Μη ευκλείδειες γεωμετρίες

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Συμπεριφορά ευθειών με κοινή κάθετη σε 3 τύπους της γεωμετρίας

Πρότυπο:General geometry

Στα μαθηματικά, μια μη-Ευκλείδεια γεωμετρία συνιστάται απο 2 γεωμετρίες βασισμένες σε αξιώματα στενά συνδεδεμένα με αυτά που προσδιορίζουν την Ευκλείδια Γεωμετρία. Καθώς η Ευκλείδεια γεωμετρία βρίσκεται στην τομή της μετρικής γεωμετρίας με την αφινική γεωμετρία (ομοπαραλληλική γεωμετρία), η μη-Ευκλείδια γεωμετρία προκύπτει όταν είτε η απαίτηση του μέτρου "χαλαρώνει" (οτι δηλαδή η συνάρτηση μέτρο παίρνει τιμές οχι μονο στο [0,+οο) αλλά και σε άλλα διατεταγμένα σύνολα( Directed Set ) , είτε το αξίωμα των παραλλήλων αντικαθήσταται με ένα εναλακτικό. Στην τελευταία περίπτωση έχουμε την υπερβολική γεωμετρία και την ελλειπτική γεωμετρία, τις κλασικές μη-ευκλείδιες γεωμετρίες. Όταν η απαίτηση του μέτρου χαλαρώνει, υπάρχουν ομοπαραλληλικά επίπεδα που σχετίζονται με επίπεδες άλγεβρες το οποίο οδηγεί στις κινηματικές γεωμετρίες ([1]) οι οποίες επίσης έχουν αποκαλεστεί μη-Ευκλείδιες.

Η ουσιαστική διαφορά με τις μετρικές γεωμετρίες είναι στην φύση των παράλληλων ευθειών. Το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη, το αξίωμα των παραλλήλων, είναι ισοδύναμο με το αξίωμα του Πλέιφερ (Playfair's postulate), που δηλώνει ότι, σε ένα επίπεδο 2 διαστάσεων, για κάθε ευθέια ε και σημείο A, εκτός της ε, υπάρχει ακριβώς μια ευθεία διερχόμενη απο το A που δεν τέμνει την ε. Αντίθετα, στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν άπειρες το πλήθος ευθείες διερχόμενες απο το A που δεν τέμνουν την ε, ενώ στην ελλειπτική γεωμετρία, κάθε ευθεία διερχόμενη του A τέμνει την ε.

Άλλος τρόπος να περιγράψουμε την διαφορά μεταξύ αυτών των γεωμετριών είναι να θεωρήσουμε 2 ευθείες επ'αόριστον επεκταμένες σε ενα δισδιάστατο επίπεδο που είναι και οι 2 κάθετες σε μία 3η ευθεία:

  • Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία οι ευθείες διατηρούν σταθερή απόσταση η μία απο την άλλη ακόμα και αν επεκταθούν στο άπειρο, και είναι γνωστές ως παράλληλες.
  • Στην υπερβολική γεωμετρία "καμπυλώνουν" απομακρύνοντας η μία απο την άλλη, αυξάνοντας την μεταξύ τους απόσταση καθώς η μία απομακρύνεται από τα σημεία τομής με την κοινή κάθετη; τέτοιες ευθείες συχνά αποκαλούνται υπερπαράλληλες.
  • Στην ελλειπτική γεωμετρία "καμπυλώνουν" η μία προς την άλλη και τέμνονται.

Ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πρώιμη ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ενώ η Ευκλείδεια Γεωμετρία, που ονομάστηκε από τον Έλληνα Μαθηματικό Ευκλείδη, περιέχει μερικά από τα αρχαιότερα μαθηματικά, οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες δεν ήταν ευρέως αποδεκτές ως έγκυρες μέχρι τον 19ο αιώνα.

Η αντιπαράθεση που τελικά οδήγησε στην ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών ξεκίνησε σχεδόν όταν το έργο του Ευκλείδη Elements γράφτηκε. Στο έργο Elements, ο Ευκλείδης ξεκίνησε με έναν περιορισμένο αριθμό υποθέσεων (23 ορισμοί, πέντε κοινές γνώμες, και πέντε αξιώματα) και πεθύμησε να αποδείξει όλα τα άλλα αποτελέσματα (προτάσεις) στο έργο. Η πιο αξιοσημείωτη από τις διατυπώσεις είναι συχνά αναφερόμενη ως "Το Πέμπτο Αξίωμα του Ευκλείδη," ή απλούστερα η "Παράλληλη Διατύπωση", η οποία αρχική διατύπωση του Ευκλείδη είναι:

Αν μια ευθεία γραμμή τέμνει δυο άλλες ευθείες γραμμές έτσι ώστε οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες που σχηματίζονται να έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε, όταν οι δύο ευθείες προεκταθούν απεριόριστα, θα συναντηθούν από εκείνη τη πλευρά όπου σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες.

Άλλοι μαθηματικοί έχουν επινοήσει απλούστερες μορφές αυτής της ιδιότητας. Παρ'όλο την μορφή του αξιώματος, ωστόσο, εμφανίζεται μεγαλύτερη πολυπλοκότητα από τα άλλα αξιώματα του Ευκλείδη (τα οποία περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, "Μεταξύ οποιονδήποτε δύο σημείων μία ευθεία γραμμή μπορεί να σχηματιστεί").

Για τουλάχιστον χίλια χρόνια,αυτοί που ασχολούνταν με την γεωμετρία ήταν προβληματισμένοι από την ανόμοια πολυπλοκότητα του πέμπτου αξιώματος, και πίστευαν ότι μπορούσε να αποδειχθεί ως ένα θεώρημα που προέρχεται από τα άλλα τέσσερα αξιώματα.Πολλοί προσπάθησαν να βρούνε μία εις άτοπον απαγωγή, συμπεριλαμβανομένων των Ibn al-Haytham (Alhazen, 11ος αιώνας),[1] Omar Khayyám (12ος αιώνας), Nasīr al-Dīn al-Tūsī (13ος αιώνας), και Giovanni Girolamo Saccheri (18ος αιώνας).

