Μαθηματική σταθερά

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Οι μαθηματικές σταθερές είναι ειδικοί αριθμοί, συνήθως πραγματικοί αριθμοί, οι οποίοι έχουν σημαντικό ενδιαφέρον στα μαθηματικά.[1] Οι σταθερές εμφανίζονται σε πολλά πεδία των μαθηματικών, με σταθερές όπως ο αριθμός e και π όπου εμφανίζονται σε σημαντικά πεδία των μαθηματικών όπως η γεωμετρία, η θεωρία αριθμών και ο λογισμός.

Το πώς δημιουργήθηκαν οι σταθερές και το πως έγιναν ενδιαφέρουσες, είναι καθαρά θέμα γούστου. Κάποιες μαθηματικές σταθερές είναι αξιοσημείωτες κυρίως λόγω ιστορικού ενδιαφέροντος παρά λόγω του μαθηματικού τους ενδιαφέροντος. Οι πιο δημοφιλείς σταθερές μελετήθηκαν εδώ και χιλιάδες χρόνια και προσεγγίστηκαν σε πάρα πολλά δεκαδικά τους ψηφία.Όλες οι μαθηματικές σταθερές είναι αριθμοί οι οποίοι έχουν οριστεί και είναι δυνατό να υπολογιστούν ( η σταθερά του Chaitin αποτελεί μια σημαντική εξαίρεση).

Κοινές μαθηματικές σταθερές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αυτές είναι οι σταθερές που είναι πιθανό να συναντήσει κάποιος κατά τη διάρκεια της φοίτησής του σε πανεπιστήμια σε πολλές χώρες.

Η Αρχιμήδεια σταθερά π[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: π
Η περιφέρεια ενός κύκλου με διάμετρο 1 είναι π.

Η σταθερά π ορίζεται φυσικά στην Ευκλείδεια γεωμετρία (είναι η αναλογία μεταξύ της περιφέρειας και της διαμέτρου ενός κύκλου),αλλά μπορεί να βρεθεί και σε πολλές άλλες περιοχές των μαθηματικών:για παράδειγμα,το ολοκλήρωμα του Gauss στη μιγαδική ανάλυση, οι μιγαδικές ρίζες της μονάδας στη θεωρία αριθμών και οι κατανομές Cauchy στις πιθανότητες.Ωστόσο, η καθολικότητά της δεν περιορίζεται μόνο στα καθαρά μαθηματικά.Πραγματικά,διάφοροι τύποι στη φυσική  όπως η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg, και σταθερές όπως η κοσμολογική σταθερά περιλαμβάνουν τη σταθερά π. Η παρουσία του π στις φυσικές αρχές,στους νόμους και στους τύπους μπορεί να έχει πολύ απλές εξηγήσεις. Για παράδειγμα, ο νόμος του Coulomb, περιγράφοντας το μέγεθος της ηλεκτροστατική δύναμη δύο φορτίων ως ανάλογο του γινομένου των μέτρων των δύο φορτίων και αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου της απόστασης των δύο φορτίων,αναφέρει ότι σε μονάδες SI,

[2]

Πέρα απ'τη σταθερά που αντιστοιχεί στην διηλεκτρική σταθερά στο κενό, ο παράγοντας στο παρανομαστή εκφράζει  την επιφάνεια μιας σφαίρας με ακτίνα r, έχοντας έτσι μια πολύ συγκεκριμένη έννοια. Η αριθμητική τιμή του π είναι περίπου 3,14159.Η απομνημόνευση όλο και περισσότερων ψηφίων του π είναι μια επιδίωξη για την επίτευξη ενός παγκόσμιου ρεκόρ.

Η εκθετική αύξηση (πράσινη γραμμή) περιγράφει πολλά φυσικά φαινόμενα.

