Πίνακας (μαθηματικά)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Πίνακας
Ταξινόμηση
Dewey 512
MSC2010 65Axx

Στα μαθηματικά ονομάζουμε πίνακα ή μήτρα ή μητρώο ν γραμμών και μ στηλών μία ορθογώνια διάταξη σε σχήμα ορθογώνιου παραλληλογράμμου που περιέχει ν×μ πλήθος στοιχείων. Οι εγγραφές ή στοιχεία του πίνακα μπορούν να είναι αριθμοί ή, πιο γενικά, οποιεσδήποτε αφηρημένες ποσότητες τις οποίες μπορούμε να προσθέσουμε και να πολλαπλασιάσουμε. Οι πίνακες είναι ένα χρήσιμο εργαλείο της γραμμική άλγεβρας.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ονομάζουμε πίνακα Π τύπου ν×μ με στοιχεία από ένα σώμα Κ μία ορθογώνια διάταξη αij (i = 1...ν, j = 1...μ) με στοιχεία από το Κ σε ν γραμμές και μ στήλες, ώστε το στοιχείο αij να βρίσκεται ταυτόχρονα στην i-οστή γραμμή και στη j-οστή στήλη. Για παράδειγμα:


\Pi =
\begin{bmatrix}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \ldots & \alpha_{1\mu} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \ldots & \alpha_{2\mu} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\alpha_{\nu1} & \alpha_{\nu2} & \ldots & \alpha_{\nu\mu}
\end{bmatrix}

Ας είναι Α=(αij) και Β=(βij) δύο πίνακες ν×μ. Θα είναι ίσοι (δηλαδή Α = Β) αν και μόνο αν ισχύει ότι:

Για κάθε i = 1 \ldots \nu,\ j = 1\ldots \mu είναι \ \alpha_{ij} = \beta_{ij}\ .

Είδη πινάκων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Ένας πίνακας 1×μ λέγεται πίνακας γραμμή ενώ ένας πίνακας ν×1 λέγεται πίνακας στήλη.
  • Αν ένας πίνακας έχει ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών, ονομάζεται τετραγωνικός ν-τάξης.
  • Σύνθετος λέγεται ένας πίνακας που έχει ως στοιχεία του άλλους πίνακες.
  • Τα στοιχεία α11, α22, ... , ανν ενός ν×ν τετραγωνικού πίνακα λέγονται στοιχεία της κύριας διαγωνίου του.

Το άθροισμα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου ενός πίνακα Πνxν λέγεται ίχνος (trace) του πίνακα και συμβολίζεται: trΠ. Έτσι είναι:

trΠ = α11 + α22 + .. ανν.
  • Ένας πίνακας που έχει όλα τα μη μηδενικά στοιχεία του στη διαγώνιό του ονομάζεται διαγώνιος.
  • Επίσης, ένας (τετραγωνικός) πίνακας του οποίου τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από τη διαγώνιό του είναι μηδέν ονομάζεται άνω τριγωνικός. Αντίστοιχα, αν έχει μηδέν τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω από τη διαγώνιό του, τότε λέγεται κάτω τριγωνικός.
  • Τέλος, ένας διαγώνιος πίνακας Πνxν (τετραγωνικός) ο οποίος έχει όλα τα στοιχεία της διαγωνίου του ίσα με τη μονάδα και τα υπόλοιπα στοιχεία του ίσα με μηδέν, λέγεται μοναδιαίος ή ταυτοτικός και συμβολίζεται: Ιν , ενώ ο πίνακας που έχει όλα του τα στοιχεία μηδενικά λέγεται μηδενικός και συμβολίζεται με Zero matrix symbol.png.

Πράξεις πινάκων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Αναστροφή: Ο ανάστροφος ενός ν×μ πίνακα Α=(\alpha_{ij}) είναι ο μ×ν πίνακας που προκύπτει με την μετατροπή των γραμμών σε στήλες, AT=(\alpha_{ji}).
  • Πρόσθεση: Το άθροισμα Α+Β των ν×μ πινάκων Α=(\alpha_{ij}) και Β=(\beta_{ij}) προκύπτει από την άθροιση των αντίστοιχων στοιχείων τους, δηλαδή Α+Β=(\alpha_{ij} + \beta_{ij}).
  • Βαθμωτός πολλαπλασιασμός: Ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα Α με έναν αριθμό λ αντιστοιχεί στον πολλαπλασιασμό κάθε στοιχείου του πίνακα με τον λ, λΑ=(\lambda \alpha_{ij}).
Σχηματική περιγραφή του γινομένου AB των πινάκων A και B.
  • Πολλαπλασιασμός πινάκων

Ο πολλαπλασιασμός δυο πινάκων ορίζεται μόνο όταν οι στήλες του πρώτου ισούνται με τις γραμμές του δεύτερου. Ο πολλαπλασιασμός του ν×μ πινάκα A=(\alpha_{ij}) με τον μ×κ B=(\beta_{jk}) έχει ως αποτέλεσμα τον ν×κ πίνακα AB=(c_{ik}) με στοιχεία

c_{ik}= \alpha_{i1}\beta_{1k} + \alpha_{i2}\beta_{2k} + \cdots + \alpha_{\mu n}\beta_{\mu k} = \sum_{r=1}^{\mu} \alpha_{ir}\beta_{rk}.

Έτσι το δεύτερο στοιχείο της πρώτης γραμμής υπολογίζεται από την πρώτη γραμμή του Α και τη δεύτερη στήλη του Β (κίτρινο χρώμα στην απεικόνιση).

Ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι προσεταιριστικός και επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση, όταν οι αντιστοιχες πράξεις ορίζονται, αλλά δεν είναι αντιμεταθετικός.

Τετραγωνικοί πίνακες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σύνολο των τετραγωνικών πινάκων ν-τάξης εφοδιασμένο με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, όπως αυτοί ορίστηκαν παραπάνω, αποτελεί δακτύλιο με μοναδιαίο στοιχείο τον μοναδιαίο πίνακα Ιν.

  • Αντίστροφοι πίνακες

Ένας τετραγωνικός πίνακας ν-τάξης Α είναι αντιστρέψιμος ανν υπάρχει Β τέτοιος ώστε ΑΒ=BA=Ιν. Τότε ο Β ονομάζεται αντίστροφος του Α και συμβολίζεται με Α−1. Ο αντίστροφος του Α−1 είναι ο Α.

Το σύνολο όλων των αντιστρέψιμων πινάκων με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων αποτελεί ομάδα.

Ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος ανν η ορίζουσά του είναι διαφορετική του μηδενός.

  • Συμμετρίες

Ένας τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται συμμετρικός, όταν είναι ίσος με τον ανάστροφο του, Α=AT. Όταν είναι ίσος με τον αντίθετο του αναστρόφου του, ονομάζεται αντισυμμετρικός, Α=-AT.

Γραμμικές απεικονίσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω V και W δύο διανυσματικοί χώροι πεπερασμένης διάστασης με dim(V)=ν και dim(W)=μ. Κάθε νxμ πίνακας Α περιγράφει σύμφωνα με την f(x)=Ax μια γραμμική απεικόνιση από τον V στον W. Αντιστρόφως κάθε γραμμική απεικόνιση \scriptstyle f: V \to W μπορεί να γραφεί με τη μορφή f(x)=Ax, όπου Α ένας νxμ πίνακας.

Σύστημα γραμμικών εξισώσεων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

\begin{alignat}{7}
\alpha_{11} x_1 &&\; + \;&& \alpha_{12} x_2   &&\; + \cdots + \;&& \alpha_{1n} x_\mu &&\; = \;&&& \beta_1 \\
\alpha_{21} x_1 &&\; + \;&& \alpha_{22} x_2   &&\; + \cdots + \;&& \alpha_{2n} x_\mu &&\; = \;&&& \beta_2 \\
\vdots\;\;\; &&     && \vdots\;\;\; &&                && \vdots\;\;\; &&     &&& \;\vdots \\
\alpha_{\nu 1} x_1 &&\; + \;&& \alpha_{\nu 2} x_2   &&\; + \cdots + \;&& \alpha_{\nu\mu} x_{\mu} &&\; = \;&&& \beta_{\nu} \\
\end{alignat}

μπορεί να γραφεί με τη μορφή πινάκων ως

\bold{A}\bold{x}=\bold{b}.

Όταν το διάνυσμα b είναι το μηδενικό, \scriptstyle\bold{b}=(0,0, \dots, 0)^T, το σύστημα ονομάζεται ομογενές. Ένα ομογενές συστημα εξισώσεων έχει τουλάχιστο μια λύση, τη μηδενική.

Επαυξημένος πίνακας του συστήματος ονομάζεται ο πίνακας


\bold{A}|\bold{b}=
\begin{bmatrix}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \ldots & \alpha_{1\mu} & \beta_1\\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \ldots & \alpha_{2\mu} & \beta_2\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\alpha_{\nu1} & \alpha_{\nu2} & \ldots & \alpha_{\nu\mu} & \beta_{\nu}
\end{bmatrix}

Βαθμίδα (rank) ενός πίνακα ονομάζεται ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στήλών του πίνακα.

Το σύστημα Ax=b έχει τουλάχιστον μια λύση ανν η βαθμίδα του επαυξημένου του πίνακα είναι ίση με τη βαθμίδα του Α.

Αν x0 είναι μια λύση του συστήματος, το σύνολο των λύσεων του συστήματος μπορεί να βρεθεί από τις λύσεις του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος:

{ x0+ξ : ξ λύση του Ax=0 }

Όταν ο Α είναι τετραγώνικός αντιστρέψιμος πίνακας, το σύστημα έχει μοναδική λύση και μπορεί να λυθεί με τον κανόνα του Κράμερ που βασίζεται στην ισοδύναμη μορφή της εξίσωσης:

\bold{x}=\bold{A}^{-1}\bold{b}.

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Φυσική[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Bohm, Arno (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Springer, ISBN 0-387-95330-2 
  • Burgess, Cliff; Moore, Guy (2007), The Standard Model. A Primer, Cambridge University Press, ISBN 0-521-86036-9 
  • Guenther, Robert D. (1990), Modern Optics, John Wiley, ISBN 0-471-60538-7 
  • Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980), Quantum Field Theory, McGraw-Hill, ISBN 0-07-032071-3 
  • Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (1997), Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55506-X 
  • Schiff, Leonard I. (1968), Quantum Mechanics (3rd έκδοση), McGraw-Hill 
  • Weinberg, Steven (1995), The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7 
  • Wherrett, Brian S. (1987), Group Theory for Atoms, Molecules and Solids, Prentice-Hall International, ISBN 0-13-365461-3 
  • Zabrodin, Anton; Brezin, Édouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul (2006), Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-4530-1 

Ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ιστορία
Δικτυακά βιβλία
Υπολογισμοί