Τα θεωρήματα του Ibn al-Haytham, Khayyam και al-Tusi για τετράπλευρα, συμπεριλαμβανομένων τα τετράπλευρο Lambert και τετράπλευρο Saccheri, ήταν "τα πρώτα θεωρήματα της Υπερβολική Γεωμετρία και της Ελλειπτική Γεωμετρία." Αυτά τα θεωρήματα μαζί με εναλλακτικά αξιώματα τους, όπως το αξίωμα του Playfair, έπαιξε σημαντικό ρόλο στη μετέπειτα ανάπτυξη της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Αυτές οι πρώτες απόπειρες να αμφισβητηθεί το πέμπτο αξίωμα είχε σημαντική επίδραση στην ανάπτυξη μεταξύ άλλων των Ευρωπαίων που ασχολούνταν με την γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένων των Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis και Saccheri.[2]Όλες αυτές οι πρώιμες προσπάθειες γινόταν στην προσπάθεια να διατυπωθεί η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία ωστόσο δίνανε εσφαλμένες αποδείξεις του αξιώματος των παραλλήλων, που περιείχαν υποθέσεις που ήταν ουσιαστικά ισοδύναμες με το αξίωμα των παραλλήλων. Αυτές οι πρώτες απόπειρες παρείχαν, ωστόσο, κάποιες πρώιμες ιδιότητες της υπερβολικής και ελλειπτικής γεωμετρίας.

Ο Khayyam, για παράδειγμα, προσπάθησε να το ετυμολογήσει από ένα ισοδύναμο αξίωμα που διατυπώθηκε "οι αρχές του φιλόσοφου" (Αριστοτέλης): "Δύο συγκλίνουσες ευθείες τέμνονται και είναι αδύνατο για δύο συγκλίνουσες ευθείες να αποκλίνουν στην κατεύθυνση στην οποία αυτές συγκλίνουν."[3]Ο Khayyam εξέτασε στη συνέχεια τις τρεις σωστές περιπτώσεις ,αμβλεία και οξεία and acute that the summit angles του τετράπλευρου Saccheri can take and after proving a number of theorems about them, διέψευσε σωστά τις περιπτώσεις της αμβλείας και οξείας γωνίας με βάση το αξίωμα του και ως εκ τούτου διατύπωσε το κλασικό αξίωμα του Ευκλείδη το οποίο δεν συνειδητοποίησε ότι ήταν ισοδύναμο με τη δική του διατύπωση. Άλλο ένα παράδειγμα είναι ο γιός του al-Tusi,ο Sadr al-Din (μερικές φορές γνωστός ως "Ψευδό-Tusi"), ο οποίος έγραψε ένα βιβλίο πάνω σε αυτό το θέμα το 1298, με βάση τις μετέπειτα σκέψεις του al-Tusi's, στο οποίο παρουσίασε μία άλλη υπόθεση που ισοδυναμεί με το αξίωμα των παραλλήλων. "Αυτός ουσιαστικά αναθεώρησε και το Ευκλείδειο σύστημα αξιωμάτων και τις διατυπώσεις και τις αποδείξεις από πολλά θεωρήματα απο το βιβλίο "Στοιχεία."[4][5] Το έργο του δημοσιεύτηκε στη Ρώμη το 1594 και μελετήθηκε από τους Ευρωπαίους που ασχολούνταν με την γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένων του Saccheri[4] ο οποίος χαρακτήρισε αυτό το έργο τόσο καλό όσο αυτό του Wallis.[6]

Ο Giordano Vitale, στο βιβλίο του Euclide restituo (1680, 1686), χρησιμοποίησε το τετράπλευρο Saccheri για να αποδείξει ότι εάν τρία σημεία ισαπέχουν από τη βάση ΑΒ και τη κορυφή ΓΔ, τότε τα ΑΒ και ΓΔ έχουν παντού την ίδια απόσταση.

Σε ένα έργο με τίτλο Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Freed from All Flaws), που δημοσιεύτηκε το 1733, ο Saccheri γρήγορα απέρριψε την ελλειπτική γεωμετρία ως μία πιθανότητα (κάποια άλλα αξιώματα του Ευκλείδη έπρεπε να τροποποιηθούν ώστε να μπορέσουν να χρησιμοποιηθούν στην ελλειπτική γεωμετρία) και άρχισε να εργάζεται αποδεικνύοντας ένα μεγάλο αριθμό αποτελεσμάτων στην υπερβολική γεωμετρία.

Αυτός τελικά έφτασε σε ένα σημείο όπου πίστευε ότι τα αποτελέσματα του αποδείκνυαν την αδυναμία της υπερβολικής γεωμετρίας. Ο ισχυρισμός του φαίνεται να έχει βασιστεί στις Ευκλείδειες υποθέσεις, γιατί η μη λογική αντίφαση ήταν παρούσα. Σε αυτή την προσπάθεια να αποδείξει την Ευκλείδεια γεωμετρία αντ'αυτού ανακάλυψε τυχαία μία νέα εφικτή(viable) γεωμετρία, αλλά δεν το συνειδητοποίησε.

Το 1766 ο Johann Lambert έγραψε, αλλά δεν το δημοσίευσε, το Theorie der Parallellinien στο οποίο προσπάθησε, 'οπως έκανε και ο Saccheri, να αποδείξει το πέμπτο αξίωμα. Δούλεψε με μία φιγούρα που σήμερα ονομάζεται τετράπλευρο Lambert, ένα τετράπλευρο με τρεις ορθές γωνίες (μπορεί να θεωρηθεί το ήμισυ του τετράπλευρου Saccheri). Αυτός γρήγορα εξάλειψε το ενδεχόμενο ότι η τέταρτη γωνία είναι αμβλεία, όπως είχε κάνει ο Saccheri και ο Khayyam, και στη συνέχεια προχώρησε ώστε να αποδείξει πολλά θεωρήματα με την παραδοχή της οξείας γωνίας. Σε αντίθεση με τον Saccheri, ποτέ δεν αισθάνθηκε ότι he had reached a contradiction with this assumption. Απόδειξε την μη Ευκλείδεια γεωμετρία result that the sum of the angles in a triangle increases as the area of the triangle decreases, and this led him to speculate on the possibility of a model of the acute case on a sphere of imaginary radius. He did not carry this idea any further.[7]

Εκείνη τη στιγμή ήταν ευρέως πίστευαν ότι το σύμπαν λειτουργούσε σύμφωνα με τις αρχές της ευκλείδειας γεωμετρίας.[8]

Ανακάλυψη Μη-Ευκλείδιας Γεωμετρίας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η αρχή του 19ου αιώνα θα έβλεπε επιτέλους αποφασιστικά βήματα για τη δημιουργία της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Γύρω στο 1813, ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (Carl Friedrich Gauss) και το 1818, ο Γερμανός καθηγητής της Νομικής Φέρντιναντ Καρλ Σβάικαρτ (Ferdinand Karl Schweikart)[9] είχαν τις πρωτογενής ιδέες της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας, αλλά κανένας απο τους 2 δεν δημοσίευσε κανένα αποτέλεσμα. Στη συνέχεια, γύρω στο 1830, ο Ούγγρος μαθηματικός Χάνος Μπολιάι (János Bolyai) και ο Ρώσος μαθηματικός Νικολάι Ιβανόβιτς Λομπατσέφσκι (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) δημοσιεύουν χωριστά πραγματείες για την υπερβολική γεωμετρία.

