Ιστορία της Άλγεβρας

Ως κλάδος των μαθηματικών, η άλγεβρα εμφανίστηκε στα τέλη του 16ου αιώνα στην Ευρώπη, με το έργο του Φρανσουά Βιέτ. Η άλγεβρα μπορεί ουσιαστικά να θεωρηθεί ως η μέθοδος υπολογισμού αντικειμένων παρόμοιων της αριθμητικής, αλλά με μη αριθμήσιμα μαθηματικά αντικείμενα. Ωστόσο, μέχρι τον 19ο αιώνα, η άλγεβρα αποτελούνταν κυρίως από τη θεωρία των εξισώσεων. Για παράδειγμα, το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας ανήκει στη θεωρία των εξισώσεων και, στις μέρες μας, δεν θεωρείται ότι ανήκει στην άλγεβρα.

Αυτό το άρθρο περιγράφει την ιστορία της θεωρία των εξισώσεων, που ονομάζεται εδώ «άλγεβρα», από τις απαρχές έως την εμφάνιση της άλγεβρας ως ξεχωριστή περιοχή των μαθηματικών.

Ετυμολογία

Η λέξη «άλγεβρα» προέρχεται από την αραβική λέξη Αλ-Γιάμπρ, και αυτό προέρχεται από την πραγματεία γραμμένη το 820 από τον μεσαιωνικό Πέρση μαθηματικό Αμπού Αμπντουλάχ Μοχάμεντ Ιμπν Μουσά Αλ Χουαρίζμι, με τίτλο, στην αραβική γλώσσα Κιτάμπ αλ-Γκιάμπρ, η οποία μπορεί να μεταφραστεί ως Το Συνοπτικό Βιβλίο για τον Υπολογισμό Ολοκλήρωση και Εξισορρόπηση. Η πραγματεία προβλέπεται για τη συστηματική λύση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Παρά το γεγονός ότι το ακριβές νόημα της λέξης Άλ-Γιάμπρ είναι ακόμα άγνωστο, οι περισσότεροι ιστορικοί συμφωνούν ότι η λέξη σήμαινε κάτι σαν "αποκατάσταση", "ολοκλήρωση",(Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229)"Δεν είναι βέβαιο τι ακριβώς οι όροι Άλ-Γκιάμπρ και μουκαμπάλα σημαίνουν, αλλά η συνήθης ερμηνεία είναι παρόμοια με αυτή που υπονοείται στην παραπάνω μετάφραση. Η λέξη αλ-Γκιαμπρ προφανώς σήμαινε κάτι σαν "αποκατάσταση" ή "ολοκλήρωση" και φαίνεται να αναφέρεται στη μεταφορά των αφαιρετέων όρων στην άλλη πλευρά μιας εξίσωσης, η οποία είναι εμφανής στην πραγματεία. Η λέξη μουκαμπάλα λέγεται ότι αναφέρεται σε «μείωση» ή «εξισορρόπηση" -δηλαδή, η ακύρωση των όμοιων όρων στις αντίθετες πλευρές της εξίσωσης". "Επανενωτής των σπασμένων οστών» ή «ο θέτων οστά»". Ο όρος χρησιμοποιείται από τον Αλ Χουαρίζμι για να περιγράψει τις ενέργειες που ο ίδιος εισήγαγε, "μείωση "και" εξισορρόπηση ", αναφερόμενος στη μεταφορά των όρων που αφαιρέθηκαν στην άλλη πλευρά της εξίσωσης, δηλαδή, την ακύρωση των παρόμοιων όρων στις αντίθετες πλευρές της εξίσωσης.

Στάδια της άλγεβρας

Αλγεβρική έκφραση

Η άλγεβρα δεν κάνει πάντα χρήση του συμβολισμού που είναι τώρα πανταχού παρούσα στα μαθηματικά, αλλά, πέρασε από τρεις φάσεις. Τα στάδια της ανάπτυξης της συμβολικής άλγεβρας έχουν περίπου ως εξής:^[1]

Η ρητορική άλγεβρα, όπου οι εξισώσεις είναι γραμμένες σε πλήρεις προτάσεις. Για παράδειγμα, η ρητορική μορφή x + 1 = 2 είναι "Το x πράγμα συν ένα ίσον δύο" ή, ενδεχομένως, «Το πράγμα x συν 1 ισούται με 2". Η ρητορική άλγεβρα αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τους αρχαίους Βαβυλώνιους και παρέμεινε η κυρίαρχη μέχρι τον 16ο αιώνα.
Η συγκεκομμένη άλγεβρα, όπου κάποιος συμβολισμός χρησιμοποιείται, αλλά η οποία δε περιέχει όλα τα χαρακτηριστικά της συμβολικής άλγεβρας. Για παράδειγμα, μπορεί να υπάρχει ένας περιορισμός ότι η αφαίρεση μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο μία φορά για μια πλευρά μιας εξίσωσης, το οποίο δεν γίνεται στη συμβολική άλγεβρα. Η συγκεκομμένη αλγεβρική έκφραση εμφανίστηκε για πρώτη φορά στην Αριθμητική του Διόφαντου, ακολουθούμενη από το Brahma Sphuta Siddhanta του Βραχμαγκούπτα.
Η συμβολική άλγεβρα, όπου χρησιμοποιείται ο πλήρης συμβολισμός. Τα πρώτα βήματα προς αυτήν την κατεύθυνση μπορεί να τα δει κανείς στο έργο πολλών μαθηματικών με καταγωγή από το Ισλάμ, όπως ο Ιμπν αλ-Μπάνα και Αλ-Καλασάντι, αν και η πλήρης συμβολική άλγεβρα έχει αναπτυχθεί από τον Φρανσουά Βιέτ. Αργότερα, ο Ρενέ Ντεκάρτ εισήγαγε τη σύγχρονη σημειογραφία, και έδειξε ότι τα προβλήματα που εμφανίζονται στη γεωμετρία μπορούν να εκφραστούν και (ευτυχώς) να λυθούν με τη χρήση της άλγεβρας ( καρτεσιανή γεωμετρία ).

Όσο σημαντικός ο συμβολισμός, ή η έλλειψη αυτού, αυτό που χρησιμοποιήθηκε στην άλγεβρα ήταν ο βαθμός των εξισώσεων που χρησιμοποιήθηκαν. Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις έπαιξαν σημαντικό ρόλο στην πρώιμη άλγεβρα: και κατά το μεγαλύτερο μέρος της ιστορίας, μέχρι τις αρχές της σύγχρονης περιόδου, όλες οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ταξινομήθηκαν ως ανήκοντα σε μία από τις τρεις κατηγορίες.

$x^{2}+px=q$
$x^{2}=px+q$
$x^{2}+q=px$

όπου τα p και q είναι θετικοί αριθμοί.^[2] Αυτή η τριχοτόμηση είναι το αποτέλεσμα επειδή οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις της μορφής $x^{2}+px+q=0$ , με τα p και q θετικά, δεν έχουν θετικές λύσεις. Μεταξύ των ρητορικών και συγκεκομμένων σταδίων της συμβολικής άλγεβρας, μια γεωμετρική εποικοδομητική άλγεβρα αναπτύχθηκε από τους κλασσικούς Έλληνες και τους βεδικούς Ινδούς μαθηματικούς στην οποία οι αλγεβρικές εξισώσεις επιλύθηκαν μέσω της γεωμετρίας. Για παράδειγμα, μια εξίσωση της μορφής $x^{2}=A$ λύθηκε με την εύρεση της πλευράς του τετραγώνου της περιοχής A.

Εννοιολογικά στάδια

Εκτός από τα τρία στάδια της έκφρασης αλγεβρικών ιδεών, υπήρχαν τέσσερα εννοιολογικά στάδια στην ανάπτυξη της άλγεβρας που σημειώθηκε παράλληλα με τις αλλαγές στην έκφραση. Αυτά τα τέσσερα στάδια έχουν ως εξής:^[3]

Γεωμετρικό στάδιο, όπου οι έννοιες της άλγεβρας είναι σε μεγάλο βαθμό γεωμετρικές. Αυτό χρονολογείται από τους Βαβυλώνιους και συνεχίζει με τους Έλληνες, και στη συνέχεια αναβίωσε από τον Ομάρ Καγιάμ.
Στατική εξίσωσης επίλυσης στάδιο, όπου ο στόχος είναι να βρεθούν οι αριθμοί που να ικανοποιούν ορισμένες σχέσεις. Η κίνηση μακριά από τη γεωμετρική άλγεβρα χρονολογείται από τον Διόφαντο και τον Βραχμαγκούπτα, αλλά η άλγεβρα δεν κινήθηκε αποφασιστικά προς τη στατική φάση εξίσωσης επίλυσης μέχρι το Αλ-Γκιάμπρ του Αλ Χουαρίζμι.
Δυναμικό στάδιο λειτουργίας, όπου η κίνηση είναι μια βασική ιδέα. Η ιδέα της λειτουργίας άρχισε να ανακάμπτει με τον Σαράφ αλ-Ντιν αλ-Τουσί, αλλά η άλγεβρα δεν προχώρησε αποφασιστικά στο δυναμικό στάδιο λειτουργίας μέχρι τον Γκότφριντ Λάιμπνιτς.
Αφηρημένο στάδιο, όπου η μαθηματική δομή παίζει κεντρικό ρόλο. Η αφηρημένη άλγεβρα είναι σε μεγάλο βαθμό προϊόν του 19ου και του 20ου αιώνα.

Βαβυλωνιακή άλγεβρα

Η προέλευση της άλγεβρας μπορεί να αποδοθεί στους αρχαίους Βαβυλώνιους,^[4] ο οποίοι ανέπτυξαν ένα θέσης αριθμητικό σύστημα που τους βοήθησε σε μεγάλο βαθμό στην επίλυση των αλγεβρικών ρητορικών εξισώσεών τους. Οι Βαβυλώνιοι δεν ενδιαφέρονταν για ακριβείς λύσεις, αλλά κατά προσέγγιση λύσεις, και έτσι θα χρησιμοποιούσαν συνήθως γραμμική παρεμβολή για την προσέγγιση ενδιάμεσων τιμών.^[5]. Ένα από τα πιο διάσημα δισκία είναι η ταμπλέτα Πλίμπτον 322, που δημιουργήθηκε γύρω στα 1900-1600 π.Χ., η οποία δίνει έναν πίνακα των πυθαγορείων τριάδων και αντιπροσωπεύει μερικά από τα πιο προηγμένα μαθηματικά πριν από την Ελληνική μαθηματικά.^[6]

Η Βαβυλωνιακή άλγεβρα ήταν πολύ πιο προχωρημένη από την αιγυπτιακή άλγεβρα εκείνα τα χρόνια:λαμβάνοντας υπόψη ότι οι Αιγύπτιοι ήταν ενδιαφερόμενοι κυρίως στις γραμμικές εξισώσεις ενώ οι Βαβυλώνιοι ήταν περισσότερο με τις τετραγωνικές και κυβικές εξισώσεις.^[5]. Οι Βαβυλώνιοι είχαν αναπτύξει ευέλικτες αλγεβρικές πράξεις με τις οποίες ήταν σε θέση να προσθέτουν ίσα με ίσα και να πολλαπλασιάζουν τις δύο πλευρές της εξίσωσης με παρόμοιες ποσότητες έτσι ώστε να εξαλειφθούν τα κλάσματα και οι παράγοντες.^[5] Ήταν εξοικειωμένοι με πολλές απλές μορφές παραγόντων,^[5] τριών όρων δευτεροβάθμιες εξισώσεις με θετικές ρίζες,^[7] και πολλές κυβικές εξισώσεις,^[8] αν και δεν είναι γνωστό εάν ήταν σε θέση να μειώσουν τη γενική κυβική εξίσωση.

Αιγυπτιακή άλγεβρα

Η αρχαία Αιγυπτιακή άλγεβρα ασχολήθηκε κυρίως με γραμμικές εξισώσεις, ενώ οι Βαβυλώνιοι θεώρησαν τις εξισώσεις αυτές ότι είναι πολύ στοιχειώδεις και ότι τα μαθηματικά πρέπει να αναπτυχθούν υψηλότερο επίπεδο από αυτό των Αιγυπτίων.^[5]

Ο πάπυρος του Ριντ, επίσης γνωστός ως ο Ahmes Πάπυρος, είναι ένας αρχαίος αιγυπτιακός πάπυρος γραμμένος το 1650 π.Χ. από τον Ahmes, ο οποίος το αναδιαμόρφωσε από μια προηγούμενη δουλειά που χρονολογούνται μεταξύ 2000 και 1800 π.Χ.^[9] Είναι το πιο εκτεταμένο αρχαίο αιγυπτιακό μαθηματικό έγγραφο γνωστό στους ιστορικούς.^[10] Ο πάπυρος του Ριντ περιλαμβάνει προβλήματα με γραμμικές εξισώσεις της μορφής $x+ax=c$ και $x+ax+bx=c$ οι οποίες επιλύονται, όπου είναι γνωστά τα a, b, και c και το x, το οποίο αναφέρεται ως "AHA" ή σωρός, είναι ο άγνωστος.^[11] Οι λύσεις πιθανώς, αλλά όχι πάντα, προκύπτουν από τη χρήση της "μεθόδου λάθους θέσης", ή κανόνας λάθους, όπου πρώτα μια συγκεκριμένη τιμή υποκαθίσταται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, μετά γίνονται οι απαιτούμενοι αριθμητικοί υπολογισμοί, τρίτον το αποτέλεσμα συγκρίνεται σε σχέση με τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, και, τέλος, η σωστή απάντηση βρίσκεται με τη χρήση των αναλογιών. Σε μερικά από τα προβλήματα ο συγγραφέας ελέγχει λύση του, γράφοντας έτσι μια από τις αρχαιότερες γνωστές απλές αποδείξεις.^[11]

Ελληνική Γεωμετρική Άλγεβρα

Δες ακόμα: Έλληνικά Μαθηματικά

Ορισμένες φορές εικάζεται ότι οι Έλληνες δεν είχαν Άλγεβρα, ωστόσο αυτό είναι ανακριβές. Από την εποχή του Πλάτωνα, τα ελληνικά Μαθηματικά έχουν υποστεί μια δραστική αλλαγή. Οι Έλληνες δημιούργησαν μια γεωμετρική άλγεβρα, στην οποία οι όροι αναπαρίστανται από πλευρές γεωμετρικών αντικειμένων, συνήθως ευθείες, οι οποίες έχουν γράμματα που να συνδέονται με αυτές και με αυτή την καινούργια μορφή της άλγεβρας ήταν σε θέση να βρουν λύσεις σε εξισώσεις χρησιμοποιώντας μια διαδικασία που εφηύραν, γνωστή ως "Οι εφαρμογές των χώρων". Αυτή η διαδικασία είναι μόνο ένας μέρος της γεωμετρικής άλγεβρας και καλύπτεται εκτενώς στην Ευκλείδεια Γεωμετρία.

