Ιστορία των μαθηματικών

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Μία απόδειξη από τα Στοιχεία του Ευκλείδη, που θεωρείται ένα από τα βιβλία με την μεγαλύτερη επιρροή όλων των εποχών.[1]

Το πεδίο σπουδών γνωστό ως η Ιστορία των Μαθηματικών είναι κατ' εξοχήν μια έρευνα στην προέλευση των μαθηματικών και σε μικρότερο βαθμό μια έρευνα στις μαθηματικές μεθόδους του παρελθόντος.

Πριν τη σύγχρονη εποχή και την παγκόσμια ανάπτυξη της γνώσης, γραπτά παραδείγματα νέων μαθηματικών εξελίξεων ήρθαν στο φως σε μικρό χρονικό διάστημα. Τα παλαιότερα διαθέσιμα μαθηματικά κείμενα είναι τα Plimpton 322 (Μαθηματικά των Βαβυλωνίων 1900 π.Χ)[2], Rhind Mathematical Papyrus (Μαθηματικά των Αιγυπτίων 2000-1800 π.Χ)[3], Μαθηματικός Πάπυρος της Μόσχας (Μαθηματικά των Αιγυπτίων 1890 π.Χ). Όλα αυτά τα κείμενα απασχολούνται με το γνωστό πυθαγόρειο θεώρημα, που φαίνεται να είναι η αρχαιότερη και πλέον διαδεδομένη ανακάλυψη μετά την αριθμητική και τη γεωμετρία.

Η μελέτη των μαθηματικών ως θέμα από μόνο του ξεκινάει τον 6ο αιώνα π.Χ με τους Πυθαγόρειους που επινόησαν τον όρο Μαθηματικά από την αρχαία ελληνική λέξη μάθημα, το οποίο ερμηνεύεται ως θέμα οδηγιών.[4] Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί βελτίωσαν σε μεγάλο βαθμό τις μεθόδους (ειδικά μέσα από την εισαγωγή τους παραγωγικού συλλογισμού, του μαθηματικού σθένους και τις αποδείξεις) και επέκτειναν την ύλη των μαθηματικών.[5] Οι Κινέζοι μαθηματικοί έκαναν πρώιμες συνεισφορές, συμπεριλαμβάνοντας ένα σύστημα αξιών.[6][7] Το ινδοαραβικό αριθμητικό σύστημα, το οποίο χρησιμοποιείται σε ολόκληρο τον κόσμο σήμερα, και οι κανόνες για τη χρήση των λειτουργιών του, πιθανότατα εξελίχθηκε κατά την πρώτη χιλιετία στην Ινδία και μεταδόθηκε στη Δύση μέσω των Ισλαμιστών μαθηματικών.[8] Οι Ισλαμιστές μαθηματικοί, με τη σειρά τους, ανέπτυξαν και επέκτειναν τα μαθηματικά, που έγιναν γνωστά σε αυτούς τους πολιτισμούς.[9] Πολλά γνωστά Ελληνικά και Αραβικά κείμενα στα μαθηματικά μεταφράστηκαν στα Λατινικά, κάτι που οδήγησε σε περαιτέρω εξέλιξη των μαθηματικών στην μεσαιωνική Ευρώπη.

Από την αρχαία εποχή διαμέσου του Μεσαίωνα, ξεσπάσματα μαθηματικής δημιουργικότητας πολλές φορές ακολουθούνταν από αιώνες στασιμότητας. Στις αρχές της Ιταλίας της Αναγέννησης του 16ου αιώνα, οι νέες μαθηματικές εξελίξεις που αλληλεπίδρασαν με νέες επιστημονικές ανακαλύψεις, πραγματοποιήθηκαν με αυξανόμενο ρυθμό, που συνεχίζεται μέχρι και σήμερα.

Βαβυλωνιακά Μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο όρος βαβυλωνιακά μαθηματικά αναφέρεται στα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν από τους ανθρώπους της Μεσοποταμίας (σύγχρονο Ιράκ) από τους πρώτους Σουμέριους μέχρι την Ελληνιστική περίοδο περίπου ως την εμφάνιση του Χριστιανισμού.[10] Ονομάζονται Βαβυλωνιακά μαθηματικά λόγω του κύριου ρόλου της Βαβυλώνας ως τόπος σπουδών. Αργότερα, κατά την Αραβική αυτοκρατορία, η Μεσοποταμία, ειδικότερα η Βαγδάτη, για άλλη μια φορά έγινε ένα σημαντικό κέντρο σπουδών για τα Ισλαμικά μαθηματικά.

Σε αντίθεση με τις ελάχιστες αναφορές σε πηγές στα Αιγυπτιακά μαθηματικά, οι γνώσεις μας για τα Βαβυλωνιακά μαθηματικά προέρχονται από περισσότερες από 400 πήλινες πλάκες οι οποίες ήρθαν στο φως από το 1850.[11] Γραμμένες στη σφηνοειδή γραφή, οι πλάκες ήταν χαραγμένες ενώ ο πηλός ήταν υγρός, και ψημένος καλά σε φούρνο ή από τη ζέστη του ήλιου. Κάποιες από αυτές εμφανίζουν διαβαθμισμένη εργασία.

Τα αρχαιότερα στοιχεία καταγεγραμμένων μαθηματικών χρονολογούνται πίσω στους αρχαίους Σουμέριους, οι οποίοι έχτισαν τον πρώτο πολιτισμό της Μεσοποταμίας. Ανέπτυξαν ένα σύνθετο σύστημα μετρολογίας από το 3000 π.Χ. Από περίπου το 2500 π.Χ. και μετά, οι Σουμέριοι έγραψαν πίνακες προπαίδειας σε πήλινες πλάκες και αντιμετώπισαν γεωμετρικές εξισώσεις και προβλήματα διαιρετότητας. Τα πρώτα ίχνη των Βαβυλωνιακών αριθμών επίσης χρονολογούνται σε αυτήν την περίοδο.[12]

Η πλειοψηφία των πήλινων πλακών που έχουν ανακτηθεί χρονολογείται από το 1800 στο 1600 π.Χ., και καλύπτει θέματα που περιλαμβάνουν συναρτήσεις, άλγεβρα, τετραγωνικές και κυβικές εξισώσεις, και τον υπολογισμό των περιοδικών και αμοιβαίων ζευγών.[13] Οι πλάκες επίσης περιλαμβάνουν πίνακες πολλαπλασιασμού και μεθόδους επίλυσης γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Η Βαβυλώνια πλάκα YBC 7289 δίνει μία προσέγγιση της √2 με ακρίβεια πέντε δεκαδικών ψηφίων.

Τα Βαβυλωνιακά μαθηματικά ήταν γραμμένα σε αριθμητικό σύστημα με βάση το 60. Από αυτό απορρέει η σύγχρονη χρήση των 60 δευτερολέπτων σε ένα λεπτό, 60 λεπτών σε μία ώρα, και 360 (60 x 6) μοιρών σε έναν κύκλο, όπως επίσης και η χρήση των δευτερολέπτων και των λεπτών ενός τόξου για να υποδηλώσει εξισώσεις κάποιου βαθμού. Η Βαβυλωνιακή ανάπτυξη στα μαθηματικά διευκολύνθηκε από το γεγονός ότι το 60 έχει πολλούς διαιρέτες. Επίσης, αντίθετα με τους Αιγύπτιους, τους Έλληνες, και τους Ρωμαίους, οι Βαβυλώνιοι είχαν ένα πραγματικό σύστημα θέσης - αξίας, όπου τα ψηφία γράφονταν στην αριστερή στήλη αντιπροσωπεύοντας μεγαλύτερες τιμές, όπως στο δεκαδικό σύστημα. Ωστόσο τους έλειπε ένα σύμβολο ισοδύναμο της υποδιαστολής, και έτσι η αξία της θέσης ενός συμβόλου συχνά έπρεπε να γίνει κατανοητή από το περιεχόμενο. Από την άλλη πλευρά, αυτό το “ελάττωμα” είναι ισοδύναμο με τη σημερινή χρήση της κινητής υποδιαστολής. Εξάλλου η χρήση της βάσης του 60 σημαίνει ότι οποιοιδήποτε αμοιβαίοι ακέραιοι οι οποίοι είναι πολλαπλάσια διαιρετών του 60 υποχρεωτικά έχουν μία πεπερασμένη επέκταση στη βάση 60.(Στη δεκαδική αριθμητική, μόνο τα αμοιβαία των πολλαπλασίων του 2 και 5 έχουν πεπερασμένη δεκαδική έκφραση.) Επομένως, υπάρχει μία μεγάλη διαμάχη ότι ο συμβολισμός των αρχαίων Βαβυλωνίων θεωρείται πιο εξελιγμένος από τον σημερινό

Η ερμηνεία του Plimpton 322 ήταν η πηγή της αμφισβήτησης για πολλά χρόνια αφού είχε αποκαλυφθεί η σημασία της στο περιεχόμενο των πυθαγόρειων τριγώνων. Στο ιστορικό περιεχόμενο, προβλήματα κληρονομιάς που περιλάμβαναν την ισεμβαδική διαχώριση τριγωνικών και τραπεζοειδών χωρίων (με ακέραιο μήκος πλευρών) γρήγορα μετατράπηκαν στην ανάγκη για τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας του 2, η της επίλυσης της “Πυθαγόρειας εξίσωσης” με ακέραιους.

Αντί να θεωρήσουμε ένα τετράγωνο σαν άθροισμα δύο τετραγώνων, μπορούμε ισοδύναμα να θεωρήσουμε το τετράγωνο σαν τη διαφορά των δύο τετραγώνων. Έστω a, b και c ακέραιοι που σχηματίζουν μία πυθαγόρεια τριάδα: a^2 + b^2 = c^2. Έπειτα c^2 - a^2 = b^2, και χρησιμοποιώντας την έκφραση για τη διαφορά των δύο τετραγώνων έχουμε (c-a)(c+a)= b^2. Διαιρώντας με b^2, γίνεται το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών δίνοντας 1: (c/b - a/b)(c/b + a/b) = 1. Απαιτούμε δύο πραγματικούς αριθμούς οι οποίοι είναι αμοιβαίοι και οι οποίοι διαφέρουν κατά 2(a/b). Αυτό επιλύεται εύκολα θεωρώντας έναν πίνακα από αμοιβαία ζεύγη. Π.χ. το (1/2) (2) = 1 είναι ένα ζεύγος αμοιβαίων το οποίο διαφέρει κατά 3/2 = 2(a/b) έτσι a/b = 3/4, δίνει a=3, b=4 και c=5.

Οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι έτσι δομημένες επιλέγοντας έναν πραγματικό αριθμό x, από τον οποίο οι πυθαγόρειες τριάδες είναι 2x, x^2-1, x^2+1. Άλλες τριάδες δημιουργούνται από την εκλέπτυνση αυτών κατά έναν ακέραιο (ο ακέραιος που είναι το μισό της διαφοράς μεταξύ του μεγαλύτερου και μιας άλλης πλευράς). Όλες οι πυθαγόρειες τριάδες προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο, και τα παραδείγματα που υπάρχουν στο Plimpton 322 περιλαμβάνουν κάποια αρκετά μεγάλα νούμερα, με σύγχρονη ορολογία, όπως (4601, 4800, 6649) με δεκαδική γραφή.

Προϊστορικά μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η προέλευση της μαθηματικής σκέψης βασίζεται στις έννοιες του αριθμού, του μεγέθους και του σχήματος. Σύγχρονες μελέτες της γνωστικής λειτουργίας των ζώων, έχουν δείξει ότι οι έννοιες αυτές δεν αφορούν μόνο το ανθρώπινο ον. Τέτοιες έννοιες θα ήταν μέρος της καθημερινής ζωής και σε προϊστορικές κοινωνίες κυνηγών-τροφοσυλλεκτών. Η ιδέα του "αριθμού" σαν έννοια, που εξελίσσεται σταδιακά με την πάροδο του χρόνου, υποστηρίζεται από την ύπαρξη άλλων γλωσσών, οι οποίες διατηρούν τη διάκριση μεταξύ των εννοιών "ένα", "δύο" και "πολλά", αλλά όχι αριθμών μεγαλύτερων του δύο.

Το αρχαιότερο γνωστό, ενδεχομένως μαθηματικό, αντικείμενο είναι τα οστά Lebombo, που βρέθηκαν στην οροσειρά Lebombo της Σουαζιλάνδης και χρονολογούνται γύρω στο 35000 π.Χ.. Αποτελείται από 29 εμφανείς εγκοπές πάνω σε περόνη μπαμπουίνου. Άλλα προϊστορικά αντικείμενα, που ανακαλύφθηκαν στην Αφρική και τη Γαλλία, τα οποία χρονολογούνται μεταξύ 35000-20000 π.Χ., υποδηλώνουν τις πρώτες απόπειρες να προσδιοριστεί ποσοτικά ο χρόνος.

Το οστό Ishango, το οποίο βρέθηκε στις πηγές του ποταμού Νείλου (στο βορειοανατολικό Κονγκό), χρονολογείται έως και 20000 ετών και αποτελείται από ένα πλήθος ψηλών γραμμάτων σκαλισμένα σε τρεις στήλες, που διατρέχουν το μήκος του οστού. Συνήθεις ερμηνείες είναι ότι το οστό Ishango δείχνει είτε την αρχαιότερη γνωστή επίδειξη των ακολουθιών των πρώτων αριθμών, είτε ένα εξαμηνιαίο σεληνιακό ημερολόγιο. Στο βιβλίο How Mathematics Happened: The First 50,000 Years, ο Peter Rudman υποστηρίζει ότι η ανάπτυξη της έννοιας των πρώτων αριθμών θα μπορούσε μόνο να έχει έρθει σχετικά μετά την έννοια της διαίρεσης, πράγμα το οποίο χρονολογείται μετά το 10000 π.Χ., με τους πρώτους αριθμούς πιθανότατα να μην έχουν γίνει κατανοητοί μέχρι περίπου το 500 π.Χ.. Γράφει επίσης ότι: "δεν έχει γίνει καμία προσπάθεια να εξηγηθεί γιατί μία αντιστοιχία από κάτι που πρέπει να εμφανίζει πολλαπλάσια του 2, πρώτους αριθμούς από το 10 έως το 20, και κάποιους αριθμούς που σχεδόν είναι πολλαπλάσια του 10". Το οστό Ishango σύμφωνα με τον μελετητή Alexander Marshack, ίσως να έχει επηρεάσει τη μετέπειτα ανάπτυξη των μαθηματικών στην Αίγυπτο, γιατί όπως και σε κάποια στοιχεία του οστού Ishango, και η Αιγυπτιακή αριθμητική έκανε χρήση του πολλαπλασιασμού με το 2· αυτό, παρόλαυτά, αμφισβητείται.

Οι Αιγύπτιοι της Προδυναστικής περιόδου της Αιγύπτου της 5ης χιλιετίας π.Χ. εκπροσωπούνται εικονογραφικά, από γεωμετρικά σχέδια. Έχει διατυπωθεί η άποψη, ότι μεγαλιθικά μνημεία στην Αγγλία και τη Σκωτία, που χρονολογούνται από την 3η χιλιετία π.Χ., ενσωματώνουν γεωμετρικές ιδέες, όπως κύκλους, ελλείψεις, και πυθαγόρειες τριάδες στο σχεδιασμό τους.

Ωστόσο όλα τα παραπάνω αμφισβητούνται, και την τρέχουσα στιγμή, η παλαιότερη αδιαμφισβήτητη χρήση των Μαθηματικών, είναι σε Βαβυλωνιακές και της δυναστικής περιόδου Αιγυπτιακές πηγές. Συνεπώς, το ανθρώπινο όν χρειάστηκε τουλάχιστον 45000 χρόνια από την επίτευξη της συμπεριφορικής και γλωσσικής εξέλιξης, για να αναπτύξει τα μαθηματικά ως έχουν.

Αιγυπτιακά μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εικόνα από το πρόβλημα 14 του Πάπυρου της Μόσχας. Το πρόβλημα περιλαμβάνει ένα διάγραμμα που δείχνει τις διαστάσεις της κόλουρου πυραμίδας.

Ο όρος Αιγυπτιακά μαθηματικά αναφέρεται στα μαθηματικά που γράφτηκαν στην Αιγυπτιακή γλώσσα. Από την ελληνιστική περίοδο, τα Ελληνικά αντικατέστησαν τα Αιγυπτιακά ως γλώσσα που χρησιμοποιούσαν οι Αιγύπτιοι επιστήμονες. Η μαθηματική μελέτη στην Αίγυπτο συνεχίστηκε αργότερα στο πλαίσιο της Αραβικής Αυτοκρατορίας, ως μέρος των ισλαμικών μαθηματικών, όταν τα Αραβικά έγιναν η γραπτή γλώσσα των αιγυπτιακών μελετητών.

Το εκτενέστερο Αιγυπτιακό μαθηματικό κείμενο είναι ο Πάπυρος του Ράιντ (μερικές φορές ονομάζεται επίσης και Πάπυρος του Αχμές, που ήταν ο συγγραφέας του), που χρονολογείται στο 1650 π.Χ., αλλά είναι πιθανότατα αντίγραφο ενός παλαιότερου εγγράφου από τη περίοδο του Μέσου Βασιλείου περίπου το 2000-1800 π.Χ.. Πρόκειται για ένα εγχειρίδιο οδηγιών για μαθητές στην αριθμητική και τη γεωμετρία. Εκτός από την παροχή τύπων εμβαδών και μεθόδων για πολλαπλασιασμό, διαίρεση και εργασία με κλάσματα της μονάδας, περιέχει επίσης στοιχεία άλλων μαθηματικών γνώσεων, συμπεριλαμβανομένων των σύνθετων και πρώτων αριθμών· αριθμητικές, γεωμετρικές και αρμονικές έννοιες· και απλοϊκές κατανοήσεις τόσο του Κόσκινου του Ερατοσθένη όσο και τέλειας θεωρίας αριθμών (συγκεκριμένα του αριθμού 6). Επίσης, δείχνει πώς να λύσει κάποιος πρώτης τάξης γραμμικές εξισώσεις, καθώς και αριθμητικές και γεωμετρικές σειρές.

Άλλο ένα σημαντικό Αιγυπτιακό μαθηματικό κείμενο είναι ο Πάπυρος της Μόσχας, επίσης από τη περίοδο του Μέσου Βασίλειου, και χρονολογείται το περίπου το 1890 π.Χ.. Αποτελείται από αυτά που σήμερα αποκαλούμε προβλήματα, τα οποία προφανώς προορίζονταν για ψυχαγωγία. Ένα πρόβλημα θεωρείται ότι είναι ιδιαίτερης σημασίας, επειδή δίνει μία μέθοδο για την εύρεση του όγκου κόλουρου. "Σας λένε ότι μια κόλουρη πυραμίδα έχει ύψος 6, μήκος 4 στη βάση και 2 στην κορυφή. Υψώνετε το 4 στο τετράγωνο, αποτέλεσμα 16. Διπλασιάζετε το 4 αποτέλεσμα 8. Υψώνετε στο τετράγωνο αυτό το 2, αποτέλεσμα 4. Προσθέτετε το 16 και το 8 και το 4, αποτέλεσμα 28. Παίρνετε το 1/3 του 6, αποτέλεσμα 2. Παίρνετε το 28 2 φορές, αποτέλεσμα 56. Βλέπετε, είναι 56. Θα βρείτε ότι είναι σωστό".

Τέλος, ο Πάπυρος του Βερολίνου (περ. 1300 π.Χ.) δείχνει πως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι θα μπορούσαν να λύσουν μία δεύτερης τάξης αλγεβρική εξίσωση.

Ελληνικά μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Οι Πυθαγόρειοι ευθύνονται για την πρώτη απόδειξη του θεωρήματος.