Ως εκ τούτου,η υπερβολική γεωμετρία θα ονομαστεί Bolyai-Lobachevskian γεωμετρία, ενώ οι δύο μαθηματικοί, ανεξάρτητα μεταξύ τους, γίνονται οι βασικοί συντάκτες της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας.Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (Gauss) αναφέρθηκε στον πατέρα του Bolyai, όταν παρουσίαζε το έργο του νεώτερου Μπολιάι (Bolyai), ότι είχε αναπτύξει μια τέτοια γεωμετρία αρκετά χρόνια πριν,[10] αν και ο ίδιος δεν την είχε δημοσιεύσει. Παράλληλα ο Λομπατσέφσκι (Lobachevsky) δημιούργησε μια Ευκλείδεια γεωμετρία με άρνηση του παράλληλου αξιώματος, ενώ ο Μπολιάι (Bolyai) επεξεργάστηκε μια γεωμετρία, όπου είναι δυνατή τόσο η Ευκλείδεια, όσο και η υπερβολική γεωμετρία ανάλογα με την παράμετρο k. Ο Μπολιάι (Bolyai) τελειώνει το έργο του, αναφέροντας ότι δεν είναι δυνατόν να αποφασίσει, σύμφωνα με τη μαθηματική λογική και μόνο, αν η γεωμετρία του φυσικού σύμπαντος είναι Ευκλείδεια ή μη Ευκλείδεια. Δίνοντας μόνος του την απάντηση ότι αυτό είναι αρμοδιότητα των φυσικών επιστημών.

Ο Μπέρναρντ Ρίμαν (Bernhard Riemann), σε μια διάσημη διάλεξη του το 1854, ίδρυσε το πεδίο Γεωμετρία Riemann, συζητώντας κυρίως τις ιδέες που σήμερα ονομάζεται συλλέκτες, μετρικό Riemannian, και καμπυλότητα. Κατασκεύασε μια άπειρη οικογένεια από γεωμετρίες που δεν είναι Ευκλείδειες δίνοντας μια φόρμουλα για μια οικογένεια από Riemannian μετρήσεις στη μονάδα επιλογέα στον Ευκλείδειο χώρο. Η απλούστερη από αυτές ονομάζεται ελλειπτική γεωμετρία και θεωρείται ότι είναι μία μη Ευκλείδεια γεωμετρία, λόγω της έλλειψης των παράλληλων γραμμών.[11]


Με τη διαμόρφωση της γεωμετρίας από την άποψη της τανυστής καμπυλότητας Riemann επιτρέπεται η μη Ευκλείδεια γεωμετρία να εφαρμόζεται σε υψηλότερες διαστάσεις.


Ορολογία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ήταν ο Κάρλ Φρίντριχ Γκάους (Gauss) που επινόησε τον όρο "μη-Ευκλείδεια γεωμετρία".[12] Αναφερόμενος στο δικό του έργο που σήμερα ονομάζουμε υπερβολική γεωμετρία. Αρκετοί σύγχρονoι συγγραφείς εξακολουθούν να θεωρούν συνώνυμη την "μη-Ευκλείδεια γεωμετρία" με την "υπερβολική γεωμετρία".

Ο Άρθουρ Κέυλ (Arthur Cayley) σημείωσε ότι η απόσταση μεταξύ των σημείων μέσα σε κωνικό σχήμα μπορούν να οριστούν με λογαριθμικές βάσεις και με λειτουργία πολλαπλής αναλογίας. Η μέθοδος αυτή έχει ονομαστεί Cayley-Klein μέτρηση , γιατί ο Φέλιξ Κλάιν (Felix Klein) την αξιοποίησε για να περιγράψει τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες στα άρθρα του [13] το 1871 και 1873 και αργότερα σε μορφή βιβλίου. Οι μετρήσεις Cayley-Klein παρέχουν μοντέλα εργασίας στην υπερβολική και ελλειπτική μετρική γεωμετρία, καθώς και στην Ευκλείδεια γεωμετρία.

O Φέλιξ Κλάιν (Klein) είναι υπεύθυνος για τους όρους "υπερβολική" και "ελλειπτική" (στο σύστημά του, ονόμασε την Ευκλείδεια γεωμετρία "παραβολική", ένας όρος που γενικά έπεσε σε αχρηστία [14] ). Η επιρροή του οδήγησε στη σημερινή χρήση του όρου «μη-Ευκλείδεια γεωμετρία" ώστε να σημαίνει είτε «υπερβολική» ή «ελλειπτική" γεωμετρία.

Επίσης υπάρχουν κάποιοι μαθηματικοί που διευρύνουν τον κατάλογο των γεωμετριών που θα αποκαλείται "μη-Ευκλείδεια" με διάφορους τρόπους.[15]


Αξιωματική Βάση Μη-Ευκλείδειας Γεωμετρίας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η Ευκλείδεια γεωμετρία μπορεί να περιγραφεί αξιωματικά με διάφορους τρόπους. Δυστυχώς ,το αρχικό σύστημα του Ευκλείδη των πέντε αξιωμάτων δεν είναι ένας από αυτούς καθώς οι αποδείξεις του στηρίχτηκαν σε διαφορές μη δεδηλωμένες υποθέσεις που θα πρέπει επίσης να έχουν συμπεριληφθεί ως αξιώματα. Το σύστημα του Hilbert ( Hilbert's axioms )που αποτελείται από 20 αξιώματα [16] ακολουθεί πιο πιστά την προσέγγιση του Ευκλείδη και παρέχει την αιτιολόγηση για όλες τις αποδείξεις του Ευκλείδη. Άλλα συστήματα, χρησιμοποιώντας διαφορετικά σύνολα από τους απροσδιορίστους όρους ( Primitive notion ) εξασγαλίζουν την ιδία γεωμετρία με διαφορετικές διαδρομές. Σε όλες τις προσεγγίσεις, ωστόσο, υπάρχει ένα αξίωμα το όποιο είναι λογικά ισοδύναμο με το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη, το αξίωμα των παραλλήλων. Ο Hilbert ( David Hilbert ) χρησιμοποιεί τη φόρμα του αξιώματος Playfair, ενώ ο Birkhoff, για παράδειγμα ,χρησιμοποιεί το αξίωμα που λέει ότι "υπάρχει ένα ζευγάρι από όμοια αλλά όχι ίσα τρίγωνα". Σε οποιοδήποτε από αυτά τα συστήματα, η αφαίρεση του ενός αξιώματος που είναι ισοδύναμο με το αξίωμα των παραλλήλων, σε όποια μορφή και αν παίρνει, και αφήνοντας όλα τα υπόλοιπα αξιώματα άθικτα, παράγει την απολυτή γεωμετρία. Δεδομένου ότι οι πρώτες 28 προτάσεις του Ευκλείδη (στο “Τα στοιχειά” ) δεν απαιτούν τη χρήση του αξιώματος των παραλλήλων ή οτιδήποτε ισοδυναμεί με αυτό, είναι όλες αληθείς προτάσεις στην απολυτή γεωμετρία.[17]

