Ιστορία των μαθηματικών

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Μία απόδειξη από τα Στοιχεία του Ευκλείδη, που θεωρείται ένα από τα βιβλία με την μεγαλύτερη επιρροή όλων των εποχών.[1]

Το πεδίο σπουδών γνωστό ως η Ιστορία των Μαθηματικών είναι κατ' εξοχήν μια έρευνα στην προέλευση των μαθηματικών και σε μικρότερο βαθμό μια έρευνα στις μαθηματικές μεθόδους του παρελθόντος.

Πριν την σύγχρονη εποχή και την παγκόσμια ανάπτυξη της γνώσης, γραπτά παραδείγματα νέων μαθηματικών εξελίξεων έχουν έρθει στο φως σε μικρό χρονικό διάστημα. Τα πιο παλιά διαθέσιμα μαθηματικά κείμενα είναι τα Plimpton 322 (Μαθηματικά των Βαβυλωνίων 1900 π.Χ)[2], Rhind Mathematical Papyrus (Μαθηματικά των Αιγυπτίων 2000-1800 π.Χ)[3], Μαθηματικός Πάπυρος της Μόσχας (Μαθηματικά των Αιγυπτίων 1890 π.Χ). Όλα αυτά τα κείμενα απασχολούν το γνωστό Πυθαγόρειο θεώρημα, η οποία φαίνεται να είναι η πιο αρχαία και πολυδιαδεδομένη ανακάλυψη μετά την αριθμητική και την γεωμετρία.

Η μελέτη των μαθηματικών σαν θέμα από μόνο του ξεκινάει τον 6ο αιώνα π.Χ με τους Πυθαγόρειους που επινόησαν τον όρο Μαθηματικά από την αρχαία ελληνική λέξη μάθημα, το οποίο ερμηνεύεται ως θέμα οδηγιών.[4] Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί βελτίωσαν κατά μεγάλο βαθμό τις μεθόδους (ειδικά μέσα από την εισαγωγή τους παραγωγικού συλλογισμού, του Μαθηματικού σθένους και τις αποδείξεις) και επέκτειναν την ύλη των μαθηματικών.[5] Οι Κινέζοι μαθηματικοί έκαναν πρώιμες συνεισφορές, συμπεριλαμβάνοντας ένα σύστημα αξιών.[6][7] Το Ινδο-Αραβικό αριθμητικό σύστημα και οι κανόνες για την χρήση των λειτουργιών του, το οποίο χρησιμοποιείται σε ολόκληρο τον κόσμο σήμερα, πιθανότατα εξελίχθηκε κατά την πορεία της πρώτης χιλιετίας μ.Χ στην Ινδία και μεταδόθηκε στη Δύση μέσω των Ισλαμιστών μαθηματικών.[8] Οι Ισλαμιστές μαθηματικοί, με την σειρά τους ανέπτυξαν και επέκτειναν τα μαθηματικά, που έγιναν γνωστά σε αυτούς τους πολιτισμούς.[9] Πολλά γνωστά Ελληνικά και Αραβικά κείμενα στα μαθηματικά μεταφράστηκαν στα Λατινικά, το οποίο οδήγησε σε περαιτέρω εξέλιξη των μαθηματικών στην Μεσαιωνική Ευρώπη.

Από την αρχαία εποχή διαμέσου του Μεσαίωνα, ξεσπάσματα μαθηματικής δημιουργικότητας πολλές φορές ακολουθούνταν από αιώνες στασιμότητας. Στις αρχές της Ιταλίας της Αναγέννησης του 16ου αιώνα, οι νέες μαθηματικές εξελίξεις που αλληλεπίδρασαν με νέες επιστημονικές ανακαλύψεις, πραγματοποιήθηκαν με αυξανόμενο ρυθμό, που συνεχίζεται μέχρι και σήμερα.

Προϊστορικά Μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η προέλευση της μαθηματικής σκέψης βασίζεται στις έννοιες του αριθμού, του μεγέθους και του σχήματος. Σύγχρονες μελέτες της γνωσικής λειτουργείας των ζώων, έχουν δείξει ότι οι έννοιες αυτές δεν αφορούν μόνο το ανθρώπινο ον. Τέτοιες έννοιες θα ήταν μέρος της καθημερινής ζωής και σε προϊστορικές κοινωνίες κυνηγών-τροφοσυλλεκτών. Η ιδέα του "αριθμού" σαν έννοια, που εξελίσσεται σταδιακά με την πάροδο του χρόνου, υποστηρίζεται από την ύπαρξη άλλων γλωσσών, οι οποίες διατηρούν τη διάκριση μεταξύ των εννοιών "ένα", "δύο" και "πολλά", αλλά όχι αριθμών μεγαλύτερων του δύο.