Αριθμός του Euler e[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο αριθμός του Euler e,ο οποίος είναι επίσης γνωστός και ως σταθερά εκθετικής ανάπτυξης, εμφανίζεται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και ένας πιθανός ορισμός του είναι η τιμή της ακόλουθης μαθηματικής έκφρασης:

Για παράδειγμα, ο ελβετός μαθηματικός Jacob Bernoulli ανακάλυψε ότι το e εμφανίζεται στους τόκους: ένας λογαριασμός που ξεκινά από $ 1  με ετήσιο επιτόκιο R και με συνεχή ανατοκισμό,θα αυξηθεί κατά eR δολλάρια στο τέλος του ενός έτους. Η σταθερά e έχει επίσης εφαρμογές στην θεωρία των πιθανοτήτων όπου εμφανίζεται με έναν τρόπο ο οποίος φαίνεται να μην σχετίζεται με την εκθετική αύξηση. Ας υποθέσουμε ότι ένας παίκτης παίζει έναν κουλοχέρη με ένα στη Ν πιθανότητα να κερδίσει, και παίζει n   φορές.. Στη συνέχεια, για μεγάλα n  (όπως ένα εκατομμύριο), η πιθανότητα  ο παίκτης να μην κερδίσει καθόλου είναι περίπου 1/e και η πιθανότητα τείνει σε αυτήν την τιμή όταν το n τείνει στο άπειρο.
Μια άλλη εφαρμογή του e  , που ανακαλύφθηκε εν μέρει από τον Jacob Bernoulli μαζί με τον γάλλο  μαθηματικό Pierre Raymond de Montmort είναι το πρόβλημα των διαταραχών,γνωστό και ως the hat check problem.[3] Εδώ ν επισκέπτες καλούνται σε ένα πάρτι και στην πόρτα κάθε επισκέπτης ελέγχει το καπέλο του με τον μπάτλερ ο οποίος τα τοποθετεί σε επίσημα κουτιά.Ο μπάτλερ δε γνωρίζει τα ονόματα των καλεσμένων και έτσι πρέπει να βάλει τα καπέλα τυχαία στα κουτιά. Το πρόβλημα του de Montmort είναι: ποια είναι η πιθανότητα  κανένα από τα καπέλα να μπουν στα σωστά κουτιά. Η απάντηση είναι:

και καθώς το n τείνει στο άπειρο,το pn προσεγγίζει 1/e.

Η αριθμητική τιμή του e είναι  περίπου 2,71828.

Η Πυθαγόρεια σταθερά 2[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ίσο με το μήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές μήκους 1.

Η τετραγωνική ρίζα του 2, συχνά γνωστή και ως ρίζα 2, ριζικό του 2 ή σταθερά του Πυθαγόρα, γράφεται ως 2 και είναι ο θετικός αλγεβρικός αριθμός ο οποίος πολλαπλασιάζοντάς τον με τον εαυτό του δίνει τον αριθμό 2. Ονομάζεται ακριβέστερα κύρια τετραγωνική ρίζα του 2, για να διακρίνεται ο αριθμός αυτός απ'τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα.

Γεωμετρικά η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι το μήκος της διαγωνίου σε ένα τετράγωνο με πλευρές μιας μονάδας μήκους. Αυτό προκύπτει από το πυθαγόρειο θεώρημα. Ήταν ίσως ο πρώτος γνωστός άρρητος. Η αριθμητική του τιμή σε προσέγγιση 65 δεκαδικών ψηφίων είναι:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799... (ακολουθία A002193 στην OEIS).
Η τετραγωνική ρίζα του 2.

Η γρήγορη προσέγγιση 99/70 (≈ 1.41429)  για την τετραγωνική ρίζα του δύο χρησιμοποιείται συχνά. Παρά το γεγονός ότι υπάρχει ο παρανομαστής 70 ο αριθμός διαφέρει απ'την κανονική τιμή λιγότερο από 1/10,000 (περίπου 7.2 × 10 −5).

Η φανταστική μονάδα i[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: φανταστική μονάδα
Το i στο μιγαδικό ή καρτεσιανό επίπεδο.Οι πραγματικοί αριθμοί βρίσκονται στον οριζόντιο άξονα και οι φανταστικοί στον κατακόρυφο.

Η φανταστική μονάδα ή ο φανταστικός αριθμός, συμβολίζεται ως i, είναι μια μαθηματική έννοια που επεκτείνει το πραγματικό αριθμητικό σύστημα   στο μιγαδικό αριθμητικό σύστημα  στο οποίο κάθε πολυώνυμο P(x) έχει μία τουλάχιστον ρίζα (βλέπε αλγεβρική κλειστότητα  και θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας ).Η βασική σχέση που ικανοποιεί η φανταστική μονάδα είναι i2 = −1. Ο όρος "φανταστικός" χρησιμοποιείται επειδή δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός ο οποίος έχει αρνητικό τετράγωνο.