Για να έχετε μια μη ευκλείδεια γεωμετρία, το παράλληλο αξίωμα (ή το ισοδύναμο του) πρέπει να αντικατασταθεί από την άρνηση του. Η αναίρεση της μορφής του αξιώματος Playfair, δεδομένου ότι είναι μια σύνθετη εντολή (… υπάρχει ένα και μόνο ένα …),μπορεί να γίνει με δυο τρόπους. Είτε θα υπάρχουν περισσότερες από μια ευθείες που διέρχονται από ένα σημείο παράλληλες με την δοσμένη ευθεία ή θα υπάρχει μόνο μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο παράλληλη με την δοσμένη ευθεία. Στην πρώτη περίπτωση, αντικαθιστώντας το παράλληλο αξίωμα (ή το ισοδύναμο του) με την πρόταση “Σε ένα επίπεδο, δίνεται ένα σημείο P και μια ευθεία l που δεν διέρχεται από το σημείο P,υπάρχουν μόνο δυο ευθείες που διέρχονται από το P οι οποίες δεν τέμνονται με την l” και διατηρώντας όλα τα αλλά αξιώματα, παίρνουμε υπερβολική γεωμετρία.[18] Η δεύτερη περίπτωση δεν αντιμετωπίζεται με την ιδία ευκολία. Απλά αντικαθιστώντας το παράλληλο αξίωμα με την πρόταση “Σε ένα επίπεδο, δίνεται ένα σημείο P και μια ευθεία l που δεν διέρχεται από το P,όλες οι ευθείες που θα διέρχονται από το P θα τέμνονται με την l”,δεν μας δίνει ένα συνεπές σύνολο αξιωμάτων. Αυτό προκύπτει δεδομένου ότι υπάρχουν παράλληλες ευθείες στην απολυτή γεωμετρία ,[19] αλλά αυτή η πρόταση λέει ότι δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες. Το πρόβλημα αυτό ήταν γνωστό (με διαφορετικό προσωπείο) στους Khayyam, Saccheri and Lambert και αποτέλεσε τη βάση για να απορρίψουν ότι ήταν γνωστό ως η "υπόθεση της αμβλείας γωνιάς". Για να έχουμε ένα συνεπές σύνολο αξιωμάτων που περιλαμβάνει το αξίωμα που λέει ότι δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες, μερικά από τα αλλά αξιώματα πρέπει να αλλαχτούν. Οι προσαρμογές που πρέπει να γίνουν εξαρτώνται από το σύστημα των αξιωμάτων που χρησιμοποιείται. Μεταξύ άλλων αυτές οι μετατροπές θα πρέπει να έχουν ως αποτέλεσμα τη μεταβολή του δευτέρου αξιώματος του Ευκλείδη από την δήλωση ότι τα τμήματα μιας ευθείας μπορούν να επεκταθούν επ’ άπειρον στην δήλωση ότι οι ευθείες δεν έχουν όρια. Η ελλειπτική γεωμετρία του Riemann αναδεικνύεται ως η πιο φυσική γεωμετρία που ικανοποιεί το αξίωμα αυτό.

Μοντέλα Μη-Ευκλείδιας Γεωμετρίας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πρότυπο:Details

Σε μια σφαίρα, το άθροισμα των γωνιών ενός τρίγωνου δεν είναι ίσο με 180°. Η επιφάνεια της σφαίρας δεν είναι ευκλείδειος χώρος, αλλά σε τοπικό επίπεδο οι νομοί της ευκλείδειας γεωμετρίας αποτελούν καλές προσεγγίσεις. Για παράδειγμα σε ένα μικρό τρίγωνο που σχηματίζεται στην επιφάνεια της γης, το άθροισμα των γωνιών του είναι σχεδόν ίσο με 180°.

Η δισδιάστατη ευκλείδεια γεωμετρία είναι βασισμένη στην αντίληψη ενός μονότονου επίπεδου.

Ελλειπτική Γεωμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: [[Elliptic geometry|Elliptic geometry]]

Το απλούστερο μοντέλο για την ελλειπτική γεωμετρία (elliptic geometry) είναι μια σφαίρα, όπου οι γραμμές της είναι μεγάλoι κύκλοι (great circle) (όπως ο ισημερινός ή οι μεσημβρινοί κύκλοι σε μια σφαίρα), και τα σημεία απέναντι το ένα από το άλλο (που ονομάζονται αντίποδες μονάδες(antipodal points)) προσδιορίζονται (θεωρείται ότι είναι το ίδιο). Αυτό είναι επίσης ένα από τα βασικά μοντέλα του πραγματικού προβολικού επιπέδου (real projective plane). Η διαφορά είναι ότι, ως μοντέλο της ελλειπτικής γεωμετρίας μια μετρική εισάγεται επιτρέποντας τη μέτρηση των μηκών και γωνιών, ενώ ως ένα μοντέλο του προβολικού επιπέδου δεν υπάρχει καμία τέτοια μετρική.

Στο ελλειπτικό μοντέλο, για οποιοδήποτε ℓ γραμμή και ένα σημείο Α,
το οποίο δεν είναι στο ℓ, όλες οι γραμμές μέσω του Α θα τέμνονται στην ℓ.