Τα Ελληνικά μαθηματικά παραπέμπουν στα μαθηματικά που είναι γραμμένα στην Ελληνική γλώσσα από την εποχή του Θαλή του Μιλήσιου (~ 600 π.Χ.) μέχρι το κλείσιμο της Ακαδημίας των Αθηνών, το 529 μ.Χ.. Οι Έλληνες μαθηματικοί ζούσαν σε πόλεις που εξαπλώθηκαν σε όλη την Ανατολική Μεσόγειο, από την Ιταλία έως τη Βόρεια Αφρική, αλλά παρέμεναν ενωμένοι γλωσσικά και πολιτισμικά.Τα ελληνικά μαθηματικά μετά την εποχή του Μεγάλου Αλεξάνδρου, συχνά ονομάζονται και Ελληνιστικά Μαθηματικά.

Τα ελληνικά μαθηματικά ήταν πολύ πιο περίπλοκα από τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν σε προγενέστερους πολιτισμούς. Όλα τα σωζόμενα αρχεία των προ-ελληνικών μαθηματικών, μας δείχνουν τη χρήση της επαγωγικής λογικής, δηλαδή, τις επαναλαμβανόμενες παρατηρήσεις που χρησιμοποιήθηκαν για τον καθορισμό των κανόνων του αντίχειρα. Οι Έλληνες Μαθηματικοί, αντίθετα, έκαναν χρήση του επαγωγικού συλλογισμού. Οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν τη λογική για να εξάγουν συμπεράσματα από τους ορισμούς και τα αξιώματα και χρησιμοποιώντας μαθηματική ακρίβεια, να τα αποδείξουν. Τα ελληνικά μαθηματικά, θεωρείται ότι έχουν ξεκινήσει με το Θαλή το Μιλήσιο (περ. 624-546 π.Χ.) και τον Πυθαγόρα τον Σάμιο (περ. 583-507 π.Χ.). Αν και το εύρος της επιρροής αμφισβητείται, πιθανότατα εμπνεύστηκαν από τα αιγυπτιακά και τα βαβυλωνιακά μαθηματικά. Σύμφωνα με το μύθο, ο Πυθαγόρας ταξίδεψε στην Αίγυπτο για να μάθει μαθηματικά, γεωμετρία και αστρονομία από τους Αιγύπτιους ιερείς.

Ένα από τα παλαιότερα σωζόμενα θραύσματα των "Στοιχείων του Ευκλείδη", το οποίο βρέθηκε στον Οξύρυνχο και χρονολογείται γύρω στο 100 μ.Χ.. Το διάγραμμα συνοδεύει την Πρόταση 5, από το 2ο Βιβλίο

Ο Θαλής χρησιμοποιούσε γεωμετρία για την επίλυση προβλημάτων όπως ο υπολογισμός του ύψους των πυραμίδων και την απόσταση των πλοίων από την ακτή. Σε αυτόν αποδίδεται η πρώτη χρήση παραγωγικού συλλογισμού που εφαρμόζεται στη γεωμετρία, το οποίο απορρέει από τα τέσσερα θεωρήματα που υποστηρίζεται ότι απέδειξε ο ίδιος. Ως αποτέλεσμα, έχει αναγνωριστεί ως ο πρώτος αληθινός μαθηματικός αλλά και ο πρώτος γνωστός άνθρωπος στον οποίο έχει αποδοθεί μια μαθηματική ανακάλυψη. Ο Πυθαγόρας ίδρυσε την Πυθαγόρεια Σχολή, η οποία υποστήριζε ότι τα μαθηματικά κυβερνούν το σύμπαν και σύνθημα της ήταν "Το παν είναι αριθμός". Ήταν οι Πυθαγόρειοι που επινόησαν τον όρο ¨μαθηματικά" και εκείνοι που ξεκίνησαν, για δικούς του λόγους, τη μελέτη των μαθηματικών. Στους Πυθαγόρειους αποδίδεται η πρώτη απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος, αν και η δήλωση του θεωρήματος έχει μια μεγάλη ιστορία, όπως και η απόδειξη της ύπαρξης των άρρητων αριθμών.

Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε την Μέθοδο της εξάντλησης για την προσέγγιση της τιμής του π.

Ο Πλάτων (428/427 π.Χ. - 348/347 π.Χ.) παίζει σημαντικό ρόλο στην ιστορία των μαθηματικών κυρίως γιατί ενέπνεε και διεύθυνε τους υπόλοιπους. Η Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα, έγινε το μαθηματικό κέντρο του κόσμου τον 4ο αιώνα π.Χ. και ήταν η Ακαδημία απ'την οποία προήλθαν κορυφαίοι μαθηματικοί της εποχής όπως ο Εύδοξος από την Κνίδο. Ο Πλάτωνας ασχολήθηκε επίσης και με τα θεμέλια των μαθηματικών, διευκρίνισε κάποιους ορισμούς και αναδιοργάνωσε τις υποθέσεις. Η αναλυτική μέθοδος αποδίδεται στον Πλάτωνα ενώ και μια φόρμουλα εύρεσης πυθαγορείων τριάδων φέρει το όνομα του.

Ο Εύδοξος (408-περ.355 π.Χ.) ανέπτυξε τη μέθοδο της εξάντλησης, έναν πρόδρομο για τη σύγχρονη ολοκλήρωση και μια θεωρία που αφορούσε λόγους, αποφεύγοντας έτσι το πρόβλημα των ασύμμετρων μεγεθών. Η πρώτη επέτρεψε τους υπολογισμούς των επιφανειών και των όγκων των καμπυλών, ενώ η τελευταία επέτρεψε στους επόμενους γεωμέτρες να κάνουν σημαντικές προόδους στη γεωμετρία. Αν και ο ίδιος δεν έκανε ειδικές τεχνικές μαθηματικές ανακαλύψεις, ο Αριστοτέλης (384-περ.322 π.Χ.) συνέβαλε σημαντικά στην ανάπτυξη των μαθηματικών, θέτοντας τις βάσεις της λογικής.

Τον 3ο αιώνα π.Χ., το κορυφαίο κέντρο της μαθηματικής εκπαίδευσης και της έρευνας ήταν το Μουσείο της Αλεξάνδρειας. Εκεί δίδαξε ο Ευκλείδης και έγραψε τα Στοιχεία (περ. 300 π.Χ.), τα οποία θεωρούνται ευρέως ως τα πιο επιτυχημένα και με την μεγαλύτερη επιρροή, βιβλία όλων των εποχών. Τα Στοιχεία, τα οποία εισήγαγαν τη μαθηματική ακρίβεια μέσω της αξιωματικής μεθόδου, είναι το αρχαιότερο παράδειγμα που χρησιμοποίησε τη μορφή, ορισμός, αξίωμα, θεώρημα και απόδειξη, που χρησιμοποιείται μέχρι και σήμερα. Αν και τα περισσότερα από τα περιεχόμενα των Στοιχείων ήταν γνωστά, ο Ευκλείδης τα τοποθέτησε σ'ένα ενιαίο, συνεκτικό και λογικό πλαίσιο. Τα Στοιχεία ήταν γνωστά σε όλους τους μορφωμένους ανθρώπους της Δύσης μέχρι και τα μέσα του 20ου αιώνα και το περιεχόμενο τους εξακολουθεί να διδάσκεται σε τάξεις γεωμετρίας μέχρι και σήμερα. Εκτός από τα γνωστά θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, τα Στοιχεία γράφτηκαν και ως ένα εισαγωγικό εγχειρίδιο που κάλυπτε όλα τα στοιχειώδη μαθηματικά της εποχής, όπως η θεωρία αριθμών, η άλγεβρα και η στερεά γεωμετρία, ενώ περιείχε και τις αποδείξεις ότι η ρίζα του 2 είναι άρρητος αριθμός και ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Ο Ευκλείδης έγραψε και για άλλα θέματα όπως για κωνικές τομές, οπτική, μηχανική και σφαιρική γεωμετρία, αλλά μόνο τα μισά από αυτά έχουν σωθεί.

Η πρώτη γυναίκα μαθηματικός στην ιστορία ήταν η Υπατία της Αλεξάνδρειας (350 - 415 μ.Χ.). Διαδέχθηκε τον πατέρα της ως Βιβλιοθηκάριος τηε Μεγίστης Βιβλιοθήκης και συνέγραψε μεγάλο έργο πάνω στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Λόγω μίας πολιτικής αντιπαράθεσης, τιμωρήθηκε από την Χριστιανική αδελφότητα της Αλεξάνδρειας, θεωρώντας την ως συνένοχο, μαστιγώνοντας την γυμνή και αφαιρώντας της το δέρμα χρησιμοποιώντας όστρακα (φήμες κάνουν λόγο για κεραμίδια).[14]

Ο Απολλώνιος ο Περγαίος έκανε σημαντικές βελτιώσεις πάνω στην μελέτη της κωνικής θεωρίας.

Ο Αρχιμήδης (287 - 212 π.Χ.) ο Συρακούσιος, θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της αρχαιότητας,[15] χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξάντλησης για να υπολογίσει την περιοχή κάτω από το τόξο μίας παραβολής με το άθροισμα των άπειρων σειρών, με τρόπο όχι ιδιαίτερα ανόμοιο σε σχέση με τους μοντέρνους λογισμούς.[16] Επιπλέον απέδειξε ότι κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει τη μέθοδο της εξάρτησης για να υπολογίσει την τιμή του π με όσο περισσότερη ακρίβεια γίνεται, και να αποσπάσει την πιο ακριβή τιμή του π που έχει υπάρξει, 31071 < π < 31070.[17] Επιπλέον σπούδασε την σπείρα, δίνοντας της το όνομα του, εξάγοντας συναρτήσεις από τους όγκους των γεωμετρικών επιφανειών (παραβολή, έλλειψη, υπερβολή),[18] και ενός ευφυέστατου συστήματος για να εκφράζει πολύ μεγάλους αριθμούς.[19] Ενώ είναι γνωστός για τη συνεισφορά του στη φυσική και σε πολλές μηχανικές συσκευές, ο Αρχιμήδης εγκαθίδρυσε τον εαυτό του ανώτερο από κάθε σκέψη και γενικούς μαθηματικούς κανόνες.[20] Θεώρησε ως το μέγιστο κατόρθωμα του την ανακάλυψη μέτρησης της επιφάνειας και του όγκου μίας σφαίρας, η οποία ισούται με τα 2/3 της επιφάνειας και του όγκου ενός εγγεγραμμένου κυλίνδρου στη σφαίρα.[21]