Το αρχαιότερο γνωστό, ενδεχομένως μαθηματικό, αντικείμενο είναι τα οστά Lebombo, που βρέθηκαν στην οροσειρά Lebombo της Σουαζιλάνδης και χρονολογούνται γύρω στο 35000 π.Χ.. Αποτελείται από 29 εμφανείς εγκοπές πάνω σε περόνη μπαμπουίνου. Άλλα προϊστορικά αντικείμενα, που ανακαλύφθηκαν στην Αφρική και τη Γαλλία, τα οποία χρονολογούνται μεταξύ 35000-20000 π.Χ., υποδηλώνουν τις πρώτες απόπειρες να προσδιοριστεί ποσοτικά ο χρόνος.

Το οστό Ishango, το οποίο βρέθηκε στις πηγές του ποταμού Νείλου (στο βορειοανατολικό Κονγκό), χρονολογείται έως και 20000 ετών και αποτελείται από ένα πλήθος ψηλών γραμμάτων σκαλισμένα σε τρεις στήλες, που διατρέχουν το μήκος του οστού. Συνήθεις ερμηνείες είναι ότι το οστό Ishango δείχνει είτε την αρχαιότερη γνωστή επίδειξη των ακολουθιών των πρώτων αριθμών, είτε ένα εξαμηνιαίο σεληνιακό ημερολόγιο. Στο βιβλίο How Mathematics Happened: The First 50,000 Years, ο Peter Rudman υποστηρίζει ότι η ανάπτυξη της έννοιας των πρώτων αριθμών θα μπορούσε μόνο να έχει έρθει σχετικά μετά την έννοια της διαίρεσης, πράγμα το οποίο χρονολογείται μετά το 10000 π.Χ., με τους πρώτους αριθμούς πιθανότατα να μην έχουν γίνει κατανοητοί μέχρι περίπου το 500 π.Χ.. Γράφει επίσης ότι: "δεν έχει γίνει καμία προσπάθεια να εξηγηθεί γιατί μία αντιστοιχία από κάτι που πρέπει να εμφανίζει πολλαπλάσια του 2, πρώτους αριθμούς από το 10 έως το 20, και κάποιους αριθμούς που σχεδόν είναι πολλαπλάσια του 10". Το οστό Ishango σύμφωνα με τον μελετητή Alexander Marshack, ίσως να έχει επηρεάσει τη μετέπειτα ανάπτυξη των μαθηματικών στην Αίγυπτο, γιατί όπως και σε κάποια στοιχεία του οστού Ishango, και η Αιγυπτιακή αριθμητική έκανε χρήση του πολλαπλασιασμού με το 2· αυτό, παρόλαυτά, αμφισβητείται.

Οι Αιγύπτιοι της Προδυναστικής περιόδου της Αιγύπτου της 5ης χιλιετίας π.Χ. εκπροσωπούνται εικονογραφικά, από γεωμετρικά σχέδια. Έχει διατυπωθεί η άποψη, ότι μεγαλιθικά μνημεία στην Αγγλία και τη Σκωτία, που χρονολογούνται από την 3η χιλιετία π.Χ., ενσωματώνουν γεωμετρικές ιδέες, όπως κύκλους, ελλείψεις, και πυθαγόρειες τριάδες στο σχεδιασμό τους.

Ωστόσο όλα τα παραπάνω αμφισβητούνται, και την τρέχουσα στιγμή, η παλαιότερη αδιαμφισβήτητη χρήση των Μαθηματικών, είναι σε Βαβυλωνιακές και της δυναστικής περιόδου Αιγυπτιακές πηγές. Συνεπώς, το ανθρώπινο όν χρειάστηκε τουλάχιστον 45000 χρόνια από την επίτευξη της συμπεριφορικής και γλωσσικής εξέλιξης, για να αναπτύξει τα μαθηματικά ως έχουν.