Στην πραγματικότητα υπάρχουν δύο μιγαδικές τετραγωνικές ρίζες του -1, δηλαδή το i και το i,όπως υπάρχουν δύο μιγαδικές τετραγωνικές ρίζες για κάθε άλλο πραγματικό αριθμό εκτός απ'το μηδέν που έχει μία διπλή τετραγωνική ρίζα.

Στις περιπτώσεις όπου το i είναι αμφίσημο ή προβληματικό, το j ή το ελληνικό ι (βλέπε εναλλακτικούς συμβολισμούς) χρησιμοποιούνται συνήθως. Στους κλάδους της ηλεκτρολογίας και των συστημάτων μηχανικού ελέγχου, η φανταστική μονάδα συχνά συμβολίζεται με J αντί του i, γιατί το i συνήθως χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει το ηλεκτρικό ρεύμα σε αυτούς τους κλάδους.

Σταθερές στα προχωρημένα μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αυτές είναι σταθερές που εμφανίζονται συχνά στα ανώτερα μαθηματικά.

Οι σταθερές του Feigenbaum α και δ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

διάγραμμα διακλάδωσης της λογιστικής απεικόνισης.

Οι επαναλήψεις των συνεχών απεικονίσεων θεωρούνται από τα πιο απλά παραδείγματα μοντέλων για δυναμικά συστήματα.[4] Οι δύο σταθερές ονομάστηκαν έτσι εξαιτίας του φυσικομαθηματικού Mitchell Feigenbaum και εμφανίζονται στις εξής επαναληπτικές διαδικασίες: ως μαθηματικές σταθερές των λογιστικών απεικονίσεων με τετραγωνικά μέγιστα σημεία[5] και τα διαγράμματα διακλάδωσής τους.

Η λογιστική απεικόνιση είναι ένα πολυώνυμο χαρτογράφησης, συχνά παρατεθείσα ως ένα αρχετυπικό παράδειγμα των τρόπων με τους οποίους εξηγεί πως η χαοτική συμπεριφορά μπορεί να προκύψει από πολύ απλές μη-γραμμικές δυναμικές εξισώσεις. Η απεικόνιση δημοσιοποιήθηκε σε μια σημαίνουσα εργασία το 1976 από τον Αυστραλιανό βιολόγο Robert May[6], εν μέρει, ως ένα διακριτού-χρόνου δημογραφικό ανάλογο στη λογιστική εξίσωση που για πρώτη φορά δημιουργήθηκε από τον Pierre François Verhulst. Η διαφορική εξίσωση  προορίζεται για να συλλάβει τις δύο επιδράσεις της αναπαραγωγής και της λιμοκτονίας.

Η αριθμητική τιμή της α είναι περίπου 2.5029. Η αριθμητική τιμή της δ είναι προσεγγιστικά 4.6692.

Η σταθερά του Apéry ζ(3)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παρά την ειδική αξία της συνάρτησης ζήτα του Riemann, η σταθερά του Apéry εμφανίζεται σε έναν αριθμό φυσικών προβλημάτων, συμπεριλαμβανομένων των δεύτερης και τρίτης τάξης όρων της γυρομαγνητικής αναλογίας του ηλεκτρονίου, που υπολογίζεται με τη χρήση της κβαντικής ηλεκτροδυναμικής[7].  Η αριθμητική τιμή της ζ(3) είναι προσεγγιστικά 1,2020569.

Η χρυσή αναλογία φ [Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα χρυσά παραλληλόγραμμα σε ένα εικοσάεδρο
Ένας αυστηρός τύπος για το ν-οστό όρο της ακολουθίας Fibonacci συναρτήσει του φ.

