Διπλασιασμός του κύβου

Διπλασιασμός του κύβου

Ταξινόμηση
Dewey	516
MSC2010	14-XX

Ο Διπλασιασμός του κύβου (επίσης γνωστός ως πρόβλημα της Δήλου - Δήλιον πρόβλημα) είναι ένα από τα τρία γνωστά προβλήματα της αρχαιότητας που δεν είναι δυνατόν να λυθούν μόνο με κανόνα και διαβήτη. Ήταν γνωστό στους μαθηματικούς της αρχαιότητας στην Αίγυπτο, την Ελλάδα και την Ινδία.

Το πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή ενός κύβου με διπλάσιο όγκο από ένα γνωστό κύβο πλευράς α. Ο απλός διπλασιασμός του μήκους της ακμής του κύβου οδηγεί σε οχταπλασιασμό του όγκου.

Ο μύθος

Αρκετοί μύθοι υπάρχουν για το λεγόμενο Δήλιο πρόβλημα. Ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος σύγχρονος του Αρχιμήδη σε επιστολή του προς τον Έλληνα Βασιλιά της Αιγύπτου Πτολεμαίο αναφέρει ότι σύμφωνα με πληροφορία αρχαίου τραγωδού ο Μίνωας είχε παραγγείλει να κατασκευαστεί τάφος για τον γιο του Γλαύκο σχήματος κυβικού. Όταν κατασκευάστηκε ο Μίνωας τον θεώρησε μικρό και διέταξε να τον διπλασιάσουν.

Μια άλλη παράδοση αναφέρει ότι οι κάτοικοι της Δήλου αρρώστησαν και ζήτησαν από το Μαντείο των Δελφών να τους πει τι να κάνουν για να γλυτώσουν. Η Πυθία τους απάντησε ότι πρέπει να διπλασιάσουν σε όγκο τον ναό του Απόλλωνα που είχε σχήμα κύβου διατηρώντας παράλληλα το κυβικό σχήμα. Οι Δήλιοι αρχικά πίστεψαν ότι το πρόβλημα ήταν απλό και λυνόταν με διπλασιασμό των πλευρών. Όταν ανακάλυψαν ότι αυτό δεν διπλασιάζει τον όγκο αλλά τον οχταπλασιάζει έστειλαν πρέσβεις στην Ακαδημία του Πλάτωνος και ζήτησαν λύση του προβλήματος.

Το άλυτο του προβλήματος

Την εποχή που παρουσιάζεται το πρόβλημα κάθε μαθηματική μέθοδος που δεν χρησιμοποιεί αποκλειστικά κανόνα και διαβήτη θεωρείται ασέβεια. Οι αρχαίοι μαθηματικοί πιθανότατα γνώριζαν ότι ήταν αδύνατη η λύση μόνο με κανόνα και διαβήτη αλλά δεν έχει διασωθεί καμία απόδειξη.

Πιο κοντά στη λύση βρέθηκε ο Ιπποκράτης ο Χίος ο οποίος απέδειξε το 460 ή 430 π.Χ. ότι το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση δύο μέσων αναλόγων όταν δοθούν δύο ευθύγραμμα τμήματα το ένα διπλάσιο του άλλου. Από αυτό συνάγεται ότι για να λυθεί το πρόβλημα πρέπει να κατασκευαστεί ακμή ίση με $\sqrt[3]{2}$.

Με τα σύγχρονα μαθηματικά αποδείχθηκε ότι το πρόβλημα δεν είναι δυνατόν να λυθεί μόνο με κανόνα και διαβήτη και δόθηκε τέλος στην αναζήτηση λύσης αυτής της μορφής.

Η «λύση»

Αρκετοί αρχαίοι και νεώτεροι ασχολήθηκαν με το πρόβλημα όπως ο Αρχύτας ο Ταραντίνος, ο Εύδοξος ο Κνίδιος, ο Μέναιχμος, ο Νικομήδης, ο Απολλώνιος, ο Διοκλής, ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς, ο Πάππος ο Αλεξανδρεύς, ο Καρτέσιος και άλλοι. Όλοι όμως έδιναν λύση που χρησιμοποιούσε και άλλες μεθόδους πλην της κλασικής.

Ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης δίνει στα έργα του πληροφορίες για 12 λύσεις του Δήλιου προβλήματος. Σήμερα σημαντικότερη θεωρείται η λύση του Αρχύτα καθώς κάνει χρήση τριών στερεών: κυλίνδρου, κώνου και σφαίρας.

Πιο περίπλοκες μέθοδοι περιλαμβάνουν το Κισσοειδές του Διοκλή του Διοκλή, την Κογχοειδή του Νικομήδη, ή τη γραμμή του Φίλωνα του Βυζαντινού.

Κατασκευή

Υπάρχουν πολλοί τρόποι να κατασκευάσουμε $\sqrt[3]{2}$, αλλά χρειαζόμαστε βοηθητικά εργαλεία πέρα του διαβήτη και του χάρακα. Παραδείγματος χάριν:

• Θα χρειαστείτε έναν μεγάλο χάρακα με την σημειωμένη σε κάποιο σημείο τη μονάδα μήκους που θα χρησιμοποιηθεί.
• Κατασκευάστε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ABC με μήκος πλευράς 1 μονάδα μήκους.
• Επεκτείνετε την πλευρά $\overline{AB}$ κατά μια μονάδα διαμορφώνοντας το ευθύγραμμο τμήμα $\overline{ABD}$.
• Επεκτείνετε την πλευρά $\overline{BC}$ διαμορφώνοντας την ακτίνα $\overrightarrow{BCE}$.
• Σύρετε τώρα την ακτίνα $\overrightarrow{DCF}$.
• Τώρα πάρτε τον χάρακα και τοποθετήστε τον έτσι ώστε να αγγίζει το σημείο Α και να τέμνει την ακτίνα $\overline{DCF}$ στο σημείο G και την ακτίνα $\overline{BCE}$ στο σημείο H, έτσι ώστε η απόσταση GH να είναι ακριβώς 1 μονάδα μήκους.
• Το ευθύγραμμο τμήμα AG θα έχει το ζητούμενο μήκος $\sqrt[3]{2}$.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Doubling the cube. J. J. O'Connor and E. F. Robertson in the MacTutor History of Mathematics archive. (Αγγλικά)
• Delian Problem Solved. Or Is It? at cut-the-knot. (Αγγλικά)