Αιγυπτιακά μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εικόνα από το πρόβλημα 14 του Πάπυρου της Μόσχας. Το πρόβλημα περιλαμβάνει ένα διάγραμμα που δείχνει τις διαστάσεις της κόλουρου πυραμίδας.

Ο όρος Αιγυπτιακά μαθηματικά αναφέρεται στα μαθηματικά που γράφτηκαν στην Αιγυπτιακή γλώσσα. Από την ελληνιστική περίοδο, τα Ελληνικά αντικατέστησαν τα Αιγυπτιακά ως γλώσσα που χρησιμοποιούσαν οι Αιγύπτιοι επιστήμονες. Η μαθηματική μελέτη στην Αίγυπτο συνεχίστηκε αργότερα στο πλαίσιο της Αραβικής Αυτοκρατορίας, ως μέρος των ισλαμικών μαθηματικών, όταν τα Αραβικά έγιναν η γραπτή γλώσσα των αιγυπτιακών μελετητών.

Το εκτενέστερο Αιγυπτιακό μαθηματικό κείμενο είναι ο Πάπυρος του Ράιντ (μερικές φορές ονομάζεται επίσης και Πάπυρος του Αχμές, που ήταν ο συγγραφέας του), που χρονολογείται στο 1650 π.Χ., αλλά είναι πιθανότατα αντίγραφο ενός παλαιότερου εγγράφου από τη περίοδο του Μέσου Βασιλείου περίπου το 2000-1800 π.Χ.. Πρόκειται για ένα εγχειρίδιο οδηγιών για μαθητές στην αριθμητική και τη γεωμετρία. Εκτός από την παροχή τύπων εμβαδών και μεθόδων για πολλαπλασιασμό, διαίρεση και εργασία με κλάσματα της μονάδας, περιέχει επίσης στοιχεία άλλων μαθηματικών γνώσεων, συμπεριλαμβανομένων των σύνθετων και πρώτων αριθμών· αριθμητικές, γεωμετρικές και αρμονικές έννοιες· και απλοϊκές κατανοήσεις τόσο του Κόσκινου του Ερατοσθένη όσο και τέλειας θεωρίας αριθμών (συγκεκριμένα του αριθμού 6). Επίσης, δείχνει πώς να λύσει κάποιος πρώτης τάξης γραμμικές εξισώσεις, καθώς και αριθμητικές και γεωμετρικές σειρές.

Άλλο ένα σημαντικό Αιγυπτιακό μαθηματικό κείμενο είναι ο Πάπυρος της Μόσχας, επίσης από τη περίοδο του Μέσου Βασίλειου, και χρονολογείται το περίπου το 1890 π.Χ.. Αποτελείται από αυτά που σήμερα αποκαλούμε προβλήματα, τα οποία προφανώς προορίζονταν για ψυχαγωγία. Ένα πρόβλημα θεωρείται ότι είναι ιδιαίτερης σημασίας, επειδή δίνει μία μέθοδο για την εύρεση του όγκου κόλουρου. "Σας λένε ότι μια κόλουρη πυραμίδα έχει ύψος 6, μήκος 4 στη βάση και 2 στην κορυφή. Υψώνετε το 4 στο τετράγωνο, αποτέλεσμα 16. Διπλασιάζετε το 4 αποτέλεσμα 8. Υψώνετε στο τετράγωνο αυτό το 2, αποτέλεσμα 4. Προσθέτετε το 16 και το 8 και το 4, αποτέλεσμα 28. Παίρνετε το 1/3 του 6, αποτέλεσμα 2. Παίρνετε το 28 2 φορές, αποτέλεσμα 56. Βλέπετε, είναι 56. Θα βρείτε ότι είναι σωστό".

Τέλος, ο Πάπυρος του Βερολίνου (περ. 1300 π.Χ.) δείχνει πως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι θα μπορούσαν να λύσουν μία δεύτερης τάξης αλγεβρική εξίσωση.

Ελληνικά Μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Οι Πυθαγόρειοι ευθύνονται για την πρώτη απόδειξη του θεωρήματος.

