Σειρά

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Σειρά
Ταξινόμηση
Dewey 515
MSC2010 11B50

Στα μαθηματικά ονομάζουμε σειρά το άθροισμα των όρων μιας ακολουθίας. Συνήθως με τον όρο σειρά εννοούμε άπειρη σειρά, δηλαδή το άθροισμα μιας ακολουθίας με άπειρο πλήθος όρων.

Για την ακρίβεια, σειρά ονομάζεται η ακολουθία (s_n)_{n\in \mathbb{N}} των μερικών αθροισμάτων

s_n = \alpha_1 + \ldots + \alpha_n

Η σειρά, δηλαδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων, διαφέρει από το άθροισμα της σειράς, δηλαδή το όριο της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων, το οποίο σημειώνεται με

s = \sum_{n=1}^\infty \alpha_n

εφόσον το όριο αυτό υπάρχει, δηλαδή εφόσον η σειρά συγκλίνει.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ονομάζουμε σειρά κάθε άπειρο άθροισμα της μορφής:

\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots

Αν (\alpha_n)_{n\in \mathbb{N}} είναι μια πραγματική ακολουθία, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μια καινούργια ακολουθία (s_n)_{n\in \mathbb{N}} ως εξής:

\ s_1 = \alpha_1
\ s_2 = \alpha_1 + \alpha_2
\vdots
s_n = \alpha_1 + \ldots + \alpha_n

Η ακολουθία (s_n)_{n\in \mathbb{N}} ονομάζεται σειρά της (\alpha_n)_{n\in \mathbb{N}} και συμβολίζεται με \sum_{k = 1}^{\infty} \alpha_k ή με \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots.

Ο όρος \ \alpha_n ονομάζεται n-οστός προσθετέος της σειράς \sum_{k = 1}^{\infty} \alpha_k και ο όρος s_n = \sum_{k = 1}^{n} \alpha_k ονομάζεται n-οστό μερικό άθροισμα της σειράς.

Σύγκλιση Σειράς[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν η ακολουθία (s_n)_{n\in \mathbb{N}} έχει όριο κάποιον πραγματικό αριθμό s \in \mathbb{R} \cup \lbrace +\infty, -\infty \rbrace τότε γράφουμε:

\sum_{k = 1}^{\infty}\alpha_k = s

και λέμε ότι η σειρά έχει άθροισμα \ s. Αν s \in \mathbb{R} τότε λέμε ότι η σειρά συγκλίνει στο \ s ενώ αν s = +\infty ή s = -\infty τότε λέμε ότι αποκλίνει στο +\infty ή -\infty αντίστοιχα. Αν η ακολουθία (s_n)_{n\in \mathbb{N}} δεν έχει όριο τότε λέμε απλώς ότι η σειρά αποκλίνει.

Αποδεικνύεται ότι αν μια σειρά \sum_{k = 1}^{\infty} \alpha_k συγκλίνει τότε η ακολουθία (\alpha_n)_{n\in \mathbb{N}} συγκλίνει στο μηδέν.

Απόλυτη Σύγκλιση και Σύγκλιση υπό Συνθήκη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια σειρά

\sum_{k = 1}^{\infty} \alpha_k

λέμε ότι συγκλίνει απολύτως αν η σειρά:

\sum_{k = 1}^{\infty} |\alpha_k|

συγκλίνει. Λέμε ότι συγκλίνει υπό συνθήκη αν συγκλίνει αλλά δεν συγκλίνει απολύτως.

Κριτήριο Σύγκλισης Cauchy[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια σειρά \sum_{k = 1}^{\infty} \alpha_k συγκλίνει αν και μόνο αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της είναι Cauchy δηλ. για κάθε \ \epsilon > 0 υπάρχει \ N = N(\epsilon) > 0 ώστε:

αν n > m \geq N, τότε \ |s_n - s_m|<\epsilon, δηλ. |\alpha_{m+1} + \ldots + \alpha_{n}|<\epsilon.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Wiktionary logo
Το Βικιλεξικό έχει λήμμα που έχει σχέση με το λήμμα: