Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο

en:American Mathematical Society

en:External ray Εξωτερική ακτίνα Πύλη:Μαθηματικά
Διεθνής Μαθηματική Ένωση

en:Codimension Συνδιάσταση

en:Euler sequence Ακολουθία Όιλερ

Νέο θέμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στα μαθηματικά, η ακολουθία Όιλερ είναι μια συγκεκριμένη ακριβής ακολουθία δεμτιών στον n-διάστατο προβολικό χώρο πάνω σε έναν δακτύλιο. Δείχνει ότι η δέσμη των σχετικών διαφορικών είναι σταθερά ισόμορφη με ένα $(n+1)$ }-πολλαπλό άθροισμα του διπλού της δέσμης συστροφής Σερ.

Η ακολουθία Όιλερ γενικεύεται σε εκείνη μιας προβολικής δέσμης καθώς και μιας δέσμης Γκράσμαν (δείτε το τελευταίο άρθρο για αυτή τη γενίκευση).

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $\mathbb {P} _{A}^{n}$ είναι ο n-διάστατος προβολικός χώρος πάνω από έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο A. Έστω $\Omega ^{1}=\Omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1}$ είναι η δέσμη των 1-διαφορικών σε αυτόν τον χώρο, και ούτω καθεξής. Η ακολουθία του Όιλερ είναι η ακόλουθη ακριβής ακολουθία των δεσμών στον $\mathbb {P} _{A}^{n}$ :

$0\longrightarrow \Omega ^{1}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (n+1)}\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow 0.$

Η ακολουθία μπορεί να κατασκευαστεί ορίζοντας έναν ομομορφισμό $S(-1)^{\oplus n+1}\to S,e_{i}\mapsto x_{i}$ με $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ and $e_{i}=1$ και $e_{i}=1$ σε βαθμό 1, επιρριπτική σε βαθμούς $\geq 1$ , και ελέγχοντας ότι τοπικά στα $n+1$ πρότυπα διαγράμματα, ο πυρήνας είναι ισομορφικός με σχετικό διαφορικό πρότυπο .^[1]

Γεωμετρική ερμηνεία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υποθέτουμε ότι το A είναι ένα σώμα k.

Η παραπάνω ακριβής ακολουθία είναι διπλή της ακολουθίας

0\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\longrightarrow {\mathcal {T}}\longrightarrow 0

,

όπου ${\mathcal {T}}$ είναι η εφαπτομένη του $\mathbb {P} ^{n}$ .

Ας αναλύσουμε την ελεύθερη από συντεταγμένες εκδοχή αυτής της ακολουθίας, στο $\mathbb {P} V$ για έναν $(n+1)$ -διάστατο διανυσματικό χώρο V πάνω από k:

0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} V}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} V}(1)\otimes V\longrightarrow {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} V}\longrightarrow 0.

Αυτή η ακολουθία γίνεται πιο εύκολα κατανοητή ερμηνεύοντας τμήματα του κεντρικού όρου ως 1-ομογενή διανυσματικά πεδία στο V. Ένα τέτοιο τμήμα, το διανυσματικό πεδίο Όιλερ, συνδέει σε κάθε σημείο $v$ της ποικιλίας $V$ εφαπτόμενου διανύσματος $v$ . Αυτό το διανυσματικό σώμα είναι ακτινικό με την έννοια ότι εξαφανίζεται ομοιόμορφα σε 0-ομοιογενείς συναρτήσεις, δηλαδή στις συναρτήσεις που είναι αναλλοίωτες με ομοθετική αναδιαβάθμιση ή "ανεξάρτητες από την ακτινική συντεταγμένη".

Μια συνάρτηση (που ορίζεται σε κάποιο ανοικτό σύνολο) στο $\mathbb {P} V$ οδηγεί μέσω επαναφοράς σε μια 0-ομογενή συνάρτηση στο V (και πάλι μερικώς καθορισμένη). Λαμβάνουμε 1-ομογενή διανυσματικά πεδία πολλαπλασιάζοντας το διανυσματικό πεδίο Όιλερ με τέτοιες συναρτήσεις. Αυτός είναι ο ορισμός του πρώτου χάρτη, και η εγχυσιμότητά του είναι άμεση.

Ο δεύτερος χάρτης σχετίζεται με την έννοια της παραγώγισης, ισοδύναμη με εκείνη του διανυσματικού πεδίου. Υπενθυμίζουμε ότι ένα διανυσματικό πεδίο σε ένα ανοικτό σύνολο U του προβολικού χώρου $\mathbb {P} V$ μπορεί να οριστεί ως παραγώγιση των συναρτήσεων που ορίζονται σε αυτό το ανοικτό σύνολο. Ανασυρόμενο στο V, αυτό είναι ισοδύναμο με μια παραγώγιση στην προεικόνιση του U που διατηρεί τις 0-ομογενείς συναρτήσεις. Κάθε διανυσματικό πεδίο στο $\mathbb {P} V$ μπορεί έτσι να προκύψει, και το ελάττωμα της injectivity αυτής της απεικόνισης αποτελείται ακριβώς από τα ακτινικά διανυσματικά πεδία.