Ένα παράδειγμα γεωμετρικής άλγεβρας θα ήταν η επίλυση της γραμμικής εξίσωσης ax=bc. Οι Αρχαίοι Έλληνες θα επίλυαν αυτή την εξίσωση λαμβάνοντας της ως ισότητα μεταξύ δύο χώρων παρά σαν μια ισότητα των λόγων a:b και c:x. Οι Έλληνες θα κατασκεύαζαν ένα ορθογώνιο με πλευρές a και b, στη συνέχεια θα προέκτειναν μια πλευρά του ορθογωνίου κατά μήκος a και τελικά θα θα ολοκλήρωναν το εκτεταμμένο ορθογώνιο μέχρις ότου βρουν την πλευρά του ορθογωνίου που είναι η λύση.

Το άνθος του Θυμαρίδα

Ο Ιάμβλιχος στο έργο του με τίτλο Αριθμητική εισαγωγή υποστηρίζει ότι ο Θυμαρίδας (400 - 350 π.Χ.) εργάστηκε με τις ταυτόχρονες εξισώσεις. Συγκεκριμένα, δημιούργησε τον διάσημο κανόνα γνωστό ως "το άνθος του Θυμαρίδα" ή "το λουλούδι του Θυμαρίδα" το οποίο υποστηρίζει ότι:

Αν το άθροισμα n μεταβλητών που δίνεται και επίσης το άθροισμα του κάθε ζεύγους που περιέχουν μία συγκεκριμένη μεταβλητή, τότε αυτή η μεταβλητή ισούται με το 1/(n-2) της διαφοράς μεταξύ των αθροισμάτων αυτών των ζευγών και του αρχικού δοσμένου αθροίσματος

Μια απόδειξη από τα Στοιχεία του Ευκλείδη που δοθέντος ενός ευθύγραμμου τμήματος, υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο που περιλαμβάνει αυτό το τμήμα ως πλευρά του.

ή χρησιμοποιώντας μία σύγχρονη αντίληψη, η λύση του παρακάτω συστήματος n γραμμικών εξισώσεων σε n αγνώστους,

x + x₁ + x₂ + ... + x_n-1 = s
x + x₁ = m₁
x + x₂ = m₂
.
.
.
x + x_n-1 = m_n-1

είναι

$x={\cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1})-s}{n-2}}={\cfrac {(\sum _{i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}$

Ο Ιάμβλιχος συνεχίζει για να περιγράψει το πως ορισμένα συστήματα γραμμικών εξισώσεων που δεν έχουν αυτή τη μορφή μπορούν αναχθούν σε αυτή τη μορφή.

Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια

Ο Ευκλείδης ήταν ένας Έλληνας μαθηματικός που έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, σχεδόν βέβαια κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου Ι(323-283ΒCE)^[12]^[13]. Ούτε ο χρόνος αλλά ούτε και το μέρος^[12] της γέννησής του δεν έχουν καθοριστεί, ούτε και οι συνθήκες του θανάτου του.

Ο Ευκλείδης θεωρείται ο "πατέρας της γεωμετρίας". Τα Στοιχεία του είναι το πιο επιτυχημένο εγχειρίδιο στην ιστορία των μαθηματικών^[12]. Παρόλο που είναι ένας από τους πιο διάσημους μαθηματικούς στην ιστορία, δεν υπάρχουν νέες ανακαλύψεις που να αποδίδονται σε αυτόν, μάλλον μνημονεύεται για τις επεξηγηματικές του ικανότητες^[14]. Τα Στοιχεία δεν είναι, όπως πολλοί πιστεύουν, μία συλλογή όλης της ελληνικής μαθηματικής γνώσης μέχρι τις μέρες του, παρά μια στοιχειώδης εισαγωγή σε αυτή^[15].

Στοιχεία

Η γεωμετρική εργασία των Ελλήνων τυποποιήθηκε στα Στοιχεία του Ευκλείδη, παρέχοντας το πλαίσιο για γενικευμένους τύπους πέρα από την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων σε πιο γενικά συστήματα διατύπωσης και επίλυσης εξισώσεων.

Το δεύτερο τεύχος των Στοιχείων περιέχει δεκατέσσερις προτάσεις, οι οποίες στην εποχή του Ευκλείδη ήταν ιδιαίτερα σημαντικές για όποιον ήθελε να ασχοληθεί με τη γεωμετρική άλγεβρα. Αυτές οι προτάσεις και τα πορίσματα αυτών είναι οι γεωμετρικές αντιστοιχίες της μοντέρνας συμβολικής άλγεβρας και της τριγωνομετρίας. Σήμερα, χρησιμοποιώντας τη μοντέρνα συμβολική άλγεβρα, επιτρέπουμε στα σύμβολα να αναπαριστούν γνωστά και άγνωστα μεγέθη (αριθμοί i,e) και στη συνέχεια εφαρμόζουμε αλγεβρικές λειτουργίες σε αυτά. Στην εποχή του Ευκλείδη, τα μεγέθη θεωρούνταν ευθύγραμμα τμήματα και τα αποτελέσματα αυτών αντλήθηκαν χρησιμοποιώντας τα αξιώματα ή τα θεωρήματα της γεωμετρίας.

Αρκετοί νόμοι της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού περιλαμβάνονται ή έχουν αποδειχθεί γεωμετρικά στα Στοιχεία. Για παράδειγμα, η πρόταση 1 του δεύτερου τεύχους αναφέρει

Έστω δύο ευθείες και η μία από αυτές έχει χωριστεί σε έναν αριθμό τμημάτων, τότε το ορθογώνιο που περιέχεται μεταξύ των δύο ευθειών ισούται με το ορθογώνιο που περιέχεται μεταξύ της άλλης ευθείας και του κάθε τμήματος.

Αλλά αυτό δεν είναι τίποτα περισσότερο από τη γεωμετρική εκδοχή του (αριστερού) επιμεριστικού νόμου $a(b+c+d)=ab+ac+ad$ και στα βιβλία V και VII των Στοιχείων έχουν αποδειχθεί η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.

Πολλές από τις βασικές εξισώσεις έχουν αποδειχθεί γεωμετρικά. Για παράδειγμα, η πρόταση 5 του δεύτερου τεύχους αποδεικνύει ότι $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ ^[16] και η πρόταση 4 του δεύτερου τεύχους αποδεικνύει ότι $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Επιπλέον, υπάρχουν γεωμετρικές λύσεις που δίνονται σε πολλές εξισώσεις. Για παράδειγμα, η πρόταση 6 του δεύτερου τεύχους δίνει τη λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης $ax+x^{2}=b^{2}$ και η πρόταση 11 του δεύτερου τεύχους των Στοιχείων δίνει τη λύση της εξίσωσης $ax+x^{2}=a^{2}$ ^[17].

Δεδομένα

Τα Δεδομένα είναι μια εργασία γραμμένη από τον Ευκλείδη για χρήση στα σχολεία της Αλεξάνδρειας και προοριζόταν να χρησιμοποιηθεί σαν συνοδευτικός τόμος των πρώτων έξι βιβλίων των Στοιχείων. Το βιβλίο αυτό περιέχει δεκαπέντε ορισμούς και ενενήντα-πέντε λήμματα, στα οποία υπάρχουν περίπου είκοσι που εξυπηρετούν τους αλγεβρικούς κανόνες ή τύπους^[18]. Μερικά από αυτά τα λήμματα είναι γεωμετρικές ισοδυναμίες των λύσεων της δευτεροβάθμιας εξίσωσης^[18]. Τα Δεδομένα περιέχει τις λύσεις των εξισώσεων $(a-x)dx=b^{2}c$ ή $dx^{2}-adx+b^{2}c=0$ και τη γνωστή Βαβυλωνιακή εξίσωση $xy=a^{2}$ , x ± y = b^[18].

Κωνικές Τομές

Η κωνική τομή είναι μία καμπύλη που προκύπτει από την τομή ενός κώνου και ενός επιπέδου. Υπάρχουν τρεις κύριοι τύποι κωνικών τομών: η έλλειψη (περιλαμβανομένου του κύκλου), η υπερβολή και η παραβολή. Οι κωνικές τομές φημολογείται ότι ανακαλύφθηκαν από τον Menaechmus^[19](c. 380 – c. 320 π.Χ.) και αφού η αντιμετώπιση με τις κωνικές τομές είναι ισοδύναμη με τις αντίστοιχες εξισώσεις, παίζουν γεωμετρικό ρόλο ισοδύναμους με κυβικές εξισώσεις και άλλες μεγαλύτερης τάξης εξισώσεις.

Ο Menaechmus γνώριζε ότι η παραβολή κατέχει την εξίσωση y² = lx, όπου / μία σταθερά που ονομάζεται latus rectum, ωστόσο δεν γνώριζε το γεγονός ότι οποιαδήποτε εξίσωση με δύο αγνώστους ορίζει μία καμπύλη^[20]. Προφανώς, προέκυψαν αυτές οι ιδιότητες από τις κωνικές τομές και από άλλα στοιχεία. Χρησιμοποιώντας αυτή την πληροφορία ήταν τώρα δυνατόν να βρει μια λύση στο πρόβλημα της επικάλυψης του κύβου, επιλύοντας το για τα σημεία στα οποία οι δύο παραβολές τέμνονται, μία λύση ισοδύναμη με την επίλυση μιας κυβικής εξίσωσης^[20].

Μαθαίνουμε από τον Ευτόκιο, πως η μέθοδος που χρησιμοποίησε για να λύσει την κυβική εξίσωση ήταν του Διονυσόδωρου (250 – 190 π.Χ.). Ο Διονυσόδωρος επίλυσε την κυβική εξίσωση χρησιμοποιώντας την τομή της ορθογώνιας υπερβολής και της παραβολής. Αυτό σχετίζεται με το πρόβλημα του Αρχιμήδη στο "Στη σφαίρα και στον κύλινδρο". Οι κωνικές τομές μελετήθηκαν και χρησιμοποιήθηκαν για χιλιάδες χρόνια από τους Έλληνες μαθηματικούς και αργότερα από τους Μουσουλμάνους και Ευρωπαίους μαθηματικούς.

Κινέζικη Άλγεβρα

Δες ακόμα Κινέζικα μαθηματικά

Τα κινέζικα μαθηματικά χρονολογούνται τουλάχιστον από το 300 π.Χ. με το Chou Pei Suan Ching, το οποίο θεωρείται ένα από τα αρχαιότερα κινέζικα μαθηματικά κείμενα.

Εννιά κεφάλαια στη Μαθηματική Τέχνη

To Chiu-chang suan-shu ή αλλιώς Εννιά κεφάλαια στη Μαθηματική τέχνη, γράφτηκε περίπου το 250 π.Χ. και είναι ένα από τα κινέζικα μαθηματικά κείμενα με την περισσότερη επιρροή και αποτελείται από 246 προβλήματα. Το κεφάλαιο 8 ασχολείται με την επίλυση προσδιοριστικών και απροσδιόριστων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας θετικούς και αρνητικούς αριθμούς, με ένα πρόβλημα από αυτά να είναι η επίλυση ενός συστήματος τεσσάρων εξισώσεων με πέντε αγνώστους^[21].

Sea-Mirror of the Circle Measurements

Το Ts'e-yuan hai-ching ή αλλιώς το Sea-Mirror of the Circle Measurements είναι μία συλλογή από περίπου 170 προβλήματα, γραμμένο από τον Li Zhi (1192-1272 μ.Χ.). Χρησιμοποίησε τη μέθοδο fan fa, ή αλλιώς τη μέθοδο Horner για να επιλύσει εξισώσεις μέχρι έκτου βαθμού, ωστόσο δεν περιέγραψε τη δική του μέθοδο επίλυσης εξισώσεων^[22].

