Σταθερά (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, η λέξη σταθερά αποδίδει πολλαπλές έννοιες. Ως επίθετο, αναφέρεται στη μη μεταβολή (δηλ. αμετάβλητη σε σχέση με κάποια άλλη τιμή)- ως ουσιαστικό, έχει δύο διαφορετικές σημασίες:

Ένας σταθερός και καλά καθορισμένος αριθμός ή άλλο μη μεταβαλλόμενο μαθηματικό αντικείμενο, ή το σύμβολο που το δηλώνει.^[1]^[2] Οι όροι μαθηματική σταθερά ή φυσική σταθερά χρησιμοποιούνται μερικές φορές για να διακρίνουν αυτή την έννοια^[3].
Μια συνάρτηση της οποίας η τιμή παραμένει αμετάβλητη (δηλ. μια σταθερή συνάρτηση).^[4] Μια τέτοια σταθερά αναπαρίσταται συνήθως από μια μεταβλητή η οποία δεν εξαρτάται από την κύρια μεταβλητή (ή τις κύριες μεταβλητές).

Παραδείγματος χάριν, μια γενική τετραγωνική συνάρτηση γράφεται συνήθως ως:

ax^{2}+bx+c\,,

όπου $a$ , $b$ και $c$ είναι σταθερές (συντελεστές ή παράμετροι), και $x$ μια μεταβλητή - ένας χώρος τοποθέτησης για το όρισμα της συνάρτησης που μελετάται. Ένας πιο σαφής τρόπος για να δηλώσουμε αυτή τη συνάρτηση είναι

x\mapsto ax^{2}+bx+c\,,

το οποίο καθιστά σαφές το καθεστώς ως όρισμα συνάρτησης του $x$ (και κατ' επέκταση τη σταθερότητα των $a$ , $b$ και $c$ ). Σε αυτό το παράδειγμα τα $a$ , $b$ και $c$ είναι συντελεστές του πολυωνύμου. Εφόσον το $c$ εμφανίζεται σε έναν όρο που δεν περιλαμβάνει το $x$ , ονομάζεται σταθερός όρος του πολυωνύμου και μπορεί να θεωρηθεί ως ο συντελεστής του $x 0$ . Γενικότερα, κάθε πολυωνυμικός όρος ή έκφραση μηδενικού βαθμού (χωρίς μεταβλητή) είναι σταθερά.^[5]^:18

Σταθερή συνάρτηση

Κύριο άρθρο: Σταθερή συνάρτηση

Μια σταθερά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό μιας σταθερής συνάρτησης που αγνοεί τα ορίσματά της και δίνει πάντα την ίδια τιμή.^[6] Μια σταθερή συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής, όπως $f(x)=5$ έχει γραφική παράσταση μια οριζόντια γραμμή παράλληλη με τον άξονα x^[7]. Μια τέτοια συνάρτηση παίρνει πάντα την ίδια τιμή (στην προκειμένη περίπτωση 5), επειδή η μεταβλητή δεν εμφανίζεται στην έκφραση που ορίζει τη συνάρτηση.

Εξάρτηση από το περιβάλλον

Ο εξαρτώμενος από τα συμφραζόμενα χαρακτήρας της έννοιας «σταθερά» μπορεί να φανεί σε αυτό το παράδειγμα από τον στοιχειώδη λογισμό:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}2^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{x+h}-2^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}2^{x}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\[8pt]&=2^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}&&{\text{since }}x{\text{ is constant (i.e. does not depend on }}h{\text{)}}\\[8pt]&=2^{x}\cdot \mathbf {constant,} &&{\text{where }}\mathbf {constant} {\text{ means not depending on }}x.\end{aligned}}

«Σταθερά» σημαίνει ότι δεν εξαρτάται από κάποια μεταβλητή, δεν αλλάζει καθώς η μεταβλητή αυτή αλλάζει. Στην πρώτη περίπτωση παραπάνω, σημαίνει ότι δεν εξαρτάται από το h- στη δεύτερη, σημαίνει ότι δεν εξαρτάται από το x. Μια σταθερά σε ένα στενότερο πλαίσιο θα μπορούσε να θεωρηθεί ως μεταβλητή σε ένα ευρύτερο πλαίσιο.