Υπερβολική Γεωμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πλήρες Αγγλικό Άρθρο : Hyperbolic geometry

Ακόμα και μετά την δουλειά των Λομποτσέφσκι ( Nikolai Lobachevsky ), Γκάους ( Carl Friedrich Gauss ) , και Μπόλγευ ( János Bolyai ) , η ερώτηση παρέμεινε: "Υπάρχει τέτοιο μοντέλο για την υπερβολική γεωμετρία?". Η απάντηση ήρθε το 1868 απο τον Ιταλό μαθηματικό Ευγένιο Μπελτράμυ ( Eugenio Beltrami ) που πρώτος έδειξε οτη επιφάνεια ψευδοσφαίρα ( Pseudosphere ) έχει την κατάλληλη καμπυλότητα ( curvature ) για να παραστήσει ένα μέρος του υπερβολικος χώρος ( Hyperbolic space ) , και σε δεύτερο έγγραφό του την ίδια χρονιά, όρισε το Μοντέλο του Κλέιν ( Beltrami–Klein model )το οποίο παριστά την ολότητα του υπερβολικού χώρου, και το χρησιμοποίησε για να δείξει οτι η Ευκλείδεια Γεωμετρία και η υπερβολική γεωμετρία ήταν ισοδύναμες ( Equiconsistency )με τρόπο τέτοιο ώστε η υπερβολική γεωμετρία ήταν λογικά αληθής ( logically consistent ) αν και μόνο αν το ίδιο ίσχυε για την Ευκλείδεια. (Το αντίστροφο απορρέει απο το οροσφαιρικό ( Horosphere ) μοντέλο της Ευκλείδειας.)

Στο υπερβολικό μοντέλο, στο επίπεδο 2 διαστάσεων, για κάθε ευθεία λ και σημείο Α, εκτός της λ, υπάρχουν άπειρες ευθείες που διέρχονται απο το Α χωρίς να τέμνουν την λ.

Σε αυτά τα μοντέλα οι έννοιες των μη-Ευκλείδειων γεωμετριών αναπαρίστανται απο Ευκλείδεια αντικείμενα σε Ευκλείδεια σύνθεση. Αυτό εισάγει μια αντιπηπτική αλλοίωση όπου οι ευθείες της μη-Ευκλείδειας γεωμετρίας αναπαρίστανται απο ευκλείδειες καμπύλες οι οποίες οπτικά λυγίζουν. Αυτήν η "καμπύλωση" δεν είναι ιδιότητα των μη-Ευκλείδειων ευθειών παρά μόνο ένα τέχνασμα για το πως τις παριστάνουμε.

Μη-Ευκλείδεια Γεωμετρία με 3 διαστάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Thurston geometry

Στις τρεις διαστάσεις, υπάρχουν οκτώ μοντέλα γεωμετριών.[20] Υπάρχουν οι ευκλείδειες, οι ελλειπτικές και οι υπερβολικές γεωμετρίες( όπως και στην δισδιάστατη περίπτωση), μεικτές γεωμετρίες που είναι μερικώς ευκλείδειες και μερικώς υπερβολικές ή σφαιρικές, παραλλαγμένες εκδόσεις των μεικτών γεωμετριών και μια ασυνήθιστη γεωμετρία που είναι εντελώς ανισότροπη (δηλαδή κάθε κατεύθυνση συμπεριφέρεται διαφορετικά).

Ασυνήθιστες Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Lambert τετράπλευρο στην υπερβολική γεωμετρία
Saccheri τετράπλευρα στις τρεις γεωμετρίες

Οι ευκλείδειες και οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες έχουν φυσικά πολλές παρόμοιες ιδιότητες, όπως αυτές που δεν εξαρτώνται από τη φύση του παραλληλισμού. Αυτά τα κοινά στοιχειά αποτελούν το θέμα της απολυτής γεωμετρίας (επίσης ονομάζεται και ουδέτερη γεωμετρία). Ωστόσο, οι ιδιότητες οι οποίες ξεχωρίζουν την μια γεωμετρία από τις άλλες είναι αυτές που ιστορικά έχουν λάβει τη μεγαλύτερη προσοχή.

Εκτός από την συμπεριφορά των ευθειών σε σχέση με μια κοινή κάθετο, όπως αναφέρεται στην εισαγωγή, έχουμε και τα εξής :

  • Ένα τετράπλευρο Lambert είναι ένα τετράπλευρο που έχει τρεις ορθές γωνίες. Η τέταρτη γωνία ενός τετραπλεύρου Lambert είναι οξεία αν η γεωμετρία είναι υπερβολική, ορθή αν η γεωμετρία είναι ευκλείδεια και αμβλεία αν η γεωμετρία είναι ελλειπτική.
  • Ένα τετράπλευρο Saccheri είναι ένα τετράπλευρο το όποιο έχει δυο πλευρές ίσου μήκους και κάθετες προς μια άλλη πλευρά που λέγεται βάση. Οι άλλες δυο γωνίες ενός τετραπλεύρου Saccheri ονομάζονται γωνίες κορυφής και έχουν ίσο μετρό. Οι γωνίες κορυφής ενός τετραπλεύρου Saccheri είναι οξείες αν η γεωμετρία είναι υπερβολική, ορθές αν η γεωμετρία είναι ευκλείδεια και αμβλείες αν η γεωμετρία είναι ελλειπτική.
  • Το άθροισμα των μέτρων των γωνιών οποιουδήποτε τρίγωνου είναι λιγότερο από 180° αν η γεωμετρία είναι υπερβολική, ίση 180° αν η γεωμετρία είναι ευκλείδεια και περισσότερο από 180° αν η γεωμετρία είναι ελλειπτική. Το ελάττωμα ενός τρίγωνου είναι η αριθμητική τιμή (180° - άθροισμα των μέτρων των γωνιών του τρίγωνου). Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί επίσης να αναφερθεί ως: το ελάττωμα των τριγώνων στην υπερβολική γεωμετρία είναι θετική τιμή, το ελάττωμα των τριγώνων στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι μηδενικό και το ελάττωμα των τριγώνων στην ελλειπτική γεωμετρία είναι αρνητική τιμή.