Μαθηματική διατριβή σε εννιά ενότητες

Shu-shu chiu-chang ή αλλιώς Μαθηματική διατριβή σε εννιά ενότητες, γράφτηκε από τον πλούσιο κυβερνήτη και υπουργό Ch'in Chiu-Chao(1202-1261 μ.Χ.) και με την επινόηση μίας μεθόδου επίλυσης συστημάτων αναλογιών που τώρα ονομάζεται Chinese reminder theorem, σημειώνει τη μεγαλύτερη επιτυχία στην απροσδιόριστη ανάλυση^[22].

Μαγικά τετράγωνα

Τα πρώτα γνωστά μαγικά τετράγωνα εμφανίστηκαν στην Κίνα^[23]. Στο βιβλίο Εννιά Κεφάλαια ο συγγραφέας επιλύει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων τοποθετώντας τους συντελεστές και τους σταθερούς όρους της γραμμικής εξίσωσης σε ένα μαγικό τετράγωνο( σε έναν πίνακα) και εκτελεί πράξεις για τη μείωση της στήλης στο μαγικό τετράγωνο^[23]. Τα αρχαιότερα μαγικά τετράγωνα με τάξη μεγαλύτερη του 3 αποδίδονται στον Yang Hui (1261-1275) που ασχολήθηκε με μαγικά τετράγωνα τάξης μέχρι και 10^[24].

Ο πολύτιμος καθρέφτης των τεσσάρων στοιχείων

Ssy-yüan yü-chien ή αλλιώς ο πολύτιμος καθρέφτης των τεσσάρων στοιχείων γράφτηκε από τον Chu Shih-chieh το 1303 και σημειώνει την κορυφή στην ανάπτυξη της κινέζικης άλγεβρας. Τα τέσσερα στοιχεία, που ονομάζονται παράδεισος, γη, άνθρωπος και ύλη, αναπαριστούν τις τέσσερις άγνωστες ποσότητες στην αλγεβρική του εξίσωση. Το Ssy-yüan yü-chien ασχολείται με συστήματα εξισώσεων και με εξισώσεις μέχρι δεκάτου-τετάρτου βαθμού. Ο συγγραφέας χρησιμοποιεί τη μέθοδο fan fa, που σήμερα ονομάζεται Μέθοδος Horner, για να λύσει αυτές τις εξισώσεις^[25].

Ο πολύτιμος καθρέπτης ξεκινά με ένα διάγραμμα του αριθμητικού τριγώνου (τρίγωνο του Πασκάλ), κάνοντας χρήση ενός συμβόλου σχήματος κυκλικού -μηδέν- αλλά ο Chu Shih-chieh αρνείται τον έπαινο γι'αυτό. Ένα παρόμοιο τρίγωνο εμφανίστηκε στο έργο του Yang Hui, αλλά χωρίς το μηδενικό σύμβολο.

Υπάρχουν πολλές αθροιστικές σειρές που δίνονται στον Πολύτιμο καθρέφτη χωρίς απόδειξη. Κάποιες από αυτές τις σειρές είναι^[26]

1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}

1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) \over 5!}

Διοφαντική Άλγεβρα

Εξώφυλλο από τα Αριθμητικά του Διόφαντου (1962), μεταφρασμένο στα Λατινικά από Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Ο Διόφαντος ήταν ένας ελληνιστής μαθηματικός που έζησε περίπου το 250 μ.Χ., παρ'όλα αυτά δεν γνωρίζουμε την ακριβή ημερομηνία γέννησης του, καθώς κατά τους ειδικούς υπάρχει απόκλιση περισσότερη και από έναν αιώνα. Είναι γνωστός για τα Αριθμητικά ("Arithmetica"), μια πραγματεία, η οποία αποτελείτο από δεκατρία βιβλία, αλλά από τα οποία μόνο τα πρώτα έξι έχουν διασωθεί.^[27] Τα Αριθμητικά έχουν πολύ λίγα κοινά στοιχεία με τα ελληνικά παραδοσιακά μαθηματικά, δεδομένου ότι είναι "ανεξάρτητα" γεωμετρικών μεθόδων, και είναι διαφορετικά από τα βαβυλωνιακά μαθηματικά στα οποία ο Διόφαντος ασχολείται κατά κύριο λόγο με ακριβείς λύσεις, τόσο καθορισμένες όσο και απροσδιόριστες, έναντι των απλών προσεγγίσεων.^[28]

Στα Αριθμητικά, ο Διόφαντος είναι ο πρώτος που χρησιμοποιεί σύμβολα για άγνωστους αριθμούς, καθώς και συντομογραφίες για τις δυνάμεις των αριθμών, τις σχέσεις, και τις πράξεις.^[28] Έτσι χρησιμοποίησε τη σημερινή "συγκεκομμένη", όπως λέμε σήμερα, άλγεβρα. Η κύρια διαφορά μεταξύ της διοφαντικής συγκοπτόμενης άλγεβρας και της σύγχρονης αλγεβρικής σημειογραφίας είναι ότι η πρώτη δεν διέθετε ειδικά σύμβολα για τις πράξεις, τις σχέσεις, και ότι αφορά τα εκθετικά.^[29] Έτσι, για παράδειγμα, αυτό που θα γράφαμε ως

$x^{3}-2x^{2}+10x-1=5$ ,

Ο Διόφαντος θα το είχε γράψει ως

Κ^Υ α̅ς ι̅ ⫛ Δ^Υ β̅ Μ α̅ ἴσ Μ ε̅

όπου τα σύμβολα αντιπροσωπεύουν:^[30]^[31]

Σύμβολο	Αντιπροσώπευση
α̅	αντιπροσωπεύει 1
β̅	αντιπροσωπεύει 2
ε̅	αντιπροσωπεύει 5
ι̅	αντιπροσωπεύει 10
ς	αντιπροσωπεύει την άγνωστη ποσότητα (δηλαδή τη μεταβλητή)
ἴσ	(Μικρή για ἴσος) αντιπροσωπεύει "ισούται με"
⫛	αντιπροσωπεύει την αφαίρεση του κάθε τι που ακολουθεί μέχρι ἴσ
Μ	αντιπροσωπεύει τη μηδενική δύναμη της μεταβλητής (δηλαδή ένα σταθερό όρο)
Δ^Υ	αποτελεί τη δεύτερη δύναμη της μεταβλητής, από την Ελληνική δύναμις, που σημαίνει δύναμη ή εξουσία
Κ^Υ	αντιπροσωπεύει την τρίτη δύναμη της μεταβλητής, από την ελληνική κύβος, δηλαδή έναν κύβο
Δ^ΥΔ	αντιπροσωπεύει την τέταρτη δύναμη της μεταβλητής
ΔΚ^Υ	αντιπροσωπεύει την πέμπτη δύναμη της μεταβλητής
Κ^ΥΚ	αντιπροσωπεύει την έκτη δύναμη της μεταβλητής

Εδώ να σημειωθεί ότι οι συντελεστές ακολουθούν τις μεταβλητές και ότι την προσθήκη αυτή αντιπροσωπεύει η παράθεση των όρων. Μία -κυριολεκτικά-, σύμβολο προς σύμβολο μετάφραση της διοφαντικής συγκοπτόμενης εξίσωσης σε μια σύγχρονη συμβολική εξίσωση είναι η εξής:^[30]

{x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5

και, πιο συγκεκριμένα, εάν οι σύγχρονες παρενθέσεις και το σύμβολο της πρόσθεσης χρησιμοποιηθούν τότε η παραπάνω εξίσωση μπορεί να ξαναγραφεί ως:^[30]

({x^{3}}1+{x}10)-({x^{2}}2+{x^{0}}1)={x^{0}}5

Τα Αριθμητικά είναι μια συλλογή αποτελούμενη από περίπου 150 λυμένα προβλήματα, όχι θεωρητικού τύπου, αλλά με συγκεκριμένους αριθμούς, στα οποία δεν υπάρχει διατυπωμένη ανάπτυξη, ούτε και γενική μέθοδος εξεφρασμένη ρητά, παρ'όλο που η γενικότητα της μεθόδου ίσως να υπάρχει ακόμη, και ο σκοπός δεν είναι να βρεθούν όλες οι λύσεις στις εξισώσεις.^[28] Τα Αριθμητικά δεν περιέχουν λυμένα θέματα που εμπλέκουν πολλά άγνωστα ποσά, αν και αυτά λύνονται, αν είναι δυνατόν, εκφράζοντας τις άγνωστες ποσότητες συναρτήσει ενός μόνο άγνωστου ποσού.^[28] Τα Αριθμητικά κάνει επίσης χρήση των ταυτοτήτων:^[32]

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$	$=(ac+db)^{2}+(bc-ad)^{2}$
	$=(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}$

Ινδική Άλγεβρα

Οι Ινδοί μαθηματικοί θεωρούσαν ενδιαφέρον θέμα για μελέτη τα συστήματα αριθμών. Δεν υπάρχουν ακόμα πολλά στοιχεία που να αποδεικνύουν τη συμβολή τους στην άλγεβρα ^{[εκκρεμεί παραπομπή]} Ωστόσο, τα αρχαιότερα γνωστά αρχεία στην ινδική μαθηματική χρονολογούνται γύρω στα μέσα της πρώτης χιλιετίας π.Χ. (περίπου τον 6ο π.Χ. αιώνα).

Τα επαναλαμβανόμενα θέματα στα ινδικά μαθηματικά είναι, μεταξύ άλλων, καθορισμένες και απροσδιόριστες γραμμικές, δευτεροβάθμιες εξισώσεις, απλή καταμέτρηση και Πυθαγόρειες τριάδες.

Aryabhata

Ο Aryabhata (476-550 π.Χ.) ήταν ένας Ινδός μαθηματικός ο οποίος έγραψε τα Aryabhatiya. Σ'αυτά, περιείχε τους κανόνες,^[33]

1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}

and

1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}

Brahma Sphuta Siddhanta

Ο Brahmagupta ήταν ένας Ινδός μαθηματικός που έγραψε το Brahma Sphuta Siddhanta. Στο έργο του Brahmagupta, έλυσε τη γενική τετραγωνική εξίσωση, εξίσου για θετικές και αρνητικές ρίζες. Στην αόριστη ανάλυση, ο Brahmagupta έδωσε τις πυθαγόρειες τριάδες, $m$ , ${1 \over 2}({m^{2} \over n}-n)$ , ${1 \over 2}({m^{2} \over n}+n)$ , αλλά αυτή είναι μια τροποποιημένη μορφή του παλιού βαβυλωνιακού κανόνα, με την οποία (ο Brahmagupta) ίσως ήταν εξοικειωμένος". Ήταν ο πρώτος που έδωσε τη γενική λύση στη γραμμική διοφαντική εξίσωση ax + by = c, όπου τα a,b,c είναι ακέραιοι. Αντίθετα με τον Διόφαντο ο οποίος έδωσε μια μόνο λύση, ο Brahmagupta έδωσε όλες τις πιθανές ακέραιες λύσεις, αλλά το γεγονός ότι ο Brahmagupta χρησιμοποίησε μερικά κοινά παραδείγματα με τον Διόφαντο, έχει οδηγήσει τους ιστορικούς στο συμπέρασμα ότι υπάρχει πιθανότητα ο Brahmagupta να είχε επηρεαστεί από τον Έλληνα Διόφαντο, ή τουλάχιστον ότι υπήρχε κοινή βαβυλωνιακή πηγή.

Όπως η άλγεβρα του Διόφαντου, έτσι και του Brahmagupta ήταν διακεκομμένη. Η πρόσθεση πραγματοποιείτο με το να τοποθετήσει τους αριθμούς πλάι-πλάι, η αφαίρεση με το να τοποθετεί μια τελεία επί του αφαιρετέου, και η διαίρεση με το να τοποθετεί τον διαιρέτη κάτω από το μέρισμα, παρόμοιο με τον συμβολισμό μας, αλλά χωρίς ράβδο. Πολλαπλασιασμός, εξέλιξη και άγνωστες ποσότητες αναπαραστάθηκαν από συντομογραφίες από κατάλληλους όρους. Η επέκταση της ελληνικής επιρροής σ'αυτή τη συγκοπή, αν μη τι άλλο, δεν είναι γνωστή, και είναι πιθανό, ότι τόσο η ελληνική, όσο και η ινδική συγκοπή ίσως προέρχονται από την κοινή βαβυλωνιακή πηγή.

Bhāskara II

Bhāskara II (1114-c. 1185) ήταν ο σημαντικότερος μαθηματικός του 12ου αιώνα στην Άλγεβρα. Έδωσε τη γενική λύση στην εξίσωση Pell. Επίσης, είναι ο συγγραφέας του Lilavati και Vija-Ganita τα οποία περιέχουν προβλήματα που σχετίζονται με καθορισμένες και αόριστες γραμμικές και δευτεροβάθμιες εξισώσεις, καθώς και πυθαγόρειες τριάδες, ενώ απέτυχε στην προσπάθεια του να ξεχωρίσει μεταξύ "ακριβών" και προσεγγιστικών δηλώσεων. Πολλά από τα προβλήματα στο Lilavati και Vija-Ganita εξάγονται από άλλες πηγές Hindu και έτσι ο Bhaskara αντιμετωπίζει την αόριστη ανάλυση με τον καλύτερο τρόπο, δηλαδή χρησιμοποιεί τα αρχικά γράμματα των ονομάτων των χρωμάτων, ως σύμβολα για άγνωστες μεταβλητές. Έτσι, για παράδειγμα, αυτό που θα γράφαμε σήμερα σαν

(-x-1)+(2x-8)=x-9

ο Bhaskara θα το έγραφε ως

. _ .

ya 1 ru 1

.

ya 2 ru 8

.