Ο αριθμός φ, επίσης αποκαλείται η χρυσή αναλογία, χρησιμοποιείται συχνά στη γεωμετρία, ιδιαίτερα σε σχήματα με πενταγωνική συμμετρία. Πράγματι, το μήκος της διαγωνίου ενός κανονικού πενταγώνου είναι φ φορές την πλευρά του. Οι κορυφές ενός κανονικού εικοσαέδρου είναι εκείνες των τριών αμοιβαίων  ορθογωνίων χρυσών παραλληλογράμμων σε ένα  εικοσάεδρο. Επίσης, αυτός εμφανίζεται στην ακολουθία Fibonacci, που σχετίζεται με την αύξηση της αναδρομικά.[8]. Η χρυσή αναλογία έχει την πιο αργή σύγκλιση  από οποιοδήποτε άρρητο αριθμό.[9] Είναι, για αυτόν τον λόγο, μία από τις χειρότερες περιπτώσεις του θεωρήματος προσέγγισης του Lagrange και αυτό είναι είναι μια ακραία περίπτωση της ανισότητας του Hurwitz για τις διοφαντικές προσεγγίσεις. Αυτή ίσως μπορεί να είναι η εξήγηση γιατί οι γωνίες που βρίσκονται κοντά στη χρυσή αναλογία συχνά απεικονίζονται στην phyllotaxis (ανάπτυξη των φυτών)[10]. Προσεγγιστικά, ο αριθμός φ είναι ίσος με 1,61803398874, ή, ακριβέστερα (1+√5)/2.

Η σταθερά γ των Euler-Mascheroni[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η σταθερά γ των Euler-Mascheroni είναι μια περιοδική σταθερά στην θεωρία αριθμών. Ο Βέλγος μαθηματικός Charles Jean de la Vallée-Poussin απέδειξε το 1898 ότι, αν πάρετε οποιοδήποτε θετικό ακέραιο αριθμό n και τον διαιρέσετε με κάθε θετικό ακέραιο m μικρότερο του n, ο μέσος όρος κλασμάτων με τον οποίο το πηλίκο n/m πλησιάζει στον επόμενο ακέραιο αριθμό και τείνει να είναι το γ όταν το n πλησιάζει στο άπειρο. Παραδόξως, αυτό ο μέσος όρος δεν τείνει στο 3/2. Η σταθερά των Euler-Mascheroni  εμφανίζεται, επίσης, στο τρίτο θεώρημα του Merten και έχει σχέση με την συνάρτηση γάμμα, τη συνάρτηση ζήτα και πολλά άλλα ολοκληρώματα και σειρές. Ο ορισμός της σταθεράς των Euler-Mascheroni παρουσιάζει στενή σχέση μεταξύ του διακριτού και των συνεχούς. Η αριθμητική τιμή της γ είναι περίπου 0,57721.

Η Σταθερά λ του Conway[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η σταθερά λ του Conway είναι ο αναλλοίωτος ρυθμός αύξησης όλων των συμβολοσειρών που προέρχονται παρόμοια με την ακολουθία look-and-say  (με εξαίρεση μερικές τετριμμένες).[11]

Δίνεται από τη μοναδική θετική πραγματική ρίζα ενός πολυωνύμου 71ου βαθμού  με ακέραιους συντελεστές.[11]

Η τιμή του λ είναι περίπου 1,30357.

Η σταθερά K του Khinchin[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εάν ένας πραγματικός αριθμός r είναι γραμμένος ως ένα  απλό συνεχές  κλάσμα:

όπου αk είναι φυσικοί αριθμοί για  όλα τα k, τότε, σύμφωνα με το Ρώσο μαθηματικό  Aleksandr Khinchin, ο οποίος  απέδειξε το 1934,  ότι το όριο όσο το n τείνει προς το άπειρο του γεωμετρικού μέσου: (a1a2...an)1/n  υπάρχει και μάλιστα είναι μια σταθερά, η σταθερά του Κ του Khinchin, εκτός από ένα σύνολο μέτρου 0 .[12][13]

Η αριθμητική τιμή του K είναι περίπου 2,6854520010.

Η σταθερά A των Glaisher-Kinkelin[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η σταθερά Α των Glaisher-Kinkelin ορίζεται ως το όριο:

Πρόκειται για μία σημαντική σταθερά η οποία εμφανίζεται σε πολλές εκφράσεις για τη παράγωγο της συνάρτησης ζήτα του Riemann. Η τιμή της Α είναι περίπου 1,2824271291.

