Τρίγωνο

Ένα ευκλείδειο τρίγωνο.

    Για άλλες χρήσεις, δείτε: Τρίγωνο (αποσαφήνιση).

Tο τρίγωνο είναι ένα από τα βασικά σχήματα στην γεωμετρία. Ορίζεται ως μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή τριών σημείων. Έτσι, το τρίγωνο έχει τρεις πλευρές, αυτές που ορίζονται ανά δύο από τα σημεία και τρεις γωνίες, τις κυρτές που ορίζονται ανά δύο από τις πλευρές. Ένα τρίγωνο με κορυφές A,B,C συμβολίζεται με $\triangle ABC$. Δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου είναι τα ύψη, οι διχοτόμοι και οι διάμεσοι. Πρόκειται για το μοναδικό σχήμα που έδωσε το όνομά του σε ένα ολόκληρο μαθηματικό κλάδο, την Τριγωνομετρία, γεγονός που καταδεικνύει τη σπουδαιότητά του.

Στην Ευκλείδεια γεωμετρία οποιαδήποτε τρία σημεία, μη συνευθειακά, καθορίζουν ένα μοναδικό τρίγωνο και ένα μοναδικό επίπεδο (δηλαδή ένα δισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο).

Τύποι τριγώνων

Με βάση τα σχετικά μήκη των πλευρών

Ταξινόμηση των τριγώνων με βάση τα κύρια στοιχεία τους.

Τα τρίγωνα μπορούν να ταξινομηθούν σύμφωνα με τα σχετικά μήκη των πλευρών τους:

• Σκαληνό: όταν όλες οι πλευρές του είναι άνισες καθώς και όλες οι γωνίες του. Τα ορθογώνια τρίγωνα είναι σκαληνά, αν και μόνον εάν δεν είναι ισοσκελές.
• Ισοσκελές:όταν δύο από τις πλευρές του είναι ίσες. Ένα ισοσκελές έχει και τις δύο γωνίες του ίσες, δηλαδή οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις δύο πλευρές του ίδιου μήκους. Μερικοί μαθηματικοί ορίζουν ένα ισοσκελές τρίγωνο να έχει ακριβώς δύο ίσες πλευρές, ενώ άλλοι ορίζουν ένα ισοσκελές τρίγωνο να έχει τουλάχιστον δύο ίσες πλευρές. Ο δεύτερος ορισμός θα κάνει όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα ισοσκελή τρίγωνα. Το 45-45-90 ορθογώνιο τρίγωνο είναι ισοσκελές.
• Ισόπλευρο:όταν όλες οι πλευρές έχουν το ίδιο μήκος. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα κανονικό πολύγωνο με όλες τις γωνίες του ίσες με 60°.

Ισόπλευρο	Ισοσκελές	Σκαλινό

Σε διαγράμματα που παρουσιάζουν τρίγωνα (και άλλα γεωμετρικά σχήματα), σημαδάκια κατά μήκος των πλευρών χρησιμοποιούνται για να υποδηλώσουν ισομήκης πλευρές. (το ισόπλευρο τρίγωνο έχει σημάδια υποδιαίρεσης και στις 3 πλευρές, το ισοσκελές στις 2 πλευρές ενώ το σκαληνό έχει μονόκλινα, δίκλινα και τρίκλινα σημάδια υποδιαίρεσης αναφέροντας έτσι ότι δεν έχει πλευρές που είναι ίσες.) Όμοια τα τόξα στο εσωτερικό των κορυφών χρησιμοποιούνται για να υποδείξουν ίσες γωνίες.

Με τις εσωτερικές γωνίες

Τα τρίγωνα μπορούν επίσης να ταξινομηθούν σύμφωνα με τις εσωτερικές γωνίες τους:

• Οξυγώνιο:το τρίγωνο που έχει όλες τις εσωτερικές γωνίες του μικρότερες από 90°.
• Ορθογώνιο:το τρίγωνο το οποίο έχει μία από τιε εσωτερικές τ γωνίες του ίση με 90° (ορθή γωνία). Η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία είναι η υποτείνουσα. Είναι η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογώνιου τριγώνου. Οι άλλες δύο πλευρές λέγονται κάθετες. Τα ορθογώνια τρίγωνα υπακούουν στο ‘’’πυθαγόρειο θεώρημα’’’: το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των δύο ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας: a² + b² = c² όπου ‘’α’’ και ‘’b’’ είναι τα μήκη των σκελών και ‘’c’’ είναι το μήκος της υποτείνουσας. Υπάρχουν "ειδικά" ορθογώνια τρίγωνα όπου είναι ορθογώνια τρίγωνα με πρόσθετες ιδιότητες οι οποίες κάνουν τους υπολογισμούς πιο εύκολους. Ένα από τα πιο γνωστά είναι το 3-4-5 ορθογώνιο τρίγωνο όπου 3² + 4² = 5². Το 3,4 και 5 είναι μία πυθαγόρεια τριάδα. Ένα άλλο είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο που έχει 2 γωνίες με μέτρο 45 μοίρες.
• Αμβλυγώνιο: το τρίγωνο το οποίο έχει μια εσωτερική γωνία μεγαλύτερη από 90°.

Ένα τρίγωνο που έχει δύο γωνίες με το ίδιο μέτρο έχει επίσης δύο πλευρές με το ίδιο μήκος, και επομένως είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο. Προκύπτει ότι σε ένα τρίγωνο, όπου όλες οι γωνίες έχουν το ίδιο μέτρο, και οι τρεις πλευρές έχουν το ίδιο μήκος, και ένα τέτοιο τρίγωνο είναι συνεπώς ισόπλευρο.

Ορθογώνιο	Αμβλυγώνιο	Οξυγώνιο
	$\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}$
	Πλάγια

Βασικά στοιχεία

Τρίγωνο με εξωτερική γωνία d.

Τα τρίγωνα θεωρούνται στοιχεία δύο διαστάσεων εκτός και αν το κείμενο ορίζει διαφορετικά (βλέπε μη-επίπεδα τρίγωνα, παρακάτω). Τα πρώτα στάδια παρουσιάστηκαν από τον Ευκλείδη στα βιβλία 1-4 Στοιχεία, γύρω στο 300 π.Χ.

Τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου πάντα εάν τα προσθέσετε είναι έως και 180 μοίρες (ίδιο χρώμα για να επισημάνω ότι είναι ίσες).

Εάν προσθέσεις τις γωνίες του τριγώνου σε έναν ευκλείδειο χώρο πάντα το άθροισμα τους είναι 180°. Αυτό επιτρέπει να βρούμε το μέτρο μίας γωνίας εάν μας δίνονται τα μέτρα των άλλων δύο. Μία εξωτερική γωνία είναι ένα γραμμικό ζεύγος και επομένως συμπληρωματική προς την αντίστοιχη εσωτερική γωνία. Το μέτρο της εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των δύο εσωτερικών γωνιών που δεν είναι συμπληρωματικές με αυτήν. Αυτό είναι το θεώρημα εξωτερικής γωνίας. Το άθροισμα των τριών εξωτερικών γωνιών του κάθε τριγώνου είναι 360 μοίρες.

Όμοια και ίσα τρίγωνα

Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς.

Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας.

Δύο τρίγωνα λέγονται όμοια, αν κάθε γωνία ενός τριγώνου έχει το ίδιο μέτρο με την αντίστοιχη γωνία στο άλλο τρίγωνο. Οι αντίστοιχες πλευρές της ομοιότητας τριγώνων έχουν μήκη που βρίσκονται στην ίδια αναλογία, και η ιδιότητα αυτή είναι επίσης επαρκής για τη δημιουργία ομοιότητας.

Μερικά θεωρήματα για όμοια τρίγωνα:

• Εάν δύο αντίστοιχες εσωτερικές γωνίες των δύο τριγώνων έχουν το ίδιο μέτρο, τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια.
• Εάν δύο αντίστοιχες πλευρές των δύο τριγώνων είναι κατά αναλογία και οι γωνίες τους που περικλείονται έχουν το ίδιο μέτρο, τότε τα τρίγωνα είναι όμοια. (Η περιεχόμενη γωνία για οποιαδήποτε δύο πλευρές ενός πολυγώνου είναι η εσωτερική γωνία μεταξύ των δύο πλευρών).
• Εάν τρείς αντίστοιχες πλευρές των δύο τριγώνων έχουν ίδια αναλογία, τότε τα τρίγωνα είναι όμοια.

Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τα κύρια στοιχεία τους ίσα, δηλαδή όταν οι πλευρές και οι γωνίες τους είναι ίσες μία προς μία.

Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενή τους γωνία ίση.

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓ και ΔΕΖ τρίγωνα για τα οποία ισχύει ΑΒ = ΔΕ, ΑΓ = ΔΖ και Α = Δ (ισότητα γωνιών). Μετατοπίζουμε το τρίγωνο ΑΒΓ έτσι ώστε να ταυτιστούν οι ημιευθείες ΑΒ και ΔΕ. Από την ισότητα των γωνιών θα έχουμε και ταύτιση των ημιευθειών ΑΓ και ΔΖ. Από τις ισότητες των πλευρών τότε θα έχουμε ταύτιση του Β με το Ε και του Γ με το Ζ. Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα.

Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη πλευρά τους ίση.

Απόδειξη: Έστω τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με Β = Ε (ισότητα γωνιών), Γ = Ζ (ισότητα γωνιών) και ΒΓ = ΕΖ. Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ = ΔΕ, οπότε σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα. Θα το δείξουμε με απαγωγή σε άτοπο: Υποθέτουμε ότι ΑΒ > ΔΕ. Θα υπάρχει στην ΑΒ σημείο Η τέτοιο ώστε ΗΒ = ΔΕ. Θεωρούμε την ΗΓ. Επειδή το Η είναι εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, θα είναι ΗΓΒ < Γ (ανισότητα γωνιών). Τα ΗΒΓ και ΔΕΖ θα είναι ίσα σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, συνεπώς θα είναι και ΗΓΒ = Ζ (ισότητα γωνιών), που είναι άτοπο επειδή Ζ = Γ > ΗΓΒ (ανισότητα γωνιών). Ανάλογη απόδειξη ισχύει και στη περίπτωση που υποθέσουμε ότι ΑΒ < ΔΕ.

Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς.

Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες.

Απόδειξη: Έστω τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με ΑΒ = ΔΕ, ΒΓ = ΕΖ και ΑΓ = ΔΖ. Αρκεί να δείξουμε ότι Α = Δ (ισότητα γωνιών), οπότε με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα. Φέρνουμε την ημιευθεία Εχ έτσι ώστε ΖΕχ = Β (ισότητα γωνιών). Στην Εχ θεωρούμε το σημείο Η για το οποίο ΗΕ = ΑΒ. Θεωρούμε επίσης τα ευθύγραμμα τμήματα ΖΗ και ΔΗ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΗΕΖ είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, έτσι θα έχουν ΗΖ = ΑΓ και Η = Α (ισότητα γωνιών). Τα τρίγωνα ΕΔΗ και ΖΔΗ είναι ισοσκελή, συνεπώς έχουμε Δ₁ = Η₁ και Δ₂ = Η₂ (ισότητες γωνιών). Συνεπώς έχουμε Α = Η = Η₁ + Η₂ = Δ₁ + Δ₂ = Δ.

Χρησιμοποιώντας τα ορθογώνια τρίγωνα και την έννοια της ομοιότητας, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο μπορούν να οριστούν. Αυτές είναι συναρτήσεις της γωνίας που διερευνώνται στην τριγωνομετρία.

Ορθογώνια τρίγωνα

Το πυθαγόρειο θεώρημα

Ένα βασικό θεώρημα είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα, το όποιο δηλώνει ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των άλλων δύο πλευρών. Εάν η υποτείνουσα έχει μήκος c, και οι άλλες δύο πλευρές έχουν μήκη a και b, τότε το θεώρημα είναι:

$a^2 + b^2 = c^2.\,$

Ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή αν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση, τότε το τρίγωνο έχει μια ορθή γωνία απέναντι από την πλευρά c.

Ορισμένα άλλα στοιχεία για τα ορθογώνια τρίγωνα:

• Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές.