Sum ya 1 ru 9

όπου ya εννοούμε την πρώτη συλλαβή από τη λέξη μαύρο, και ru από τη λέξη είδη. Οι τελείες στα νούμερα σημαίνουν αφαίρεση.

Ισλαμική Άλγεβρα

Τον πρώτο αιώνα της ισλαμικής αραβικής αυτοκρατορίας δεν υπήρχε κάποιο επιστημονικό ή μαθηματικό επίτευγμα, αφού οι άραβες με τις νεοκατακτημένες αυτοκρατορίες δεν είχαν κερδίσει ακόμα καμιά διανοητική και έρευνα σε άλλα μέρη του κόσμου που είχαν ξεχαστεί. Στο δεύτερο μισό του 8^ου αιώνα, το Ισλάμ είχε μια πολιτισμική αφύπνιση και η έρευνες στα μαθηματικά και τις άλλες επιστήμες αυξήθηκε. Λέγεται ότι ο μουσουλμάνος Abbasid caliph al-Mamun (809-833) είχε ένα όνειρο όπου εμφανίστηκε ο Αριστοτέλης και ως συνέπεια ο Al-Mamun διέταξε να μεταφραστούν όσα περισσότερα ελληνικά έργα ήταν εφικτό, συμπεριλαμβανομένου του Ptolemy’s Almagest and Euclid’s Elements. Οι ελληνικές λέξεις θα δίδονταν στους μουσουλμάνους από τη βυζαντινή αυτοκρατορία σαν ανταλλαγή για συνθήκη, αφού οι δύο αυτοκρατορίες είχαν «δύσκολη ειρήνη». Πολλά από αυτά τα ελληνικά έργα μεταφράστηκαν από τον Thabit ibn Qurra (826-901), ο οποίος μετάφρασε βιβλία γραμμένα απ’ τον Ευκλείδη, τον Αρχιμήδη, τον Απόλλωνα, τον Πτολεμαίο και τον Ευτόκιο. Υπάρχουν τρεις θεωρίες για την προέλευση της αραβικής άλγεβρας. Η πρώτη δίνει έμφαση στην Hindu επιρροή, η δεύτερη στη Μεσοποταμική ή στην Περσική-Συριακή επιρροή και η Τρίτη στην ελληνική. Πολλοί μελετητές πιστεύουν ότι αυτό είναι αποτέλεσμα ενός συνδυασμού και των 3^ων πηγών. Καθ’ όλη τη διάρκεια δύναμης τους, πριν πέσει ο ισλαμικός πολιτισμός, οι Άραβες χρησιμοποιούσαν μια πλήρως ρητορική άλγεβρα, όπου συχνά ακόμη και οι αριθμοί γραφόντουσαν με λέξεις. Οι Άραβες σταδιακά αντικατέστησαν τους διατυπωμένους αριθμούς (π.χ. είκοσι δύο) με αραβικά νούμερα (22), αλλά οι άραβες δεν υιοθέτησαν ή εξέλιξαν τη συγκεκομμένη ή τη συμβολική άλγεβρα, μέχρι το έργο του Ibn al-Banna τον 13^ο αι. και του Abu al-Hasan ibn Ali al-Qalasadi τον 15^ο αι.

Al-jabr wa’l muqabalah

Δείτε επίσης: The compendious book on calculation by completion and balancing

Ο πέρσης μουσουλμάνος μαθηματικός Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi ήταν μέλος στο «Σπίτι της σοφίας» στη Βαγδάτη το οποίο καθιερώθηκε απ’ τον Al-Mamun. Ο Al-Khwarizmi, ο οποίος πέθανε γύρω στο 850 π.Χ., έγραψε περισσότερα από 6 μαθηματικά και αστρονομικά έργα, μερικά από τα οποία ήταν βασισμένα στο «Indian Sindhind». Ένα από τα πιο δημοφιλή βιβλία του al-Khwarizmi ήταν αυτό με τίτλο Al-jabr wa’l muqabalah ή το συνοπτικό βιβλίο στον υπολογισμό από ολοκλήρωση και ισορροπία, και δίνει έναν υπερβολικά μεγάλο όγκο λυμένων πολυωνύμων δευτέρου βαθμού. Το βιβλίο επίσης εισάγει τον θεμελιώδη νόμο της μείωσης και ισορροπίας, αναφερόμενο στη μεταφορά αφαιρούμενων όρων από την άλλη μεριά μιας εξίσωσης, και αυτό είναι η απλοποίηση όρων στα απέναντι μέλη μιας εξίσωσης. Αυτή είναι μια διαδικασία την οποία ο Al-Khwarizmi αρχικά περιέγραψε σαν al-jabr.

Ο R. Rashed και η Angela Armstrong έγραψαν:

«Το κείμενο του Al-Khwarizmi είναι φανερό ότι απέχει όχι μόνο από τις βαβυλωνιακές πινακίδες, αλλά και από την αριθμητική του Διόφαντου. Πλέον δεν αφορά μια σειρά προβλημάτων που αναζητούν λύση, αλλά την έκθεση, η οποία ξεκινά με την πρωτόγονη άποψη στην οποία οι συνδυασμοί πρέπει να δώσουν όλα τα πιθανά πρωτότυπα για τις εξισώσεις, οι οποίες εις το εξής αποτελούν ρητά το σωστό αντικείμενο σπουδών. Από την άλλη μεριά, η ιδέα μιας εξίσωσης για τους δικούς του λόγους, φαίνεται από την αρχή, και όπως θα μπορούσε να πει κάποιος, είναι ένας γενικός τρόπος που δεν απλοποιεί την ανάδυση της λύσης ενός προβλήματος, αλλά την επικαλείται ξεχωριστά για να καθορίσει μια άπειρη σειρά προβλημάτων.

Το al-Jabr χωρίζεται σε έξι κεφάλαια καθένα από τα οποία ασχολείται μ’ ένα διαφορετικό τύπο φόρμουλας. Το πρώτο κεφάλαιο περιέχει εξισώσεις των οποίων τα τετράγωνα είναι ίσα με έναν αριθμό ax^2=c και το τρίτο με ρίζες ίσες μ’ έναν αριθμό (bx=c), το τέταρτο κεφάλαιο ασχολείται με τετράγωνα και ρίζες ίσες μ’ έναν αριθμό το 5^ο με τετράγωνα και αριθμό να είναι ίσο με τετράγωνο.

Στο Al-Jabr, ο Al-Khwarizmi χρησιμοποιεί γεωμετρικές αποδείξεις, δεν αναγνωρίζει απλώς τη λύση ως «x=0» και ασχολείται μόνο με θετικές ρίζες. Επίσης καταλαβαίνει ότι η διακρίνουσα πρέπει να είναι θετική και περιγράφει τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνων, παρ’ όλο που δεν δικαιολογεί τη διαδικασία. Η ελληνική επιρροή είναι εμφανής από τα γεωμετρικά θεμέλια του al-jabr και από ένα πρόβλημα που το ανέλαβε ο Ήρωνας. Χρησιμοποίησε διαγράμματα με σύμβολα, αλλά όλοι οι συντελεστές σ όλες τις εξισώσεις είναι αριθμοί, αφού δεν υπήρχε τρόπος να εκφράσει χωρίς παραμέτρους αυτό που θα μπορούσε να εκφράσει γεωμετρικά, ο στόχος ήταν η γενικότητα της μεθόδου.

Ο Al-Khwarizmi κατά πάσα πιθανότητα δεν γνώριζε την «Αριθμητική» του Διοφάντου, η οποία έγινε γνωστή στους Άραβες περίπου πριν τον 10^ο αι. και παρ’ όλο που ο Al-Khwarizmi πιθανότατα γνώριζε το έργο του Brahmagupta, ο Al-jabr είναι ρητορικός με τους αριθμούς, αφού τους εκφράζει με λέξεις, οπότε για παράδειγμα όταν θα λέγαμε σαν:

Ο Διόφαντος θα το έγραφε έτσι:

Και ο Al-Khwarizmi θα το έγραφε έτσι:

Ένα τετράγωνο και δέκα ρίζες στην ίδια ποσότητα ισούται με 39 μονάδες. Τώρα, τι πρέπει να είναι το τετράγωνο, έτσι ώστε όταν αυξηθεί με δέκα δικές του ρίζες να είναι ίσο με 39;

Λογική αναγκαιότητα στις σύνθετες εξισώσεις

Ο ‘Abd al-Hamid ibn Turk έγραψε ένα χειρόγραφο με τίτλο «Λογική-Αναγκαιότητες στις σύνθετες εξισώσεις» (το οποίο έχει πολλά κοινά με το Al-jabr του Al-Khwarizmi) και το οποίο εκδόθηκε περίπου την ίδια εποχή - ή και νωρίτερα – από το Al-jabr.

Το χειρόγραφο δίνει την ακριβή γεωμετρική επίδειξη, όπως υπάρχει και στο Al-jabr, και σε μια περίπτωση έχει βρεθεί το ίδιο παράδειγμα με το Al-jabr και ακόμη ξεπερνά το Al-jabr με το να δίνει γεωμετρική απόδειξη, ότι αν η διακρίνουσα είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δευτέρου βαθμού δεν έχει λύση.

Το κοινό σημείο μεταξύ των δύο αυτών έργων έχει οδηγήσει κάποιους ιστορικούς στο να καταλήξουν ότι η αραβική άλγεβρα είχε αναπτυχθεί καλά τον καιρό του Al-Khwarizmi και του ‘Abd al-Hamid.

Abu Kamil and al-Karkhi

Οι αραβικής καταγωγής μαθηματικοί χρησιμοποίησαν (λανθασμένα) τους αριθμούς σαν σύμβολα άλγεβρας. Ο αιγύπτιος μαθηματικός Abu Kamil Shuja ibn Aslam (850-930) ήταν ο πρώτος που αποδέχτηκε αυτή την κατάσταση (συνήθως στη μορφή μιας τετραγωνικής ρίζας, μιας κυβικής ρίζας, ή μιας ρίζας τετάρτου βαθμού) σαν λύσεις σε τετραγωνικές εξισώσεις ή σαν συντελεστές μιας εξίσωσης. Ήταν επίσης ο πρώτος που έλυσε ένα μη-γραμμικό σύστημα 3^ων εξισώσεων με 3 αγνώστους.

Ο Al-Karkhi (953-1029) ήταν επίσης γνωστός σαν Al-karaji, ήταν ο διάδοχος του Abu al-Wafa al-Buzjani (940-998) και ανακάλυψε τις πρώτες αριθμητικές λύσεις στις εξισώσεις της μορφής

Ο Al-Karkhi θεώρησε τις ρίζες θετικές. Επίσης ο Al-Karkhi θεωρείται το πρώτο άτομο που «ελευθέρωσε» την άλγεβρα από γεωμετρικά στοιχεία, τα οποία είναι η βάση της άλγεβρας σήμερα. Το έργο του στην άλγεβρα και τα πολυώνυμα, έδωσε τους κανόνες για αριθμητικές λειτουργίες για τη χρήση πολυωνύμων. Ο ιστορικός των μαθηματικών F. Woepcke στο Extrait du Fakhri, traite d’Algebre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi (paris, 1853 ) επαίνεσε τον Al-Karaji ως τον πρώτο άνθρωπο που εισήγαγε τη θεωρία του αλγεβρικού λογισμού. Με βάση αυτό, ερεύνησε τους διωνυμικούς συντελεστές και το τρίγωνο του Πασκαλ.

Omar Khayyam, Sharaf al-Din, and al-Kashi

Ο Omar θεωρείται ότι αναγνώρισε τα θεμέλια της αλγεβρικής γεωμετρίας και ότι βρήκε τη γενική γεωμετρική λύση της κυβικής εξίσωσης. Για να λύσει μια εξίσωση τρίτου βαθμού, ο Khayyam δημιούργησε την παραβολή, έναν κύκλο με διάμετρο, και μια κάθετη ευθεία στο σημείο τομής τους. Η λύση δίνεται από το μήκος της οριζόντιας γραμμής που αρχίζει από την αρχή των αξόνων και τελειώνει στην τομή της κάθετης ευθείας.