Αξιοσημείωτες μαθηματικές σταθερές

Κύριο άρθρο: Μαθηματική σταθερά

Ορισμένες τιμές εμφανίζονται συχνά στα μαθηματικά και συμβολίζονται συμβατικά με ένα συγκεκριμένο σύμβολο. Αυτά τα τυποποιημένα σύμβολα και οι τιμές τους ονομάζονται μαθηματικές σταθερές. Παραδείγματα περιλαμβάνουν:

0 (μηδέν).
1 (ένα), ο φυσικός αριθμός μετά το μηδέν.
$π$ (π), η σταθερά που αντιπροσωπεύει τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, περίπου ίση με 3,141592653589793238462643.^[8]
$e$ περίπου 2,718281828459045235360287.^[9]
$i$ , τη φανταστική μονάδα, έτσι ώστε $i 2 = -1$ .^[10]
${\sqrt {2}}$ (τετραγωνική ρίζα του 2), το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με μοναδιαίες πλευρές, περίπου ίσο με 1.414213562373095048801688.^[11]
$φ$ (χρυσή τομή), περίπου ίση με 1,618033988749894848204586, ή αλγεβρικά, $1+{\sqrt {5}} \over 2$ .^[12]

Σταθερές στον λογισμό

Στον λογισμό, οι σταθερές αντιμετωπίζονται με διάφορους τρόπους ανάλογα με την πράξη. Παραδείγματος χάριν, η παράγωγος (ρυθμός μεταβολής) μιας σταθερής συνάρτησης είναι μηδέν. Αυτό συμβαίνει επειδή οι σταθερές, εξ ορισμού, δεν μεταβάλλονται. Συνεπώς, η παράγωγος τους είναι μηδέν.

Αντίθετα, όταν η αντιπαράγωγος είναι μια σταθερή συνάρτηση, η σταθερά πολλαπλασιάζεται με τη μεταβλητή ολοκλήρωσης.

Κατά τη διάρκεια της αξιολόγησης ενός ορίου, μια σταθερά παραμένει η ίδια όπως ήταν πριν και μετά την αξιολόγηση.

Η ολοκλήρωση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής συχνά περιλαμβάνει μια σταθερά ολοκλήρωσης. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι το ολοκλήρωμα είναι το αντίστροφο (αντίθετο) της παραγώγου που σημαίνει ότι ο στόχος της ολοκλήρωσης είναι η ανάκτηση της αρχικής συνάρτησης πριν από τη διαφοροποίηση. Η παράγωγος μιας σταθερής συνάρτησης είναι μηδέν, όπως προαναφέρθηκε, και ο διαφορικός τελεστής είναι γραμμικός τελεστής, οπότε συναρτήσεις που διαφέρουν μόνο κατά ένα σταθερό όρο έχουν την ίδια παράγωγο. Για να αναγνωριστεί αυτό, προστίθεται μια σταθερά ολοκλήρωσης σε ένα αόριστο ολοκλήρωμα- αυτό εξασφαλίζει ότι περιλαμβάνονται όλες οι πιθανές λύσεις. Η σταθερά ολοκλήρωσης γράφεται γενικά ως 'c' και αντιπροσωπεύει μια σταθερά με σταθερή αλλά απροσδιόριστη τιμή.

Παραδείγματα

Αν $f$ είναι η σταθερή συνάρτηση τέτοια ώστε $f(x)=72$ για κάθε $x$ τότε

{\begin{aligned}f'(x)&=0\\\int f(x)\,dx&=72x+c\\\lim _{x\rightarrow 0}f(x)&=72\end{aligned}}

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Flesher, Jeffrey. The Principles of the Trinary Universe. Lulu.com. ISBN 978-0-359-43790-0.
Sierpinska, Anna· Kilpatrick, Jeremy (14 Μαρτίου 2013). Mathematics Education as a Research Domain: A Search for Identity: An ICMI Study Book 1. Springer. ISBN 978-94-011-5194-8.
Ahram, Tareq· Karwowski, Waldemar (16 Οκτωβρίου 2018). Human Systems Engineering and Design: Proceedings of the 1st International Conference on Human Systems Engineering and Design (IHSED2018): Future Trends and Applications, October 25-27, 2018, CHU-Université de Reims Champagne-Ardenne, France. Springer. ISBN 978-3-030-02053-8.
Bennet, J. Lisy· Kumar, S. Chandra. A Study on Graph Labeling Problems. Infinite Study.
Dunham, William (13 Ιανουαρίου 2022). Euler: The Master of Us All. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-6618-3.
Boeck, Paul de· Wilson, Mark (9 Μαρτίου 2013). Explanatory Item Response Models: A Generalized Linear and Nonlinear Approach. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3990-9.
Kappy, Michael S. (7 Απριλίου 2015). Advances in Pediatrics 2014: Advances in Pediatrics 2014. Elsevier Health Sciences. ISBN 978-0-323-26462-4.
Bylund, Per· Howden, David (6 Ιουλίου 2015). The Next Generation of Austrian Economics. Ludwig von Mises Institute. ISBN 978-1-61016-636-2.