Ο Απολλώνιος ο Περγαίος (262-190 π.Χ.) έκανε σημαντικές βελτιώσεις στην μελέτη του κώνου, αποδεικνύοντας ότι μπορεί κανείς να παρατηρήσει και τις τρεις διαστάσεις του κώνου μεταβάλλοντας την άκρη του σχήματος έτσι ώστε να δημιουργηθούν δύο αντίθετοι κώνοι με την ίδια άκρη.[22] Επίσης χάραξε την ορολογία για τους κώνους όπως αυτή χρησιμοποιείται έως και σήμερα, με το όνομαπαραβολή ("πλάγιο επίπεδο" ή "σύγκριση"), "έλλειψη" ("'έλλειψη"), and "υπερβολή" ("μπροστινό επίπεδο").[23] Η δουλεία του πάνω στην θεωρία των Κώνων είναι μία από τις καλύτερες όλων των εποχών, ή οποία διατηρείται από την αρχαιότητα έως και σήμερα και από την οποία εκπορεύονται πολλά ανεκτίμητα θεωρήματα για τους κώνους που θα χρησιμοποιηθούν αργότερα από μαθηματικούς και αστρονόμους που θα μελετήσουν την κίνηση των πλανητών, όπως ο Isaac Newton.[24] Ενώ ούτε ο Απολλώνιος, αλλά ούτε και κανένας άλλος Έλληνα μαθηματικός έκανε την υπέρβαση στον τομέα της γεωμετρίας, η προσέγγιση των καμπυλών από τον Απολλώνιο τείνει να μοιάζει με την μοντέρνα και μέρος του έργου του θα βοηθήσει στην ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας από τον Descartes περίπου 1800 χρόνια μετά.[25]

Περίπου την ίδια εποχή, Ερατοσθένης ο Κυρηναίος (c. 276-194 BC) επινόησε το Κόσκινο του Ερατοσθένη το οποίο έβρισκε τους πρώτους αριθμούς.[26] Ο 3ος αιώνα π.Χ θεωρείται ως ο '' Χρυσός Αιώνας'' για τους Έλληνες μαθηματικούς,με προόδους στα καθαρά μαθηματικά σε σχέση με την προηγούμενη περίοδο ύφεση .[27] Παρόλα αυτά, στους αιώνες που ακολούθησαν έγιναν σημαντικές πρόοδοι στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, και ιδιαίτερα στην τριγωνομετρία , όπου σε μεγάλο βαθμό απευθυνόταν στις ανάγκες των αστροναυτών.[27] Ο Ίππαρχος της Νίκαιας(c. 190-120 π.Χ) θεωρείται ο θεμελιωτής της τριγωνομετρίας και ιδιαίτερα του πρώτου γνωστού τριγωνομετρικού πίνακα, και σε αυτόν οφείλεται επίσης και η συστηματική χρήση του κύκλου με 360 μοίρες[28]. Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς (c. 10–70 μ.Χ) είναι γνωστός για τον Τύπο του Ήρωνα με τον οποίο βρήκε την περιοχή ενός σκαλινού τριγώνου και ήταν ο πρώτος που αναγνώρισε την πιθανότητα οι αρνητικοί αριθμοί να έχουν τετραγωνική ρίζα.[29] Ο Μενέλαος ο Αλεξανδρεύς (c. 100 μ.Χ) πρωτοστάτησε στην σφαιρική τριγωνομετρία μέσω του θεωρήματος Μενέλαου.[30] Η πιο ολοκληρωμένη και σημαντική τριγωνομετρική συνεισφορά στην αρχαιότητα ήταν η Αλμαγέστη του Κλαύδιου Πτολεμαίου(c. AD 90-168), ορόσημο στην αστρονομική διατριβή εκ των οποίων οι τριγωνομετρικοί πίνακες χρησιμοποιήθηκαν από αστροναύτες για χιλιάδες χρόνια.[31] Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος έχει διατυπώσει επίσης και ένα θεώρημα, το θεώρημα του Πτολεμαίου από όπου απορρέουν τριγωνομετρικές ποσότητες, και η πιο ακριβής τιμή του π έξω από την Κίνα μέχρι την μεσαιωνική περίοδο, 3.1416.[32]

Μετά από τον Κλαύδιο ακολούθησε μια περίοδος στασιμότητας,η περίοδος μεταξύ 250 και 350 μερικές φορές αναφέρεται ως '' Ασημένια Χρόνια'' των Ελλήνων μαθηματικών.[33] Σε αυτή την περίοδο, ο Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς έκανε σημαντικές βελτιώσεις στην άλγεβρα, και συγκεκριμένα την απροσδιόριστη ανάλυση,η οποία είναι επίσης γνωστή ως "Διοφαντική Ανάλυση".[34] Η μελέτη των Διοφαντικών εξισώσεων και της Διοφαντικής προσέγγισης είναι μια σημαντική συνεισφορά στις έρευνες που γίνονται εως και σήμερα. Η βασική του δουλεία ήταν πάνω στην Αριθμητική, μια συλλογή από 150 αλγεβρικά προβλήματα τα οποία σχετίζονται με ακριβής λύσεις για τις απροσδιόριστες εξισώσεις.[35] Η Αριθμητική είχε μια σημαντική επιρροή στους μεταγενέστερους μαθηματικούς,όπως τον Πιέρ Ντε Φερμά , ο οποίος κατέληξε στο φημισμένο του θεώρημα, το Τελευταίο θεώρημα μετά από την προσπάθειά του να γενικεύσει το πρόβλημα που είχε διαβάσει στην Αριθμητική ( αυτό που χωρίζει ένα τετράγωνο σε δύο μικρότερα τετράγωνα).[36] Ο Διόφαντος έκανε επίσης σημαντικές βελτιώσεις στον συμβολισμό, η Αριθμητική ήταν το πρώτο δείγμα από αλγεβρικούς συμβολισμούς και συγκοπές.[35]

Κινεζικά μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ράβδοι αριθμών
Τα εννέα κεφάλαια της Μαθηματικής τέχνης, ένα από τα παλαιότερα διασωθέντα μαθηματικά κείμενα από Κίνα (2ος αιώνας μ.Χ.).

Τα πρώιμα κινεζικά μαθηματικά διαφέρουν τόσο από άλλα μέρη του κόσμου που είναι εύλογο να συμπεράνει κανείς την ανεξάρτητη ανάπτυξή τους.[37] Τα αρχαιότερα σωζόμενα μαθηματικά κέιμενα από την Κίνα είναι το Chou Pei Suan Ching, το οποίο κατά πολλούς χρονολογείται ανάμεσα στο 1200 π.Χ. και στο 100 π.Χ., αν και η χρονολογία κοντά στο 300 π.Χ. μοιάζει να είναι η πιο πιθανή.[38]

Μια ιδιαιτερότητα των Κινεζικών μαθηματικών είναι η χρήση του δεκαδικού συστήματος ταξινόμησης θέσης, οι λεγόμενοι "ράβδοι αριθμών" στους οποίους διαφορετικοί κρυπταλγόριθμοι χρησιμοποιήθηκαν για τους αριθμούς από το ένα ως το δέκα, και επιπρόσθετα άλλοι κρυπταλγόριθμοι για τις δυνάμεις του δέκα.[39] Έτσι, ο αριθμός 123 θα γράφονταν με τη χρήση του συμβόλου "1", ακολουθούμενο από ένα σύμβολο για το "100", μετά ένα σύμβολο για το "2" ακολουθούμενο απο ένα σύμβολο για το "10", και τέλος ένα σύμβολο για τον αριθμό "3" ακολουθούμενο από ένα σύμβολο για τις μονάδες. Αυτό ήταν το πιο προηγμένο σύστημα αρίθμησης-θέσης στον κόσμο μέχρι εκείνη την περίοδο, και μάλιστα αρκετούς αιώνες πριν να διαδοθεί η χρήση του ευρέως, αλλά και πολύ πριν την ανάπτυξη του Ινδικού συστήματος αρίθμησης.[40] Οι ράβδοι αριθμών επιτρέπουν την αναπαράσταση των αριθμών όσο μεγάλοι κι αν είναι αυτοί και επίσης προσφέρονται για την εκτέλεση των υπολογισμών στον κινεζικό άβακα το γνωστό μας αριθμητίρι. Η εποχή που ξεκίνησε η χρήση του Κινέζικου άβακα δεν έχει προσδιοριστεί με ακρίβεια, αλλά οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες αναφέρουν από το 190 μ.Χ., στην Xu Yue's σύμφωνα με το έργο Συμπληρωματικές σημειώσεις για την τέχνη των σχημάτων.

Το παλαιότερο υπαρκτό έργο πάνω στη γεωμετρία βρίσκεται στην Κίνα και προέρχεται από μια φιλοσοφική σχολή Mohist στα λατινικά γνωστοί ως Micius το 330 π.Χ., αποτελούμενη από οπαδούς του Mozi (470–390 π.Χ.). Στο Mo Jing περιγράφονται διάφορες πτυχές που σχετίζονται με πολλούς τομείς της φυσικής επιστήμης, και ακόμα παρέχουν ένα μικρό αριθμό από γεωμετρικά θεωρήματα.[41]

Στο 212 π.Χ., ο αυτοκτάτορας Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) διέταξε όλα τα βιβλία της αυτοκρατορίας Qin να καούν και να επιβληθούν κηρώσεις σε όποιον αντιταχθεί. Αυτή η απόφαση δεν έγινε καθολικά αποδεκτή, αλλά συνέπεια αυτής είναι η μικρή μας γνώση για τα αρχαία κινεζικά μαθηματικά πριν απο αυτή την ημερομηνία. Μετά το κάψιμο των βιβλίων καύση των βιβλίων το 212 π.Χ., η δυναστεία των Χαν (202 π.Χ.–220 μ.Χ.) παρήγαγε μαθηματικό έργο το οποίο πιθανώς επεκτάθηκε σε έργα που έχουν πλέον χαθεί. Το πιο σημαντικό από αυτά είναι τα εννέα κεφάλαια σχετικά με τη μαθηματική τέχνη Τα εννέα κεφάλαια της μαθηματικής τέχνης, ο πλήρης τίτλος του οποίου εμφανίστηκε το 179 μ.Χ., χωρίς όμως να υπάρχει βάσει άλλων προγενέστερων τίτλων. Αποτελείται από 246 λεκτικά προβλήματα που σχετίζονται με τη γεωργία , τις επιχειρήσεις, καθώς και τη χρήση της γεωμετρίας για τον υπολογισμό υψών, ανοιγμάτων και αναλογιών κινεζική Παγόδα στην κατασκευή πύργων,μηχανική, τοπογραφία, και περιλαμβάνει υλικό σχετικά με ορθογώνια τρίγωνα και μια καλή προσέγγιση του αριθμού π.[38] Περιλαμβάνει επίσης μαθηματικές αποδείξεις για το Πυθαγόρειο Θεώρημα, και μαθηματικούς τύπους για την Απαλοιφή Gauss. Ο Liu Hui βασίστηκε στις εργασίες του 3ου μ.Χ. αιώνα, και υπολόγισε το π με ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων.[42] Στην πορεία γύρω στον 5ο αιώνα μ.Χ.,αν και πρόκειται περισσότερο για ένα θέμα καθαρά υπολογιστικής αντοχής και λιγότερο θεωρητικής γνώσης ο Zu Chongzhi προσέγγισε το π με ακρίβεια επτά δεκαδικών ψηφίων, η οποία προσέγγιση παρέμεινε ως η πιο ακριβής για τα επόμενα 1000 χρόνια.[42] Επίσης ίδρυσε μια μέθοδο η οπoία στη συνέχεια θα ονομαζόταν Αρχή του Cavaliery για να βρει τον όγκο της σφαίρας.[43]

Το υψηλό επίπεδο των Κινεζικών μαθηματικών εμφανίζεται τον 13ο αιώνα (το τελευταίο μέρος από τη δυναστεία Sung), με την ανάπτυξη της Κινεζικής Άλγεβρας;. Το σημαντικότερο κείμενο από εκείνη την περίοδο είναι η Υψηλή οπτική των τεσσάρων στοιχείων του Chu Shih-chieh (1280-1303), που διαπραγματεύεται την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων ανώτερης τάξης, χρησιμοποιώντας μια μέθοδο ανάλογη εκείνης της μεθόδου Horner.[42] Η πολύτιμη οπτική περιέχει επίσης ένα διάγραμμα από το Τρίγωνο του Pascal με τους συντελεστές της διωνυμικής επέκτασης μέχρι την όγδοη δύναμη , αν και υπάρχουν και άλλα δύο κινεζικά έργα με αντίστοιχο περιεχόμενο, ήδη από το 1100.[44] Οι Κινέζοι έκαναν επίσης χρήση των συνδιαστικών περίπλοκων κυκλωμάτων-διαγραμμάτων γνωστά ως μαγικά τετράγωνα και μαγικοί κύκλοι, περιγράφοντάς τα κατά τους αρχαίους χρόνους και τελικά τελοιοποιώντας τα από τον Yang Hui (1238–1298 μ.Χ.).[44]

Ακόμα και μετά την άνθιση των μαθηματικών στην Ευρώπη κατά την περίοδο της Αναγέννησης, τα ευρωπαϊκά και τα κινεζικά μαθηματικά ήταν ξεχωριστές παραδόσεις, με σημαντική πρόοδο για τα κινεζικά μαθηματικά να σημειώνεται από τα τέλη του 13ου αιώνα και μετά. Ιησουίτες ιεραπόστολοι όπως ο Ματέο Ρίτσι επιχείρησε έναν συγκερασμό,ένα πάντρεμα δηλαδή μεταξύ των δύο μαθηματικών παραδόσεων από τον 16ο έως το 18ο αιώνα, αν και σε αυτό το σημείο περισσότερες μαθηματικές ιδέες εισέρχονται από τα σύνορα της Κίνας παρά αναχωρούν.[44]

Ινδικά μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Ινδικά μαθηματικά
Tα νούμερα χρησιμοποιήθηκαν στο χειρόγραφο Bakhshali, χρονολογείται ανάμεσα στο 2ο αιώνα π.Χ. και τον 2ο αιώνα μ.Χ.

Τα αρχικά δείγματα πολιτισμού στην ινδική υποήπειρο είναι ο πολιτισμός της κοιλάδας του Ινδού που άνθισε μεταξύ του 2600 και του 1900 π.Χ. στην λεκάνη του Ινδού ποταμού. Οι πόλεις τους ήταν ορισμένες με γεωμετρική κατανομή, αλλά κανένα μαθηματικό έγγραφο δε διασώζεται από αυτόν τον πολιτισμό.[45]

Τα αρχαιότερα σωζόμενα μαθηματικά αρχεία στην Ινδία είναι από το Σούτρα (και χρονολογούνται μεταξύ του 8ου π.Χ. αιώνα και του 2ου αιώνα μ.Χ.),[46] όπου παραρτήματα σε θρησκευτικά κείμενα δίνουν απλούς κανόνες κατασκευής βωμών διαφόρων σχημάτων, όπως τετράγωνα, ορθογώνια, παραλληλόγραμμα και άλλα.[47] Όπως και με την Αίγυπτο, η ενασχόληση με λειτουργικά θέματα στην κατασκευή ναών δείχνει μια προέλευση των μαθηματικών μέσα από θρησκευτικές τελετουργίες.[46] Τα κείμενα Σούτρας δίνουν μεθόδους για τον τετραγωνισμό του κύκλου,δηλαδή την κατασκευή κύκλου περίπου ισοεμβαδικού ως προς δεδομένο τετράγωνο, οι οποίες συνεπάγονται πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις της αξίας του π.[48][49] Επιπλέον υπολογίζουν την τετραγωνική ρίζα με ακρίβεια απο δύο έως και περισσότερων δεκαδικών ψηφίων, λίστες με Πυθαγόρειες τριάδες, και δίνουν μια πρώτη διατύπωση ανάλογη του Πυθαγόρειου θεωρήματος.[50] Όλα αυτά τα αποτελέσματα βρίσκονται στα βαβυλωνιακά μαθηματικά, έχοντας δεχθεί επιρροή από την περιοχή της Μεσοποταμίας.[46] Δεν είναι όμως γνωστό σε πιο βαθμό οι Sulba Sutras επηρέασαν τα μετέπειτα ινδικά μαθηματικά. Όπως και στην Κίνα, έτσι και στα μαθηματικά της Ινδίας υπάρχει έλλειψη συνέχειας: μεγάλες πρόοδοι διαδέχονται από μεγάλες περιόδους αδράνειας.[46]

Panini (5ος αιώνας π.Χ.) διαμόρφωσε κανόνες για τη Σανσκριτική γραμματεία.[51] Ο συμβολισμός τους ήταν παρόμοιος με τη σύγχρονη μαθηματική σημειογραφεία, καθώς επίσης χρησιμοποιούνται , γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, και αναδρομικοί τύποιΠινγκάλα (περίπου 3ος-1ος αιώνας π.Χ.) στην πραγματεία του προσωδεία χρησιμοποιεί μια συσκευή που αντιστοιχεί σε ένα δυαδικό σύστημα αρίθμησης.[52][53] Οι απόψεις του για τη Συνδιαστική και το Μουσικό μέτρο αντιστοιχούν σε μια στοιχειώδη θεώρηση για το διωνυμικό θεώρημα. Το έργο του Πινγκάλα περιλαμβάνει επίσης τις βασικές ιδέες της Ακολουθίας Φιμπονάτσι (που το ονομάζει mātrāmeru ).[54]

Τα επόμενα σημαντικά μαθηματικά έγγραφα μετά τη Sulba Sutras είναι η Siddhantas. Πρόκειται για αστρονομικές πραγματείες από τον 4ο και 5ο αιώνα μ.Χ. (περίοδος Γκούπτα) και παρουσιάζει έντονη ελληνιστική επιρροή.[55] Είναι σημαντικό ότι περιέχουν την πρώτη εμφάνιση των τριγωνομετρικών σχέσεων με βάση τη μισή χορδή, όπως συμβαίνει στη σύγχρονη τριγωνομετρία, αντί για την πλήρη χορδή, όπως στην περίπτωση της Πτολεμαϊκής τριγωνομετρίας.[56] Μέσα από μια σειρά μεταφραστικών λαθών, οι λέξεις "ημίτονο" και "συνημίτονο" όπως τις γνωρίζουμε σήμερα, προέρχονται από την σανσκριτική "jiya" και "kojiya" αντίστοιχα.[56]

Κατά τον 5ο αιώνα μ.Χ., ο Αριαμπάτα έγραψε το Αριαμπατίγια, ένα μικρό σε όγκο και γραμμένο σε στίχους έργο, στο οποίο αναφέρονται κανόνες υπολογισμού που χρησιμοποιούνται στην αστρονομία και τα μαθηματικά, χωρίς όμως καμία χρήση της λογικής και της επαγωγικής μεθόδου.[57] Αν και οι μισές περίπου από τις πράξεις και τους υπολογισμούς είναι λάθος, η αξία του έργου Αριαμπατίγια έγκειτε στο ότι το δεκαδικό σύστημα θέσης και αξίας εμφανίζεται για πρώτη φορά. Αρκετούς αιώνες αργότερα, ο Αμπού Ριχάν Μπιρουνί χαρακτήρισε το Αριμπατίγια σαν ένα "μείγμα από κοινά βότσαλα και πολύτιμα κρύσταλλα".[58]

Τον 7ο αιώνα, οι Ινδοί Βράχμα προσδιόρισαν το γνωστό θεώρημα των Βράχμα,χρησιμοποιώντας μαθηματικές ταυτότητες και μαθηματικούς τύπους, και επίσης για πρώτη φορά στο έργο τους, που σε ελληνική μετάφραση σημαίνει: σωστά δομημένο δόγμα Βράχμα, με καθαρότητα προσδιορίζονται και χρησιμοποιούνται το μηδέν τόσο ως σύμβολο κράτησης θέσης όσο και ως δεκαδικό ψηφίο, και εισάγεται η χρήση του ινδοαραβικού συστήματος αρίθμησης.[59] Από τη μετάφραση του ινδικού κειμένου για τα μαθηματικά προέκυψε ότι οι ισλαμιστές μαθηματικοί εισήγαγαν αυτό το σύστημα αρίθμησης, το οποίο προσαρμόστηκε στους αραβικούς αριθμούς. Ισλαμικοί μελετητές υποστηρίζουν ότι η μετάδοση της γνώσης του αριθμητικού αυτού συστήματος έγινε στην Ευρώπη το 12ο αιώνα, εκτοπίζοντας όλα τα άλλα αριθμητικά συστήματα ανά τον κόσμο . Τον 10ο αιώνα, σχολιαστές του έργου του μαθηματικού Halayudha και του Πιγκάλα διαπίστωσαν στοιχεία ανάλογα με εκείνα της Ακολουθίας Φιμπονάτσι του τριγώνου του Πασκάλ, και του σχηματισμού πινάκων.

Το 12ο αιώνα, ο μαθηματικός Bhaskara ΙΙ[60] ζούσε στη νότια Ινδία και έγραψε εκτενώς για όλους τους μέχρι τότε γνωστούς κλάδους των μαθηματικών. Η εργασία του περιλαμβάνει μαθηματικά αντικείμενα ισοδύναμα, ή περίπου ισοδύναμα με τα απειροστικά, τα παράγωγα, το Θεώρημα μέσης τιμής και τον υπολογισμό της παραγώγου του ημιτόνου. Σε ποιο βαθμό είχει προβλέψει την εφεύρεση του λογισμού είναι ένα αμφιλεγόμενο θέμα μεταξύ των ιστορικών των μαθηματικών.[61]

Το 14ο αιώνα, ο Μαντάβα του Σανγκαμαγκράμα, ιδρυτής της λεγόμενης Σχολής αστρονομίας και μαθηματικών Κεράλα, βρήκε τη σειρά Μαντάβα–Leibniz και χρησιμοποιώντας 21 όρους, υπολόγισε την τιμή του π ως 3.14159265359. Ο Μαντάβα επινόησε επίσης τις Μαντάβα-Γρηγόριες σειρές προκειμένου να υπολογίσει το τόξο της εφαπτομένης, και τις δυναμοσειρές Μαντάβα για να καθορίσει το ημίτονο και το συνημίτονο και την προσέγγιση του Taylor.[62] Τον 16ο αιώνα, o Jyesthadeva ενοποίησε πολλές από τις εξελίξεις και τα θεωρήματα της Κεράλα σχολής στην Yukti-bhāṣā.[63] Ωστόσο, η σχολή της Κεράλα δεν διατύπωσε μια συστηματική θεωρία για την παραγώγιση και την ολοκλήρωση, ούτε υπάρχει οποιαδήποτε άμεση απόδειξη των αποτελεσμάτων τους .[64][65][66] [67] Η πρόοδος στα μαθηματικά μαζί με άλλους τομείς της επιστήμης παραμένει στάσιμη στην Ινδία, με την εγκαθίδρυση της μουσουλμανικής κυριαρχίας στην Ινδία.[68][69]

Ισλαμικά μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η Ισλαμική Αυτοκρατορία εδραιώθει σε ολόκληρη την Περσία, Μέση Ανατολή, Κεντρική Ασία, Βόρεια Αφρική, Ιβηρική Χερσόνησο, και τον 8ο αιώνα σε μέρη της Ινδίας πραγματοποίησε σημαντικές συνεισφορές στο κλάδο των Μαθηματικών. Παρόλα αυτά ένα μεγάλο μέρος των Ισλαμικών μαθηματικών κειμένων είναι γραμμένο στα Αραβικά,όπου τα περισσότερα από αυτά δεν είναι γραμμένα από Άραβες μελετητές σε όλο τον Ισλαμικό κόσμο την εποχή εκείνη,το οποίο μοιάζει πολύ στην ελληνική κατάσταση που επικρατούσε εκείνη την περίοδο στον Ελληνικό Κόσμο. Οι Πέρσες συνέβαλαν στον κόσμο των Μαθηματικών παράλληλα με τους Άραβες.

Τον 9ο αιώνα, ο Πέρσης μαθηματικός Μοχάμεντ Ιμπν Μουσά Αλ Χουαρίζμι έγραψε αρκετά σημαντικά βιβλία για τα Ινδουιστικά-Αραβικά νούμερα και για την μέθοδο επίλυσης εξισώσεων. Το βιβλίο του On the Calculation with Hindu Numerals, γράφτηκε περίπου το 825, παράλληλα με την δουλεία του Αλ-Κίντι, έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στη διάδοση των Ινδικών Μαθηματικών και Ινδικών αριθμών στη Δύση. Η λέξη αλγόριθμος προέρχεται από την λατινική λέξη, Algoritmi, και η λέξη άλγεβρα από τον τίτλο ενός από τα έργα του , Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing). Έδωσε μια ακριβέστατη εξήγηση για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων με θετικές ρίζες,[70] και ήταν ο πρώτος που δίδαξε άλγεβρα με στοιχειώδης μορφή και για τους δικούς του λόγους. .[71] Επίσης,ασχολήθηκε με την θεμελιώδης μέθοδο της "αναγωγής" και "υπόλοιπο", αναφερόμενος στην μεταφορά των αφαιρετέων όρων στην άλλη πλευρά της εξίσωσης , έτσι ώστε, την διαγραφή των όμοιων όρων στις αντίθετες πλευρές της εξισώσεις. Αυτή είναι η λειτουργία την οποία ο al-Khwārizmī περιέγραψε ως al-jabr.[72] Η Άλγεβρα του δεν ασχολείται από δω και πέρα "με σειρές προβλημάτων που χρειάζονται λύση,αλλά μια έκθεση η οποία αρχίζει με βασικούς όρους όπου ο συνδυασμός τους θα πρέπει να δίνει όλες τις πιθανές λύσεις για την εξίσωση,η οποία αποτελεί το ακριβές μοντέλο της μελέτης." Επιπλέον μελετάει μια εξίσωση για δικό του σκοπό και "κατά γενικό τρόπο, σε τέτοιο βαθμό έτσι ώστε να μην προκύπτει απλά κατά την διάρκεια επίλυσης ενός προβλήματος, αλλά καλείται να προσδιορίσει μια άπειρη τάξη προβλημάτων"[73]

Περισσότερες βελτιώσεις στον τομέα της άλγεβρας πραγματοποιήθηκαν από τον Al-Karaji στην διατριβή του al-Fakhri, όπου ανέλυσε την μεθοδολογία του ενσωμάτωσης δυνάμεων ακέραιων αριθμών και ριζών ακέραιων αριθμών σε μια άγνωστη ποσότητα.Γύρω στο 1000 μ.Χ, σε ένα βιβλίο του Al-Karaji υπάρχει περίπου μια απόδειξη με μαθηματική επαγωγή,ο οποίος την χρησιμοποίησε για να αποδείξει το διωνυμικό θεώρημα,το τρίγωνο του Pascal και το άθροισμα των ολοκληρωμάτων των κύβων.[74] Ο ιστορικός των μαθηματικών,F. Woepcke,[75] παίνευσε τον Al-Karaji σχετικά με το γεγονός ότι ήταν ''ο πρώτος που εισήγαγε την θεωρία του αλγεβρικού λογισμού.''Επίσης τον 10ο αιώνα, Abul Wafa μετέφρασε την δουλεία του Διόφαντου στα Αραβικά. Ibn al-Haytham ήταν ο πρώτος μαθηματικός που εξήγαγε τον τύπο του αθροίσματος τέταρτης δύναμης,χρησιμοποιώντας μια μέθοδο οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί γενικά για το άθροισμα οποιασδήποτε ακέραιας δύναμης.Χρησιμοποίησε την μέθοδο της ολοκλήρωσης για να υπολογίσει τον όγκο μιας παραβολής και ήταν ικανός να γενικέψει το αποτέλεσμά του αυτό για την ολοκλήρωση πολυωνύμων μεγαλύτερα από τετάρτου βαθμού. Έφτασε πολύ κοντά στο να ανακαλύψει έναν γενικό τύπο για την ολοκλήρωση πολυωνύμων αλλά δεν ασχολήθηκε με πολυώνυμα μεγαλύτερα του τέταρτου βαθμού.[76]

Στο τέλος του 11ου αιώνα, ο Ομάρ Καγιάμ έγραψε το Συζητήσεις των δυσκολιών στον Ευκλείδη, ένα βιβλίο σχετικά με τα ελαττώματα που αντιλήφθηκε στα Στοιχεία του Ευκλείδη, και ιδιαίτερα στο αξίωμα των παράλληλων ευθειών. Ήταν επίσης ο πρώτος που βρήκε την γενική γεωμετρική λύση στην κυβική εξίσωση. Επίσης άσκησε μεγάλη επιρροή και στην ημερολογιακή μεταρρύθμιση.[εκκρεμεί παραπομπή]

Τον 13ο αιώνα, Nasir al-Din Tusi (Nasireddin)πραγματοποίησε βελτιώσεις στην σφαιρική τριγωνομετρία .Επίσης πρόσθεσε μια σημαντική δουλειά σχετικά με το αξίωμα των παράλληλων ευθειών του Ευκλείδη.Τον 15ο αιώνα, Ghiyath al-Kashi υπολόγισε την τιμή τουπ μέχρι το 16ο δεκαδικό ψηφίο.Ο Kashi επίσης είχε έναν αλγόριθμο ο οποίος υπολόγιζε την ν-οστή ρίζα,ο οποίος ήταν μια ειδική περίπτωση των μεθόδων που ανακάλυψαν αιώνες αργότερα ο Ruffini and Horner.

Άλλα επιτεύγματα των Μουσουλμανικών Μαθηματικών κατά την διάρκεια αυτής της περιόδου είναι η σημειογραφία της υποδιαστολής στους Αραβικούς αριθμούς, η ανακάλυψη σύγχρονων τριγωνομετρικών συναρτήσεων εκτός από τις ημιτονοειδής,η εισαγωγή του al-Kindi's στην κρυπτανάλυση και στις ανάλυση συχνοτήτων, η βελτίωση της αναλυτικής γεωμετρίας από τον Ibn al-Haytham, το ξεκίνημα της αλγεβρικής γεωμετρίας από τον Ομάρ Καγιάμ και η βελτίωση μιας αλγεβρικής σημειογραφίας από τον al-Qalasādī.[77]

Κατά την διάρκεια της Οθωμανικής Αυτοκρατορίας και την δυναστεία των Σαφαβίδων από τον 15ο αιώνα,την ανάπτυξη των Ισλαμικών μαθηματικών διαδέχθηκε η στασιμότητα.