Ο Omar Khayyam (1050-1123) έγραψε ένα βιβλίο για την άλγεβρα, το οποίο ξεπέρασε αυτό του Al-Jabr, αφού εμπεριείχε εξισώσεις τρίτου βαθμού. Ο Omar παρείχε εξίσου αριθμητικές και γεωμετρικές λύσεις για τις τετραγωνικές εξισώσεις, αλλά έδωσε μόνο γεωμετρικές λύσεις για τις γενικές κυβικές εξισώσεις, αφού πίστευε λανθασμένα ότι αριθμητικές λύσεις δεν υπήρχαν. Η μέθοδος του για τις λύσεις κυβικών εξισώσεων με χρήση κωνικών τομών χρησιμοποιήθηκε από τους Menaechmus, Archimedes, και ibn al-Haytham (Alhazen), αλλά ο Omar γενίκευσε τη μέθοδο αυτή έτσι ώστε να καλύπτει όλες τις κυβικές εξισώσεις με θετικές ρίζες και ο βαθμός των εξισώσεων δεν έπρεπε να υπερβαίνει το 3. Επίσης αναγνώρισε τη στενή σχέση μεταξύ άλγεβρας και γεωμετρίας. Τον 2^ο αι. Shara f al-Din al-Tusi (1135-1213) έγραψε το Al-Mu’adalat (Treatise on Equations), το οποίο είχε να κάνει με 8 διαφορετικούς τύπους εξισώσεων με θετικές ρίζες και με 5 τύπους κυβικών εξισώσεων που μπορεί και να μην είχαν θετικές ρίζες. Χρησιμοποίησε αυτό που έγινε γνωστό αργότερα ως η μέθοδος Ruffini-Horner για να προσεγγίσει αριθμητικά τη ρίζα μιας κυβικής εξίσωσης. Επίσης, εξέλιξε τις θεωρίες για τα μέγιστα και τα ελάχιστα στις καμπύλες για να λύσει εξισώσεις οι οποίες ίσως να μην είχαν θετικές ρίζες. Επίσης κατάλαβε τη σημασία του διαχωρισμού της κυβικής εξίσωσης και χρησιμοποίησε μια καινούρια μορφή της φόρμουλας του Cardano, έτσι ώστε να βρει αλγεβρικές λύσεις σε συγκεκριμένους τύπους κυβικών εξισώσεων. Μερικοί μελετητές όπως ο Roshdi Rashed, διαφωνούσαν στο γεγονός ότι ο Sharaf al-Din ανακάλυψε την παράγωγο των κυβικών πολυωνύμων και συνειδητοποίησε τη σημασία τους, ενώ άλλοι μελετητές συνδέουν τη λύση με τις ιδέες του Ευκλείδη και του Αρχιμήδη. Ο Sharaf al-Din επίσης ανέπτυξε την ιδέα μιας λειτουργίας. Στην ανάλυσή του για την εξίσωση για παράδειγμα, ξεκίνησε με την αλλαγή της μορφής της σε. Μετά στην ερώτηση αν η εξίσωση έχει λύση, αυτό εξαρτάται από το αν έχει ή δεν έχει τη λειτουργία στο αριστερό μέλος να φτάνει την τιμή d. Για να το εξακριβώσει αυτό, βρίσκει την μέγιστη τιμή αυτής της λειτουργίας. Αποδεικνύει ότι η μέγιστη τιμή προκύπτει όταν x=2b/3, το οποίο δίνει την τιμή. Ο Sharaf al-Din μετά δήλωσε ότι αν αυτή η τιμή είναι μικρότερη από d, δεν υπάρχουν θετικές λύσεις, αν είναι ίσο με d τότε υπάρχει μια λύση x=2b/3 και αν είναι μεγαλύτερη απ’ το d, υπάρχουν δύο ρίζες, μια μεταξύ 0 και 2b/3, και μία μεταξύ 2b/3 και b. Στην αρχή του 15^ου αι. ο Jams hid al-Kashi ανέπτυξε την πρώτη φόρμα από τη μέθοδο Newton για να λύσει την εξίσωση για να βρει ρίζες του Ν. Ο Al-Kashi επίσης ανέπτυξε τα δεκαδικά κλάσματα και ισχυρίστηκε ότι το ανακάλυψε μόνος του. Παρ’ όλα αυτά, ο J. Lennart Berggrenn σημειώνει ότι έκανε λάθος αφού τα δεκαδικά χρησιμοποιήθηκαν 5 αιώνες πριν από τον Baghdadi, μαθηματικό Abu’l-Hasan al-Uqlidisi τον 10^ο αιώνα.

Al-Hassar, Ibn al-Banna, and al-Qalasadi

Ο Al-Hassar ένας μαθηματικός από το Μαρόκο, που ειδικευόταν στην ισλαμική κληρονομική νομολογία κατά τη διάρκεια του 12^ου αιώνα ανέπτυξε τον μοντέρνο συμβολικό μαθηματικό συμβολισμό για κλάσματα όπου ο αριθμητής και ο παρονομαστής χωρίζονται από μια οριζόντια μπάρα. Ο ίδιος κλασματικός συμβολισμός εμφανίστηκε σύντομα μέσα στη δουλειά του Fibonacci τον 13^ο αιώνα. Ο Abu al-Hasan ibn Ali al-Qalasadi (1412-1486) ήταν ο τελευταίος σημαντικός μαθηματικός του μεσαίωνα από την Αραβία ο οποίος έκανε την πρώτη προσπάθεια για τη δημιουργία αλγεβρικού συμβολισμού, από τότε που ο Ibn al-Banna, δύο αιώνες πριν ήταν αυτός ο πρώτος που επιχείρησε μια τέτοια προσπάθεια μετά τον Διόφαντο και τον Brahmagupta, στα χρόνια τους. Οι διακεκομμένοι συμβολισμοί από τους προηγούμενους στερούνταν συμβόλων για μαθηματικές λειτουργίες. Ο Al-Qalasadi έκανε το πρώτο βήμα προς την εισαγωγή για δημιουργία αλγεβρικών συμβόλων με τη χρήση νούμερων και με μικρές αραβικές λέξεις, ή με τα αρχικά τους γράμματα σαν μαθηματικά σύμβολα.

Σκοτεινή Εποχή

Ακριβώς όπως ο θάνατος της Υπατίας σηματοδοτεί το κλείσιμο της Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας ως μαθηματικό κέντρο, το ίδιο κάνει και ο θάνατος του Βοήθιου, σημάνει και το τέλος των μαθηματικών στη Δυτική Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία. Παρά το γεγονός ότι υπήρξε κάποια δουλειά που γινόταν στην Αθήνα, ήρθε για να κλείσει, όταν το 529 ο Βυζαντινός αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε τις ειδωλολατρικές φιλοσοφικές σχολές. Το έτος 529 τώρα είναι η αρχή της μεσαιωνικής περιόδου. Οι μελετητές έφυγαν από τη Δύση προς την πιο φιλόξενη Ανατολή, ιδιαίτερα προς την Περσία, όπου βρήκαν καταφύγιο κάτω από τον βασιλιά Χοσρόη και δημιούργησε αυτό που θα μπορούσαμε να αποκαλέσουμε μία "Αθηναϊκή Ακαδημία στην Εξορία".^[34] Σύμφωνα με μια συνθήκη με τον Ιουστινιανό, ο Χοσρόης θα επιστρέψει τελικά τους μελετητές στην Ανατολική Αυτοκρατορία. Κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα, τα ευρωπαϊκά μαθηματικά ήταν στο ναδίρ τους με τη μαθηματική έρευνα να αποτελείται κυρίως από σχόλια για τα αρχαία συγγράμματα και το μεγαλύτερο μέρος αυτής της έρευνας επικεντρώθηκε στη Βυζαντινή Αυτοκρατορία. Το τέλος της μεσαιωνικής περιόδου ορίζεται ως την πτώση της Κωνσταντινούπολης στους Τούρκους το 1453.

Τέλη του Μεσαίωνα

Ο 12ος αιώνας είδε μια πλημμύρα μεταφράσεων από τα αραβικά στα λατινικά και από τον 13ο αιώνα, τα Ευρωπαϊκά μαθηματικά είχαν αρχίσει να ανταγωνίζονται τα μαθηματικά των άλλων χωρών. Τον 13ο αιώνα, η λύση της κυβικής εξίσωσης από Φιμπονάτσι είναι αντιπροσωπευτική της αρχή της αναβίωσης στην ευρωπαϊκή άλγεβρα.

Καθώς ο ισλαμικός κόσμος μειωνόταν μετά τον 15ο αιώνα, ο ευρωπαϊκός κόσμος ανέβαινε. Και εδώ είναι που Άλγεβρα αναπτύχθηκε περαιτέρω.

Σύγχρονη Άλγεβρα

Άλλο ένα σημαντικό γεγονός για την περαιτέρω ανάπτυξη της άλγεβρας ήταν η γενική αλγεβρική λύση των κυβικών και των τεταρτοβάθμιων εξισώσεων, που αναπτύχθηκε στα μέσα του 16ου αιώνα. Η ιδέα ενός προσδιοριστή αναπτύχθηκε από τον Ιάπωνα μαθηματικό Kowa Seki τον 17ο αιώνα, ακολουθούμενη από τον Γκότφρίντ Λάιμπνιτς, δέκα χρόνια αργότερα, για τους σκοπούς των συστημάτων των ταυτόχρονων γραμμικών εξισώσεων με την επίλυση των πινάκων. Ο Γκάμπριελ Κράμερ έκανε επίσης κάποια εργασία στους πίνακες και τους καθοριστικούς παράγοντες τον 18ο αιώνα.

Το σύμβολο ${\mathit {x}}$ συνήθως υποδηλώνει μια άγνωστη μεταβλητή. Ακόμη και αν κάθε γράμμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί, ${\mathit {x}}$ είναι η πιο κοινή επιλογή. Η παράδοση της χρησιμοποίησης ${\mathit {x}}$ να εκπροσωπεί αγνώστους ξεκίνησε από τον Ρενέ Ντεκάρτ στο έργο του Η Γεωμετρία (1637).^[35] Στα μαθηματικά, μια " πλάγια γράμματα Χ »( ${\mathit {x}}$ ) χρησιμοποιείται συχνά για να αποφευχθεί πιθανή σύγχυση με το σύμβολο του πολλαπλασιασμού.

Γκότφριντ Λάιμπνιτς

Αν και η μαθηματική έννοια της συνάρτησης ήταν απόλυτη σε τριγωνομετρικούς, λογαριθμικούς πίνακες, που υπήρχε στην εποχή του, ο Γκότφριντ Λάιμπνιτς ήταν ο πρώτος, το 1692 και το 1694, για να το χρησιμοποιήσει ρητά, για να υποδηλώσει οποιοδήποτε από τις διάφορες γεωμετρικές έννοιες που προέρχονται από μια καμπύλη, όπως τετμημένη, τεταγμένη, εφαπτομένη, χορδή, και η κάθετη.^[36] Τον 18ο αιώνα, η "συνάρτηση" έχασε τα γεωμετρικές ενώσεις.

Ο Λάιμπνιτς συνειδητοποίησε ότι οι συντελεστές ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων μπορεί να διατάσσονται σε μία συστοιχία, τώρα ονομάζεται πίνακας, η οποία μπορεί να χειριστεί για να βρει τη λύση του συστήματος, εάν υπάρχει. Αυτή η μέθοδος αργότερα ονομάστηκε απαλοιφή Γκάους. Ο Λάιμπνιτς ανακάλυψε επίσης την Άλγεβρα Μπουλ και τη συμβολική λογική, επίσης, σχετικά με την άλγεβρα.

Αφηρημένη Άλγεβρα

Η ικανότητα να κάνεις άλγεβρα είναι μια δεξιότητα που καλλιεργείται στη μαθηματική εκπαίδευση. Όπως εξηγήθηκε από τον Andrew Warwick, οι φοιτητές του Πανεπιστημίου του Κέιμπριτζ στις αρχές του 19ου αιώνα ασκούνταν στα «μικτά μαθηματικά»,^[37] κάνοντας ασκήσεις με βάση τις φυσικές μεταβλητές, όπως ο χώρος, ο χρόνος, και το βάρος. Με την πάροδο του χρόνου η σύνδεση των μεταβλητών με φυσικές ποσότητες να ξεθωριάζει ως μαθηματική τεχνική μεγάλωσε. Τελικά, τα μαθηματικά ασχολούνταν πλήρως με τα αφηρημένα πολυώνυμα, μιγαδικούς αριθμούς, hypercomplex αριθμούς και άλλες έννοιες. Η Εφαρμογή σε φυσική κατάσταση ονομαζόταν τότε εφαρμοσμένα μαθηματικά ή μαθηματική φυσική, και το πεδίο των μαθηματικών επεκτάθηκε για να συμπεριλάβει την αφηρημένη άλγεβρα. Για παράδειγμα, το ζήτημα των οικοδομήσιμων αριθμών έδειξαν κάποιους μαθηματικούς περιορισμούς, και το πεδίο της θεωρίας Γκαλουά αναπτύχθηκε.

