Θεωρία κατηγοριών

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Η Θεωρία Κατηγοριών είναι το πεδίο εκείνο των μαθηματικών που εξετάζει τις γενικές ιδιότητες και χαρακτηριστικά των διαφόρων μαθηματικών δομών μέσα από την μελέτη σχέσεων μεταξύ αντικειμένων αυτών των δομών.

Η θεωρία κατηγοριών χρησιμοποιείται για να τυποποιήσει τα μαθηματικά και τις έννοιές της ως συλλογή των αντικειμένων και των βελών. Η θεωρία κατηγοριών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να τυποποιήσει τις έννοιες άλλων υψηλού επιπέδου αφαιρέσεων όπως η καθορισμένη θεωρία, η θεωρία τομέων, και η θεωρία ομάδας. Διάφοροι όροι που χρησιμοποιούνται στη θεωρία κατηγορίας, συμπεριλαμβανομένου του όρου «μορφισμός», διαφέρουν από τις χρήσεις τους μέσα στα μαθηματικά τα ίδια. Στη θεωρία κατηγορίας, ένας «μορφισμός» υπακούει ένα σύνολο όρων συγκεκριμένων για την θεωρία την ίδια.Κατά συνέπεια,πρέπει να ληφθεί προσοχή για να γίνει κατανοητό το πλαίσιο στο οποίο γίνονται δηλώσεις.


Μια αφαίρεση άλλων μαθηματικών εννοιών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πολλοί σημαντικοί τομείς των μαθηματικών μπορούν να τυποποιηθούν από τη θεωρία κατηγορίας ως κατηγορίες. Η θεωρία κατηγορίας είναι μια αφαίρεση των μαθηματικών απο μόνη της που επιτρέπει σε πολλά περίπλοκα και λεπτά μαθηματικά αποτελέσματα σε αυτούς τους τομείς για να δηλωθεί, και να αποδειχθεί, με έναν πολύ απλούστερο τρόπο απ'ό,τι χωρίς τη χρήση των κατηγοριών.

Το πιό προσιτό παράδειγμα μιας κατηγορίας είναι η κατηγορία συνόλων, όπου τα αντικείμενα είναι σύνολα και τα βέλη είναι λειτουργίες από ένα σύνολο σε ένα άλλο. Εντούτοις, τα αντικείμενα μιας κατηγορίας δεν χρειάζεται να είναι σύνολα ούτε οι λειτουργίες βελών, οποιοσδήποτε τρόπος τυποποίησης μιας μαθηματικής έννοιας έτσι ώστε να ικανοποιεί τους βασικούς όρους στη συμπεριφορά των αντικειμένων και τα βέλη είναι μια έγκυρη κατηγορία, και όλα τα αποτελέσματα της θεωρίας κατηγορίας θα ισχύσουν για αυτήν.

Ένα από τα απλούστερα παραδείγματα μιας κατηγορίας είναι αυτό του groupoid, που ορίζεται ως μια κατηγορία τα της οποίας βέλη ή τα μορφισμοί είναι όλα αντιστρέψιμα. Η έννοια groupoid είναι σημαντική στην τοπολογία. Οι κατηγορίες εμφανίζονται τώρα στους περισσότερους κλάδους των μαθηματικών,σε μερικούς τομείς της θεωρητικής πληροφορικής όπου αντιστοιχούν τους τύπους, και της μαθηματικής φυσικής όπου μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν τα διανυσματικά διαστήματα. Οι κατηγορίες εισήχθησαν αρχικά από το Samuel Eilenberg και την Saunders Mac Lane το 1942-45, σχετικά με την αλγεβρική τοπολογία.

