Συνάρτηση γάμμα

H συνάρτηση γάμμα στους πραγματικούς

Ορισμοί:

$\Gamma (x):\int _{0}^{1}(-lnt)^{x-1}dt,\forall x>0$

$\Gamma (x+1)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \cdot k}{(x+1)(x+2)(x+3)\cdot \cdot (x+k)}}\cdot k^{x}$

Απόλυτη τιμή της συνάρτησης γάμμα

H συνάρτηση γάμμα ορίζεται στο πεδίο $\,H(0)=\{z:Re(z)>0\}$ σύμφωνα με:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt.$

H συνάρτηση γάμμα ικανοποιεί την συναρτηρησιακή σχέση:

$\,z\Gamma (z)=\Gamma (z+1).$

Από τη σχέση αυτή και από $\Gamma (1)=1$ προκύπτει $\Gamma (n+1)=n!,n\in \mathbb {N}$. Για το λόγο αυτό η συνάρτηση γάμμα θεωρείται επέκταση του παραγοντικού.

Εφαρμόζοντας την συναρτηρησιακή σχέση $n+1$ φορές προκύπτει:

$\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}}.$

To δεξί μέρος της εξίσωσης ορίζει μία μερομορφική συνάρτηση στο $\,\{z:Re(z)>-n-1\}$ με πόλους πρώτου βαθμού στα $z=-k,k=0,1,\dots ,n$. Σύμφωνα με αυτή τη σχέση η συνάρτηση γάμμα συνεχίζεται αναλυτικά σε μία μερομορφική συνάρτηση σε όλο το $\mathbb {C}$ με πόλους πρώτου βαθμού στα $z=-n,n\in \mathbb {N} _{0}$.

Μια ιδιότητα της συνάρτησης Γάμμα,χρήσιμη σε διάφορες εφαρμογές των Μαθηματικών,της Φυσικής και άλλων επιστημών είναι η εξής:

$\,\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\pi \over \sin \pi z}$

Επίσης:

${\Gamma (p) \over a^{p}}=\int _{0}^{\infty }e^{-ax}x^{p-1}\,dx={\mathcal {L}}[x^{p-1}]$ ο μετασχηματισμός Laplace,με a και p θετικούς αριθμούς

Εφαρμογή της γενίκευσης του παραγοντικού συμβόλου στις συναρτήσεις Bessel ημιακέραιας τάξης

Η διαφορική εξίσωση του Bessel ακέραιας τάξης ν γράφεται:

$x^{2}y^{\prime \prime }+xy^{\prime }+(x^{2}-\nu ^{2})y=0$ (1)

Η εξίσωση αυτή έχει δύο ανεξάρτητες λύσεις,τις συναρτήσεις Bessel πρώτου και δεύτερου είδους και τάξης ν.Η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους γράφεται σε μορφή δυναμοσειράς ως εξής:

$J_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over k!(\nu +k)!}\left({x \over 2}\right)^{\nu +2k}$ (2)

Δύο βασικές αλγεβρικές ιδιότητες των συναρτήσεων Bessel πρώτου είδους είναι:

$J_{\nu }={x \over 2n}(J_{\nu -1}+J_{\nu +1})$ (3)

$J_{\nu }^{\prime }={1 \over 2}(J_{\nu -1}-J_{\nu +1})$ (4)

Για $\nu ={1 \over 2}$ ή $\nu =-{1 \over 2}$ έχουμε τις πρώτες ημιακέραιες τάξεις των συναρτήσεων Bessel που εμφανίζονται σε πολλά προβλήματα Φυσικής και μπορούν να εκφραστούν με στοιχειώδεις συναρτήσεις.Με αναγωγή της εξίσωσης Bessel στην κανονική της μορφή βρίσκουμε πως για αυτές τις ημιακέραιες τιμές του ν οι (κανονικοποιημένες) συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους που ικανοποιούν την εξίσωση είναι:

$J_{1/2}(x)={\sqrt {2 \over \pi x}}\sin x$ (6)

$J_{-1/2}(x)={\sqrt {2 \over \pi x}}\cos x$ (7)

Όλες οι συναρτήσεις Bessel ημιακέραιας τάξης μπορούν να κατασκευαστούν συναρτήσει αυτών των (6) και (7) με βάση την (3).Θα πρέπει όμως η (3) να ισχύει και για μη ακέραια v.Αυτή η ισχύ εξασφαλίζεται αν οι συναρτήσεις Bessel ημιακέραιας τάξης οριστούν από την δυναμοσειρά (2).Για να γίνει αυτό όμως πρέπει πρώτα να αποκτήσει νόημα το παραγοντικό σύμβολο για μη ακέραιους αριθμούς και ακριβώς αυτό επιτυγχάνεται με τη συνάρτηση Γάμμα.

ΤΙΜΕΣ

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$

$\Gamma (1)=\Gamma (2)=1$

$\Gamma \left(x+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2x-1)}{2^{x}}}\cdot {\sqrt {\pi }},x=1,2,3,...$

Εφαρμογές

• Στατιστική: H συνάρτηση γάμμα εμφανίζεται σε πολλες κατανομές, όπως η γάμμα και η βήτα.

• Θεωρία αριθμών: H συνάρτηση γάμμα εμφανίζεται στη συναρτηρησιακή εξίσωση της συνάρτησης ζήτα.
• Μαθηματικά: Η συνάρτηση γάμμα χρησιμοποιείται για να οριστεί η συνάρτηση ψ(x).