$a + b + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow a + b = 90^{\circ} \Rightarrow a = 90^{\circ} - b$

• Αν τα σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν το ίδιο μήκος, τότε οι γωνίες απέναντι από αυτά έχουν το ίδιο μέτρο. Δεδομένου ότι αυτές οι γωνίες είναι συμπληρωματικές, προκύπτει ότι κάθε μια από αυτές ισούται με 45 μοίρες. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, το μήκος της υποτείνουσας είναι το μήκος ενός σκέλους επί √2.
• Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία μέτρησης 30 και 60 μοιρών, η υποτείνουσα έχει διπλάσιο μήκος από το μήκος της μικρότερης πλευράς, και η μακρύτερη πλευρά είναι ίση με το μήκος τις μικρότερης επί √3:

$c = 2a\,$

$b = a\times\sqrt{3}.$

Για όλα τα τρίγωνα, οι γωνίες και οι πλευρές σχετίζονται με τους κανόνες των ημιτόνων και των συνημίτονων.

Ύπαρξη τριγώνου

Το άθροισμα των μηκών δύο οποιωνδήποτε πλευρών ενός τριγώνου πάντα είναι μεγαλύτερο από το μήκος της τρίτης πλευράς. Η αρχή αυτή είναι γνωστή ως τριγωνική ανισότητα. Αυτό συμβαίνει αφού οι κορυφές ενός τριγώνου υποτίθεται δεν είναι συνευθειακές, οπότε δεν είναι δυνατόν το άθροισμα του μήκους των δύο πλευρών να είναι ίσο με το μήκος της τρίτης πλευράς.

Τριγωνομετρικοί όροι

Τρείς θετικές γωνίες α, β και γ, η καθεμία από αυτές είναι μικρότερη από 180°, είναι οι γωνίες ενός τριγώνου, αν και μόνον αν ισχύει μία από τις ακόλουθες συνθήκες:

$\tan{\frac{\alpha}{2}}\tan{\frac{\beta}{2}}+\tan{\frac{\beta}{2}}\tan{\frac{\gamma}{2}}+\tan{\frac{\gamma}{2}}\tan{\frac{\alpha}{2}}=1,$

$\sin^2{\frac{\alpha}{2}}+\sin^2{\frac{\beta}{2}}+\sin^2{\frac{\gamma}{2}}+2\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}=1.$

Σημεία, γραμμές και κύκλοι που συνδέονται με ένα τρίγωνο

Υπάρχουν εκατοντάδες διαφορετικές κατασκευές που βρίσκουν ένα ειδικό σημείο (και συχνά εσωτερικό) που σχετίζεται με ένα τρίγωνο, ικανοποιώντας μία μοναδική ιδιότητα. Συχνά αυτά τα σημεία είναι κατασκευασμένα με την εύρεση τριών γραμμών που συνδέονται με συμμετρικό τρόπο, με τις τρεις πλευρές ή κορυφές και στην συνέχεια αποδεικνύεται ότι οι τρείς γραμμές συναντιούνται σε ένα μοναδικό σημείο: ένα σημαντικό εργαλείο για την απόδειξη της ύπαρξης αυτών είναι θεώρημα Ceva, το οποίο δίνει κριτήριο για τον καθορισμό όταν οι τρεις αυτές γραμμές είναι ταυτόχρονες. Όμοια, οι γραμμές που συνδέονται με ένα τρίγωνο κατασκευάζονται συχνά, αποδεικνύοντας ότι τρία συμμετρικά κατασκευασμένα σημεία είναι συγγραμμικά: εδώ το θεώρημα του Μενελάου μας δίνει ένα χρήσιμο γενικό κριτήριο. Σε αυτό τον τμήμα μερικές από τις συνήθεις κατασκευές εξηγούνται.

Το περίκεντρο είναι το κέντρο ενός κύκλου που διέρχεται από τις τρεις κορυφές του τριγώνου.

Μία μεσοκάθετη σε μία πλευρά του τριγώνου είναι μια ευθεία γραμμή η οποία διέρχεται από το μέσον της πλευράς και είναι κάθετη ως προς αυτή, δηλαδή σχηματίζει ορθή γωνία με αυτή. Οι τρείς μεσοκάθετοι συναντιούνται σε ένα μόνο σημείο τομής, το οποίο είναι το επίκεντρο του τριγώνου. Αυτό το σημείο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, ο κύκλος δηλαδή που διέρχεται τις τρείς κορυφές. Η διάμετρος αυτού του κύκλου μπορεί να βρεθεί από τους κανόνες των ημιτόνων.

Στο Θεώρημα του Θαλή έχουμε ότι όταν το κέντρο του κύκλου βρίσκεται σε μία πλευρά του τριγώνου τότε ή γωνία που βρίσκεται απέναντι είναι ορθή. Εάν το περίκεντρο βρίσκεται μέσα στον τρίγωνο τότε αυτό είναι οξυγώνιο. Εάν όμως βρίσκεται έξω τότε το τρίγωνο αυτό είναι αμβλυγώνιο.

Το σημείο τομής των υψών είναι το ορθόκεντρο.

Το ύψος ενός τριγώνου είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από μία κορυφή και είναι κάθετη με την απέναντι πλευρά (δηλαδή σχηματίζουν μια ορθή γωνία). Η απέναντι πλευρά καλείται βάση ως προς το ύψος και το σημείο όπου το ύψος τέμνει τη βάση ονομάζεται πόδι του ύψους. Το μήκος του ύψους είναι η απόσταση μεταξύ της βάσης και της κορυφής. Τα τρία ύψη τέμνονται σε ένα σημείο, που ονομάζεται ορθόκεντρο του τριγώνου. το ορθόκεντρο βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο αν και μόνο αν αυτό είναι οξυγώνιο.

Η τομή των διχοτόμων γωνίας είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

Μία διχοτόμος ενός τριγώνου είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από μία κορυφή η οποία χωρίζει την αντίστοιχη γωνία στην μέση. Οι τρείς διχοτόμοι τέμνονται σε ένα και μόνο σημείο, στο έγκεντρο, δηλαδή το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Ο εγγεγραμμένος κύκλος είναι ο κύκλος που βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου και αγγίζει και τις τρείς πλευρές. Υπάρχουν και τρείς άλλοι σημαντικοί κύκλοι, ο πάραγεγααμμένος, κείται έξω από το τρίγωνο και εφάπτεται σε μια πλευρά, καθώς και στις προεκτάσεις των άλλων δύο. Τα κέντρα των εγγεγραμμένων και παραγεγραμμένων κύκλων σχηματίζουν ένα ορθοκεντρικό σύστημα.