Ο πατέρας της Άλγεβρας

Ο Ελληνιστής μαθηματικός Διόφαντος έχει παραδοσιακά γίνει γνωστός ως "ο πατέρας της άλγεβρας» ^[38]^[39], αλλά συζήτηση υπάρχει σήμερα ως προς το εάν ή όχι ο ΆΛ-Χουαρίζμι αξίζει αυτόν τον τίτλο αντί αυτού.^[38] Όσοι υποστηρίζουν την άποψη του Διόφαντου στο γεγονός ότι η άλγεβρα βρέθηκε στο Al-Jabr είναι πιο στοιχειώδης από το ότι η άλγεβρα βρέθηκε στα Αριθμητικά και ότι τα Αριθμητικά είναι συγκεκομμένο ενώ το Al-Jabr είναι πλήρως ρητορικό.^[38]

Όσοι υποστηρίζουν την άποψη του Αλ-Khwarizmi στο γεγονός ότι έδωσε μια εξήγηση για την αλγεβρική λύση της τετραγωνικών εξισώσεων με θετικές ρίζες^[40], και ήταν η πρώτη για να διδάξει άλγεβρα σε στοιχειώδη μορφή και για τους δικούς του λόγους, ενώ ο Διόφαντος κατά κύριο λόγο ασχολείται με τη θεωρία των αριθμών.^[41] Ο Αλ-Χουαριζμι εισήγαγε επίσης τη θεμελιώδη έννοια της «μείωσης» και «εξισορρόπησης» (το οποίο χρησιμοποίησε αρχικά τον όρο al-Jabr να αναφερθώ), αναφορικά με τη μεταφορά των αφαιρούμενων όρων στην άλλη πλευρά μιας εξίσωσης, δηλαδή, η ακύρωση της παρόμοιων όρων στις αντίθετες πλευρές της εξίσωσης.^[42] Άλλοι υποστηρικτές του Αλ-Χουαρίζμι δείχνουν ότι στην άλγεβρα του δεν είναι πλέον να ανησυχούν "με μια σειρά από προβλήματα που πρέπει να επιλυθούν, αλλά μια έκθεση η οποία ξεκινά με την πρωτόγονη άποψη κατά την οποία οι συνδυασμοί θα πρέπει να δώσουν όλα τα πιθανά πρότυπα για τις εξισώσεις, που στο εξής αποτελούν ρητά το πραγματικό αντικείμενο της μελέτης. " Τονίζουν, επίσης, τη θεραπεία του για μια εξίσωση για τους δικούς του λόγους και του "με ένα γενικό τρόπο, στο μέτρο που αυτό δεν προκύπτει μόνο κατά τη διάρκεια της επίλυσης ενός προβλήματος, αλλά ειδικά καλείται να καθορίσει μια άπειρη τάξη προβλημάτων."^[43]

Παραπομπές

↑ (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p.180) "It has been said that three stages of in the historical development of algebra can be recognized: (1) the rhetorical or early stage, in which everything is written out fully in words; (2) a syncopated or intermediate state, in which some abbreviations are adopted; and (3) a symbolic or final stage. Such an arbitrary division of the development of algebra into three stages is, of course, a facile oversimplification; but it can serve effectively as a first approximation to what has happened""
↑ (Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 32) "Until modern times there was no thought of solving a quadratic equation of the form x^2 + px + q = 0, where p and q are positive, for the equation has no positive root. Consequently, quadratic equations in ancient and Medieval times—and even in the early modern period—were classified under three types: (1)x^2 + px = q (2)x^2 = px + q (3)x^2 + q = px"
↑ (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 100) "but by 306 BCE control of the Egyptian portion of the empire was firmly in the hands of Ptolemy I, and this enlightened ruler was able to turn his attention to constructive efforts. Among his early acts was the establishment at Alexandria of a school or institute, known as the Museum, second to none in its day. As teachers at the school he called a band of leading scholars, among whom was the author of the most fabulously successful mathematics textbook ever written—the Elements (Stoichia) of Euclid. Considering the fame of the author and of his best seller, remarkably little is known of Euclid's life. So obscure was his life that no birthplace is associated with his name."
↑ Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 (Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 30 "Babylonian mathematicians did not hesitate to interpolate by proportional parts to approximate intermediate values. Linear interpolation seems to have been a commonplace procedure in ancient Mesopotamia, and the positional notation lent itself conveniently to the rile of three. [...] a table essential in Babylonian algebra; this subject reached a considerably higher level in Mesopotamia than in Egypt. Many problem texts from the Old Babylonian period show that the solution of the complete three-term quadratic equation afforded the Babylonians no serious difficulty, for flexible algebraic operations had been developed. They could transpose terms in an equations by adding equals to equals, and they could multiply both sides by like quantities to remove fractions or to eliminate factors. By adding 4ab to (a − b) 2 they could obtain (a + b) 2 for they were familiar with many simple forms of factoring. [...]Egyptian algebra had been much concerned with linear equations, but the Babylonians evidently found these too elementary for much attention. [...] In another problem in an Old Babylonian text we find two simultaneous linear equations in two unknown quantities, called respectively the "first silver ring" and the "second silver ring."")
↑ Joyce, David E. (1995). "Plimpton 322". The clay tablet with the catalog number 322 in the G. A. Plimpton Collection at Columbia University may be the most well known mathematical tablet, certainly the most photographed one, but it deserves even greater renown. It was scribed in the Old Babylonian period between -1900 and -1600 and shows the most advanced mathematics before the development of Greek mathematics.
↑ (Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 31) "The solution of a three-term quadratic equation seems to have exceeded by far the algebraic capabilities of the Egyptians, but Neugebauer in 1930 disclosed that such equations had been handled effectively by the Babylonians in some of the oldest problem texts."
↑ (Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 33) "There is no record in Egypt of the solution of a cubic equations, but among the Babylonians there are many instances of this. [...] Whether or not the Babylonians were able to reduce the general four-term cubic, ax3 + bx2 + cx = d, to their normal form is not known."
↑ (Boyer 1991, "Egypt" p. 11) "It had been bought in 1959 in a Nile resort town by a Scottish antiquary, Henry Rhind; hence, it often is known as the Rhind Papyrus or, less frequently, as the Ahmes Papyrus in honor of the scribe by whose hand it had been copied in about 1650 BCE. The scribe tells us that the material is derived from a prototype from the Middle Kingdom of about 2000 to 1800 BCE."
↑ (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 103) "Euclid's Data, a work that has come down to us through both Greek and the Arabic. It seems to have been composed for use at the schools of Alexandria, serving as a companion volume to the first six books of the Elements in much the same way that a manual of tables supplements a textbook. [...] It opens with fifteen definitions concerning magnitudes and loci. The body of the text comprises ninety-five statements concerning the implications of conditions and magnitudes that may be given in a problem. [...] There are about two dozen similar statements serving as algebraic rules or formulas. [...] Some of the statements are geometric equivalents of the solution of quadratic equations. For example[...] Eliminating y we have or, from which. The geometric solution given by Euclid is equivalent to this, except that the negative sign before the radical us used. Statements 84 and 85 in the Data are geometric replacements of the familiar Babylonian algebraic solutions of the systems, x ± y = b., which again are the equivalents of solutions of simultaneous equations."
↑ ^11,0 ^11,1 (Boyer 1991, "Egypt" pp. 15–16) "The Egyptian problems so far described are best classified as arithmetic, but there are others that fall into a class to which the term algebraic is appropriately applied. These do not concern specific concrete objects such as bread and beer, nor do they call for operations on known numbers. Instead they require the equivalent of solutions of linear equations of the form $x+ax=b$ or $x+ax+bx=c$ , where a and b and c are known and x is unknown. The unknown is referred to as "aha," or heap. [...] The solution given by Ahmes is not that of modern textbooks, but one proposed characteristic of a procedure now known as the "method of false position," or the "rule of false." A specific false value has been proposed by 1920s scholars and the operations indicated on the left hand side of the equality sign are performed on this assumed number. Recent scholarship shows that scribes had not guessed in these situations. Exact rational number answers written in Egyptian fraction series had confused the 1920s scholars. The attested result shows that Ahmes "checked" result by showing that 16 + 1/2 + 1/8 exactly added to a seventh of this (which is 2 + 1/4 + 1/8), does obtain 19. Here we see another significant step in the development of mathematics, for the check is a simple instance of a proof."
↑ ^12,0 ^12,1 ^12,2 (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 100) "but by 306 BCE control of the Egyptian portion of the empire was firmly in the hands of Ptolemy I, and this enlightened ruler was able to turn his attention to constructive efforts. Among his early acts was the establishment at Alexandria of a school or institute, known as the Museum, second to none in its day. As teachers at the school he called a band of leading scholars, among whom was the author of the most fabulously successful mathematics textbook ever written—the Elements (Stoichia) of Euclid. Considering the fame of the author and of his best seller, remarkably little is known of Euclid's life. So obscure was his life that no birthplace is associated with his name."
↑ (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 101) "The tale related above in connection with a request of Alexander the Great for an easy introduction to geometry is repeated in the case of Ptolemy, who Euclid is reported to have assured that "there is no royal road to geometry.""
↑ (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 104) "Some of the faculty probably excelled in research, others were better fitted to be administrators, and still some others were noted for teaching ability. It would appear, from the reports we have, that Euclid very definitely fitted into the last category. There is no new discovery attributed to him, but he was noted for expository skills."
↑ (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 104) "The Elements was not, as is sometimes thought, a compendium of all geometric knowledge; it was instead an introductory textbook covering all elementary mathematics."
↑ (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 110) "The same holds true for ElementsII.5, which contains what we should regard as an impractical circumlocution for "
↑ (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 111) "In an exactly analogous manner the quadratic equation is solved through the use of II.6: If a straight line be bisected and a straight line be added to it in a straight line, the rectangle contained by the whole (with the added straight line) and the added straight line together with the square on the half is equal to the square on the straight line made up of the half and the added straight line. [...] with II.11 being an important special case of II.6. Here Euclid solves the equation "
↑ ^18,0 ^18,1 ^18,2 (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 103) "Euclid's Data, a work that has come down to us through both Greek and the Arabic. It seems to have been composed for use at the schools of Alexandria, serving as a companion volume to the first six books of the Elements in much the same way that a manual of tables supplements a textbook. [...] It opens with fifteen definitions concerning magnitudes and loci. The body of the text comprises ninety-five statements concerning the implications of conditions and magnitudes that may be given in a problem. [...] There are about two dozen similar statements serving as algebraic rules or formulas. [...] Some of the statements are geometric equivalents of the solution of quadratic equations. For example[...] Eliminating y we have or, from which. The geometric solution given by Euclid is equivalent to this, except that the negative sign before the radical us used. Statements 84 and 85 in the Data are geometric replacements of the familiar Babylonian algebraic solutions of the systems, x ± y = b., which again are the equivalents of solutions of simultaneous equations."
↑ (Boyer 1991, "The Euclidean Synthesis" p. 103) "Eutocius and Proclus both attribute the discovery of the conic sections to Menaechmus, who lived in Athens in the late fourth century BCE. Proclus, quoting Eratosthenes, refers to "the conic section triads of Menaechmus." Since this quotation comes just after a discussion of "the section of a right-angled cone" and "the section of an acute-angled cone," it is inferred that the conic sections were produced by cutting a cone with a plane perpendicular to one of its elements. Then if the vertex angle of the cone is acute, the resulting section (calledoxytome) is an ellipse. If the angle is right, the section (orthotome) is a parabola, and if the angle is obtuse, the section (amblytome) is a hyperbola (see Fig. 5.7)."
↑ ^20,0 ^20,1 (Boyer 1991, "The age of Plato and Aristotle" p. 94–95) "If OP=y and OD = x are coordinates of point P, we have y<sup2 = R).OV, or, on substituting equals,
y²=R'D.OV=AR'.BC/AB.DO.BC/AB=AR'.BC²/AB².x
Inasmuch as segments AR', BC, and AB are the same for all points P on the curve EQDPG, we can write the equation of the curve, a "section of a right-angled cone," as y²=lx, where l is a constant, later to be known as the latus rectum of the curve. [...] Menaechmus apparently derived these properties of the conic sections and others as well. Since this material has a string resemblance to the use of coordinates, as illustrated above, it has sometimes been maintains that Menaechmus had analytic geometry. Such a judgment is warranted only in part, for certainly Menaechmus was unaware that any equation in two unknown quantities determines a curve. In fact, the general concept of an equation in unknown quantities was alien to Greek thought. [...] He had hit upon the conics in a successful search for curves with the properties appropriate to the duplication of the cube. In terms of modern notation the solution is easily achieved. By shifting the curring plane (Gig. 6.2), we can find a parabola with any latus rectum. If, then, we wish to duplicate a cube of edge a, we locate on a right-angled cone two parabolas, one with latus rectum a and another with latus rectum 2a. [...] It is probable that Menaechmus knew that the duplication could be achieved also by the use of a rectangular hyperbola and a parabola."
↑ (Boyer 1991, "China and India" pp. 195–197) "estimates concerning the Chou Pei Suan Ching, generally considered to be the oldest of the mathematical classics, differ by almost a thousand years. [...] A date of about 300 B.C. would appear reasonable, thus placing it in close competition with another treatise, the Chiu-chang suan-shu, composed about 250 B.C., that is, shortly before the Han dynasty (202 B.C.). [...] Almost as old at the Chou Pei, and perhaps the most influential of all Chinese mathematical books, was the Chui-chang suan-shu, or Nine Chapters on the Mathematical Art. This book includes 246 problems on surveying, agriculture, partnerships, engineering, taxation, calculation, the solution of equations, and the properties of right triangles. [...] Chapter eight of the Nine chapters is significant for its solution of problems of simultaneous linear equations, using both positive and negative numbers. The last problem int the chapter involves four equations in five unknowns, and the topic of indeterminate equations was to remain a favorite among Oriental peoples."
↑ ^22,0 ^22,1 (Boyer 1991, "China and India" p. 204) "Li Chih (or Li Yeh, 1192–1279), a mathematician of Peking who was offered a government post by Khublai Khan in 1206, but politely found an excuse to decline it. His Ts'e-yuan hai-ching (Sea-Mirror of the Circle Measurements) includes 170 problems dealing with[...]some of the problems leading to equations of fourth degree. Although he did not describe his method of solution of equations, including some of sixth degree, it appears that it was not very different form that used by Chu Shih-chieh and Horner. Others who used the Horner method were Ch'in Chiu-shao (c. 1202–c.1261) and Yang Hui (fl. c. 1261–1275). The former was an unprincipled governor and minister who acquired immense wealth within a hundred days of assuming office. His Shu-shu chiu-chang(Mathematical Treatise in Nine Sections) marks the high point of Chinese indeterminate analysis, with the invention of routines for solving simultaneous congruences."
↑ ^23,0 ^23,1 "China and India" p. 197) "The Chinese were especially fond of patters; hence, it is not surprising that the first record (of ancient but unknown origin) of a magic square appeared there. [...] The concern for such patterns left the author of the Nine Chapters to solve the system of simultaneous linear equations [...] by performing column operations on the matrix [...] to reduce it to [...] The second form represented the equations 36z = 99, 5y + z = 24, and 3x + 2y + z = 39 from which the values of z, y, and x are successively found with ease."
↑ (Boyer 1991, "China and India" pp. 204–205) "The same "Horner" device was used by Yang Hui, about whose life almost nothing is known and who work has survived only in part. Among his contributions that are extant are the earliest Chinese magic squares of order greater than three, including two each of orders four through eight and one each of orders nine and ten."
↑ (Boyer 1991, "China and India" p. 203) "The last and greatest of the Sung mathematicians was Chu Chih-chieh (fl. 1280–1303), yet we known little about him-, [...] Of greater historical and mathematical interest is the Ssy-yüan yü-chien(Precious Mirror of the Four Elements) of 1303. In the eighteenth century this, too, disappeared in China, only to be rediscovered in the next century. The four elements, called heaven, earth, man, and matter, are the representations of four unknown quantities in the same equation. The book marks the peak in the development of Chinese algebra, for it deals with simultaneous equations and with equations of degrees as high as fourteen. In it the author describes a transformation method that he calls fan fa, the elements of which to have arisen long before in China, but which generally bears the name of Horner, who lived half a millennium later."
↑ (Boyer 1991, "China and India" p. 205) "A few of the many summations of series found in the Precious Mirror are the following:[...] However, no proofs are given, nor does the topic seem to have been continued again in China until about the nineteenth century. [...] The Precious Mirror opens with a diagram of the arithmetic triangle, inappropriately known in the West as "pascal's triangle." (See illustration.) [...] Chu disclaims credit for the triangle, referring to it as a "diagram of the old method for finding eighth and lower powers." A similar arrangement of coefficients through the sixth power had appeared in the work of Yang Hui, but without the round zero symbol."
↑ (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 178) Uncertainty about the life of Diophantus is so great that we do not know definitely in which century he lived. Generally he is assumed to have flourished about 250 CE, but dates a century or more earlier or later are sometimes suggested[...] If this conundrum is historically accurate, Diophantus lived to be eighty-four-years old. [...] The chief Diophantine work known to us is the Arithmetica, a treatise originally in thirteen books, only the first six of which have survived."
↑ ^28,0 ^28,1 ^28,2 ^28,3 (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" pp. 180–182) "In this respect it can be compared with the great classics of the earlier Alexandrian Age; yet it has practically nothing in common with these or, in fact, with any traditional Greek mathematics. It represents essentially a new branch and makes use of a different approach. Being divorced from geometric methods, it resembles Babylonian algebra to a large extent. But whereas Babylonian mathematicians had been concerned primarily with approximate solutions of determinate equations as far as the third degree, the Arithmetica of Diophantus (such as we have it) is almost entirely devoted to the exact solution of equations, both determinate and indeterminate. [...] Throughout the six surviving books of Arithmetica there is a systematic use of abbreviations for powers of numbers and for relationships and operations. An unknown number is represented by a symbol resembling the Greek letter ζ (perhaps for the last letter of arithmos). [...] It is instead a collection of some 150 problems, all worked out in terms of specific numerical examples, although perhaps generality of method was intended. There is no postulation development, nor is an effort made to find all possible solutions. In the case of quadratic equations with two positive roots, only the larger is give, and negative roots are not recognized. No clear-cut distinction is made between determinate and indeterminate problems, and even for the latter for which the number of solutions generally is unlimited, only a single answer is given. Diophantus solved problems involving several unknown numbers by skillfully expressing all unknown quantities, where possible, in terms of only one of them."
↑ (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 178) "The chief difference between Diophantine syncopation and the modern algebraic notation is the lack of special symbols for operations and relations, as well as of the exponential notation."
↑ ^30,0 ^30,1 ^30,2 (Derbyshire 2006, "The Father of Algebra" pp. 35–36)
↑ (Cooke 1997, "Mathematics in the Roman Empire" pp. 167–168)
↑ (Boyer 1991, "Europe in the Middle Ages" p. 257) "The book makes frequent use of the identities [...] which had appeared in Diophantus and had been widely used by the Arabs."
↑ (Boyer 1991, "The Mathematics of the Hindus" p. 207) "He gave more elegant rules for the sum of the squares and cubes of an initial segment of the positive integers. The sixth part of the product of three quantities consisting of the number of terms, the number of terms plus one, and twice the number of terms plus one is the sum of the squares. The square of the sum of the series is the sum of the cubes."
↑ (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria pp. 192–193) "The death of Boethius may be taken to mark the end of ancient mathematics in the Western Roman Empire, as the death of Hypatia had marked the close of Alexandria as a mathematical center; but work continued for a few years longer at Athens. [...] When in 527 Justinian became emperor in the East, he evidently felt that the pagan learning of the Academy and other philosophical schools at Athens was a threat to orthodox Christianity; hence, in 529 the philosophical schools were closed and the scholars dispersed. Rome at the time was scarcely a very hospitable home for scholars, and Simplicius and some of the other philosophers looked to the East for haven. This they found in Persia, where under King Chosroes they established what might be called the "Athenian Academy in Exile."(Sarton 1952; p. 400)."
↑ http://books.google.com/books?id=7juWmvQSTvwC&pg=PA382
↑ Struik (1969), 367
↑ Andrew Warwick (2003) Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics, Chicago: University of Chicago Press ISBN 0-226-87374-9
↑ ^38,0 ^38,1 ^38,2 (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 228)"Diophantus sometimes is called "the father of algebra," but this title more appropriately belongs to Abu Abdullah bin mirsmi al-Khwarizmi. It is true that in two respects the work of al-Khwarizmi represented a retrogression from that of Diophantus. First, it is on a far more elementary level than that found in the Diophantine problems and, second, the algebra of al-Khwarizmi is thoroughly rhetorical, with none of the syncopation found in the Greek Arithmetica or in Brahmagupta's work. Even numbers were written out in words rather than symbols! It is quite unlikely that al-Khwarizmi knew of the work of Diophantus, but he must have been familiar with at least the astronomical and computational portions of Brahmagupta; yet neither al-Khwarizmi nor other Arabic scholars made use of syncopation or of negative numbers."
↑ " Jump up ^ (Derbyshire 2006, "The Father of Algebra" p. 31) "Diophantus, the father of algebra, in whose honor I have named this chapter, lived in Alexandria, in Roman Egypt, in either the 1st, the 2nd, or the 3rd century CE."
↑ (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230) "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions."
↑ Gandz and Saloman (1936), The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris i, p. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers".
↑ (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229) "It is not certain just what the terms al-jabr and muqabalah mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word al-jabr presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation, which is evident in the treatise; the word muqabalah is said to refer to "reduction" or "balancing"—that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation."
↑ ^ Jump up to: a b Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994), The Development of Arabic Mathematics, Springer, pp. 11–2, ISBN 0-7923-2565-6, OCLC 29181926