Παραπομπές

↑ Sobolev, S. K. (2001), «Constant», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Main_Page
↑ Sobolev, S. K. (2001), «Individual constant», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Main_Page
↑ «Definition of CONSTANT». www.merriam-webster.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 9 Νοεμβρίου 2021.
↑ Weisstein, Eric W., "Σταθερά (μαθηματικά)" από το MathWorld.
↑ Foerster, Paul A. (2006). Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition (Classics έκδοση). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-165711-9.
↑ Tanton, James (2005). Encyclopedia of mathematics. New York: Facts on File. ISBN 0-8160-5124-0. OCLC 56057904.
↑ «Algebra». tutorial.math.lamar.edu. Ανακτήθηκε στις 9 Νοεμβρίου 2021.
↑ Arndt, Jörg· Haenel, Christoph (2001). Pi – Unleashed. Springer. σελ. 240. ISBN 978-3540665724.
↑ Weisstein, Eric W., "e" από το MathWorld.
↑ Weisstein, Eric W., "i" από το MathWorld.
↑ Weisstein, Eric W., "Pythagoras's Constant" από το MathWorld.
↑ Weisstein, Eric W., "Golden Ratio" από το MathWorld.

Bluman, Allan (2010). Pre-Algebra DeMYSTiFieD (Second έκδοση). McGraw-Hill Professional. ISBN 978-0-07-174251-1 – μέσω Google Books.
Carothers, N.L. (2000). Real Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-49756-5 – μέσω Google Books.
Clapham, Christopher· Nicholson, James (2014). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (Fifth έκδοση). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-967959-1 – μέσω Google Books.
Dedekind, Richard (1963) [1901]. Essays on the Theory of Numbers. Μτφρ. Beman, Wooster Woodruff (reprint έκδοση). Dover Books. ISBN 978-0-486-21010-0 – μέσω Archive.org.
en:George W. Mackey, Harmonic analysis as the exploitation of symmetry–a historical survey, Bull. Amer. Math. Soc. 3 (1980), 543–698.
M. Bujosa, A. Bujosa and A. Garcıa-Ferrer. Mathematical Framework for Pseudo-Spectra of Linear Stochastic Difference Equations, IEEE Transactions on Signal Processing vol. 63 (2015), 6498–6509.
Wallach, Nolan R (1976), «On the Enright-Varadarajan modules: a construction of the discrete series», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 4 (1): 81–101, doi:10.24033/asens.1304
Luiz, Atílio; Richter, Bruce (2014), «Remarks on a conjecture of Barát and Tóth», Electronic Journal of Combinatorics 21 (1): P1.57, doi:10.37236/3396, http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v21i1p57 .

Πηγές

Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0
Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9
Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7
Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0.
Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4.
Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ
Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0

[1] Sobolev, S. K. (2001), «Constant», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Main_Page

[2] Sobolev, S. K. (2001), «Individual constant», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Main_Page

[3] «Definition of CONSTANT». www.merriam-webster.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 9 Νοεμβρίου 2021.

[4] Weisstein, Eric W., "Σταθερά (μαθηματικά)" από το MathWorld.

[5] Foerster, Paul A. (2006). Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition (Classics έκδοση). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-165711-9.

[6] Tanton, James (2005). Encyclopedia of mathematics. New York: Facts on File. ISBN 0-8160-5124-0. OCLC 56057904.

[7] «Algebra». tutorial.math.lamar.edu. Ανακτήθηκε στις 9 Νοεμβρίου 2021.

[8] Arndt, Jörg· Haenel, Christoph (2001). Pi – Unleashed. Springer. σελ. 240. ISBN 978-3540665724.

[9] Weisstein, Eric W., "e" από το MathWorld.

[10] Weisstein, Eric W., "i" από το MathWorld.

[11] Weisstein, Eric W., "Pythagoras's Constant" από το MathWorld.

[12] Weisstein, Eric W., "Golden Ratio" από το MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]