Μαθηματικές ανησυχίες και απροσδιόριστες σταθερές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Απλοί εκπρόσωποι συνόλων αριθμών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μερικές σταθερές,όπως η τετραγωνική ρίζα του 2σταθερά Liouville και η σταθερά Champernowne

δεν είναι σημαντικές μαθηματικές σταθερές αλλά εξακολουθούν να έχουν ενδιαφέρον γιατί αποτελούν απλούς εκπροσώπους ειδικών συνόλων αριθμών όπως των άρρητων [14] ,των υπερβατικών[15] και των κανονικών αριθμών (με βαση το 10)[16] αντίστοιχα.Η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών αποδίδεται συνήθως στον Πυθαγόρειο φιλόσοφο Ίππασο τον <<Μεταπόντιο>> ο οποίος απέδειξε,κατα πάσα πιθανότητα με γεωμετρικό τρόπο, ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητος αριθμός.Όσον αφορά τη σταθερά του Liouville,η οποία πήρε το όνομα της από το Γάλλο μαθηματικό Joseph Liouville,ήταν ο πρώτος αριθμός που αποδείχθηκε ότι ήταν υπερβατικός.[17]

Σταθερά Ω του Chaitin[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στον τομέα της επιστήμης των υπολόγιστων που ονομάζεται θεωρία αλγοριθμικής πληροφόρησηςσταθερά του Chaitin ειναι ο πραγματικός αριθμός που αντιπροσωπεύει την πιθανότητα με την οποία μια τυχαία επιλεγμένη μηχανη Turing θα σταματήσει.Η σταθερά του Chaitin δημιουργηθηκε από τον Αργεντινο-Αμερικανό μαθηματικό και επιστήμονα ηλεκτρονικών υπολογιστών Gregory Chaitin.Η σταθερα αυτή ,αν και δε μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια,έχει αποδειχθεί πως είναι υπερβατικός και κανονικός αριθμός.Η σταθερά δεν είναι καθολική,αφού εξαρτάται σημαντικά απο την εκάστοτε αριθμιτική κωδικοποίηση που χρησιμοποιείται για τις μηχανές Turing,ωστόσο οι ενδιαφέρουσες ιδιότητες της είναι ανεξάρτητες της κωδικοποίησης που χρησιμοποιείται.

Απροσδιόριστες σταθερές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όταν δεν προσδιορίζονται, οι σταθερές υποδηλώνουν κλάσεις παρόμοιων αντικειμένων,συνήθως συναρτήσεων, οι οποίες αντιπροσοπεύονται από μία σταθερά.Τέτοιες σταθερές συναντώνται συχνά όταν ασχολούμαστε με ολοκληρώματα και διαφορικές εξισώσεις.Παρ' όλο που δεν προσδιόριζονται,εχουν συγκεκριμένη τιμή,η οποία πολλές φορές δεν παίζει σημαντικό ρόλο στη λυση του προβλήματος .

Στα ολοκληρώματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα αόριστα ολοκληρώματα ονομάζονται έτσι διότι οι λύσεις τους διαφέρουν μόνο σε μια σταθερά.Για παράδειγμα,όταν δουλεύουμε στο χώρο των πραγματικών αριθμών

όπου C ,η σταθερά ολοκλήρωσης, είναι ένας αυθαίρετος σταθερός πραγματικός αριθμός[18].Με άλλα λόγια,όποιαδηποτε κι αν είναι η τιμή της σταθεράς C ,η παραγώγιση του sin x + C ως προς χ πάντοτε δίνει cos x.

Στις διαφορικές εξισώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Με παρόμοιο τρόπο,σταθερές εμφανίζονται στις λύσεις διαφορικών εξισώσεων στις οποίες δεν δίνονται αρκετές αρχικές τιμές ή συνθήκες περιορισμών.Για παράδειγμα,η συνήθης διαφορική εξίσωση

έχει λύση Cex όπου το C είναι αυθαίρετη σταθερά.