[1] (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p.180) "It has been said that three stages of in the historical development of algebra can be recognized: (1) the rhetorical or early stage, in which everything is written out fully in words; (2) a syncopated or intermediate state, in which some abbreviations are adopted; and (3) a symbolic or final stage. Such an arbitrary division of the development of algebra into three stages is, of course, a facile oversimplification; but it can serve effectively as a first approximation to what has happened""

[2] (Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 32) "Until modern times there was no thought of solving a quadratic equation of the form x^2 + px + q = 0, where p and q are positive, for the equation has no positive root. Consequently, quadratic equations in ancient and Medieval times—and even in the early modern period—were classified under three types: (1)x^2 + px = q (2)x^2 = px + q (3)x^2 + q = px"

[3] (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 100) "but by 306 BCE control of the Egyptian portion of the empire was firmly in the hands of Ptolemy I, and this enlightened ruler was able to turn his attention to constructive efforts. Among his early acts was the establishment at Alexandria of a school or institute, known as the Museum, second to none in its day. As teachers at the school he called a band of leading scholars, among whom was the author of the most fabulously successful mathematics textbook ever written—the Elements (Stoichia) of Euclid. Considering the fame of the author and of his best seller, remarkably little is known of Euclid's life. So obscure was his life that no birthplace is associated with his name."

[4] Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications.

[Boyer_Babylon_p30-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 (Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 30 "Babylonian mathematicians did not hesitate to interpolate by proportional parts to approximate intermediate values. Linear interpolation seems to have been a commonplace procedure in ancient Mesopotamia, and the positional notation lent itself conveniently to the rile of three. [...] a table essential in Babylonian algebra; this subject reached a considerably higher level in Mesopotamia than in Egypt. Many problem texts from the Old Babylonian period show that the solution of the complete three-term quadratic equation afforded the Babylonians no serious difficulty, for flexible algebraic operations had been developed. They could transpose terms in an equations by adding equals to equals, and they could multiply both sides by like quantities to remove fractions or to eliminate factors. By adding 4ab to (a − b) 2 they could obtain (a + b) 2 for they were familiar with many simple forms of factoring. [...]Egyptian algebra had been much concerned with linear equations, but the Babylonians evidently found these too elementary for much attention. [...] In another problem in an Old Babylonian text we find two simultaneous linear equations in two unknown quantities, called respectively the "first silver ring" and the "second silver ring."")

[6] Joyce, David E. (1995). "Plimpton 322". The clay tablet with the catalog number 322 in the G. A. Plimpton Collection at Columbia University may be the most well known mathematical tablet, certainly the most photographed one, but it deserves even greater renown. It was scribed in the Old Babylonian period between -1900 and -1600 and shows the most advanced mathematics before the development of Greek mathematics.

[7] (Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 31) "The solution of a three-term quadratic equation seems to have exceeded by far the algebraic capabilities of the Egyptians, but Neugebauer in 1930 disclosed that such equations had been handled effectively by the Babylonians in some of the oldest problem texts."

[8] (Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 33) "There is no record in Egypt of the solution of a cubic equations, but among the Babylonians there are many instances of this. [...] Whether or not the Babylonians were able to reduce the general four-term cubic, ax3 + bx2 + cx = d, to their normal form is not known."

[9] (Boyer 1991, "Egypt" p. 11) "It had been bought in 1959 in a Nile resort town by a Scottish antiquary, Henry Rhind; hence, it often is known as the Rhind Papyrus or, less frequently, as the Ahmes Papyrus in honor of the scribe by whose hand it had been copied in about 1650 BCE. The scribe tells us that the material is derived from a prototype from the Middle Kingdom of about 2000 to 1800 BCE."

[10] (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 103) "Euclid's Data, a work that has come down to us through both Greek and the Arabic. It seems to have been composed for use at the schools of Alexandria, serving as a companion volume to the first six books of the Elements in much the same way that a manual of tables supplements a textbook. [...] It opens with fifteen definitions concerning magnitudes and loci. The body of the text comprises ninety-five statements concerning the implications of conditions and magnitudes that may be given in a problem. [...] There are about two dozen similar statements serving as algebraic rules or formulas. [...] Some of the statements are geometric equivalents of the solution of quadratic equations. For example[...] Eliminating y we have or, from which. The geometric solution given by Euclid is equivalent to this, except that the negative sign before the radical us used. Statements 84 and 85 in the Data are geometric replacements of the familiar Babylonian algebraic solutions of the systems, x ± y = b., which again are the equivalents of solutions of simultaneous equations."

[Boyer_Chapter_Egypt-11] 11,0 ^11,1 (Boyer 1991, "Egypt" pp. 15–16) "The Egyptian problems so far described are best classified as arithmetic, but there are others that fall into a class to which the term algebraic is appropriately applied. These do not concern specific concrete objects such as bread and beer, nor do they call for operations on known numbers. Instead they require the equivalent of solutions of linear equations of the form $x+ax=b$ or $x+ax+bx=c$ , where a and b and c are known and x is unknown. The unknown is referred to as "aha," or heap. [...] The solution given by Ahmes is not that of modern textbooks, but one proposed characteristic of a procedure now known as the "method of false position," or the "rule of false." A specific false value has been proposed by 1920s scholars and the operations indicated on the left hand side of the equality sign are performed on this assumed number. Recent scholarship shows that scribes had not guessed in these situations. Exact rational number answers written in Egyptian fraction series had confused the 1920s scholars. The attested result shows that Ahmes "checked" result by showing that 16 + 1/2 + 1/8 exactly added to a seventh of this (which is 2 + 1/4 + 1/8), does obtain 19. Here we see another significant step in the development of mathematics, for the check is a simple instance of a proof."

[:0-12] 12,0 ^12,1 ^12,2 (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 100) "but by 306 BCE control of the Egyptian portion of the empire was firmly in the hands of Ptolemy I, and this enlightened ruler was able to turn his attention to constructive efforts. Among his early acts was the establishment at Alexandria of a school or institute, known as the Museum, second to none in its day. As teachers at the school he called a band of leading scholars, among whom was the author of the most fabulously successful mathematics textbook ever written—the Elements (Stoichia) of Euclid. Considering the fame of the author and of his best seller, remarkably little is known of Euclid's life. So obscure was his life that no birthplace is associated with his name."