Η τομή των ενδιάμεσων είναι το κέντρο βάρους.

Μία διάμεσος ενός τριγώνου είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από μια κορυφή και το κεντρικό σημείο (μέσο) της απέναντι πλευράς, και διαιρεί το τρίγωνο σε δύο ίσες περιοχές. Οι τρείς διάμεσοι τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο, κέντρο βάρους ή το βαρύκεντρο του τριγώνου. Το βαρύκεντρο ενός άκαμπτου τριγωνικού αντικειμένου είναι επίσης το κέντρο μάζας: το αντικέιμενο μπορεί δηλαδή να εξισορροπηθεί πάνω στο βαρύκεντρο σε ένα ομοιόμορφο πεδίο βαρύτητας. το βαρύκεντρο τέμνει κάθε διάμεσο με αναλογία 2:1, δηλαδή η απόσταση μίας κορυφής και του βαρύκεντρου είναι διπλάσια από την απόσταση μεταξύ του βαρύκεντρου σημείου και το μέσον της απένταντης πλευράς.

Κύκλος εννέα-σημείων δείχνει μια συμμετρία όπου έξι σημεία βρίσκονται στην άκρη του τριγώνου.

Τα κεντρικά σημεία των τριών πλευρών και τα πόδια των τριών υψών βρίσκονται σε έναν μοναδικό κύκλο, ο κύκλος των εννέα σημείων τριγώνου. Τα υπόλοιπα τρία σημεία για τα οποία είναι το όνομα του είναι τα μεσαία σημεία του τμήματος του ύψους μεταξύ των κορυφών και του ορθόκεντρου. Η [[ακτίνα] των εννέα σημείων κύκλος είναι το μισό του περιγεγραμμένου. Εφάπτεται με τον εγγεγραμμένο κύκλο και τους τρείς παραγεγραμένους.

Το βαρύκεντρο (κίτρινο), ορθόκεντρο (μπλε), περίκεντρο (πράσινο) και το κέντρο του κύκλου με εννέα σημεία (κόκκινο σημείο), βρίσκονται όλα σε μία ενιαία γραμμή, που είναι γνωστή ως η γραμμή του Euler (κόκκινη γραμμή). Το κέντρο του κύκλου με εννέα σημεία βρίσκεται στο μέσον μεταξύ του ορθόκεντρου και το περίκεντρο, και η απόσταση μεταξύ του βαρύκεντρου και του περίκεντρου είναι το μισή σε σχέση με την απόσταση του βαρύκεντρου και του ορθόκεντρου.

Γραμμή του Euler είναι μια ευθεία γραμμή από το κέντρο βάρους (πορτοκαλί), ορθόκεντρο (μπλε), περίκεντρο (πράσινο) και το κέντρο του κύκλου εννέαν σημείων (κόκκινο).

Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου γενικά δεν βρίσκεται στην γραμμή του Euler. Αν κάποιος πάρει την αντανάκλαση της διάμεσης στην διχοτόμο που περνά μέσα στην ίδια κορυφή, τότε λαμβάνεται η συμμετρική διαμέσου. Οι τρείς συμμετρικές των διαμέσων τέμνονται σε ένα και μόνο σημείο.

Υπολογισμός των πλευρών και των γωνιών

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για τον υπολογισμό του μήκους μιας πλευράς ή το μέγεθος μίας γωνίας. Ορισμένες μέθοδοι είναι κατάλληλες για τον υπολογισμό των τιμών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ενώ σε άλλες καταστάσεις απαιτούνται πιο πολύπλοκοι μέθοδοι.

Τριγωνομετρικές σχέσεις σε ορθογώνια τρίγωνα

A right triangle always includes a 90° (π/2 radians) angle, here with label C. Angles A and B may vary. Trigonometric functions specify the relationships among side lengths and interior angles of a right triangle.

Κύριο κείμενο :Τριγωνομετρική συνάρτηση Στα ορθογώνια τρίγωνα, οι τριγωνομετρικές σχέσεις του ημίτονου, συνημίτονου και της εφαπτομένης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρούμε το μέγεθος στις άγνωστες γωνίες και τα μήκη των άγνωστων πλευρών. οι πλευρές του τριγώνου είναι γνωστές ως:

• Η υποτείνουσα είναι η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία, ή ορίζεται ως η μακρύτερη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου, σε αυτή την περίπτωση είναι η h.
• Η απέναντι πλευρά είναι η πλευρά απέναντι από την γωνία που μας ενδιαφέρει, σε αυτή την περίπτωση το α.
• η προσκείμενη πλευρά είναι η πλευρά που έρχεται σε επαφή με τη γωνία που μας ενδιαφέρει και την ορθή γωνία. Σε αυτή την περίπτωση είναι η b.

Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη

Το ημίτονο μίας γωνίας είναι ο λόγος του μήκους της απέναντι πλευράς προς το μήκος της υποτείνουσας. στην περίπτωση μας

$\sin A = \frac {\textrm{opposite side}}{\textrm{hypotenuse}} = \frac {a}{h}\,.$

Σημειώστε ότι ή αναλογία αυτή δεν εξαρτάται από το συγκεκριμένο ορθογώνιο τρίγωνο που έχει επιλεγεί, καθώς περιέχει τη γωνία Α, δεδομένου ότι όλα αυτά τα τρίγωνα είναι όμοια. Το συνημίτονο μίας γωνίας είναι ό λόγος του μήκους της προσκείμενης πλευράς προς το μήκος της υποτείνουσας. στην περίπτωση μας

$\cos A = \frac {\textrm{adjacent side}}{\textrm{hypotenuse}} = \frac {b}{h}\,.$

Η εφαπτομένη μίας γωνίας είναι ο λόγος του μήκους από την απέναντι (opposite side) πλευρά προς το μήκος της προσκείμενης πλευράς (adjacent side).