Όταν ασχολούμαστε με μερικές διαφορικές εξισώσεις, οι σταθερές ίσως είναι συναρτήσεις,δηλαδή μπορεί να είναι συναρτήσεις ως προς μεταβλητές οι οποίες δεν είναι μεταβλητές παραγώγισης.Για παράδειγμα,η μερική διαφορική εξίσωση d( f(x,y) ) / dx =0 έχει λύσεις f(x,y) = C(y), όπου C(y) είναι αυθαίρετη συνάρτηση της μεταβλητής y.

Συμβολισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αναπαράσταση σταθερών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Είναι συνιθισμένο να εκφράζουμε την αριθμητική τιμή μιας σταθεράς χρησιμοποιώντας τη δεκαδική της αναπαράσταση (ή τουλάχιστον κάποια από τα πρώτα ψηφία της αναπαράστασης).Αυτη η αναπαράσταση όμως ίσως προκαλέσει προβλήματα για δύο λόγους.Πρώτον,παρ' όλο που όλοι οι ρητοί έχουν πεπερασμένο ή συνεχώς επαναλαμβανόμενο δεκαδικό ανάπτυγμα, οι άρρητοι ωστόσο δεν έχουν τέτοιου είδους έκφραση κι αυτό τους καθιστά αδύνατο να περιγραφούν εντελώς με τέτοιο τρόπο.Επίσης,το δεκαδικό ανάπτυγμα ενός αριθμού δεν είναι απαραίτητα μοναδικό.Για παράδειγμα,οι δύο αναπραστάσεις 0.999 και 1 είναι ισοδύναμες[19][20] με την έννοια ότι αντιπροσωπεύουν τον ίδιο αριθμό.

Ο υπολογισμός του δεκαδικού αναπτύγματος των σταθερών έχει αποτελέσει συνηθισμένο εγχείρημα ανά τους αιώνες. Για παράδειγμα ο Γερμανός μαθηματικός Ludolph van Ceulen που έζησε το 16ο αιώνα αφιέρωσε σημαντικό κομμάτι της ζωής του στον υπολογισμό των πρώτων 35 ψηφίων του π.[21] Χρησιμοποιώντας υπολογιστές και υπερ-υπολογιστές έχουν υπολογιστεί περισσότερα από εκατό δισεκατομμύρια ψηφία κάποιων μαθηματικών σταθερών συμπεριλαμβανομένων των π,e και της τετραγωνικής ρίζας του 2.Έχουν αναπτυχθεί γρήγοροι αλγόριθμοι,κάποιοι από τους οποίους -όπως αυτός για τη σταθερά του Apéry- είναι απροσδόκητα γρήγοροι.

Κάποιες σταθερές διαφέρουν τόσο πολύ από το συνηθισμένο είδος ώστε έχει εφευρεθεί ένας νέος συμβολισμός για να τις αναπαριστούμε ικανοποιητικά.Κάτι τέτοιο απεικονίζεται στη διπλανή εικόνα στον αριθμό του Graham,όπου χρησιμοποιείται ο συμβολισμός του Knuth με άνω βέλος.[22][23]

Είναι προς το συμφέρον μας να τις αναπαριστάνουμε χρησιμοποιώντας συνεχή κλάσματα όταν διεξάγουμε διάφορες έρευνες,όπως στατιστικές αναλύσεις.Πολλές μαθηματικές σταθερές έχουν μια αναλυτική μορφή,αυτό σημαίνει ότι μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας ευρέως γνώστες πράξεις που βοηθούν στον υπολογισμό τους.Δεν έχουν όλες οι σταθερές αναλυτικές μορφές όπως συμβαίνει για παράδειγμα με τη σταθερά του Grossman[24] και τη σταθερά του Foias.[25]

Συμβολισμός και ονομασία των σταθερών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η χρήση γραμμάτων για το συμβολισμό των σταθερών είναι ένας τρόπος που χρησιμοποιείται συχνά για να κάνουμε το συμβολισμό πιο συνοπτικό.Μια καθιερωμένη σύμβαση ,η οποία ξεκίνησε από τον Leonhard Euler το 18ο αιώνα,είναι η χρήση πεζών γραμμάτων από την αρχή του λατινικού αλφαβήτου (a,b,c,..) ή του ελληνικού αλφαβήτου (α,β,γ,..) για την ονομασία των σταθερών.