Η θεωρία κατηγορίας είναι γνωστή σε διάφορα πρόσωπα όχι μόνο στους ειδικούς, αλλά και σε άλλους μαθηματικούς. Ένας όρος που χρονολογείται από τη δεκαετία του '40, «γενικές αφηρημένες αηδίες», αναφέρεται στο υψηλό επίπεδο αφαίρεσής του, έναντι περισσότερων κλασσικών κλάδων των μαθηματικών. Η ομόλογη άλγεβρα είναι θεωρία κατηγορίας στην πτυχή της οργάνωσης και υποβολής προτάσεων των χειρισμών στην αφηρημένη άλγεβρα.

Κατηγορίες, αντικείμενα και μορφισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η μελέτη των κατηγοριών είναι μια προσπάθεια να συλληφθεί αξιωματικά τι βρίσκεται συνήθως στις διάφορες κατηγορίες σχετικών μαθηματικών δομών με το συσχετισμό τους στη δομή-συντηρώντας λειτουργίες μεταξύ τους.Μια συστηματική μελέτη της θεωρίας κατηγορίας επιτρέπει έπειτα σε μας να αποδείξουμε τα γενικά αποτελέσματα για οποιουσδήποτε από αυτούς τους τύπους μαθηματικών δομών από τα αξιώματα μιας κατηγορίας. Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα.Η κατηγορία Grp ομάδων αποτελείται από όλα τα αντικείμενα που έχουν μια «δομή ομάδας».Κάποιος μπορεί να προχωρήσει να αποδείξει τα θεωρήματα για τις ομάδες κάνοντας λογικούς συνειρμούς από το σύνολο αξιωμάτων. Παραδείγματος χάριν, αποδεικνύεται αμέσως από τα αξιώματα ότι το στοιχείο ταυτότητας μιας ομάδας είναι μοναδικό.

Αντί να εστιάσει μόνο στα μεμονωμένα αντικείμενα (π.χ., ομάδες) που κατέχουν μια δεδομένη δομή, η θεωρία κατηγορίας υπογραμμίζει τους μορφισμούς –την δομή-συντηρώντας χαρτογραφήσεις – μεταξύ αυτών των αντικειμένων. Με τη μελέτη αυτών των μορφισμών, είμαστε σε θέση να μάθουμε περισσότερα για τη δομή των αντικειμένων. Στην περίπτωση των ομάδων, οι μορφισμοί είναι οι ομομορφισμοί ομάδας. Ο ομομορφισμός ομάδας μεταξύ δύο ομάδων «συντηρεί τη δομή ομάδας» υπό μια ακριβή έννοια – είναι μια «διαδικασία» παίρνοντας μια ομάδα σε άλλη, με τέτοιο τρόπο ώστε να κρατάει τις πληροφορίες για τη δομή της πρώτης ομάδας στη δεύτερη ομάδα. Η μελέτη των ομομορφισμών ομάδων παρέχει έπειτα ένα εργαλείο για την μελετη των γενικών ιδιοτήτων των ομάδων και τις συνέπειες των αξιωμάτων ομάδας.Ένας παρόμοιος τύπος έρευνας εμφανίζεται σε πολλές μαθηματικές θεωρίες, όπως η μελέτη των συνεχών χαρτών (morphisms) μεταξύ των τοπολογικών διαστημάτων στην τοπολογία (η σχετική κατηγορία καλείται τοπ), και τη μελέτη των ομαλών λειτουργιών (morphisms) στην πολλαπλή θεωρία.

Functors[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια κατηγορία είναι απο μόνη της ένας τύπος μαθηματικής δομής, έτσι μπορούμε να ψάξουμε «τις διαδικασίες» που συντηρούν αυτήν την δομή υπό κάποια έννοια, μια τέτοια διαδικασία καλείται functo.