$\tan A = \frac {\textrm{opposite side}}{\textrm{adjacent side}} = \frac {a}{b} =\frac {\sin A}{\cos A}\,.$

Αντίστροφες συναρτήσεις

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των εσωτερικών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου γνωρίζοντας το μήκος δύο οποιονδήποτε πλευρών. Το τόξο ημιτόνου (Arcsin) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί μια γωνία από το μήκος της απέναντι πλευράς και το μήκος της υποτείνουσας.

$\theta = \arcsin \left( \frac{\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}} \right)$

Το τόξο συνημίτονου (Arccos) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογίσει μια γωνία από το μήκος της προσκείμενης και το μήκος της υποτείνουσας.

$\theta = \arccos \left( \frac{\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}} \right)$

Το τόξο εφαπτομένης (Arctan) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογίσει μια γωνία από το μήκος της απέναντι και το μήκος της προσκείμενης.

$\theta = \arctan \left( \frac{\text{opposite side}}{\text{adjacent side}} \right)$

Σε εισαγωγικά μαθήματα γεωμετρίας και τριγωνομετρίας, χρησιμοποιείται συχνά ο συμβολισμός sin⁻¹, cos⁻¹ κ.λ.π στην θέση των arcsin, arccos, etc. Ωστόσο ο συμβολισμός με arcsin, arccos, etc είναι συνηθισμένος στο χώρο των μαθηματικών, όπου οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις συχνά είναι υψωμένες σε δυνάμεις, έτσι αποφεύγετε η σύγχυση μεταξύ των πολλαπλασιαστικών αντίστροφων και τον αντίστροφο σύνθεσης.

Kανόνες ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης

A triangle with sides of length a, b and c and angles of α, β and γ respectively.

Ο νόμος των ημιτόνων αναφέρει ότι ο λόγος του μήκους της μιάς πλευράς προς το ημίτονο της απέναντης γωνίας του είναι σταθερος, δηλαδή

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.$

Ο λόγος αυτός είναι ίσος με την διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου που μας δίνεται. μία άλλη ερμηνεία του θεωρήματος είναι ότι κάθε τρίγωνο με γωνίες α, β και γ είναι όμοιο με ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών ίσο με sin α, sin β και sin γ. Αυτό το τρίγωνο μπορεί να κατασκευαστεί κατασκευάζοντας έναν κύκλο με διάμετρο 1, και εγγράφοντας σε αυτό δύο από τις γωνίες του τριγώνου. το μήκος των πλευρών του τριγώνου θα είναι sin α, sin β και sinγ. Η πλευρά της οποίας το μήκος είναι sin α είναι αντίθετη με την γωνία όπου το μέτρο της είναι α, κ.λ.π Ο νόμος των συνημίτονων συνδέει το μήκος μίας άγνωστης πλευράς τριγώνου προς το μήκος των άλλων πλευρών και της γωνίας απέναντι από την άγνωστη πλευρά. Σύμφωνα με τον νόμο: Σε ένα τρίγωνο με πλευρές με μήκος a,b,c και γωνίες με μέτρο α,β,γ αντίστοιχα, δίνονται δύο γνωστά μήκη ενός τριγώνου a και b και η γωνία μεταξύ των δύο πλευρών γ η οποία είναι γνωστή (η γωνία απέναντι από την πλευρά c) για τον υπολογισμό της τρίτης πλευράς c, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο παρακάτω τύπος:

$c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$

$b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta)$

$a^2\ = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)$

Εάν τα μήκη και των τριών πλευρών του τριγώνου είναι γνωστά τότε μπορούν να υπολογιστούν και οι τρείς γωνιές:

$\alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$

$\beta=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)$

$\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$

Ο νόμος των εφαπτόμενων, που είναι λιγότερο γνωστό από τα άλλα δύο αναφέρει ότι:

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.$

Δεν χρησιμοποιείται πολύ συχνά, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρουν μία πλευρά ή γωνία, όταν ξέρεις δύο πλευρές και μια γωνία ή δύο γωνίες και μία πλευρά.

Λύση τριγώνων (solution of triangles)

Η "λύση των τριγώνων" (solution of triangles) είναι ένας ιστορικός όρος για την επίλυση του κύριου τριγωνομετρικού προβλήματος: να βρεθούν τα χαρακτηριστικά που λείπουν από ένα τρίγωνο, όταν τουλάχιστον τρία από αυτά τα χαρακτηριστικά είναι δεδομένα. Το τρίγωνο μπορεί να βρίσκεται σε έναν χώρο ή σε μία σφαίρα. Αυτό το πρόβλημα παρουσιάζεται συχνά σε διάφορες τριγωνομετρικές εφαρμογές, όπως η γεωδαισία, η αστρονομία, η κατασκευή, πλοήγηση κλπ.

Η περιοχή ενός τριγώνου μπορεί να αποδειχθεί ως το ήμισυ της περιοχής ενός παραλληλογράμμου το οποίο έχει το ίδιο μήκος και το ύψος βάσης.

Υπολογισμος εμβαδού ενός τριγώνου

Ο υπολογισμός της περιοχής Τ ενός τριγώνου είναι ένα στοιχειώδες πρόβλημα που αντιμετωπίζεται συχνά σε πολλές διαφορετικές καταστάσεις. Η πιο γνωστή και η πιο απλή φόρμουλα είναι:

$T=\frac{1}{2}bh$

Όπου το b είναι το μήκος της βάσης του τριγώνου, και h είναι το ύψος του τριγώνου. Ο όρος βάση σημαίνει οποιαδήποτε πλευρά και το ύψος υποδηλώνει το μήκος μίας κάθετου από την κορυφή απέναντι από την πλευρά μέχρι την ίδια την πλευρά. Το 499 μ.Χ Αριαμπάτα, ένας μεγάλος μαθηματικός, αστρονόμος από την κλασσική εποχή των ινδικών μαθηματικών και της ινδικής αστρονομίας, χρησιμοποίησε αυτή την μέθοδο στο Αραμπατίγια (ενότητα 2.6) Αν και ο τύπος αυτός είναι χρήσιμος μόνο εάν το ύψος μπορεί εύκολα να υπολογιστεί. Για παράδειγμα, ο επιθεωρητής ενός τριγωνικού πεδίου μετρά το μήκος της κάθε πλευράς, και μπορεί να κατασκευάσει ένα ύψος. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην πράξη, ανάλογα με το τί είναι γνωστό σχετικά με το τρίγωνο. Τα παρακάτω είναι μία επιλογή των τύπων που χρησιμοποιούνται συχνά.

Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία

Εφαρμόζοντας τριγωνομετρία για να βρούμε το υψός h.

The height of a triangle can be found through the application of trigonometry. Το ύψος ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί μέσα από την εφαρμογή της τριγωνομετρίας. Γνωστά πλευρά-γωνία-πλευρά: Χρησιμοποιώντας τις ετικέτες στην εικόνα δεξιά, το ύψος έιναι h = a sin $\gamma$. Αντικαθιστώντας αυτό στον τύπο $T=\frac{1}{2}bh$ , η περιοχή του τριγώνου μπορεί να εκφραστεί ως:

$T = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}ca\sin \beta$

(όπου α είναι η εσωτερική γωνία στο’’ Α’’,’’ β’’ είναι η εσωτερική γωνία στο ‘’Β’’, $\gamma$ είναι η εσωτερική γωνία στο ‘’C ‘’και ‘’c’’ είναι η γραμμή ‘’’ΑΒ’’’).

Επιπλέον, δεδομένου ότι sin α = sin (π − α) = sin (β + $\gamma$) , και όμοιος για τις άλλες δύο γωνίες:

$T = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).$

Γνωστά γωνία-γωνία-πλευρά:

$T = \frac {b^{2}(\sin \alpha)(\sin (\alpha + \beta))}{2\sin \beta},$

και αναλόγως εάν είναι γνωστή η ‘’α’’ ή η ‘’c’’. Γνωστά γωνία-πλευρά-γωνία:

$T = \frac{a^{2}}{2(\cot \beta + \cot \gamma)} = \frac{a^{2} (\sin \beta)(\sin \gamma)}{2\sin(\beta + \gamma)},$

και όμοια αν η γνωστή πλευρά είναι η ‘’b’’ ή η ‘’c’’.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Ήρωνα

Το σχήμα του τριγώνου καθορίζεται από τα μήκη των πλευρών και μόνο. Επομένως, η περιοχή μπορεί επίσης να προέρχονται από τα μήκη των πλευρών. Με τον τύπο του Ήρωνα:

$T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

όπου $s= \tfrac{a+b+c}{2}$ είναι ημιπερίμετρος ή το μισό της περιμέτρου του τριγώνου. Τρείς άλλοι ισοδύναμοι τρόποι γραφής του τύπου του Ήρωνα είναι:

$T = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}$

$T = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}$

$T = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.$

Χρησιμοποιώντας διανύσματα

Η περιοχή ενός παραλληλόγραμμου ενσωματωμένο σε ένα τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας διανύσματα. Έστω διανύσματα ‘’’AB ‘’’και ‘’’AC’’’ αντίστοιχα, από το σημείο ‘’Α’’ στο ‘’Β’’ και από το ‘’Α’’ στο ‘’C’’. Η περιοχή του παραλληλογράμμου ‘’’ABDC’’’ τότε είναι:

$|\mathbf{AB}\times\mathbf{AC}|,$

το οποίο είναι το μέγεθος του πολλαπλασιασμού των διανυσμάτων ‘’’AB’’’ και ‘’’AC’’’. Το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι το μισό αυτού,

$\frac{1}{2}|\mathbf{AB}\times\mathbf{AC}|.$

Η περιοχή του τριγώνου ‘’’ABC ‘’‘μπορεί επίσης να εκφραστεί όσο αφορά ένα σημείο ως εξής:

$\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2}.\,$

Σε δύο-διαστάσεων Ευκλείδειο χώρο, εκφράζοντας διάνυσμα ‘’AB ‘’ως ελεύθερη διάνυσμα σε έναν καρτεσιανό χώρο ίσο με (x₁,y₁) και ‘’AC’’ ίσο με (x₂,y₂) , αυτό μπορεί να γραφεί ως:

$\frac{1}{2}\,|x_1 y_2 - x_2 y_1|.\,$

Χρησιμοποιώντας συντεταγμένες

Εάν η κορυφή Α βρίσκεται στο σημείο (0, 0) ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και δίνονται οι συντεταγμένες των άλλων δύο κορυφών B = (x_B, y_B) και τουC = (x_C, y_C), τότε η περιοχή μπορεί να είναι υπολογίζεται ως ¹⁄₂ της απόλυτης τιμής της ορίζουσας:

$T = \frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|.$

Για τρείς κορυφές, η εξίσωση είναι:

$T = \frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_B - x_A y_C + x_B y_C - x_B y_A + x_C y_A - x_C y_B \big|,$

όπου μπορεί να γραφεί σαν:

$T = \frac{1}{2} \big| (x_A - x_C) (y_B - y_A) - (x_A - x_B) (y_C - y_A) \big|.$

Εάν τα διαδοχικά σημεία επισημαίνονται στην αριστερόστροφη κατεύθυνση, οι παραπάνω εκφράσεις είναι θετικές και οι απόλυτες μπορεί να παραληφτεί. Αν εντοπίσουμε τις κορυφές στο μιγαδικό επίπεδο και ακολουθούν αριστερή φορά τότε a = x_A + y_Ai, b = x_B + y_Bi και c = x_C + y_Ci και, υποδηλώνουν τα συζηγη τους, $\bar a$, $\bar b$, and $\bar c$, έχουμε τον τύπο:

$T=\frac{i}{4}\begin{vmatrix}a & \bar a & 1 \\ b & \bar b & 1 \\ c & \bar c & 1 \end{vmatrix}$

όπου είναι ισοδύναμο με τον προηγούμενο τύπο. Στις τρείς διαστάσεις, το εμβαδό ενός τριγώνου A = (x_A, y_A, z_A), B = (x_B, y_B, z_B) και C = (x_C, y_C, z_C) είναι το Πυθαγόρειο άθροισμα των εμβαδών των προεξοχών με τα τρία κύρια επίπεδα (δηλ x = 0, y = 0 καιz = 0)):

$T = \frac{1}{2} \sqrt{\left| det \begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\right|^2 + \left|det \begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\right|^2 + \left|det \begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\right|^2 }.$

Χρησιμοποιώντας επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Το εμβαδό εντώς μίας οποιαδήποτε κλειστής καμπύλης, όπως το τρίγωνο, δίνεται από το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα γύρω από την καμπύλη του αλγεβρικού ή την προσημασμένη απόσταση ενός σημείο στην καμπύλη από μια αυθαίρετα προσανατολισμένη ευθεία’’ L’’. Τα σημεία από δεξιά της ευθείας λαμβάνονται να είναι σε απόσταση από την αρνητική ’’ ’’, ενώ το βάρος για το ολοκλήρωμα λαμβάνεται να είναι ή συνιστώσα του μήκους τόξου παράλληλο προς ‘’L ‘’και όχι το ίδιο το μήκος τόξου.