Επομένως, ο πυρήνας του δεύτερου μορφισμού ισούται με την εικόνα του πρώτου.

Η κανονική δέσμη γραμμών των προβολικών χώρων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παίρνοντας την υψηλότερη εξωτερική δύναμη, βλέπουμε ότι η κανονική δέσμη ενός προβολικού χώρου δίνεται από τη σχέση $\omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(-(n+1)).$

Ειδικότερα, οι προβολικοί χώροι είναι ποικιλίες Fano, επειδή η κανονική δέσμη είναι αντι-δειγματική και αυτή η δέσμη γραμμών δεν έχει μη μηδενικά παγκόσμια τμήματα, οπότε το γεωμετρικό γένος είναι 0. Αυτό μπορεί να διαπιστωθεί εξετάζοντας την ακολουθία Όιλερ και βάζοντάς την στον τύπο του προσδιοριστή^[2]

$\det({\mathcal {E}})=\det({\mathcal {E}}')\otimes \det({\mathcal {E}}'')$

για κάθε σύντομη ακριβή ακολουθία της μορφής $0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0$ .

Κλάσεις Τσερν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ακολουθία Όιλερ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των κλάσεων Τσερν του προβολικού χώρου. Υπενθυμίζεται ότι δεδομένης μιας σύντομης ακριβούς ακολουθίας συνεκτικών δεσμών,

$0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0,$

μπορούμε να υπολογίσουμε την συνολική τάξη Τσερν του ${\mathcal {E}}$ με τον τύπο $c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}')\cdot c({\mathcal {E}}'')$ .^[3] Παραδείγματος χάριν, στο $\mathbb {P} ^{2}$ βρίσκουμε^[4] ${\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{2}}^{1})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (2+1)})}{c({\mathcal {O}})}}\\&=(1-[H])^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2}-[H]^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2},\end{aligned}}$

όπου $[H]$ αντιπροσωπεύει την κλάση υπερεπιπέδου στον δακτύλιο Tσόου $A^{\bullet }(\mathbb {P} ^{2})$ .

Χρησιμοποιώντας την ακριβή ακολουθία ^[5]

$0\to \Omega ^{2}\to {\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3}\to \Omega ^{1}\to 0,$

και πάλι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της συνολικής κλάσης Τσερν για να βρούμε

${\begin{aligned}c(\Omega ^{2})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3})}{c(\Omega ^{1})}}\\&={\frac {(1-2[H])^{3}}{1-3[H]+3[H]^{2}}}.\end{aligned}}$

Δεδομένου ότι πρέπει να αντιστρέψουμε το πολυώνυμο στον παρονομαστή, αυτό είναι ισοδύναμο με την εύρεση μιας δυναμοσειράς $a([H])=a_{0}+a_{1}[H]+a_{2}[H]^{2}+a_{3}[H]^{3}+\cdots$ such that $a([H])c(\Omega ^{1})=1$ .

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Euler Sequence and Koszul complex of a module
Euler sequences in joint angles & Gimbal lock
On the Euler sequence spaces which include the spaces ℓp and ℓ∞ I
Euler sequences, Quats, and DCMs #19600
Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Commutative algebra

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Euler sequence for complete smooth k*-surfaces
Euler Sequence and Koszul complex of a module

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Theorem II.8.13 in Hartshorne 1977
↑ Vakil, Ravi. Rising Sea (PDF). 386. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 30 Νοεμβρίου 2019.
↑ {«Intersection Theory in Algebraic Geometry» (PDF). σελ. 169.
↑ Note that $[H]^{3}=0$ in the Chow ring for dimension reasons.
↑ Arapura, Donu. «Computation of Some Hodge Numbers» (PDF). Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 1 Φεβρουαρίου 2020.

[[Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Προβολική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Πολλαπλότητες] [[Κατηγορία:Διάσταση]

[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά] [[Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις] [[Κατηγορία:Ζήτα και L-συναρτήσεις]

[[Κατηγορία:Μαθηματικοί οργανισμοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικά] [[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]

[[Κατηγορία:Καναδοί μαθηματικοί]

[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα]

[[Κατηγορία:Φράκταλ] [[Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα] [[Κατηγορία:Πληροφοριακά συστήματα]

{{authority control} {{Portal bar|Βιογραφίες|Μαθηματικά} {{DEFAULTSORT:Νονικοφ, Σεργκει} [[Κατηγορία:Βραβεία μαθηματικών] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί αναλυτές] [[Κατηγορία:Ρώσοι μαθηματικοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 19ου αιώνα]

[[Κατηγορία:Γάλλοι χημικοί] [[Κατηγορία:Βραβεία Νόμπελ] [[Κατηγορία:Βραβευμένοι με Νόμπελ Φυσικής]