Η χάραξη διαγραμμάτων είναι μια οπτική μέθοδος που υποστηρίζεται με τα αφηρημένα «βέλη» που ενώνονται σε διαγράμματα. Το Functors αντιπροσωπεύεται από τα βέλη μεταξύ των κατηγοριών, υπό τον όρο στους συγκεκριμένους όρους commutativity καθορισμού. Το Functors μπορεί να καθορίσει (κατασκεύασμα) τα κατηγορικά διαγράμματα και τις ακολουθίες (δηλαδή Mitchell, 1965). Ένα functor συνδέει σε κάθε αντικείμενο μιας κατηγορίας ένα αντικείμενο μιας άλλης κατηγορίας, και σε κάθε μορφισμό στην πρώτη κατηγορία ένα μορφισμό στη δεύτερη. Στην πραγματικότητα,αυτό που έχουμε κάνει είναι να καθορίσουμε μια κατηγορία κατηγοριών και functors – τα αντικείμενα είναι κατηγορίες, και οι μορφισμοί (μεταξύ των κατηγοριών) είναι functors.

Με τη μελέτη των κατηγοριών και των functors, μελετάμε όχι μόνο μια κατηγορία μαθηματικών δομών και των μεταξύ τους μορφισμών μελετάμε τις σχέσεις μεταξύ των διάφορων κατηγοριών μαθηματικών δομών. Αυτό είναι μια θεμελιώδης ιδέα, η οποία εμφανίστηκε αρχικά στην αλγεβρική τοπολογία. Οι δύσκολες τοπολογικές ερωτήσεις μπορούν να μεταφραστούν στα algebraicquestions που είναι συχνά ευκολότερα να τις λύσουν. Οι βασικές κατασκευές, όπως η θεμελιώδης ομάδα ή το θεμελιώδες groupoid ενός τοπολογικού διαστήματος, μπορούν να εκφραστούν ως θεμελιώδη functors στην κατηγορία groupoids κατά αυτόν τον τρόπο, και η έννοια είναι κυρίαρχη στην άλγεβρα και στις απαιτήσεις της.

Φυσικοί μετασχηματισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αφαιρώντας ακόμη μια φορά, μερικές διαγραμματικές ή/και διαδοχικές κατασκευές συσχετίζονται συχνά «φυσικά συνδεδεμένη» – μια ασαφής έννοια, εκ πρώτης όψεως. Αυτό οδηγεί στην έννοια διευκρίνισης του φυσικού μετασχηματισμού, ένας τρόπος «να χαρτογραφηθεί» ένα functor σε άλλο. Πολλές σημαντικές κατασκευές στα μαθηματικά μπορούν να μελετηθούν σε αυτό το πλαίσιο. «Naturality» είναι μια αρχή, όπως τη γενική συνδιακύμανση στη φυσική, η οποία είναι βαθύτερη από οτι αρχικά φαίνεται. Ένα βέλος μεταξύ δύο functors είναι ένας φυσικός μετασχηματισμός όταν υπόκειται σε ορισμένους όρους naturality ή commutativity. Το Functors και οι φυσικοί μετασχηματισμοί («naturality») είναι οι βασικές έννοιες στη θεωρία κατηγορίας. [2]

Κατηγορίες, αντικείμενα και μορφισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κατηγορίες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια κατηγορία Γ αποτελείται από τις ακόλουθες τρεις μαθηματικές οντότητες:

Μια κατηγορία ob (Γ), τα της οποίας στοιχεία καλούνται αντικείμενα Μια κατηγορία hom (Γ), τα στοιχεία της οποίας καλούνται μορφισμοί ή χάρτες ή βέλη. Κάθε μορφισμός φ έχει ένα αντικείμενο πηγής α και το αντικείμενο στόχων β. Η έκφραση φ : a → b, θα δηλωνόταν προφορικά ως «το φ είναι ένας μορφισμός από το α στο β». Η έκφραση hom(a, b) - εκφράζεται εναλλακτικά ως homC(a, b), mor(a, b), or C(a, b)- δείχνει την hom-κατηγορία όλων των μορφισμών από το α στο β.

