Θεμελιώδες θεώρημα άλγεβρας

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Το Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας (ή Θεώρημα ντ' Αλαμπέρ-Γκάους) είναι ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα στα μαθηματικά. Σύμφωνα με αυτό, όλα τα πολυώνυμα με μιγαδικούς συντελεστές έχουν τουλάχιστον μία μιγαδική ρίζα.

Ο τυπικός ορισμός του θεωρήματος είναι:

Κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής, βαθμού μεγαλύτερου της μονάδας και με μιγαδικούς συντελεστές, έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο σύνολο C των μιγαδικών αριθμών.

Στην ορολογία της θεωρίας σωμάτων, το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας ισοδυναμεί με το γεγονός ότι το σώμα των μιγαδικών αριθμών είναι αλγεβρικά κλειστό.

Ιστορική αναδρομή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η πρώτη αναφορά στην ουσία του θεωρήματος έγινε από τον Peter Rothe (Petrus Roth) στο βιβλίο του Arithmetica Philosophica (1608), όπου σημείωνε ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση βαθμού n (με πραγματικούς συντελεστές) μπορεί να έχει n λύσεις. Έπειτα, ο Albert Girard, στο βιβλίο του L'invention nouvelle en l'Algèbre του 1629, ισχυρίστηκε ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση βαθμού n έχει n λύσεις, χωρίς όμως να δηλώνει ότι χρειάζεται να είναι πραγματικοί αριθμοί.

Η πρώτη απόπειρα απόδειξης του θεωρήματος έγινε από το Γάλλο μαθηματικό και φιλόσοφο Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ το 1746, αλλά η απόδειξη του ήταν ατελής. Για παράδειγμα, προαπαιτούσε την ισχύ ενός θεωρήματος (που είναι σήμερα γνωστό ως θεώρημα του Puiseux), το οποίο όμως αποδείχτηκε μόλις έναν αιώνα μετά και μάλιστα η απόδειξη του βασιζόταν στο θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας.

Προσπάθειες για την απόδειξη του θεωρήματος έγιναν και από άλλους μαθηματικούς, όπως οι Όιλερ (1749), Λαγκράνζ (1772), και Λαπλάς (1795). Όλες αυτές οι προσπάθειες βασιζόντουσαν ουσιαστικά στον ισχυρισμό του Girard. Για την ακρίβεια, δεχόντουσαν την ύπαρξη αυτών των λύσεων οπότε προσπαθούσαν να αποδείξουν ότι οι λύσεις είχαν τη μορφή a + bi για κάποιους πραγματικούς a και b.

Στα τέλη του 18ου αιώνα εμφανίστηκαν δύο νέες και καλύτερες απόπειρες απόδειξης του θεωρήματος. Η πρώτη ήταν του James Wood, δημοσιεύθηκε το 1798 και ήταν κυρίως αλγεβρική, αλλά αγνοήθηκε εντελώς μια και είχε κενά. Αντίθετα, πιο γνωστή έγινε η δεύτερη απόπειρα απόδειξης, που ήταν γεωμετρική και δημοσιεύθηκε ένα χρόνο αργότερα, το 1799, από το Γερμανό μαθηματικό Carl Friedrich Gauss. Και πάλι, όμως, η απόδειξη δεν ήταν πλήρης.

Αποδείξεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η πρώτη αυστηρή απόδειξη του θεωρήματος δημοσιεύθηκε από τον Ελβετό μαθηματικό Ζαν-Ρομπέρ Αργκάν το 1806. Σε αυτήν την απόδειξη, και για πρώτη φορά, το θεμελιώδες θεώρημα εκφραζόταν για πολυώνυμα με μιγαδικούς συντελεστές, αντί για πραγματικούς.

Αργότερα, ο Γκάους δημοσίευσε δύο νέες αποδείξεις, το 1816, καθώς και μία νέα εκδοχή της αρχικής του απόδειξης, το 1849.

Bιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Fine, Benjamin; Rosenber, Gerhard (2001), Το Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας, Πανεπιστημιακά Μαθηματικά Κείμενα, Αθήνα: Leader Books, ISBN 9789607901200 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]