Σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Σύστημα γραμμικών εξισώσεων ή ανισώσεων ή αλλιώς γραμμικό σύστημα είναι ένα σύνολο από γραμμικές εξισώσεις ή ανισώσεις με τους ίδιους αγνώστους, τους οποίους προσπαθούμε να προσδιορίσουμε ώστε να επαληθεύουν όλες τις εξισώσεις ή ανισώσεις του συνόλου.

Η πιο απλή μη τετριμμένη περίπτωση γραμμικού συστήματος είναι όταν έχουμε δύο άγνωστες μεταβλητές:

ax + by = c
a'x + b'y = c'

Για παράδειγμα, ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων δύο άγνωστων μεταβλητών είναι το

3x + 5y = 2
2x - 7y = 9

ενώ αντίστοιχο σύστημα γραμμικών ανισώσεων είναι το

3x + 5y \leq 2
2x - 7y > 9

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων δύο μεταβλητών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων μπορεί να είναι αδύνατο (καμιά λύση), να έχει μοναδική λύση ή να είναι αόριστο (άπειρες λύσεις). Υπάρχουν τρεις απλοί τρόποι αντιμετώπισης ενός τέτοιου γραμμικού συστήματος.

Γραφική μέθοδος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι δύο εξισώσεις του συστήματος ως γνωστόν παριστάνουν ευθείες. Ζωγραφίζουμε τις ευθείες αυτές στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Υπάρχουν τρεις δυνατές περιπτώσεις:

(α) Αν οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση, τη δυάδα που δίνεται από τις συντεταγμένες του σημείου τομής. Οι ευθείες τέμνονται όταν

\frac{a}{b}\not=\frac{a'}{b'}

(β) Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε το σύστημα είναι αδύνατο. Οι ευθείες είναι παράλληλες όταν έχουν την ίδια κλίση, δηλαδή όταν:

\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'} και \frac{c}{b}\not=\frac{c'}{b'}

(γ) Αν οι ευθείες ταυτίζονται, τότε το σύστημα είναι αόριστο, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Οι ευθείες ταυτίζονται όταν μπορούμε να κάνουμε πράξεις και να καταλήξουμε σε ισοδύναμο σύστημα που θα έχει

\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'} και \frac{c}{b}=\frac{c'}{b'}

Μέθοδος αντικατάστασης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Επιλέγουμε την πιο "απλή" οπτικά εξίσωση (δηλαδή με τους μικρότερους συντελεστές αγνώστων) και απομονώνουμε τον έναν από τους δύο αγνώστους στο ένα μέλος:

x = \frac{c}{a}-\frac{b}{a}y

Αυτό που βρίσκουμε το βάζουμε στην άλλη εξίσωση αντί του αγνώστου και προκύπτει μία πρωτοβάθμια εξίσωση, με έναν άγνωστο μόνο, τον y, ο οποίος υπολογίζεται με απλές αλγεβρικές πράξεις, και βρίσκεται να ισούται με

y=\frac{ac'-a'c}{ab'-a'b}

Τα a, b, c, a', b, c, είναι όλα γνωστοί σταθεροί αριθμοί, δηλαδή το y θα είναι και αυτό πλέον αριθμός. Βάζοντας την τιμή του y στην πρώτη εξίσωση, υπολογίζουμε τέλος και το x:

x=\frac{b'c-bc'}{ab'-a'b}

Για να έχουν νόημα οι παραπάνω υπολογισμοί, πρέπει οι παρονομαστές που προέκυψαν στο τέλος να μην είναι μηδέν. Διακρίνουμε λοιπόν τις παρακάτω τρεις περιπτώσεις:

(α) Αν ab'\not= a'b, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση:

x=\frac{b'c-bc'}{ab'-a'b} και y=\frac{ac'-a'c}{ab'-a'b}

(β) Αν ab'= a'b και είτε cb'\not= c'b είτε ac'\not= a'c, τότε το σύστημα είναι αδύνατο. Επίσης, όταν όλοι οι συντελεστές είναι μηδέν και τουλάχιστον ένας από τους σταθερούς όρους δεν είναι μηδέν, το σύστημα είναι πάλι αδύνατο.

(γ) An ab'= a'b, cb'= c'b και ac'= a'c, τότε το σύστημα είναι αόριστο.

Μέθοδος αντίθετων συντελεστών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Με τη μέθοδο αυτή επιδιώκουμε να εμφανίσουμε στις δύο εξισώσεις αντίθετους συντελεστές για έναν από τους αγνώστους, έτσι ώστε να τον απαλείψουμε κατόπιν με πρόσθεση κατά μέλη.

Συγκεκριμένα, το αρχικό σύστημα

ax + by = c
a'x + b'y = c'

δίνει, μετά από τον πολλαπλασιασμό της πρώτης εξίσωσης με (a') και της δεύτερης με (-a), το ισοδύναμο σύστημα

aa'x + a'by = a'c
-aa'x - ab'y = -ac'

Η πρόσθεση κατά μέλη δίνει

(a'b-ab')y = a'c-ac' \Rightarrow y = \frac{a'c-ac'}{a'b-ab'}

Με την ίδια διαδικασία όπως και στην προηγούμενη μέθοδο προσδιορίζουμε και τον άλλο άγνωστο:

x=\frac{b'c-bc'}{ab'-a'b}

Διακρίνουμε κατόπιν στις ίδιες περιπτώσεις που είχαμε και στην προηγούμενη μέθοδο.

Συστήματα γραμμικών ανισώσεων δύο μεταβλητών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα σύστημα γραμμικών ανισώσεων μπορεί επίσης να είναι αδύνατο (καμιά λύση), μπορεί να έχει πολλές δυάδες λύσεων (μία, δύο, τρεις…) ή μπορεί να είναι αόριστο (άπειρες λύσεις). Τα συστήματα γραμμικών ανισώσεων του τύπου

ax + by > c
a'x + b'y > c'

μπορούμε να τα αντιμετωπίσουμε απλά με τη γραφική μέθοδο.

Γραφική μέθοδος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για κάθε ανίσωση του συστήματος βρίσκουμε την αντίστοιχη εξίσωση

ax + by = c και a'x + b'y = c'

Όπως και πριν, οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν δύο ευθείες. Σχεδιάζουμε τις ευθείες στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Διαλέγουμε ένα σημείο M(x_0,y_0) έξω από τις ευθείες (προτιμάμε ένα σημείο με "εύκολες" συντεταγμένες, συνήθως το (0,0)) και ελέγχουμε αν επαληθεύει τις ανισώσεις. Για κάθε ανίσωση που επαληθεύει, "σβήνουμε" (γραμμοσκιάζουμε) το ημιεπίπεδο που δεν περιέχει το Μ. Αλλιώς "σβήνουμε" το ημιεπίπεδο που περιέχει το Μ. Η περιοχή του επιπέδου που παραμένει "καθαρή" είναι και το σύνολο των λύσεων του συστήματος.

Γραμμικά συστήματα περισσότερων μεταβλητών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην γενική περίπτωση, όπου έχουμε περισσότερες άγνωστες μεταβλητές, εφαρμόζουμε συνήθως μεθόδους γραμμικής άλγεβρας, και συγκεκριμένα θεωρίας πινάκων ή γραμμικού προγραμματισμού (μέθοδος σίμπλεξ).

Δείτε ακόμη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]