Σημασία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η μη ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια παραδειγματική στροφή στην ιστορία της επιστήμης[21] Πριν παρουσιαστούν τα μοντέλα ενός μη ευκλείδειου επίπεδου από τους Beltrami, Klein, και Poincaré, η ευκλείδεια γεωμετρία ήταν αδιαμφισβήτητη ως το μαθηματικό μοντέλο του χώρου. Επιπλέον, δεδομένου ότι η ουσία του θέματος στη συνθετική γεωμετρία ήταν ένα κύριο έκθεμα του ορθολογισμού, η ευκλείδεια άποψη εκπροσωπούσε την απολυτή εξουσία. Η ανακάλυψη των μη ευκλείδειων γεωμετριών είχε πολλαπλασιαστικές επιπτώσεις που πήγαν πολύ περά από τα όρια των μαθηματικών και της επιστήμης. Η θεραπεία της ανθρώπινης γνώσης του φιλοσόφου Immanuel Kant είχε έναν ιδιαίτερο ρολό για την γεωμετρία. Ήταν το χαρακτηριστικό παράδειγμα της σύνθεσης πριν από την γνώση που δεν προέρχονταν από τις αισθήσεις μας, ούτε προκύπτουν από την λογική — η γνώση μας για τον χώρο ήταν μια αλήθεια με την όποια γεννηθήκαμε. Δυστυχώς για τον Kant, η αντίληψη του για αυτήν την αναλλοίωτη αληθινή γεωμετρία ήταν Ευκλείδεια. Ακόμα και η θεολογία επηρεάστηκε από την αλλαγή από την απολυτή αλήθεια στην σχετική αλήθεια στα μαθηματικά, που ήταν αποτέλεσμα της αλλαγής του παραδείγματος.[22]

Η ύπαρξη μη ευκλείδειων γεωμετριών επηρέασε την πνευματική ζωή της βικτωριανής Αγγλίας με πολλούς τρόπους[23] και συγκεκριμένα ήταν από τους κυριότερους λογούς που προκάλεσαν την επανεξέταση της διδασκαλίας της γεωμετρίας με βάση τα στοιχειά του Ευκλείδη. Το θέμα αυτό του προγράμματος σπουδών ήταν πολυσυζητημένο την εποχή εκείνη και έγινε ακόμα και το θέμα μιας παράστασης, Ο Ευκλείδης και οι σύγχρονοι ανταγωνιστές του, γραμμένο από τον Lewis Carroll, συγγραφέας του Alice in Wonderland.[24]

Επίπεδες Άλγεβρες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην αναλυτική γεωμετρία ( Analytic Geometry ) ένα επίπεδο ( Plane )περιγράφεται με καρτεσιανές συντεταγμένες ( Cartesian coordinate system ) : C = {(x,y) : x, y ανήκουν R}. Τα σημεία μερικές φορές προσδιορίζονται με μιγαδικούς της μορφής z = x + y ε όπου το τετράγωνο του ε ανήκει στο {−1, 0, +1}. Το Ευκλείδιο επίπεδο αντιστοιχεί στην περίπτωση ε2 = −1 αν το μέτρο του z δίνεται από

z z^\ast = (x + y \epsilon) (x - y \epsilon) = x^2 + y^2

και αυτή η ποσότητα είναι το τετράγωνο της ευκλείδιας απόστασης ( Euclidean distance ) μεταξύ του z και της αρχής. Για παράδειγμα, {z : z z* = 1} είναι ο μοναδιαίος κύκλος ( Unit Circle ).

Για την επίπεδη άλγεβρα, η μη-ευκλείδιια γεωμετρία εμφανίζεται σε άλλες περιπτώσεις. Όταν \epsilon ^2 = +1, τότε ο z είναι υπερβολικός αριθμός ( Split-complex number ) και συμβατικά ο j αντικαθιστά τον εψιλον. Τοτε

z z^\ast = (x + yj) (x - yj) = x^2 - y^2 \!

και η {z : z z* = 1} είναι η μοναδιαία υπερβολή ( Unit hyperbola ).

Όταν \epsilon ^2 = 0, ο z είναι δυικός αριθμός ( Dual number ).[25]

Αυτή η προσέγγιση στην μη-Ευκλείδια γεωμετρία εξηγεί την κατεύθυνση που ακολουθούμε για να λύσουμε προβλήματα στην μη-Ευκλείδια γεωμετρία: οι παράμετροι της κλίσης ( Slope )στο επίπεδο των δυικών αριθμών και της υπερβολικής γωνίας ( Hyperbolic angle ) στο επίπεδο των υπερβολικών αιθμών αντιστοιχούν στην γωνία στην Ευκλείδια Γεωμετρία. Πράγματι, και οι 2 προκύπτουν σε πολική ανάλυση ( Polar decomposition ) ενός μιγαδικού z.[26]

Κινηματικές Γεωμετρίες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η υπερβολική γεωμετρία βρήκε μια εφαρμογή στην κινηματική με την κοσμολογία να εισάγεται απο τον Χέρμαν Μινκόφσκι ( Hermann Minkowski ) το 1908. Ο Μινκόφσκι εισήγαγε όρους όπως το worldline (~~το ίχνος θέσης ενός αντικειμένου στον 4διάστατο χωροχρόνο μεταβάλλοντας την διάσταση του χρόνου) και το Proper time στη μαθηματική φυσική. Συνειδητοποιήσε ότι η ~υποπολλαπλότητα~ ( submanifold ), από συμβάντα μία στιγμή μετά την proper time στο μέλλον μπορούσαν να θεωρηθούν ως υπερβολικός χώρος ( hyperbolic space ) με 3 διαστάσεις.[27][28] Ήδη γύρω στο 1890 ο Αλεξάντερ Μακφερλεην ( Alexander Macfarlane ) χαρτογραφούσε αυτήν την ~υποπολλαπλότητα~ μέσω της Άλγεβρας της Φυσικης του (δηλαδή της εισαγωγής των τετραδικών αριθμών στην φυσική) και των υπερβολικών τετραδικών αριθμών ( Hyperbolic quaternion ), αν και ο Μακφερλεην δεν χρησιμοποίησε κοσμολογική γλώσσα, σε αντίθεση με τον Μινόφσκι το 1908. Πλέον, η σχετική δομή καλείτεαι υπερβολοειδές μοντέλο ( Hyperboloid model ) της υπερβολικής γεωμετρίας.

Οι μη-Ευκλείδειες επίπεδες άλγεβρες υποστηρίζουν τις κινηματικές γεωμετρίες στο επίπεδο. Για παράδειγμα, ο υπερβολικός αριθμός ( Split-complex number ) z = eaj μπορεί να παριστάνει ένα χωροχρονικό συμβάν μία στιγμή στο μέλλον απο ένα σύστημα αναφοράς (σχετικής) ταχύτητας ( Rapidity )a. Επιπλέον, ο πολλαπλασιασμός με τον z μας δίνει έναν μετασχηματισμό Λορενζ ( Lorentz boost ) απεικονίζοντας το σύστημα με (σχετική)ταχύτητα μηδέν σε αυτό με (σχετική)ταχύτητα a.