Μια δυαδική λειτουργία ∘, καλείται σύνθεση μορφισμών, έτσι ώστε για οποιαδήποτε τρία αντικείμενα α, β, και γ, έχουμε hom (β, γ) × hom (α, β) → hom (α, γ). Η σύνθεση του φ: α → β και g: β → γ γράφεται ως g ∘ φ ή gf, [3] κυβερνημένος από δύο αξιώματα: προσεταιριστικότητα:Εάν φ: α → β, g: β → γ και h: γ → δ τότε h ∘ (g ∘ φ) = (h ∘ g) ∘ φ, και Ταυτότητα: Για κάθε αντικείμενο Χ, υπάρχει ένας μορφισμός 1x: Χ → Χ καλείται μορφισμός ταυτότητας για το Χ, έτσι ώστε για κάθε μορφισμό φ: α → β, έχουμε 1b ∘ φ = φ = φ ∘ 1a. Από τα αξιώματα, μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει ακριβώς ένας μορφισμός ταυτότητας για κάθε αντικείμενο. Μερικοί συγγραφείς παρεκκλίνουν από τον ορισμό που δίνεται ακριβώς με τον προσδιορισμό κάθε αντικειμένου με το μορφισμό ταυτότητάς του.

Μορφισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι σχέσεις μεταξύ των μορφισμών (όπως το fg = χ) απεικονίζονται συχνά χρησιμοποιώντας τα μεταλλακτικά διαγράμματα, με «τα σημεία» (γωνίες) να αντιπροσωπεύουν τα αντικείμενα και «τα βέλη» να αντιπροσωπεύουν υοσ μορφισμους.

Οι μορφισμοί μπορούν να έχουν οποιαδήποτε από τις ακόλουθες ιδιότητες. Ένας μορφισμός φ: α → β είναι :

μονομορφισμός (ή αμφι) εάν το φ ∘ g1 = φ ∘ g2 συνεπάγεται g1 = g2 για όλους τους μορφισμούς g1, g2: Χ → a.

επιμορφισμός (ή έπι) εάν g1 ∘ φ = g2 ∘ φ συνεπάγεται g1 = g2 για όλους τους μορφισμούς g1, g2: β → x.

ομομορφισμός εάν το φ είναι αμφι και επι

ισομορφισμός εάν υπάρχει ένα μορφισμός g: β →a έτσι ώστε φ ∘ g = 1b και g ∘ φ = 1a. [4]

ενδομορφισμός αν α=β. ενδ(α) δείχνει την κατηγορία ενδομορφισμού του α

αυτομορφισμός εάν το φ είναι και ένας ενδομορφισμός και ένας ισομορφισμός.

aut (α) δείχνει την κατηγορία αυτομορφισμού του α.

retraction εάν ένα σωστό αντίστροφο του φ υπάρχει, δηλ. εάν υπάρχει ένα μορφισμος g: β → α με το fg = 1b.

section εάν ένα αριστερό αντίστροφο του φ υπάρχει, δηλ. εάν υπάρχει ένα μορφισμός g: β → α με το gf = 1a.

Κάθε retraction είναι ένας επιμορφισμός, και κάθε section είναι μονομορφισμός. Επιπλέον, οι ακόλουθες τρεις δηλώσεις είναι ισοδύναμες:

f είναι μονομορφισμος και retraction f είναι επιμορφισμος και section f είναι ισομορφισμος