Μεσαιωνικά Ευρωπαϊκά μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το ενδιαφέρον των Μεσαιωνικών Ευρωπαίων στα μαθηματικά οδηγήθηκε από το ενδιαφέρον για κάτι διαφορετικό από τα σύγχρονα μαθηματικά. Ένα καθοριστικό στοιχείο ήταν η πεποίθηση ότι τα μαθηματικά προμηθεύουν το κλειδί για να καταλάβει κανείς την δύναμη της φύσης,αυτό συχνά τεκμηριώνεται από τον Τίμαιο του Πλάτωνα και το βιβλικό απόσπασμα ( στο Book of Wisdom) όπου ο Θεός είχε διατάξει όλα τα πράματα στο πλαίσιο του μέτρου, καθώς και τον αριθμό και το βάρος.[78]

Ο Βοήθιος παρείχε ένα μέρος για τα μαθηματικά στο πρόγραμμα σπουδών τον 6ο αιώνα όταν επινόησε τον όρο quadrivium για να περιγράψει την μελέτη της αριθμητικής, γεωμετρίας,αστρονομίας και μουσικής. Έγραψε το De institutione arithmetica,σε ελεύθερη μετάφραση από την ελληνική γλώσσα από τον Νικόμαχο την Εισαγωγή στην Αριθμητική, De institutione musica, το οποίο επίσης προέρχεται από την ελληνική πηγή, και μια σειρά από αποσπάσματα από τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Η δουλεία του ήταν θεωρητική,παρά πρακτική, και ήταν η βάση των μαθηματικών σπουδών μέχρι την ανάκτηση των Ελληνικών και Αραβικών μαθηματικών ερευνών.[79][80]

Τον 12ο αιώνα, Ευρωπαίοι μελετητές ταξίδεψαν στην Ισπανία και στη Σικελία αναζητώντας επιστημονικά Αραβικά κείμενα, περιλαμβάνοντας το Συνοπτικό Βιβλίο για τον Υπολογισμό με Μεταφορά και Απλοποίηση, του al-Khwārizmī, το οποίο μεταφράστηκε στα λατινικά από τον Ρόμπερτ του Τσέστερ, και ολόκληρο το κείμενο από τα Στοιχεία του Ευκλείδη,το οποίο μεταφράστηκε σε πολλές εκδοχές από τους Αβελάρδο του Μπαθ, Herman of Carinthia, και Γεράρδο της Κρεμόνα.[81][82]

Αυτές οι νέες πηγές πυροδότησαν μια ανανέωση στο κλάδο των μαθηματικών.Ο Φιμπονάτσι,γραπτώς στο Liber Abaci, το 1202 και εκσυχρονίστηκε το 1254, παρήγαγε τα πρώτα σημαντικά μαθηματικά στην Ευρώπη,δεδομένου την εποχή του Ερατοσθένη, ένα κενό πάνω από χιλιάδες χρόνια. Η έρευνα εισήγαγε τους αριθμούς Hindu-Arabic στην Ευρώπη και συζητήθηκαν αρκετά μαθηματικά προβλήματα.

Τον 14ο αιώνα έγινε εμφανής η εξέλιξη των καινούργιων ιδεών στο να διερευνάται ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων.[83] Μια σημαντική συμβολή ήταν η εξέλιξη των μαθηματικών του τοπικού κινήματος.