Τα Ελληνικά Μαθηματικά παραπέμπουν στα μαθηματικά που είναι γραμμένα στην Ελληνική γλώσσα από την εποχή του Θαλή του Μιλήσιου (~ 600 π.Χ.)μέχρι το κλείσιμο της Ακαδημίας των Αθηνών, το 529 μ.Χ.. Οι Έλληνες μαθηματικοί ζούσαν σε πόλεις που εξαπλώθηκαν σε όλη την Ανατολική Μεσόγειο, από την Ιταλία έως τη Βόρεια Αφρική, αλλά παρέμεναν ενωμένοι γλωσσικά και πολιτισμικά.Τα ελληνικά μαθηματικά μετά την εποχή του Μεγάλου Αλεξάνδρου, συχνά ονομάζονται και Ελληνιστικά Μαθηματικά.

Τα ελληνικά μαθηματικά ήταν πολύ πιο περίπλοκα από τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν σε προγενέστερους πολιτισμούς. Όλα τα σωζόμενα αρχεία των προ-ελληνικών μαθηματικών, μας δείχνουν τη χρήση της επαγωγικής λογικής, δηλαδή, τις επαναλαμβανόμενες παρατηρήσεις που χρησιμοποιήθηκαν για τον καθορισμό των κανόνων του αντίχειρα. Οι Έλληνες Μαθηματικοί, αντίθετα, έκαναν χρήση του επαγωγικού συλλογισμού. Οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν τη λογική για να εξάγουν συμπεράσματα από τους ορισμούς και τα αξιώματα και χρησιμοποιώντας μαθηματική ακρίβεια, να τα αποδείξουν. Τα ελληνικά μαθηματικά, θεωρείται ότι έχουν ξεκινήσει με το Θαλή το Μιλήσιο (περ. 624-546 π.Χ.) και τον Πυθαγόρα τον Σάμιο (περ. 583-507 π.Χ.).Αν και το εύρος της επιρροής αμφισβητείται, πιθανότατα εμπνεύστηκαν από τα αιγυπτιακά και τα βαβυλωνιακά μαθηματικά. Σύμφωνα με το μύθο, ο Πυθαγόρας ταξίδεψε στην Αίγυπτο για να μάθει μαθηματικά, γεωμετρία και αστρονομία από τους Αιγύπτιους ιερείς.

Ένα από τα παλαιότερα σωζόμενα θραύσματα των "Στοιχείων του Ευκλείδη", το οποίο βρέθηκε στον Οξύρυνχο και χρονολογείται γύρω στο 100 μ.Χ.. Το διάγραμμα συνοδεύει την Πρόταση 5, από το 2ο Βιβλίο

Ο Θαλής χρησιμοποιούσε γεωμετρία για την επίλυση προβλημάτων όπως ο υπολογισμός του ύψους των πυραμίδων και την απόσταση των πλοίων από την ακτή. Σε αυτόν αποδίδεται η πρώτη χρήση παραγωγικού συλλογισμού που εφαρμόζεται στη γεωμετρία, το οποίο απορρέει από τα τέσσερα θεωρήματα που υποστηρίζεται ότι απέδειξε ο ίδιος. Ως αποτέλεσμα, έχει αναγνωριστεί ως ο πρώτος αληθινός μαθηματικός αλλά και ο πρώτος γνωστός άνθρωπος στον οποίο έχει αποδοθεί μια μαθηματική ανακάλυψη. Ο Πυθαγόρας ίδρυσε την Πυθαγόρεια Σχολή, η οποία υποστήριζε ότι τα μαθηματικά κυβερνούν το σύμπαν και σύνθημα της ήταν "Το παν είναι αριθμός". Ήταν οι Πυθαγόρειοι που επινόησαν τον όρο ¨μαθηματικά" και εκείνοι που ξεκίνησαν, για δικούς του λόγους, τη μελέτη των μαθηματικών. Στους Πυθαγόρειους αποδίδεται η πρώτη απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος, αν και η δήλωση του θεωρήματος έχει μια μεγάλη ιστορία, όπως και η απόδειξη της ύπαρξης των άρρητων αριθμών.

Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε την Μέθοδο της εξάντλησης για την προσέγγιση της τιμής του π.

