Συνέχεια συνάρτησης

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση λέγεται συνεχής όταν μια μικρή μεταβολή στο όρισμά της προκαλεί μικρή μόνο μεταβολή στην τιμή της. Για τις συναρτήσεις που ορίζονται σε πραγματικούς αριθμούς η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα (και όχι σε ένωση διαστημάτων) μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να χρειαστεί να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί.

Συνέχεια πραγματικών συναρτήσεων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ορισμός Κωσύ («έψιλον-δέλτα» ορισμός)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν είναι μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού και το ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότε η f ονομάζεται συνεχής στο αν

Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης ορίζεται μόνο στα σημεία που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της. Η συνάρτηση ονομάζεται συνεχής στο αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του , δηλαδή αν

Σε αντιδιαστολή προς την ομοιόμορφη συνέχεια, η συνέχεια που ορίστηκε παραπάνω λέγεται και σημειακή συνέχεια.

Ορισμός μέσω ορίων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας ορισμός που χρησιμοποιεί την έννοια του ορίου στις πραγματικές συναρτήσεις λέει ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της αν το όριο της συνάρτησης στο σημείο αυτό συμπίπτει με την τιμή της, δηλαδή αν:

Αυτός ο ορισμός όμως δεν είναι αρκετός γιατί το όριο έχει έννοια μόνο όταν το είναι σημείο συσσώρευσης της συνάρτησης f και επομένως με τον ορισμό αυτό μπορούμε να ελέγξουμε αν μία συνάρτηση είναι συνεχής μόνο στα σημεία συσσώρευσής της, (αν όμως το δεν είναι σημείο συσσώρευσης της f, τότε είναι μεμονωμένο σημείο και επομένως η f είναι έτσι και αλλιώς συνεχής σε αυτό).

Αρχή της μεταφοράς (ορισμός Χάινε)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Α αν και μόνο αν για κάθε ακολουθία στο Α, με:

ισχύει:

Με άλλα λόγια μία πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής κατά Χάινε αν διατηρεί τα όρια, δηλαδή αν το όριο των εικόνων ισούται με την εικόνα του ορίου.

Συνέχεια σε τοπολογικούς χώρους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια συνάρτηση f ορισμένη στο X που λαμβάνει τιμές στο Y, όπου X και Y είναι τοπολογικοί χώροι, είναι συνεχής στο x όπου αν για κάθε γειτονιά V της f(x), υπάρχει μια γειτονιά U του x τέτοια ώστε . Με πιο απλά λόγια, αυτό σημαίνει ότι όσο μικρή κι αν γίνεται η V μπορούμε πάντα να βρούμε μια U του x που να απεικονίζεται στην V. Λέμε ότι η f είναι συνεχής αν είναι συνεχής σε κάθε .

Συνέχεια σε διάστημα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία συνάρτηση ονομάζεται συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα , υποσύνολο του πεδίου ορισμού της , αν είναι συνεχής σε κάθε και

Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεώρημα Bolzano[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα , είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε .

BolTh.png

Γραφικά, το θεώρημα Bolzano σημαίνει ότι, αν η είναι συνεχής στο και ετερόσημοι, τότε η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των .

Θεώρημα σταθερού σημείου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν συνάρτηση συνεχής στο με , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον , τέτοιο ώστε .

Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής βασίζεται στην αρχή της πληρότητας και διατυπώνεται ως εξής:

Αν μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει , τότε για οποιοδήποτε μεταξύ των υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε .

ThMeVa.png

Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής διατυπώνεται ως εξής:

Αν μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] είναι συνεχής σε αυτό, τότε υπάρχουν στοιχεία μ και Μ στο [α, β] ώστε f(μ) = min(f) και f(Μ) = max(f).

Το πιο πάνω δεν ισχύει αν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε ανοικτό διάστημα. Για παράδειγμα η συνάρτηση με τύπο είναι συνεχής στο (0, 1) αλλά δεν έχει μέγιστο.

Ομοιόμορφη συνέχεια[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας είναι πιο ισχυρή από αυτή της (σημειακής) συνέχειας. Επιπλέον, ενώ η συνέχεια μιας συνάρτησης είναι τοπική έννοια, δηλαδή αναφέρεται σε συγκεκριμένα σημεία του πεδίου ορισμού της, η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας αναφέρεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της.

Λέμε ότι μια συνάρτηση είναι ομοιόμορφα συνεχής αν

Η θεμελιώδης διαφορά της ομοιόμορφης συνέχειας από τη σημειακή έγκειται στο ότι η ακτίνα δ δεν εξαρτάται από το κέντρο x0 κάθε φορά, παρά μόνο από την ακτίνα ε.