Γεωμετρικός μέσος

Στα μαθηματικά, ο γεωμετρικός μέσος δύο θετικών πραγματικών αριθμών $\alpha ,\beta$ είναι ο αριθμός

\gamma ={\sqrt {\alpha \cdot \beta }}

,

δηλαδή είναι η τετραγωνική ρίζα του γινομένου τους.

Πιο γενικά, ο γεωμετρικός μέσος $n$ θετικών πραγματικών αριθμών $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ορίζεται ως η $n$ -οστή ρίζα του γινομένου τους^[1]^:43^[2]^:8-9^[3]^:64

{\overline {a}}_{G}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}.

Παράδειγμα

Ο γεωμετρικός μέσος των αριθμών $\alpha =8$ και $\beta =18$ είναι $\gamma ={\sqrt {8\cdot 18}}={\sqrt {144}}=12$ .
Ο γεωμετρικός μέσος των αριθμών $\alpha _{1}=2.3,\alpha _{2}=7.6,\alpha _{3}=9.1,\alpha _{4}=12.7$ , υπολογίζεται ως

{\overline {a}}_{G}={\sqrt[{4}]{2.3\cdot 7.6\cdot 9.1\cdot 12.7}}=6.704..\ .

Γεωμετρική κατασκευή

Μας δίνονται δύο ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {AB=\alpha }}$ και ${\rm {\Gamma \Delta =\beta }}$ . Ακολουθούμε τα εξής βήματα για να κατασκευάσουμε τον γεωμετρικό τους μέσο με κανόνα και διαβήτη:

Θεωρούμε κύκλο με κέντρο το ${\rm {B}}$ και ακτίνα ίση με ${\rm {\beta }}$ .
Θεωρούμε το σημείο ${\rm {E}}$ που ο κύκλος αυτός τέμνει την προέκταση της ${\rm {AB}}$ .
Κατασκευάζουμε το μέσο ${\rm {M}}$ του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AE}}$ .
Χαράζουμε τον κύκλο με κέντρο το ${\rm {M}}$ και ακτίνα ${\rm {MA}}$ .
Κατασκευάζουμε την κάθετη από στο ${\rm {AB}}$ στο σημείο ${\rm {B}}$ .
Θεωρούμε το σημείο ${\rm {Z}}$ (δεν έχει σημασία ποιο από τα δύο) που η κάθετη τέμνει τον κύκλο.
Το μήκος του ${\rm {BZ}}$ είναι ο γεωμετρικός μέσος των $\alpha ,\beta$ .

Απόδειξη

Το τρίγωνο ${\rm {AZE}}$ είναι ορθογώνιο με την ${\widehat {\rm {Z}}}$ ορθή, καθώς η διάμεσος είναι η μισή της υποτείνουσας.

Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {ABZ}}$ και ${\rm {ZBE}}$ έχουν μία οξεία γωνία κοινή με το ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm {AZE}}$ , άρα είναι όμοια μεταξύ τους. Επομένως,

{\frac {\rm {BZ}}{\rm {AB}}}={\frac {\rm {BE}}{\rm {BZ}}}

.

Πολλαπλασιάζοντας χιαστί έχουμε ότι

{\rm {BZ}}^{2}={\rm {AB\cdot BE}}=\alpha \cdot \beta

και καταλήγουμε ότι

{\rm {BZ}}={\sqrt {\alpha \cdot \beta }}

,

που είναι ο γεωμετρικός μέσος των $\alpha$ και $\beta$ .

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Διαμαντόπουλος, Επαμεινώνδας (2012). «Σημειώσεις Στατιστικής» (PDF). Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022.
↑ Στεργίου, Μπάμπης (2012). «Εισαγωγή στις ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022.
↑ Bullen, P. S. (2003). Handbook of means and their inequalities. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 9781402015229.

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[1] Διαμαντόπουλος, Επαμεινώνδας (2012). «Σημειώσεις Στατιστικής» (PDF). Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022.

[2] Στεργίου, Μπάμπης (2012). «Εισαγωγή στις ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022.

[3] Bullen, P. S. (2003). Handbook of means and their inequalities. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 9781402015229.

[1]

[2]

[3]