Functors[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα Functors δομούν-συντηρούν τους χάρτες μεταξύ των κατηγοριών. Μπορούν να θεωρηθούν ως μορφισμοί στην κατηγορία όλων (των μικρών) κατηγοριών. Ένας Functor Φ από μια κατηγορία Γ σε μια κατηγορία Δ, γράφεται Φ: Γ → Δ, περιλαμβάνει: για κάθε αντικείμενο Χ στο Γ, ένα αντικείμενο Φ (Χ) στο Δ και για κάθε μορφισμό φ: Χ → Υ στο Γ, ένα μορφισμό Φ (φ): Φ (Χ) → Φ (Υ), έτσι ώστε οι ακόλουθες δύο ιδιότητες ισχύουν: Για κάθε αντικείμενο Χ στο Γ, Φ (1x) = 1F (Χ) Για όλους τους μορφισμούς φ: Χ → Υ και γ: Υ → ζ, Φ (γ ∘ φ) = Φ (γ) ∘ Φ (φ). Ένα contravariant functor Φ: Γ → Δ, είναι όπως ένα covariant functor, εκτός από το ότι «αντιστρέφει τους μορφισμούς» («αντιστρέφει όλα τα βέλη»). Πιο συγκεκριμένα, κάθε μορφισμός φ: Χ → Υ στο Γ πρέπει να οριστεί σε ένα μορφισμό Φ (φ): Φ (Υ) → Φ (Χ) στο Δ. Με άλλα λόγια, ένας contravariant functor λειτουργεί ως covariant functor από την αντίθετη κατηγορία Cop στο Δ.


Φυσικοί μετασχηματισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας φυσικός μετασχηματισμός είναι μια σχέση μεταξύ δύο functors. Το Functors περιγράφει συχνά τις «φυσικές κατασκευές» και οι φυσικοί μετασχηματισμοί κατόπιν περιγράφουν τους «φυσικoύς ομομορφισμούς» μεταξύ δύο τέτοιων κατασκευών. Μερικές φορές δύο αρκετά διαφορετικές κατασκευές παράγουν «το ίδιο» αποτέλεσμα. Αυτό εκφράζεται από έναν φυσικό ισομορφισμό μεταξύ των δύο functors. Εάν Φ και G είναι (covariant) functors μεταξύ των κατηγοριών Γ και Δ, τότε ένας φυσικός μετασχηματισμός η από το Φ στο G συνδέει σε κάθε αντικείμενο Χ στο Γ ένα μορφισμό ηX: Φ (Χ) → Γ (Χ) στο Δ έτσι ώστε για καθε μορφισμό φ: Χ → Υ στο Γ, έχουμε ηY ∘ Φ (φ) = G (φ) ∘ ηX αυτό σημαίνει ότι το ακόλουθο διάγραμμα είναι μεταλλακτικό: 175px-Natural_transformation.svg

Τα δύο functors Φ και G καλούνται φυσικά ισομορφικά εάν υπάρχει ένας φυσικός μετασχηματισμός από το Φ στο G έτσι ώστε ηX είναι ένας ισομορφισμός για κάθε αντικείμενο Χ στο Γ.

Άλλες έννοιες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Καθολικές κατασκευές, όρια, και colimits[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Χρησιμοποιώντας τη γλώσσα της θεωρίας κατηγοριών, πολλοί τομείς της μαθηματικής μελέτης μπορούν να ταξινομηθούν. Οι κατηγορίες περιλαμβάνουν τα σύνολα, ομάδες, τοπολογίες, και ούτω καθεξής.

Κάθε κατηγορία διακρίνεται από τις ιδιότητες που όλα τα αντικείμενά του έχουν από κοινού, όπως το κενό σύνολο ή το προϊόν δύο τοπολογιών, όμως στον καθορισμό μιας κατηγορίας, τα αντικείμενα θεωρούνται ατομικά, δηλ., εμείς δεν ξέρουme εάν ένα αντικείμενο Α είναι ένα σύνολο, μια τοπολογία, ή οποιαδήποτε άλλη αφηρημένη έννοια. Ως εκ τούτου, η πρόκληση είναι να καθοριστούν τα ειδικά αντικείμενα χωρίς αναφορά στην εσωτερική δομή εκείνων των αντικειμένων. Για να καθορίσει το κενό σύνολο χωρίς αναφορά στα στοιχεία, ή την τοπολογία προϊόντων χωρίς αναφορά στα ανοικτά σύνολα, κάποιο μπορεί να χαρακτηρίσει αυτά τα αντικείμενα από την άποψη των σχέσεών τους με άλλα αντικείμενα, όπως δίνονται από τoυς μορφισμούς των αντίστοιχων κατηγοριών. Κατά συνέπεια, ο στόχος είναι να βρεθούν οι καθολικές ιδιότητες που καθορίζουν μεμονωμένα τα αντικείμενα ενδιαφέροντος.