Κινηματικές έρυνες χρησιμοποιούν τους δυικούς αριθμούς ( dual numbers ) z = x + y \epsilon, \quad \epsilon^2 = 0, για να αναπαραστήσουν την κλασική περιγραφή/παράσταση της κίνησης στον απόλυτο χρόνο και χώρο ( absolute time and space ): Οι εξισώσεις x^\prime = x + vt,\quad t^\prime = t είναι ισοδύναμες με μια διατομή/διάτμηση απεικόνιση ( shear mapping ) στην γραμμική άλγεβρα. :

\begin{pmatrix}x' \\ t' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ t \end{pmatrix}.

Με τους δυικούς αριθμούς η απεικόνιση είναι t^\prime + x^\prime \epsilon = (1 + v \epsilon)(t + x \epsilon) = t + (x + vt)\epsilon.[29]

Άλλη άποψη της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας ( special relativity ) ως μη-Ευκλείδεια γεωμετρία αναπτύχθηκε απο τον Ε.Μπ. Γουίλσον ( Edwin Bidwell Wilson ) και τον Γκίλμπερτ Λούις ( Gilbert N. Lewis ) κατα την διάρκεια του Αμερικάνικης Ακαδιμίας Τεχνών και Επιστημών ( American Academy of Arts and Sciences )το 1912. Ανανέωσαν την ασάφεια της αναλυτικής γεωμετρίας της υπερβολικής άλγεβρας στην συνθετική γεωμετρία ( synthetic geometry ) προτάσεων και συμπερασμάτων.[30][31]

Mυθιστόρημα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία συχνά εμφανίζεται σε έργα επιστημονικής φαντασίας και γενικότερης φαντασίωσης. Ο καθηγητής Τζέιμς Μοριάρτι ( James Moriarty ) , χαρακτήρας ( character ) στις ιστορίες του Σιρ Άρθουρ Κόναν Ντόιλ ( Arthur Conan Doyle ) , είναι εγκληματική ιδιοφυΐα με Ντοκτορά ( PH.D ) στις μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες.

Το 1895 ο Χ.Τ. Γουέλς ( H. G. Wells ) δημοσίευσε το διήγημα "Η αξιοσημείωτη υπόθεση των ματιών του Νταβιντσον". Για να εκτιμήσει κάποιος αυτήν την ιστορία πρέπει να γνωρίζει με ποιόν τρόπο τα αντιδιαμετρικά σημεία ( antipodal points )πάνω σε μία σφαίρα προσδιορίζονται σε ενα μοντέλο ελλειπτικού επιπέδου. Στην ιστοσρία, στο μέσο κάποιας καταιγίδας, ο Σίντνευ Νταβιντσον βλέπει "Κύμματα και μία συγιρισμένη σκούνα" ενώ δουλεύει σε ένα ηλεκτρικό εργοστάσιο στο Τεχνικό κολέγιο στο Χάρλοου. Στο κλείσιμο της ιστορίας ο Ντάβιντσον αποδεικνύει οτι είδε το RAF Lossiemouth μακρυά απο τα ~~αντίποδα νησιά~~ ( Antipodes Islands ).

Η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία μερικές φορές ειναι συνδεδεμένη με την επίδραση του συγγραφέα του 20ου αιώνα Χ.Φ. Λόβκραφτ ( H. P. Lovecraft ).Στα έργα του, πολλά αφύσικα πράγματα ακολουθούν τους δικούς τους νόμους γεωμετρίας: Στο βιβλίο του Λόβκραφτ "Ο μύθος του Κθουλχου" ( Cthulhu Mythos ), η βυθισμένη πόλη Αρλάυ ( R'lyeh ) χαρακτηρίζεται απο την μη-Ευκλείδεια γεωμετρία της. Υπονοείται ότι αυτο έρχεται ως συνέπεια αφού δεν τηρήθηκαν οι νόμοι της φύσης και του σύμπαντος παρά ότι απλώς χρησιμοποιείται ένα εναλλακτικό γεωμετρικό μοντέλο, καθώς η απόλυτη έμφυτη αδικία αυτού λέγεται ότι μπορεί να οδηγήσει στην τρέλλα όσους κοιτάνε.[32]

Ο κεντρικός χαρακτήρας στο βιβλίο του Ρόμπερτ Πίρσιγκ ( Robert M. Pirsig ) Ο Ζεν και η τέχνη διατήρησης μοτοσυκλετών ( Zen and the Art of Motorcycle Maintenance ) ανέφερε την Γεωμετρία Ρίμαν ( Riemannian geometry ) σε πολλαπλές περιπτώσεις.

Στο βιβλίο In Τα αδέρφια Καραμαζοβ ( The Brothers Karamazov ), ο Ντοστογιεφσκι συζητά για την μη-Ευκλείδεια γεωμετρία μέσω του κεντρικού του ήρωα Ιβάν.

Το μυθιστόρημα του Κριστοφερ Πριστ Ανεστραμμένος Κόσμος ( Inverted World ) περιγράφει την δυσκολία του να ζείς σε έναν πλανήτη με την μορφή μίας περιστρεφόμενης ψευδοσφαίρας ( Pseudosphere ).

Το βιβλίο του Ρόμπερτ Άινλαιν με τίτλο Ο Αριθμός του Θηρίου ( The Number of the Beast (novel) ) χρησιμοποιεί μη-Ευκλείδεια Γεωμετρία με σκοπό να εξηγήσει την στιγμιαία μεταφορά στον χώρο και στον χρόνο μεταξύ παράλληλων και φανταστικών συμπάντων.

Το Αντιθάλαμος ( Antichamber ) του Αλεξαντερ Μπρους κάνει χρήση μη-Ευκλείδειας Γεωμετρίας για να δημιουργήσει έναν ελάχιστο Έσερ-κόσμο ( Escher-κόσμο ), όπου η γεωμετρία και το διάστημα ακολουθούν παρόμοιους κανόνες.

Στο Renegade Legion, σειρά βιντεοπαιχνιδιών Επιστημονικής Φαντασίας της FASA , (παιχνίδι και μυθιστόρημα ), κίνηση με ταχύτητα μεγαλύτερη του φωτός ( Faster-than-light ) και επικοινωνίες με παρόμοια ταχύτητα ειναι πράγματα δυνατά με την χρήση Hsieh Ho's Πολυδιάστατης μη-Ευκλείδιας Γεωμετρίας, που δημοσιεύτηκε κάποια στιγμή στα μέσα του 22ου αιώνα.