[13] (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 101) "The tale related above in connection with a request of Alexander the Great for an easy introduction to geometry is repeated in the case of Ptolemy, who Euclid is reported to have assured that "there is no royal road to geometry.""

[14] (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 104) "Some of the faculty probably excelled in research, others were better fitted to be administrators, and still some others were noted for teaching ability. It would appear, from the reports we have, that Euclid very definitely fitted into the last category. There is no new discovery attributed to him, but he was noted for expository skills."

[15] (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 104) "The Elements was not, as is sometimes thought, a compendium of all geometric knowledge; it was instead an introductory textbook covering all elementary mathematics."

[16] (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 110) "The same holds true for ElementsII.5, which contains what we should regard as an impractical circumlocution for "

[17] (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 111) "In an exactly analogous manner the quadratic equation is solved through the use of II.6: If a straight line be bisected and a straight line be added to it in a straight line, the rectangle contained by the whole (with the added straight line) and the added straight line together with the square on the half is equal to the square on the straight line made up of the half and the added straight line. [...] with II.11 being an important special case of II.6. Here Euclid solves the equation "

[:1-18] 18,0 ^18,1 ^18,2 (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 103) "Euclid's Data, a work that has come down to us through both Greek and the Arabic. It seems to have been composed for use at the schools of Alexandria, serving as a companion volume to the first six books of the Elements in much the same way that a manual of tables supplements a textbook. [...] It opens with fifteen definitions concerning magnitudes and loci. The body of the text comprises ninety-five statements concerning the implications of conditions and magnitudes that may be given in a problem. [...] There are about two dozen similar statements serving as algebraic rules or formulas. [...] Some of the statements are geometric equivalents of the solution of quadratic equations. For example[...] Eliminating y we have or, from which. The geometric solution given by Euclid is equivalent to this, except that the negative sign before the radical us used. Statements 84 and 85 in the Data are geometric replacements of the familiar Babylonian algebraic solutions of the systems, x ± y = b., which again are the equivalents of solutions of simultaneous equations."

[19] (Boyer 1991, "The Euclidean Synthesis" p. 103) "Eutocius and Proclus both attribute the discovery of the conic sections to Menaechmus, who lived in Athens in the late fourth century BCE. Proclus, quoting Eratosthenes, refers to "the conic section triads of Menaechmus." Since this quotation comes just after a discussion of "the section of a right-angled cone" and "the section of an acute-angled cone," it is inferred that the conic sections were produced by cutting a cone with a plane perpendicular to one of its elements. Then if the vertex angle of the cone is acute, the resulting section (calledoxytome) is an ellipse. If the angle is right, the section (orthotome) is a parabola, and if the angle is obtuse, the section (amblytome) is a hyperbola (see Fig. 5.7)."

[:2-20] 20,0 ^20,1 (Boyer 1991, "The age of Plato and Aristotle" p. 94–95) "If OP=y and OD = x are coordinates of point P, we have y<sup2 = R).OV, or, on substituting equals,
y²=R'D.OV=AR'.BC/AB.DO.BC/AB=AR'.BC²/AB².x
Inasmuch as segments AR', BC, and AB are the same for all points P on the curve EQDPG, we can write the equation of the curve, a "section of a right-angled cone," as y²=lx, where l is a constant, later to be known as the latus rectum of the curve. [...] Menaechmus apparently derived these properties of the conic sections and others as well. Since this material has a string resemblance to the use of coordinates, as illustrated above, it has sometimes been maintains that Menaechmus had analytic geometry. Such a judgment is warranted only in part, for certainly Menaechmus was unaware that any equation in two unknown quantities determines a curve. In fact, the general concept of an equation in unknown quantities was alien to Greek thought. [...] He had hit upon the conics in a successful search for curves with the properties appropriate to the duplication of the cube. In terms of modern notation the solution is easily achieved. By shifting the curring plane (Gig. 6.2), we can find a parabola with any latus rectum. If, then, we wish to duplicate a cube of edge a, we locate on a right-angled cone two parabolas, one with latus rectum a and another with latus rectum 2a. [...] It is probable that Menaechmus knew that the duplication could be achieved also by the use of a rectangular hyperbola and a parabola."

[21] (Boyer 1991, "China and India" pp. 195–197) "estimates concerning the Chou Pei Suan Ching, generally considered to be the oldest of the mathematical classics, differ by almost a thousand years. [...] A date of about 300 B.C. would appear reasonable, thus placing it in close competition with another treatise, the Chiu-chang suan-shu, composed about 250 B.C., that is, shortly before the Han dynasty (202 B.C.). [...] Almost as old at the Chou Pei, and perhaps the most influential of all Chinese mathematical books, was the Chui-chang suan-shu, or Nine Chapters on the Mathematical Art. This book includes 246 problems on surveying, agriculture, partnerships, engineering, taxation, calculation, the solution of equations, and the properties of right triangles. [...] Chapter eight of the Nine chapters is significant for its solution of problems of simultaneous linear equations, using both positive and negative numbers. The last problem int the chapter involves four equations in five unknowns, and the topic of indeterminate equations was to remain a favorite among Oriental peoples."

[:3-22] 22,0 ^22,1 (Boyer 1991, "China and India" p. 204) "Li Chih (or Li Yeh, 1192–1279), a mathematician of Peking who was offered a government post by Khublai Khan in 1206, but politely found an excuse to decline it. His Ts'e-yuan hai-ching (Sea-Mirror of the Circle Measurements) includes 170 problems dealing with[...]some of the problems leading to equations of fourth degree. Although he did not describe his method of solution of equations, including some of sixth degree, it appears that it was not very different form that used by Chu Shih-chieh and Horner. Others who used the Horner method were Ch'in Chiu-shao (c. 1202–c.1261) and Yang Hui (fl. c. 1261–1275). The former was an unprincipled governor and minister who acquired immense wealth within a hundred days of assuming office. His Shu-shu chiu-chang(Mathematical Treatise in Nine Sections) marks the high point of Chinese indeterminate analysis, with the invention of routines for solving simultaneous congruences."

[:4-23] 23,0 ^23,1 "China and India" p. 197) "The Chinese were especially fond of patters; hence, it is not surprising that the first record (of ancient but unknown origin) of a magic square appeared there. [...] The concern for such patterns left the author of the Nine Chapters to solve the system of simultaneous linear equations [...] by performing column operations on the matrix [...] to reduce it to [...] The second form represented the equations 36z = 99, 5y + z = 24, and 3x + 2y + z = 39 from which the values of z, y, and x are successively found with ease."

[24] (Boyer 1991, "China and India" pp. 204–205) "The same "Horner" device was used by Yang Hui, about whose life almost nothing is known and who work has survived only in part. Among his contributions that are extant are the earliest Chinese magic squares of order greater than three, including two each of orders four through eight and one each of orders nine and ten."

[25] (Boyer 1991, "China and India" p. 203) "The last and greatest of the Sung mathematicians was Chu Chih-chieh (fl. 1280–1303), yet we known little about him-, [...] Of greater historical and mathematical interest is the Ssy-yüan yü-chien(Precious Mirror of the Four Elements) of 1303. In the eighteenth century this, too, disappeared in China, only to be rediscovered in the next century. The four elements, called heaven, earth, man, and matter, are the representations of four unknown quantities in the same equation. The book marks the peak in the development of Chinese algebra, for it deals with simultaneous equations and with equations of degrees as high as fourteen. In it the author describes a transformation method that he calls fan fa, the elements of which to have arisen long before in China, but which generally bears the name of Horner, who lived half a millennium later."

[26] (Boyer 1991, "China and India" p. 205) "A few of the many summations of series found in the Precious Mirror are the following:[...] However, no proofs are given, nor does the topic seem to have been continued again in China until about the nineteenth century. [...] The Precious Mirror opens with a diagram of the arithmetic triangle, inappropriately known in the West as "pascal's triangle." (See illustration.) [...] Chu disclaims credit for the triangle, referring to it as a "diagram of the old method for finding eighth and lower powers." A similar arrangement of coefficients through the sixth power had appeared in the work of Yang Hui, but without the round zero symbol."

[Boyer_Diophantus-27] (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 178) Uncertainty about the life of Diophantus is so great that we do not know definitely in which century he lived. Generally he is assumed to have flourished about 250 CE, but dates a century or more earlier or later are sometimes suggested[...] If this conundrum is historically accurate, Diophantus lived to be eighty-four-years old. [...] The chief Diophantine work known to us is the Arithmetica, a treatise originally in thirteen books, only the first six of which have survived."

[Boyer_Arithmetica-28] 28,0 ^28,1 ^28,2 ^28,3 (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" pp. 180–182) "In this respect it can be compared with the great classics of the earlier Alexandrian Age; yet it has practically nothing in common with these or, in fact, with any traditional Greek mathematics. It represents essentially a new branch and makes use of a different approach. Being divorced from geometric methods, it resembles Babylonian algebra to a large extent. But whereas Babylonian mathematicians had been concerned primarily with approximate solutions of determinate equations as far as the third degree, the Arithmetica of Diophantus (such as we have it) is almost entirely devoted to the exact solution of equations, both determinate and indeterminate. [...] Throughout the six surviving books of Arithmetica there is a systematic use of abbreviations for powers of numbers and for relationships and operations. An unknown number is represented by a symbol resembling the Greek letter ζ (perhaps for the last letter of arithmos). [...] It is instead a collection of some 150 problems, all worked out in terms of specific numerical examples, although perhaps generality of method was intended. There is no postulation development, nor is an effort made to find all possible solutions. In the case of quadratic equations with two positive roots, only the larger is give, and negative roots are not recognized. No clear-cut distinction is made between determinate and indeterminate problems, and even for the latter for which the number of solutions generally is unlimited, only a single answer is given. Diophantus solved problems involving several unknown numbers by skillfully expressing all unknown quantities, where possible, in terms of only one of them."

[Boyer-29] (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 178) "The chief difference between Diophantine syncopation and the modern algebraic notation is the lack of special symbols for operations and relations, as well as of the exponential notation."

[Diophantus_Syncopation-30] 30,0 ^30,1 ^30,2 (Derbyshire 2006, "The Father of Algebra" pp. 35–36)

[31] (Cooke 1997, "Mathematics in the Roman Empire" pp. 167–168)

[32] (Boyer 1991, "Europe in the Middle Ages" p. 257) "The book makes frequent use of the identities [...] which had appeared in Diophantus and had been widely used by the Arabs."

[33] (Boyer 1991, "The Mathematics of the Hindus" p. 207) "He gave more elegant rules for the sum of the squares and cubes of an initial segment of the positive integers. The sixth part of the product of three quantities consisting of the number of terms, the number of terms plus one, and twice the number of terms plus one is the sum of the squares. The square of the sum of the series is the sum of the cubes."

[34] (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria pp. 192–193) "The death of Boethius may be taken to mark the end of ancient mathematics in the Western Roman Empire, as the death of Hypatia had marked the close of Alexandria as a mathematical center; but work continued for a few years longer at Athens. [...] When in 527 Justinian became emperor in the East, he evidently felt that the pagan learning of the Academy and other philosophical schools at Athens was a threat to orthodox Christianity; hence, in 529 the philosophical schools were closed and the scholars dispersed. Rome at the time was scarcely a very hospitable home for scholars, and Simplicius and some of the other philosophers looked to the East for haven. This they found in Persia, where under King Chosroes they established what might be called the "Athenian Academy in Exile."(Sarton 1952; p. 400)."

[35] ttp://books.google.com/books?id=7juWmvQSTvwC&pg=PA382

[36] Struik (1969), 367

[37] Andrew Warwick (2003) Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics, Chicago: University of Chicago Press ISBN 0-226-87374-9

[Carl_Boyer_For_Al_Khwarizmi-38] 38,0 ^38,1 ^38,2 (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 228)"Diophantus sometimes is called "the father of algebra," but this title more appropriately belongs to Abu Abdullah bin mirsmi al-Khwarizmi. It is true that in two respects the work of al-Khwarizmi represented a retrogression from that of Diophantus. First, it is on a far more elementary level than that found in the Diophantine problems and, second, the algebra of al-Khwarizmi is thoroughly rhetorical, with none of the syncopation found in the Greek Arithmetica or in Brahmagupta's work. Even numbers were written out in words rather than symbols! It is quite unlikely that al-Khwarizmi knew of the work of Diophantus, but he must have been familiar with at least the astronomical and computational portions of Brahmagupta; yet neither al-Khwarizmi nor other Arabic scholars made use of syncopation or of negative numbers."

[39] " Jump up ^ (Derbyshire 2006, "The Father of Algebra" p. 31) "Diophantus, the father of algebra, in whose honor I have named this chapter, lived in Alexandria, in Roman Egypt, in either the 1st, the 2nd, or the 3rd century CE."

[40] (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230) "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions."

[41] Gandz and Saloman (1936), The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris i, p. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers".

[42] (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229) "It is not certain just what the terms al-jabr and muqabalah mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word al-jabr presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation, which is evident in the treatise; the word muqabalah is said to refer to "reduction" or "balancing"—that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation."

[43] Jump up to: a b Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994), The Development of Arabic Mathematics, Springer, pp. 11–2, ISBN 0-7923-2565-6, OCLC 29181926

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]