έχουμε ${\rm {E}}=\pi \rho ^{2}\cdot {\frac {\mu }{360}}$.

Απόδειξη (Με ολοκλήρωμα)  

Σχήμα απόδειξης για το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα με χρήση ολοκληρώματος.

Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα είναι ίσο με το ολοκλήρωμα

${\rm {E}}=\int _{0}^{\rho }\int _{0}^{\theta }rd\phi dr=\int _{0}^{\rho }r\phi {\Big \vert }_{0}^{\theta }dr=\int _{0}^{\rho }r\theta dr={\frac {1}{2}}r^{2}\theta {\Big \vert }_{0}^{\rho }={\frac {1}{2}}\rho ^{2}\cdot \theta .$

Περίμετρος

Σε έναν κύκλο ακτίνας $\rho$, η περίμετρος ενός κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία μέτρου $\theta$ ακτινίων είναι ίση με

${\ell }=2\rho +\rho \cdot \theta$.

Ο τύπος αυτός προκύπτει από το άθροισμα των δύο ακτίνων ${\rm {OA,OB}}$ και του τόξου ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$.

Ειδικές περιπτώσεις

Ειδικές περιπτώσεις κυκλικού τομέα είναι

• το τεταρτημόριο, που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 90° (ορθή γωνία).
• το ημικύκλιο, που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 180° (ευθεία γωνία).
• ο κύκλος, που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 360° (πλήρης γωνία).

Τεταρτημόριο

Ημικύκλιο

Κύκλος

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ο κυκλικός τομέας ως κλάσμα στο Φωτόδεντρο.
• Μήκος τόξου και εμβαδόν κυκλικού τομέα στο Geogebra.
• Εμβαδόν κυκλικού τομέα στο Geogebra.

Δείτε επίσης

• Κύκλος
• Τόξο (γεωμετρία)
• Ημικύκλιο
• Κυκλικό τμήμα