Δείτε Επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Eder, Miche lle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/eder.html, ανακτήθηκε στις 2008-01-23 
  2. Boris A. Rosenfeld & Adolf P. Youschkevitch, "Geometry", p. 470, in Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, pp. 447–494, Routledge, London and New York:

    "Three scientists, Ibn al-Haytham, Khayyam and al-Tusi, had made the most considerable contribution to this branch of geometry whose importance came to be completely recognized only in the nineteenth century. In essence their propositions concerning the properties of quadrangles which they considered assuming that some of the angles of these figures were acute of obtuse, embodied the first few theorems of the hyperbolic and the elliptic geometries.Their other proposals showed that various geometric statements were equivalent to the Euclidean postulate V. It is extremely important that these scholars established the mutual connection between this postulate and the sum of the angles of a triangle and a quadrangle. By their works on the theory of parallel lines Arab mathematicians directly influenced the relevant investigations of their European counterparts. The first European attempt to prove the postulate on parallel lines – made by Witelo, the Polish scientists of the thirteenth century, while revising Ibn al-Haytham's Book of Optics (Kitab al-Manazir) – was undoubtedly prompted by Arabic sources. The proofs put forward in the fourteenth century by the Jewish scholar Levi ben Gerson, who lived in southern France, and by the above-mentioned Alfonso from Spain directly border on Ibn al-Haytham's demonstration. Above, we have demonstrated that Pseudo-Tusi's Exposition of Euclid had stimulated borth J. Wallis's and G. Saccheri's studies of the theory of parallel lines."

  3. Boris A. Rosenfeld & Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", p. 467, in Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, pp. 447–494, Routledge, ISBN 0-415-12411-5
  4. 4,0 4,1 Victor J. Katz (1998), History of Mathematics: An Introduction, p. 270–271, Addison–Wesley, ISBN 0-321-01618-1:

    "But in a manuscript probably written by his son Sadr al-Din in 1298, based on Nasir al-Din's later thoughts on the subject, there is a new argument based on another hypothesis, also equivalent to Euclid's, [...] The importance of this latter work is that it was published in Rome in 1594 and was studied by European geometers. In particular, it became the starting point for the work of Saccheri and ultimately for the discovery of non-Euclidean geometry."

  5. Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, p. 447–494 [469], Routledge, London and New York:

    "In Pseudo-Tusi's Exposition of Euclid, [...] another statement is used instead of a postulate. It was independent of the Euclidean postulate V and easy to prove. [...] He essentially revised both the Euclidean system of axioms and postulates and the proofs of many propositions from the Elements."

  6. MacTutor's Giovanni Girolamo Saccheri
  7. O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. «Johann Heinrich Lambert». http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lambert.html. Ανακτήθηκε στις 16 September 2011. 
  8. A notable exception is David Hume, who as early as 1739 seriously entertained the possibility that our universe was non-Euclidean; see David Hume (1739/1978) A Treatise of Human Nature, L.A. Selby-Bigge, ed. (Oxford: Oxford University Press), pp. 51-52.
  9. In a letter of December 1818, Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859) sketched a few insights into non-Euclidean geometry. The letter was forwarded to Gauss in 1819 by Gauss's former student Gerling. In his reply to Gerling, Gauss praised Schweikart and mentioned his own, earlier research into non-Euclidean geometry. See:
    • Carl Friedrich Gauss, Werke (Leipzig, Germany: B. G. Teubner, 1900), volume 8, pages 180-182.
    • English translations of Schweikart's letter and Gauss's reply to Gerling appear in: Course notes: "Gauss and non-Euclidean geometry", University of Waterloo, Ontario, Canada; see especially pages 10 and 11.
    • Letters by Schweikart and the writings of his nephew Franz Adolph Taurinus (1794-1874), who also was interested in non-Euclidean geometry and who in 1825 published a brief book on the parallel axiom, appear in: Paul Stäckel and Friedrich Engel, Die theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung der nichteuklidischen Geometrie (The theory of parallel lines from Euclid to Gauss, an archive of non-Euclidean geometry), (Leipzig, Germany: B. G. Teubner, 1895), pages 243 ff.
  10. In the letter to Wolfgang (Farkas) Bolyai of March 6, 1832 Gauss claims to have worked on the problem for thirty or thirty-five years (Faber 1983, pg. 162). In his 1824 letter to Taurinus (Faber 1983, pg. 158) he claimed that he had been working on the problem for over 30 years and provided enough detail to show that he actually had worked out the details. According to Faber (1983, pg. 156) it wasn't until around 1813 that Gauss had come to accept the existence of a new geometry.
  11. However, other axioms besides the parallel postulate must be changed in order to make this a feasible geometry.
  12. Felix Klein, Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry, Dover, 1948 (reprint of English translation of 3rd Edition, 1940. First edition in German, 1908) pg. 176
  13. F. Klein, Über die sogenannte nichteuklidische Geometrie, Mathematische Annalen, 4(1871).
  14. The Euclidean plane is still referred to as "parabolic" in the context of conformal geometry: see Uniformization theorem.
  15. for instance, Manning 1963 and Yaglom 1968
  16. a 21st axiom appeared in the French translation of Hilbert's Grundlagen der Geometrie according to Smart 1997, pg. 416
  17. (Smart 1997, pg.366)
  18. while only two lines are postulated, it is easily shown that there must be an infinite number of such lines.
  19. Book I Proposition 27 of Euclid's Elements
  20. * William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5 (in depth explanation of the eight geometries and the proof that there are only eight)
  21. see Trudeau 1987, p. vii
  22. Imre Toth, "Gott und Geometrie: Eine viktorianische Kontroverse," Evolutionstheorie und ihre Evolution, Dieter Henrich, ed. (Schriftenreihe der Universität Regensburg, band 7, 1982) pp. 141–204.
  23. (Richards 1988)
  24. Lewis Carroll, see reference below.
  25. Yaglom 1968
  26. Richard C. Tolman (2004) Theory of Relativity of Motion, page 194, §180 Non-Euclidean angle, §181 Kinematical interpretation of angle in terms of velocity
  27. Hermann Minkowski (1908–9). "Space and Time" (Wikisource).
  28. Scott Walter (1999) Non-Euclidean Style of Special Relativity
  29. Isaak Yaglom (1979) A simple non-Euclidean geometry and its physical basis : an elementary account of Galilean geometry and the Galilean principle of relativity, Springer ISBN 0-387-90332-1
  30. Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics" Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507
  31. Synthetic Spacetime, a digest of the axioms used, and theorems proved, by Wilson and Lewis. Archived by WebCite
  32. «The Call of Cthulhu». http://www.hplovecraft.com/writings/texts/fiction/cc.aspx. 

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί Σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πρότυπο:Positivism