Στατιστική μηχανική

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

H Στατιστική μηχανική είναι η εφαρμογή της θεωρίας πιθανοτήτων, η οποία περιλαμβάνει τα μαθηματικά εργαλεία για την αντιμετώπιση μεγάλων πληθυσμών, στο πεδίο της μηχανικής, η οποία ασχολείται με την κίνηση σωματιδίων ή αντικειμένων που υπόκεινται σε μια δύναμη.

Πραγματοποιεί τη σύνδεση μεταξύ των μικροσκοπικών ιδιοτήτων των ατόμων και των μορίων, με τις μακροσκοπικές ιδιότητες των υλικών που παρατηρούνται στην καθημερινή ζωή, εξηγώντας κατα συνέπεια τη θερμοδυναμική ως το φυσικό αποτέλεσμα της στατιστικής και της μηχανικής (κλασικής και κβαντικής) σε μικροσκοπικό επίπεδο. Πιο συγκεκριμένα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των θερμοδυναμικών ιδιοτήτων των υλικών από τη φασματοσκοπική ανάλυση και πληροφορία των μορίων.

Η ικανότητα της πραγματοποίησης μακροσκοπικών προβλέψεων βασισμένων σε μικροσκοπικές ιδιότητες, είναι η βασική σύνδεση μεταξύ της στατιστικής μηχανικής και της θερμοδυναμικής. Και οι δύο θεωρίες βασίζονται πάνω στον δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής, μέσω της εντροπίας. Όμως, ενώ στη θερμοδυναμική η εντροπία μπορεί να γίνει γνωστή μόνο εμπειρικά, στη στατιστική μηχανική αποτελεί μια συνάρτηση κατανομής του συστήματος, πάνω στις μικροκαταστάσεις του.

Η βασική αρχή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η βασική αρχή της στατιστικής μηχανικής είναι το αξίωμα των εξ ορισμού ίσων πιθανοτήτων:

Σε ένα απομωνομένο σύστημα που βρίσκεται σε ισορροπία σε μια ορισμένη μικροκατάσταση, οι Ω μικροκαταστάσεις που το αποτελούν έχουν ίση πιθανότητα να εμφανίζονται.

Η αρχή αυτή σημαίνει με άλλα λόγια, πως ένα σύστημα σε ισορροπία δεν έχει καμία προτίμηση για κάποια από τις διαθέσιμες μικροκαταστάσεις του. Συμβολίζοντας με Ω τις μικροκαταστάσεις σε μια συγκεκριμένη ενέργεια, η πιθανότητα να βρεθεί το σύστημα σε μια συγκεκριμένη μικροκατάσταση είναι p=1/\Omega.

Η αρχή αυτή είναι απαραίτητη, καθώς επιτρέπει σε κάποιον να συμπεράνει πως για ένα σύστημα σε ισορροπία, η θερμοδυναμική κατάσταση (μακροκατάσταση) η οποία θα μπορούσε να είναι αποτέλεσμα του μεγαλύτερου αριθμού των μικροκαταστάσεων είναι επίσης η πιο πιθανή μακροκατάσταση του συστήματος.

Τα παραπάνω βοηθούν στον ορισμό της συνάρτησης πληροφορίας


I = \sum_i \rho_i \ln\rho_i = \langle \ln \rho \rangle

Όταν όλα τα ρ είναι ίσα, η Ι είναι ελάχιστη, κάτι που σημαίνει πως έχουμε ελάχιστη πληροφορία για το σύστημα. Όταν η πληροφορία μας είναι μέγιστη (για παράδειγμα, ένα ρ είναι ίσο με τη μονάδα και τα υπόλοιπα μηδέν, γνωρίζουμε δηλαδή επακριβώς σε ποια κατάσταση βρίσκεται το σύστημα), η συνάρτηση παίρνει και αυτή τη μέγιστη τιμής της.

Στατιστικές κατανομές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ανάλογα με τις συνθήκες στις οποίες υποθέτουμε πως βρίσκεται το εκάστοτε σύστημα, υπολογίζουμε διαφορετικά τις μικροκαταστάσεις του, ώστε να εκφράσουμε μέσω αυτών τις μακροσκοπικές ιδιότητες. Υπάρχουν τρεις κατανομές (που συχνά ονομάζονται και στατιστικά σύνολα ή στατιστικές ολότητες):

  1. Η μικροκανονική κατανομή
  2. Η κανονική κατανομή
  3. Η μεγαλοκανονική κατανομή

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Το αντίστοιχο άρθρο της αγγλικής βικιπαίδειας.
  • Χ. Ζεγκίνογλου, Στατιστική Φυσική της θερμοδυναμικής ισορροπίας, εκδ. Περί Τεχνών.
  • Mandl, F. Statistical Physics. Chichester: John Wiley & Sons Ltd.