Γραμμικός μετασχηματισμός

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Έστω V \, και W \, διανυσματικοί χώροι επί του σώματος F \,. Μια απεικόνιση

T:V \to W με T:u \in V \to w=T(u) \in W

ονομάζεται γραμμικός μετασχηματισμός όταν για κάθε u,w \in V και \alpha \in F ισχύουν οι σχέσεις

T(u+v)=T(u)+T(v) \, και T(\alpha u)=\alpha T(u) \,

Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται σχέσεις γραμμικότητας. Οι σχέσεις αυτές είναι ισοδύναμες με την σχέση

T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u) + \beta T(v) \,

για κάθε u,v \in V και \alpha ,\beta \in F, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός ορισμός της έννοιας του γραμμικού μετασχηματισμού. Η παραπάνω σχέση μπορεί να γενικευθεί για n \, διανύσματα

T(\alpha_1 u_1 +...+ \alpha_n u_n) = \alpha_1 T(u_1)+...+ \alpha_n T(u_n) \,

με u_1, u_2,..., u_n \in V \, και \alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n \in F \,

Αν οι διανυσματικοί χώροι V \, και W \, ταυτίζονται, τότε ο μετασχηματισμός ονομάζεται γραμμικός τελεστής