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119)
  2. J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277—318.
  3. Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 έκδοση). Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2. http://books.google.com/?id=JVhTtVA2zr8C.  Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71–96.
  4. Heath. A Manual of Greek Mathematics. σελ. 5. 
  5. Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."
  6. George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics,Penguin Books, London, 1991, pp.140—148
  7. Georges Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen, Campus, Frankfurt/New York, 1986, pp.428—437
  8. Robert Kaplan, "The Nothing That Is: A Natural History of Zero", Allen Lane/The Penguin Press, London, 1999
  9. A.P. Juschkewitsch, "Geschichte der Mathematik im Mittelalter", Teubner, Leipzig, 1964
  10. «(Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 24)». 
  11. «(Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 25)». 
  12. «Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.». 
  13. «Aaboe, Asger (1998). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House. pp. 30–31.». 
  14. Ecclesiastical History,Bk VI: Κεφ. 15
  15. (Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 120)
  16. (Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" σελ. 130)
  17. (Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" σελ. 126)
  18. (Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 130)
  19. (Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" σελ. 125)
  20. (Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" σελ. 121)
  21. (Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" σελ. 137)
  22. (Boyer 1991, "Apollonius of Perga" σελ. 145)
  23. (Boyer 1991, "Apollonius of Perga" σελ. 146)
  24. (Boyer 1991, "Apollonius of Perga" σελ. 152)
  25. (Boyer 1991, "Apollonius of Perga" σελ. 156)
  26. (Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" σελ. 161)
  27. 27,0 27,1 (Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" σελ. 175)
  28. (Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" σελ. 162)
  29. S.C. Roy. Complex numbers: lattice simulation and zeta function applications, σελ. 1 [1]. Harwood Publishing, 2007, 131 pages. ISBN 1-904275-25-7
  30. (Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" σελ. 163)
  31. (Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" σελ. 164)
  32. (Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" σελ. 168)
  33. (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" σελ. 178)
  34. (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" σελ. 180)
  35. 35,0 35,1 (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" σελ. 181)
  36. (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" σελ. 183)
  37. (Boyer 1991, "China and India" p. 201)
  38. 38,0 38,1 (Boyer 1991, "China and India" p. 196)
  39. Katz 2007, σελίδες 194–199
  40. (Boyer 1991, "China and India" p. 198)
  41. Needham, Joseph (1986). Science and Civilisation in China. 3, Μαθηματικά και επιστήμες του παράδεισου και της γης. Taipei: Caves Books Ltd. 
  42. 42,0 42,1 42,2 (Boyer 1991, "China and India" p. 202)
  43. Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2009). Calculus: Early Transcendentals (3 έκδοση). Jones & Bartlett Learning. σελ. xxvii. ISBN 0-7637-5995-3. http://books.google.com/books?id=R3Hk4Uhb1Z0C. , Extract of page 27
  44. 44,0 44,1 44,2 (Boyer 1991, "China and India" p. 205)
  45. (Boyer 1991, "China and India" p. 206)
  46. 46,0 46,1 46,2 46,3 (Boyer 1991, "China and India" p. 207)
  47. T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 411–2, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, επιμ. (2000). Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer. ISBN 1-4020-0260-2 
  48. R. P. Kulkarni, "The Value of π known to Śulbasūtras", Indian Journal for the History of Science, 13 1 (1978): 32-41
  49. J.J. Connor, E.F. Robertson. The Indian Sulba Sutras Univ. of St. Andrew, Scotland [2] Οι εκτίμήσεις για το π είναι 4 x (13/15)2 (3.0044...), 25/8 (3.125), 900/289 (3.11418685...), 1156/361 (3.202216...), και 339/108 (3.1389).
  50. J.J. Connor, E.F. Robertson. The Indian Sulba Sutras Univ. of St. Andrew, Scotland [3]
  51. Bronkhorst, Johannes (2001). «Panini and Euclid: Reflections on Indian Geometry». Journal of Indian Philosophy, (Springer Netherlands) 29 (1–2): 43–80. doi:10.1023/A:1017506118885 
  52. Sanchez, Julio; Canton, Maria P. (2007). Microcontroller programming : the microchip PIC. Boca Raton, Florida: CRC Press. σελ. 37. ISBN 0-8493-7189-9 
  53. W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
  54. Rachel W. Hall. Math for poets and drummers. Math Horizons 15 (2008) 10-11.
  55. (Boyer 1991, "China and India" p. 208)
  56. 56,0 56,1 (Boyer 1991, "China and India" p. 209)
  57. (Boyer 1991, "China and India" p. 210)
  58. (Boyer 1991, "China and India" p. 211)
  59. Boyer (1991). «The Arabic Hegemony». σελ. 226. 
  60. Plofker 2009 182-207
  61. Plofker 2009 pp 197 - 198; George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, Penguin Books, London, 1991 pp 298 - 300; Takao Hayashi, Indian Mathematics, pp 118 - 130 in Companion History of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, ed. I. Grattan.Guinness, Johns Hopkins University Press, Baltimore and London, 1994, p 126
  62. Plofker 2009 pp 217 - 253
  63. P. P. Divakaran, Το πρώτο βιβλίο λογισμού: Yukti-bhāṣā, Journal of Indian Philosophy 35, 2007, pp 417 - 433.
  64. (Bressoud 2002, σ. 12) Απόσπασμα: "Δεν υπάρχει καμία απόδειξη ότι η γνώση σχετικά με τις σειρές υπήρχε και εκτός της Ινδίας , ή ακόμα και εκτός Κεράλα, μέχρι το 19ο αιώνα.Ο Gold και ο Pingree υποστηρίζουν ότι [4] από τη στιγμή που αυτές οι σειρές ανακαλύφθηκαν στην Ευρώπη, είχαν για όλους πρακτικούς σκοπούς, αλλά χάθηκαν από την Ινδία. Οι επεκτάσεις του ημιτόνου,συνημιτόνου, και του τόξου της εφαπτομένης πέρασαν από γενιά σε γενιά, μένοντας σε άγονες παρατηρήσεις που δεν έφεραν καμία εξέλιξη."
  65. Plofker 2001, σελ. 293 Απόσπασμα: "Δεν είναι ασυνήθιστο να συναντήσετε στις συζητήσεις των ινδικών μαθηματικών ισχυρισμούς όπως ότι “η έννοια του διαφορικού ήταν γνωστή στην [Ινδία] από την εποχή της Manjula (... τον 10ο αιώνα)” [Joseph 1991, 300], ή ότι “μπορούμε να θεωρήσουμε τον Μαντάβα ιδρυτή της μαθηματικής ανάλυσης” (Joseph 1991, 293), ή ότι o Bhaskara II μπορούν να ισχυριστούν ότι ήταν “ο πρόδρομος του Νεύτωνα και του Leibniz στην ανακάλυψη της αρχής του διαφορικού λογισμού” (Bag 1979, 294). ... Τα σημεία ομοιότητας, ιδιαίτερα από τις αρχές του Ευρωπαϊκου λογισμού και την Kεράλα σε εργασίες που αφορούν δυναμοσειρές, έχουν εμπνεύσει προτάσεις για πιθανή μετάδοση των μαθηματικών ιδεών από την ακτή Malabar ή μετά το 15ο αιώνα στον λατινικό ακαδημαϊκό κόσμο (e.g., in (Bag 1979, 285)). ... Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη, ωστόσο, ότι μια τέτοια έμφαση στην ομοιότητα των Σανσκριτικών (or Malayalam) και των μαθηματικών του λατινικού κόσμου αποτελεί ρίσκο διότι μειώνει την ικανότητά μας να κατανοήσουμε τα πρώτα πλήρως. Το να μιλάμε για την ινδική “ανακάλυψη της αρχής του διαφορικού λογισμού” συσκοτίζει κάπως το γεγονός ότι οι ινδικές τεχνικές για την έκφραση και τις αλλαγές στο ημίτονο μέσω του συνημιτόνου και αντίστροφα, όπως τα παραδείγματα που έχουμε δει παραμένουν εντός του ειδικού τριγωνομετρικού πλαισίου. Η ειδοποιός διαφορά ήταν η γενίκευση μέσω αυθαίρετων λειτουργιών-στην πραγματικότητα, η ρητή έννοια της αυθαίρετης λειτουργίας, για να μην αναφερθούμε στο κομμάτι των παραγώγων ή των αλγορίθμων μιας παραγώγου, στην παρούσα στιγμή θα ήταν επουσιώδες"
  66. Pingree 1992, σελ. 562 Απόσπασμα:"Ένα παράδειγμα μπορώ να σας δώσω που σχετίζεται με μια επίδειξη του Μαντχάβα, περίπου το 1400μ.Χ., για την άπειρη δυναμοσειρά των τριγονομετρικών σχέσεων χρησιμοποιώντας γεωμετρικά και αλγεβρικά επιχειρήματα. Όταν αυτό περιγράφηκε για πρώτη φορά στην αγγλική γλώσσα από τον Charles Whish, στη δεκαετία του 1830, ήταν σαν να ανήγγειλε την ανακάλυψη του λογισμού από τους Ινδιάνους. Οισχυρισμός αυτός και τα επιτεύματα του Mādhava αγνοήθηκαν από τους δυτικούς ιστορικούς στην αρχή, κατά πάσα πιθανότητα επειδή δεν μπορούσαν να δεχθούν ότι ένας Ινδός ανακάλυψε το λογισμό, αλλά αργότερα διότι κανείς δεν διάβαζε την εφημερίδα Transactions of the Royal Asiatic Society, όπου ο Whish είχε δημοσιεύσει το άρθρο. Το θέμα επανήλθε το 1950, και τώρα έχουμε τα σανσκριτικά κείμενα κατάλληλα επεξεργασμένα, και κατανοήσαμε τον έξυπνο τρόπο με τον οποίο ο Mādhava οδηγήθηκε στις σειρές χωρίς το λογισμό; αλλά πολλοί ιστορικοί εξακολουθούν να θεωρούν ότι είναι αδύνατο να συλλάβει το πρόβλημα και στη λύση του τους όρους, για το λόγο αυτό διακηρύσσουν ότι λογισμός είναι ότι ανακαλύφθηκε από τον Mādhava. Στην περίπτωση αυτή,η κομψότητα και η λάμψη των μαθηματικών του Mādhava παραμορφώνεται καθώς είναι θαμμένη κάτω από την τρέχουσα μαθηματική λύση σε ένα πρόβλημα για το οποίο ανακάλυψε μια εναλλακτική και ισχυρή λύση ."
  67. Katz 1995, σελίδες 173–174 Απόσπασμα:"Πόσο κοντά ήρθαν στην ανακάλυψη του λογισμού οι Ισλαμιμιστές και Ινδοί μελετητές; Ισλαμιστές μελετητές ανέπτυξαν σχεδόν έναν γενικό τύπο για την εύρεση πολυωνυμικών ολοκληρωμάτων από το 1000μ.Χ.—και προφανώς μπορούσαν να βρουν έναν τέτοιο τύπο για κάθε πολυώνυμο που τους ενδιέφερε. Όπως όμως φαίνεται δεν ενδιαφερόντουσαν για πολυώνυμα βαθμού μεγαλύτερου του τέσσερα, τουλάχιστον σύμφωνα με το υλικό που βρίσκεται στα χέρια μας. Ινδοί μελετητές ήταν από το 1600 σε θέση να χρησιμοποιήσουν τύπους για τον υπολογισμό της δυναμοσειράς. Δεν υπάρχει κανένας κίνδυνος, ως εκ τούτου να ξαναγράψουμε τα ιστορικά κείμενα και να αφαιρέσουμε τη δήλωση ότι ο Νεύτωνας και ο Leibniz εφεύραν πρώτοι το λογισμό.Ηταν σίγουρα αυτοί που συνδίασαν πολλές διαφορετικές ιδέες στο πλαίσιο του ολοκληρώματος και της παραγώγου, μετατρέποντας το λογισμό σε μεγάλο εργαλείο επίλυσης προβλημάτων όπως το γνωρίζουμε σήμερα".
  68. Dutta, Sristidhar; Tripathy, Byomakesh (2006). Martial traditions of North East India. Concept Publishing Company. σελ. 173. ISBN 978-81-8069-335-9. http://books.google.com/books?id=s_ttiCMvGH4C&pg=PA173. 
  69. Wickramasinghe, Nalin Chandra; Ikeda, Daisaku (1998). isbn = 978-1-85172-061-3 Space and eternal life. Journeyman Press. σελ. 79. http://books.google.com/books? isbn = 978-1-85172-061-3. 
  70. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230) "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwārizmī's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions."
  71. Gandz and Saloman (1936), The sources of Khwarizmi's algebra, Osiris i, σελ. 263–77: "Κατά μια έννοια, Khwarizmi είναι πιο ακριβές να καλείται ως "ο πατέρας της άλγεβρας" σε αντίθεση με τον Διόφαντο διότι ο Khwarizmi είναι ο πρώτος που δίδαξε άλγεβρα με έναν στοιχειώδη τρόπο και για τους δικούς του σκοπούς, Διόφαντος ασχολήθηκε κυρίως με την θεωρία των αριθμών".
  72. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229) "Δεν είναι ακόμα σαφές το νόημα των όρων al-jabr και muqabalah, αλλά η συνηθισμένη ερμηνεία τους ταιριάζει με αυτήν που αναφέρεται στην παραπάνω μετάφραση. Η λέξη al-jabr πιθανώς να σημαίνει "επιστροφή" or "συμπλήρωση/ολοκλήρωση" και αναφέρεται στην μεταφορά των αφαιρετέων όρων στην άλλη πλευρά της εξίσωσης; η λέξη muqabalah λέγεται ότι αναφέρεται στην "αναγωγή" ή "ισολογισμός" - έτσι ώστε να σχετίζεται με την απαλοιφή όμοιων όρων στις αντίθετες πλευρές της εξίσωσης."
  73. Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994). The Development of Arabic Mathematics. Springer. σελ. 11–12. ISBN 0-7923-2565-6. OCLC 29181926. 
  74. Victor J. Katz (1998). History of Mathematics: An Introduction, pp. 255–59. Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1.
  75. F. Woepcke (1853). Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi. Paris.
  76. Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163–74.
  77. Πρότυπο:MacTutor Biography
  78. Wisdom, 11:21
  79. Caldwell, John (1981) "The De Institutione Arithmetica and the De Institutione Musica", σελ. 135–54 in Margaret Gibson, ed., Boethius: His Life, Thought, and Influence, (Οξφόρδη: Basil Blackwell).
  80. Folkerts, Menso, "Boethius" Geometrie II, (Wiesbaden: Franz Steiner Verlag, 1970).
  81. Marie-Thérèse d'Alverny, "Translations and Translators", σελ. 421–62 in Robert L. Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard University Press, 1982).
  82. Guy Beaujouan, "The Transformation of the Quadrivium", σελ. 463–87 in Robert L. Benson και Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard University Press, 1982).
  83. Grant, Edward και John E. Murdoch (1987), eds., Mathematics and Its Applications to Science and Natural Philosophy in the Middle Ages, (Cambridge: Cambridge University Press) ISBN 0-521-32260-X.

Εξωτερικά άρθρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0,
  • Grattan-Guinness, Ivor (2003). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. The Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-7397-5. 
  • Bell, E. T. (1937). Men of Mathematics. Simon and Schuster. 
  • Burton, David M. The History of Mathematics: An Introduction. McGraw Hill: 1997.
  • Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction, 2nd Edition. Addison-Wesley: 1998.
  • Scimone, Aldo (2006). Talete, chi era costui? Vita e opere dei matematici incontrati a scuola. Palermo: Palumbo Pp. 228.
Βιβλία συγκεκριμένων χρονικών περιόδων
  • Gillings, Richard J. (1972). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Cambridge, MA: MIT Press. 
  • Heath, Sir Thomas (1981). A History of Greek Mathematics. Dover. ISBN 0-486-24073-8. 
  • Katz, Victor J., επιμ. (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton, NJ: Princeton University Press, 685 pages, pp 385-514. ISBN 0-691-11485-4 .
  • Maier, Annaliese (1982), At the Threshold of Exact Science: Selected Writings of Annaliese Maier on Late Medieval Natural Philosophy, edited by Steven Sargent, Philadelphia: University of Pennsylvania Press.
  • Plofker, Kim (2009). Mathematics in India: 500 BCE–1800 CE. Princeton, NJ: Princeton University Press. Pp. 384.. ISBN 0-691-12067-6 .
  • van der Waerden, B. L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, 1983, ISBN 0-387-12159-5.
Βιβλία πάνω σε συγκεκριμένες ενότητες
Ντοκιμαντέρ
Συνδέσεις διαδικτυακές
Εφημερίδες
Κατάλογοι