Πράγματι, καταλήγουμε ότι οι πολυάριθμες σημαντικές κατασκευές μπορούν να περιγραφούν με έναν καθαρώς κατηγορικό τρόπο. Η κεντρική έννοια που απαιτείται για το σκοπό αυτό καλείται κατηγορικό όριο, και μπορεί να είναι για να παραγάγει την έννοια ενός colimit.

Ισοδύναμες κατηγορίες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχει μια φυσική ερώτηση να υποβληθεί: υπό ποιους όρους μπορούν δύο κατηγορίες να θεωρηθούν «ουσιαστικά οι ίδιες», υπό την έννοια ότι τα θεωρήματα για μια κατηγορία μπορούν εύκολα να μετασχηματιστούν στα θεωρήματα για την άλλη κατηγορία; Το σημαντικότερο εργαλείο που εχει υιοθετειθεί για να περιγράψει μια τέτοια κατάσταση καλείται ισοδυναμία των κατηγοριών, η οποία δίνεται από τα κατάλληλα functors μεταξύ δύο κατηγοριών. Η κατηγορική ισοδυναμία έχει βρεί τις πολυάριθμες εφαρμογές στα μαθηματικά.

Περαιτέρω έννοιες και αποτελέσματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι ορισμοί των κατηγοριών και των functors παρέχουν μόνο τα πολύ βασικά της κατηγορικής άλγεβρας. Τα πρόσθετα σημαντικά θέματα παρατίθενται κατωτέρω. Αν και υπάρχουν ισχυρές αμοιβαίες σχέσεις μεταξύ όλων αυτών των θεμάτων, η δεδομένη διαταγή μπορεί να θεωρηθεί ως οδηγία για την περαιτέρω ανάγνωση.

Η functor κατηγορία DC έχει ως αντικείμενα τα functors από το Γ στο Δ και ως μορφισμούς τους φυσικούς μετασχηματισμούς τέτοιων functors. Το λήμμα Yoneda είναι ένα από τα διασημότερα βασικά αποτελέσματα της θεωρίας κατηγοριών. Περιγράφει τα αντιπροσωπεύσιμα functors στις κατηγορίες functor.

Δυαδικότητα: Κάθε δήλωση, θεώρημα, ή καθορισμός στη θεωρία κατηγορίας έχουν έναν dual που λαμβάνεται ουσιαστικά με «την αντιστροφή όλων των βελών». Εάν μια δήλωση είναι αληθινή σε μια κατηγορία C τότε το dual του θα είναι αληθινό στη dual category Cop. Αυτή η δυαδικότητα, που είναι διαφανής στο επίπεδο θεωρίας κατηγορίας, κρύβεται συχνά στις εφαρμογές και μπορεί να οδηγήσει σε εκπληκτικές σχέσεις.

Adjoint functors: Ένα functor μπορεί να αφεθεί (ή ορθότερα) adjoint σε ένα άλλο functor που map στην αντίθετη κατεύθυνση. Ένα τέτοιο ζευγάρι adjoint functors προκύπτει χαρακτηριστικά από μια κατασκευή που καθορίζεται από μια καθολική ιδιοκτησία αυτό μπορoύμε να το δούμε ως μια αφηρημένη και ισχυρή άποψη σχετικά με τις καθολικές ιδιότητες.