Αυτή η μέθοδος είναι κατάλληλη για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός αυθαίρετου πολύγονου. Λαμβάνοντας το L να είναι στον x-άξονα, η ενσωματωμένη γραμμή μεταξύ δύο διαδοχικών κορυφών (x_i,y_i) και (x_i+1,y_i+1)δίνεται από το μέσο ύψος, δηλαδή (x_i+1 − x_i)(y_i + y_i+1)/2. Το πρόσημο του εμβαδού είναι ένας δείκτης της κατεύθυνσης, με αρνητικό εμβαδόν δείχνει προς τα αριστερά κατεύθυνση. Το εμβαδόν ενός τριγώνου πέφτει στην συνέχεια έξω, όπως στην περίπτωση ενόςπολύγωνου με τρείς πλευρές.

Ενώ η μέθοδος του επικαμπήλιου ολοκληρώματος έχει κοινά με άλλες μεθόδους συντεταγμένων που βασίζονται στην αυθαίρετη επιλογή ενός συστήματος συντεταγμένων, σε αντίθεση με άλλες που δεν κάνουν αυθαίρετη επιλογή της κορυφής προέλευσης του τριγώνου ή της πλευράς ως βάση. Επιπλέον, η επιλογή του συστήματος συντεταγμένων που ορίζεται από την L δεσμεύεται μόνο σε δύο βαθμούς ελευθερίας και όχι σε τρείς, αφού το βάρος είναι τοπική απόσταση (π.χ. x_i+1 − x_i στην ανωτέρω) απ 'όπου η μέθοδος δεν απαιτεί την επιλογή ενός άξονα κάθετο προς ‘’L’’.

Όταν εργαζόμαστε σε πολικές συντεταγμένες δεν είναι απαραίτητο να μετατραπούν σε καρτεσιανές συντεταγμένες για να χρησιμοποιήσουμε επικαμπύλια ολοκληρώματα, δεδομένου ότι η ενδιάμεση γραμμή μεταξύ δύο διαδοχικών κορυφών (r_i,θ_i) και (r_i+1,θ_i+1) ενός πολύγωνου δίνεται απευθείας από r_ir_i+1sin(θ_i+1 − θ_i)/2 . Αυτό ισχύει για όλες τις τιμές του θ, με κάποια μείωση στην αριθμητική ακρίβεια όταν | θ | είναι πολλές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερο από ότι το π. Με διαμόρφωση αρνητικού εμβαδού δείχνει κατεύθυνση προς τα δεξιά, η οποία πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατα την ανάμιξη ολικών και καρτεσιανών συντεταγμένων. Ακριβώς όπως η επιλογή του Υ-άξονα (x = 0), είναι αδιάφορο για την ολοκλήρωση της γραμμής σε καρτεσιανές συντεταγμένες, οπότε η επιλογή της μηδενικής επικεφαλίδας (θ = 0) είναι αδιάφορη εδώ.

Τύποι που μιμούνται τον τύπο του Ήρωνα

Τρείς τύποι έχουν την ίδια δομή με τον τύπο του Ήρωνα, αλλά εκφράζονται από την άποψη των διάφορων μεταβλητών. Πρώτον, δηλώνει τις διαμέσους από τις πλευρές ‘’a’’, ‘’b’’ και ‘’c’’ αντίστοιχα m_a, m_b, και m_c και το ημι-άθροισμα τους (m_a + m_b + m_c)/2 ως σ, έχουμε λοιπόν:

$T = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}.$

Στην συνέχεια αποτυπώνοντας τα ύψη από τις πλευρές ‘’a’’, ‘’b’ ‘και ‘’c’’ ως h_a, h_b, και h_c, αντίστοιχα και υποδηλώνει το ημι-άθροισμα των αντίστροφων των υψών, $H = (h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})/2$ όπότε έχουμε

$T^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}.$

και θέτει το ημι-άθροισμα των γωνιών ως S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2, έχουμε

$T = D^{2} \sqrt{S(S-\sin \alpha)(S-\sin \beta)(S-\sin \gamma)}$

όπου το ’’D’’ είναι η διάμετρος του περιγεγραμμένου: $D=\tfrac{a}{\sin \alpha} = \tfrac{b}{\sin \beta} = \tfrac{c}{\sin \gamma}.$

Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα του Pick

Βλέπουμε το θεώρημα του Pick ως μία τεχνική για την εύρεση του χώρου οποιουδήποτε αυθαίρετου πολυγωνικού πλέγματος

Το θεώρημα:

$T = I + \frac{1}{2}B - 1$

όπου το είναι $I$ ο αριθμός των εσωτερικών σημείων του πλέγματος και το ‘’Β’’ είναι ο αριθμός των σημείων πλέγματος που βρίσκονται στα σύνορα του πολύγωνου.

Άλλοι τύποι

Υπάρχουν πολυάριθμοι άλλοι τύποι, όπως

$T = r \cdot s,$

όπου r είναι η ακτίνα και s είναι η ημιπερίμετρος (στην πραγματικότητα ο τύπος αυτός ισχύει για όλες τα εφαπτομενικά πολύγωνα)

$T = \frac{1}{2}D^{2}(\sin \alpha)(\sin \beta)(\sin \gamma)$

και

$T = \frac{abc}{2D} = \frac{abc}{4R}$

και D για την διάμετρο (circumradius ), οπότε:

$T = \frac{\tan \alpha}{4}(b^{2}+c^{2}-a^{2})$

για γωνία α ≠ 90°.

