Τετραγωνική ρίζα του 2

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Δυαδική απεικόνιση 1.0110 1010 0000 1001 1110 ...
Δεκαδική απεικόνιση 1.41421 35623 73095 0488 ...
Δεκαεξαδική απεικόνιση 1.6A09 E667 F3BC C908 B2F ...
Continued fraction
Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ίση με το μήκος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές μήκους 1

Η τετραγωνική ρίζα του 2, ή αλλιώς, γραμμένο στα μαθηματικά, 2 ή 212, είναι ο θετικός αλγεβρικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 2. Τεχνικά, ονομάζεται η κύρια τετραγωνική ρίζα του 2, έτσι ώστε να διακρίνεται από τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα.

Γεωμετρικά η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με πλευρά μήκους 1 (προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα). Ήταν ίσως ο πρώτος γνωστός άρρητος αριθμός.

Ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βαβυλωνιακή πήλινη πλάκα (YBC 7289) με σχολιασμούς. Δείχνει την τετραγωνική ρίζα του 2 σε εξηκονταδική μορφήl ( 1 24 51 10 ).

Η βαβυλωνιακή πήλινη πλάκα YBC 7289 (1800-1600 π.χ.) δίνει μια προσέγγιση του 2σε τέσσερα εξηκονταδικά στοιχεία, 1 24 51 10 , η οποία έχει ακρίβεια περίπου έξι δεκαδικά ψηφία, [1] και είναι η κοντινότερη δυνατή εξηκονταδική αναπαράσταση του 2:

Μια άλλη πρώιμη προσέγγιση δίνεται στα αρχαία Ινδικά μαθηματικά κείμενα, τα Sulbasutras (800-200 π. χ.) ως εξής: Αύξηση του μήκους της πλευράς με την τρίτη και της τρίτης από τη δική τέταρτη μικρότερη των τριάντα τέταρτο μέρος του τέταρτου. [2]

Η προσέγγιση αυτή είναι η έβδομη στη σειρά από ολοένα και πιο ακριβείς προσεγγίσεις με βάση την ακολουθία των αριθμών του Πελ , η οποία μπορεί να προέρχεται από το συνεχές κλάσμα της επέκτασης του 2. Παρά τον μικρότερο παρονομαστή, είναι μόνο ελαφρώς λιγότερο ακριβές από τη βαβυλωνιακή προσέγγιση.

Πυθαγόρειοι μαθηματικοί ανακάλυψαν ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι μη υπολογίσιμη, ή σε σύγχρονη γλώσσα, η τετραγωνική ρίζα του δύο είναι άρρητη. Λίγα είναι γνωστά σχετικά με το χρόνο ή τις συνθήκες αυτής της ανακάλυψης, αλλά το όνομα του Ίππασου από το Μεταπόντιο αναφέρεται συχνά. Σύμφωνα με το μύθο, ο Ίππασος δολοφονήθηκε για αυτήν την αποκάλυψη. [3][4][5] Η τετραγωνική ρίζα του δύο μερικές φορές αποκαλείται «ο αριθμός του Πυθαγόρα» ή «Πυθαγόρεια σταθερά», για παράδειγμα στο Conway & Guy (1996) . [6]

Υπολογισμός με αλγόριθμους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχουν μια σειρά από αλγόριθμοι για την προσέγγιση του 2, η οποία σε εκφράσεις, όπως μια αναλογία ακεραίων ή δεκαδικός αριθμός, μπορεί να είναι μόνο κατά προσέγγιση. Ο πιο κοινός αλγόριθμος για αυτό, είναι εκείνος που χρησιμοποιείται ως βάση σε πολλούς υπολογιστές και αριθμομηχανές: η βαβυλωνιακή μέθοδος [7] υπολογισμού τετραγωνικών ριζών, η οποία είναι μία από τις πολλές μεθόδους υπολογισμού τετραγωνικών ριζών . Υπολογίζεται ως εξής:

Πρώτον, να πάρει και να μαντέψουν, aΠρότυπο:Sub > 0 ; η αξία του μάλλον επηρεάζει μόνο πόσες επαναλήψεις απαιτούνται για την επίτευξη ενός προσέγγιση της μια συγκεκριμένη ακρίβεια. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας αυτό μάλλον, μετακινηθείτε μέσα από το ακόλουθο αναδρομικό υπολογισμό:

Οι περισσότερες επαναλήψεις μέσα από τον αλγόριθμο (που είναι το πιο υπολογισμούς που εκτελούνται και η μεγαλύτερη " n"), Η Καλύτερη προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του 2 Επιτυγχάνεται. Κάθε Προμηθευτής επανάληψη περίπου Διπλασιάζει τον ΑΡΙΘΜΌ των σωστών ψηφίων. Το Ξεκινώντας με το a0 = 1 το επόμενο προσεγγίσεις εδώ

  • 3/2 = 1 ,5
  • 17/12 = 1,41 6 ...
  • 577/408= 1,41421 5 ...
  • 665857/470832= 1,41421356237 46 ...

Η τιμή της 2υπολογίστηκε με 137.438.953.444 δεκαδικά ψηφία από την ομάδα Yasumasa στον Καναδά το 1997. Τον Φεβρουάριο του 2006 το ρεκόρ για τον υπολογισμό του 2επισκιάστηκε με την χρήση του υπολογιστή στο σπίτι. Σιγκέρου Κόντο υπολογίζεται 1 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία του 2010. [8] Για την ανάπτυξη αυτού του ρεκόρ, δείτε τον παρακάτω πίνακα. Μεταξύ μαθηματικών σταθερών με δύσκολο υπολογιστικά, μόνο το π έχει υπολογιστεί με μεγαλύτερη ακρίβεια. [9] Οι υπολογισμοί έχουν στόχο να ελέγξουν εμπειρικά αν αυτοί οι αριθμοί είναι κανονικοί .

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Fowler and Robson, p. 368.
    Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Σφάλμα στο πρότυπο webarchive: Ελέγξτε την τιμή |url=. Empty.
    High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
  2. Henderson.
  3. Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem" Σφάλμα στο πρότυπο webarchive: Ελέγξτε την τιμή |url=. Empty. , Dept. of Math. Ed., University of Georgia.
  4. Brian Clegg, "The Dangerous Ratio ..." Σφάλμα στο πρότυπο webarchive: Ελέγξτε την τιμή |url=. Empty. , Nrich.org, November 2004.
  5. Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.
  6. Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, σελ. 25 
  7. Although the term "Babylonian method" is common in modern usage, there is no direct evidence showing how the Babylonians computed the approximation of 2 seen on tablet YBC 7289. Fowler and Robson offer informed and detailed conjectures.
    Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
  8. «Constants and Records of Computation». Numbers.computation.free.fr. 12 Αυγούστου 2010. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 1 Μαρτίου 2012. Ανακτήθηκε στις 7 Σεπτεμβρίου 2012. 
  9. «Number of known digits». Numbers.computation.free.fr. 12 Αυγούστου 2010. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 1 Μαρτίου 2012. Ανακτήθηκε στις 7 Σεπτεμβρίου 2012. 

Εξωτερικές συνδέσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]