Higher-dimensional categories[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πολλές από τις ανωτέρω έννοιες, ειδικά η ισοδυναμία των κατηγοριών,adjoint functor pairs , και unctor categories, μπορούν να τοποθετηθούν στο πλαίσιο τωνHigher-dimensional categories . Εν συντομία, εάν θεωρούμε ένα μορφισμό μεταξύ δύο αντικειμένων ως «διαδικασία που μας πάει από ένα αντικείμενο σε ένα άλλο», κατόπιν οιHigher-dimensional categories μας επιτρέπουν να γενικεύσουν επικερδώς εξετάζοντας "higher-dimensional processes".

Παραδείγματος χάριν, μια (ακριβής) 2-κατηγορία είναι μια κατηγορία μαζί με «μορφισμοί μεταξύ μορφισμών», δηλ., διαδικασίες που μας επιτρέπουν να μετασχηματίσουμε έναν μορφισμό σε ένα άλλο. Μπορούμε έπειτα «να συνθέσουμε» αυτους τος «ομομορφισμούς» και οριζόντια και κάθετα, και απαιτούμε έναν 2-διαστατικό «νόμο ανταλλαγής » για να το διατηρήσουμε, αφορώντας τους δύο νόμους σύνθεσης. Σε αυτό το πλαίσιο, το τυποποιημένο παράδειγμα είναι Cat, η 2-κατηγορία όλων (των μικρών) κατηγοριών, και σε αυτό το παράδειγμα, οι ομομορφισμοί των μορφισμών είναι απλά φυσικοί μετασχηματισμοί των μορφισμών υπό τη συνηθισμένη έννοια. Ένα άλλο βασικό παράδειγμα είναι να εξεταστεί μια 2-κατηγορία με ένα ενιαίο αντικείμενο ,αυτές είναι ουσιαστικά monoidal κατηγορίες. Το Bicategories είναι μια πιό αδύνατη έννοια 2 διαστατικών κατηγοριών στις οποίες η σύνθεση των μορφισμών δεν είναι αυστηρά συνειρμική, αλλά μόνο συνειρμική «μέχρι» έναν ισομορφισμό.

Αυτή η διαδικασία μπορεί να επεκταθεί για όλους τους φυσικούς αριθμούς ν, και αυτοί καλούνται ν-κατηγορίες. Υπάρχει ακόμη και μια έννοια της ω-κατηγορίας που αντιστοιχεί στον κανονικό αριθμό ω.

Οι Higher-dimensional categories είναι μέρος του ευρύτερου μαθηματικού τομέα της Higher-dimensional άλγεβρας, μια έννοια που εισάγεται από το Ronald Brown. Για μια συνομιλητική εισαγωγή σε αυτές τις ιδέες, δείτε το John Baez, 'A Tale of n-categories' (1996).


Ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το 1942-45, ο Samuel Eilenberg και η Saunders Mac Lane εισήγαγαν τις κατηγορίες, τα functors, και τους φυσικούς μετασχηματισμούς ως τμήμα της εργασίας τους στην τοπολογία, ειδικά στην αλγεβρική τοπολογία. Η εργασία τους ήταν ένα σημαντικό μέρος της μετάβασης από τη διαισθητική και γεωμετρική ομολογία στην αξιωματική θεωρία ομολογίας.Ο Eilenberg και η Saunderw Mac Lane αργότερα έγραψαν ότι ο στόχος τους ήταν να καταλάβουν τους φυσικούς μετασχηματισμούς προκειμένου να το κάνουν αυτό, τα functors έπρεπε να καθοριστούν, το οποίο απαιτούσε τις κατηγορίες.