Ο Πλάτων (428/427 π.Χ. - 348/347 π.Χ.) παίζει σημαντικό ρόλο στην ιστορία των μαθηματικών κυρίως γιατί ενέπνεε και διεύθυνε τους υπόλοιπους. Η Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα, έγινε το μαθηματικό κέντρο του κόσμου τον 4ο αιώνα π.Χ. και ήταν η Ακαδημία απ'την οποία προήλθαν κορυφαίοι μαθηματικοί της εποχής όπως ο Εύδοξος από την Κνίδο. Ο Πλάτωνας ασχολήθηκε επίσης και με τα θεμέλια των μαθηματικών, διευκρίνισε κάποιους ορισμούς και αναδιοργάνωσε τις υποθέσεις. Η αναλυτική μέθοδος αποδίδεται στον Πλάτωνα ενώ και μια φόρμουλα εύρεσης πυθαγορείων τριάδων φέρει το όνομα του.

Ο Εύδοξος (408-περ.355 π.Χ.) ανέπτυξε τη μέθοδο της εξάντλησης, έναν πρόδρομο για τη σύγχρονη ολοκλήρωση και μια θεωρία που αφορούσε λόγους, αποφεύγοντας έτσι το πρόβλημα των ασύμμετρων μεγεθών. Η πρώτη επέτρεψε τους υπολογισμούς των επιφανειών και των όγκων των καμπυλών, ενώ η τελευταία επέτρεψε στους επόμενους γεωμέτρες να κάνουν σημαντικές προόδους στη γεωμετρία. Αν και ο ίδιος δεν έκανε ειδικές τεχνικές μαθηματικές ανακαλύψεις, ο Αριστοτέλης (384-περ.322 π.Χ.) συνέβαλε σημαντικά στην ανάπτυξη των μαθηματικών, θέτοντας τις βάσεις της λογικής.

Τον 3ο αιώνα π.Χ., το κορυφαίο κέντρο της μαθηματικής εκπαίδευσης και της έρευνας ήταν το Μουσείο της Αλεξάνδρειας. Εκεί δίδαξε ο Ευκλείδης και έγραψε τα Στοιχεία (περ. 300 π.Χ.), τα οποία θεωρούνται ευρέως ως τα πιο επιτυχημένα και με την μεγαλύτερη επιρροή, βιβλία όλων των εποχών. Τα Στοιχεία,τα οποία εισήγαγαν τη μαθηματική ακρίβεια μέσω της αξιωματικής μεθόδου, είναι το αρχαιότερο παράδειγμα που χρησιμοποίησε τη μορφή, ορισμός, αξίωμα, θεώρημα και απόδειξη, που χρησιμοποιείται μέχρι και σήμερα. Αν και τα περισσότερα από τα περιεχόμενα των Στοιχείων ήταν γνωστά, ο Ευκλείδης τα τοποθέτησε σ'ένα ενιαίο, συνεκτικό και λογικό πλαίσιο. Τα Στοιχεία ήταν γνωστά σε όλους τους μορφωμένους ανθρώπους της Δύσης μέχρι και τα μέσα του 20ου αιώνα και το περιεχόμενο τους εξακολουθεί να διδάσκεται σε τάξεις γεωμετρίας μέχρι και σήμερα. Εκτός από τα γνωστά θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, τα Στοιχεία γράφτηκαν και ως ένα εισαγωγικό εγχειρίδιο που κάλυπτε όλα τα στοιχειώδη μαθηματικά της εποχής, όπως η θεωρία αριθμών, η άλγεβρα και η στερεά γεωμετρία, ενώ περιείχε και τις αποδείξεις ότι η ρίζα του 2 είναι άρρητος αριθμός και ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Ο Ευκλείδης έγραψε και για άλλα θέματα όπως για κωνικές τομές, οπτική, μηχανική και σφαιρική γεωμετρία, αλλά μόνο τα μισά από αυτά έχουν σωθεί.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119)
  2. J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277—318.
  3. Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 έκδοση). Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2. http://books.google.com/?id=JVhTtVA2zr8C.  Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71–96.
  4. Heath. A Manual of Greek Mathematics. σελ. 5. 
  5. Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."
  6. George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics,Penguin Books, London, 1991, pp.140—148
  7. Georges Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen, Campus, Frankfurt/New York, 1986, pp.428—437
  8. Robert Kaplan, "The Nothing That Is: A Natural History of Zero", Allen Lane/The Penguin Press, London, 1999
  9. A.P. Juschkewitsch, "Geschichte der Mathematik im Mittelalter", Teubner, Leipzig, 1964