Ωστόσο,για κάποιες πιο σημαντικές σταθερές,τα σύμβολα μπορεί να είναι πιο περίπλοκα και να έχουν κάποιο επιπλέον γράμμα,αστερίσκο,αριθμό,λημνίσκο ή χρήση γραμμάτων από άλλα αλφάβητα όπως το εβραϊκό,το κυριλικικό ή το γοτθικό.[23]

Μερικές φορές το σύμβολο που αναπαριστά μια σταθερά είναι μια ολόκληρη λέξη.Για παράδειγμα,ο 9χρονος ανιψιός του αμερικανού μαθηματικού Edward Kasner επινόησε τα ονόματα googol και googolplex.[23][26]

Γενικότερα,τα ονόματα των σταθερών συνδέονται είτε με τη σημασία της σταθεράς(καθολική παραβολική σταθερά,σταθερά των δίδυμων πρώτων,..) είτε με κάποιο συγκεκριμένο πρόσωπο (σταθερά του Sierpiński,σταθερά του Josephson,.. ).

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Weisstein, Eric W. «Constant». MathWorld. Ανακτήθηκε στις April 13, 2011. 
  2. Weisstein, Eric W., "Sphere" από το MathWorld.
  3. Grinstead, C.M.; Snell, J.L. «Introduction to probability theory». σελ. 85. Ανακτήθηκε στις 2007-12-09. 
  4. Collet & Eckmann (1980). Iterated maps on the inerval as dynamical systems. Birkhauser. ISBN 3-7643-3026-0. 
  5. Finch, Steven (2003). Mathematical constants. Cambridge University Press, σελ. 67. ISBN 0-521-81805-2. 
  6. May, Robert (1976). Theoretical Ecology: Principles and Applications. Blackwell Scientific Publishers. ISBN 0-632-00768-0. 
  7. Steven Finch, "Apéry's constant" από το MathWorld.
  8. Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5. 
  9. "The Secret Life of Continued Fractions"
  10. Fibonacci Numbers and Nature - Part 2 : Why is the Golden section the "best" arrangement?, from Dr. Ron Knott's Fibonacci Numbers and the Golden Section, retrieved 2012-11-29.
  11. 11,0 11,1 Steven Finch, "Conway's Constant" από το MathWorld.
  12. M. Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. Mathematical Association of America. 1959. 
  13. Steven Finch, "Khinchin's Constant" από το MathWorld.
  14. Bogomolny, Alexander. «Square root of 2 is irrational». 
  15. Aubrey J. Kempner (Oct 1916). «On Transcendental Numbers». Transactions of the American Mathematical Society (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 17, No. 4) 17 (4): 476–482. doi:10.2307/1988833. 
  16. Champernowne, david (1933). «The onstruction of decimals normal in the scale of ten». Journal of the London Mathematical Society 8 (4): 254–260. doi:10.1112/jlms/s1-8.4.254. 
  17. Weisstein, Eric W., "Liouville's Constant" από το MathWorld.
  18. Edwards, Henry. David Penney (1994). Calculus with analytic geometry (4e έκδοση). Prentice Hall, σελ. 269. ISBN 0-13-300575-5. 
  19. Rudin, Walter (1976) [1953]. Principles of mathematical analysis (3e έκδοση). McGraw-Hill, p.61 theorem 3.26. ISBN 0-07-054235-X. 
  20. Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (4e έκδοση). Brooks/Cole, σελ. 706. ISBN 0-534-36298-2. 
  21. Ludolph van Ceulen – biography at the MacTutor History of Mathematics archive.
  22. Knuth, Donald (1976). «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness. Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations». Science 194 (4271): 1235–1242. doi:10.1126/science.194.4271.1235. PMID 17797067. 
  23. 23,0 23,1 23,2 «mathematical constants». Ανακτήθηκε στις 2007-11-27. 
  24. Weisstein, Eric W., "Grossman's constant" από το MathWorld.
  25. Weisstein, Eric W., "Foias' constant" από το MathWorld.
  26. Edward Kasner and James R. Newman (1989). Mathematics and the Imagination. Microsoft Press, σελ. 23.