Ο Stanislaw Ulam, και μερικοί που γράφουν εξ ονόματός του, έχουν υποστηρίξει ότι οι σχετικές ιδέες ήταν τρέχουσες στα τέλη της δεκαετίας του 1930 στην Πολωνία. Ο Eilenberg ήταν πολωνός, και μελέτησε τα μαθηματικά στην Πολωνία στη δεκαετία του '30. Η θεωρία κατηγοριών είναι επίσης, υπό κάποια έννοια, μια συνέχεια της εργασίας της Εmmy Noether (ένας από τους δασκάλους της Mac Lane) στην τυποποίηση των αφηρημένων διαδικασιών η Noether συνειδητοποίησε ότι προκειμένου να γίνει κατανοητός ένας τύπος μαθηματικής δομής, κάποιος πρέπει να καταλάβει τις διαδικασίες που συντηρούν εκείνη την δομή. Προκειμένου να επιτευχθεί αυτή η κατανόηση,ο Eilenberg και η Mac Lane πρότειναν μια αξιωματική διαμόρφωση της σχέσης μεταξύ των δομών και των διαδικασιών που συντηρούν τις.

Η επόμενη ανάπτυξη της θεωρίας κατηγοριών τροφοδοτήθηκε πρώτα από τις υπολογιστικές ανάγκες της ομόλογης άλγεβρας, και αργότερα από τις αξιωματικές ανάγκες της αλγεβρικής γεωμετρίας, ο τομέας ανθεκτικότερος να στηριχτεί είτε στην αξιωματική καθορισμένη θεωρία είτε την άποψη Russell-Whitehead των ενωμένων θεμελίων. Η γενική θεωρία κατηγορίας, μια επέκταση του καθολικού που πολλά νέα χαρακτηριστικά γνωρίσματα που επιτρέπουν τη σημασιολογικές ευελιξία και τη λογική υψηλός-διαταγής, ήρθε αργότερα εφαρμόζεται τώρα σε όλα τα μαθηματικά.

Ορισμένες κατηγορίες αποκαλούμενες topoi (singular topos) μπορούν ακόμη και να χρησιμεύσουν ως μια εναλλακτική λύση στην αξιωματική θεωρία ομάδων ως θεμέλιο των μαθηματικών. Τα topos μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως συγκεκριμένος τύπος κατηγορίας με δύο πρόσθετα αξιώματα topos. Αυτές οι θεμελιώδεις εφαρμογές της θεωρίας κατηγορίας έχουν επιλυθεί με δίκαιες λεπτομέρειες σαν βάση και την αιτιολόγηση, τα εποικοδομητικά μαθηματικά. Η θεωρία Topos είναι μια μορφή αφηρημένης sheaf θεωρίας, με γεωμετρική προέλευση, και οδηγεί σε ιδέες όπως η άσκοπη τοπολογία.

Η κατηγορική λογική είναι τώρα ένας καθορισμένος με σαφήνεια τομέας βασισμένος στη θεωρία τύπων για τις intuitionistic λογικές, με εφαρμογές στη λειτουργικό προγραμματισμό και στη θεωρία περιοχών, όπου μια καρτεσιανή κλειστή κατηγορία λαμβάνεται ως μη-συντακτική περιγραφή ενός υπολογισμού λάμδα. Στο ελάχιστο, η θεωρητική γλώσσα κατηγορίας διευκρινίζει τι ακριβώς αυτές οι σχετικές περιοχές έχουν κοινο (υπό κάποια αφηρημένη έννοια).

Η θεωρία κατηγοριών έχει εφαρμοστείκαι σε άλλους τομείς . Παραδείγματος χάριν, ο John Baez έχει παρουσιάσει μια σύνδεση μεταξύ των διαγραμμάτων Feynman στη φυσική και των monoidal κατηγοριών. Μια άλλη εφαρμογή της θεωρίας κατηγοριων, πιο συγκεκριμένα: η θεωρία topos, έχει γίνει στη μαθηματική θεωρία μουσικής, βλέπε παραδείγματος χάριν στο βιβλίο The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, και Performance του Guerino Mazzola.

Πιο πρόσφατες προσπάθειες να εισάγουν προπτυχιακά σαν θεμέλιο των μαθηματικών εκαναν οι William Lawvere και Rosebrugh (2003) and Lawvere και Stephen Schanuel(1997)και Mirroslav Yotov (2012).

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]