Θέτει την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου με r και των ακτινών των περιγεγραμμένων με r₁, r₂, καιr₃, έτσι το εμβαδόν μπορεί να εκφραστεί σαν:

$T = \sqrt{rr_1r_2r_3}.$

Το 1885 ο Baker έδωσε μια συλλογή με πάνω από εκατό τύπους για το εμβαδόν του τριγώνου. Σε αυτούς περιλαμβάνονται:

$T = \frac{1}{2}[abch_ah_bh_c]^{1/3},$

$T = \frac{1}{2} \sqrt{abh_ah_b},$

$T = \frac{a+b}{2(h_a^{-1} + h_b^{-1})},$

$T = \frac{Rh_bh_c}{a}$

για ακτίνα (για circumradius) (ακτίνα του περιγεγραμμένο) θέτει το R, και έχουμε

$T = \frac{h_ah_b}{2 \sin \gamma}.$

Άνω όριο εμβαδού

Η έκταση του τριγώνου με περίμετρο p είναι μικρότερη ή ίση με $\tfrac{p^2}{12\sqrt{3}},$,με ισότητα που έχουν αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Διχοτόμηση εμβαδού

Υπάρχουν άπειρες γραμμές οι οποίες διχοτομούν το εμβαδόν του τριγώνου. Τρείς από αυτές είναι οι διάμεσοι, οι οποίες είναι οι μόνες που διχοτομούν το εμβαδόν και περνούν από το βαρύκεντρο του τριγώνου. Τρείς άλλες είναι παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου.

Κάθε γραμμή σε ένα τρίγωνο το όποιο χωρίζει στα δύο το εμβαδό του τριγώνου και τη περίμετρος του στο μισό περνάει από το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Μπορεί να υπάρχουν 1,2 ή 3 απο αυτές για οποιοδήποτε τρίγωνο.

Περισσότεροι τύποι για γενικά Ευκλείδεια τρίγωνα

Οι τύποι σε αυτή την ενότητα είναι όλοι για Ευκλείδεια τρίγωνα. Οί διάμεσοι και οι πλευρές σχετίζονται με :

$\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_a^{2}+m_b^{2}+m_c^{2}$

Και

$m_a=\frac{1}{2} \sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}= \sqrt{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})- \frac{3}{4}a^{2}}$,

and equivalently for m_b and m_c.

όμοια για m_b και m_c. Για γωνιά ‘’α’’ και την απέναντι πλευρά α, το μήκος της εσωτερικής διχοτόμου δίνεται από

$w_a = \frac{2 \sqrt{bcs(s-a)}}{b+c} = \sqrt{bc\left[1- \frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}\right]}$

για ημιπερίμετρο ‘’s’’, όπου το μήκος της διχοτόμου μετριέται από την κορυφή έως την απέναντι πλευρά.

Οι ακόλουθοι τύποι το ‘’R’’ (cercumradius) και το ‘’r’’ ( inradius):

$R = \sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}};$

$r = \sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}};$

$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}$

όπου h_a κ.λ.π είναι τα ύψη των πλευρών (subscripted sides)

$\frac{r}{R} = \frac{4 T^{2}}{sabc} = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma -1;$

Και

$2Rr = \frac{abc}{a+b+c}$.

Ας υποθέσουμε ότι δύο γειτονικά αλλά μη επικαλυπτόμενα τρίγωνα μοιράζονται την ίδια πλευρά με μήκος f και μοιράζονται το ίδιο περιγεγραμμένο, έτσι ώστε η πλευρά με μήκος f είναι μια χορδή του περιγεγραμμένου και τα τρίγωνα έχουν μήκη πλευρών (‘’α’’,’’β’’, ‘’f’’) και (‘’c’’ ,’’ d’’,’’ f’’), με τα δύο τρίγωνα μαζί να σχηματίζουν ένα κυκλικό τετράπλευρο με μήκη πλευρών (‘’a’’,’’b’’,’’c’’,’’d’’), έτσι

$f^2 = \frac{(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}. \,$

Έστω ‘’Μ’’ είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ και P ένα οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο. τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων είναι: :$(PA)^2 + (PB)^2 +(PC)^2 =(MA)^2 + (MB)^2 + (MC)^2 +3(PM)^2. \,$

Έστω p_a, p_b, και p_c είναι οι αποστάσεις από το βαρύκεντρο προς τις πλευρές με μήκη a, b, c. και έχουμε: Then.

:$\frac{p_a}{p_b} = \frac{b}{a}, \ \ \ \ \frac{p_b}{p_c} = \frac{c}{b}, \ \ \ \ \frac{p_a}{p_c} = \frac{c}{a} \,$

Και

$p_a \cdot a = p_b \cdot b = p_c \cdot c = \frac{2}{3} T. \,$

Οι δύο πλευρές ενός τριγώνου ισούνται με το ύψος στην τρίτη πλευρά επί την διάμετρο του περιγεγγραμμένου.

Το θεώρημα του Carnot αναφέρει ότι το άθροισμα των αποστάσεων από το περίκεντρο στις τρεις πλευρές ισούται με το άθροισμα του R circumradius και του r inradius . Εδώ το μήκος ενός τμήματος του θεωρείται αρνητική αν και μόνο αν το τμήμα βρίσκεται εξ ολοκλήρου έξω από το τρίγωνο. Αυτή η μέθοδος είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την αφαίρεση των ιδιοτήτων των πιο αφηρημένων μορφών των τριγώνων, όπως αυτές που προκαλούνται από άλγεβρες Lie, που έχουν τις ίδιες ιδιότητες, με τα συνήθεις τρίγωνα.

Το θεώρημα του Euler δηλώνει ότι η απόσταση d μεταξύ του περίκεντρο και του κέτρου του εγγεγραμμένου κύκλου δίνεται από

$\displaystyle d^2=R(R-2r)$

ή ισοδύναμα

$\frac{1}{R-d} + \frac{1}{R+d} = \frac{1}{r},$

όπου εδώ το R είναι η ακτίνα περιγεγραμμένου και το r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου. έτσι για όλα τα τρίγωνα R ≥ 2r, με την ισότητα να ισχύει στα ισόπλευρα τρίγωνα. Αν ένα ορθόκεντρο χωρίζει ένα ύψος σε τμήματα u και v, ένα άλλο σε μήκη W και Χ, και το τρίτο τμήμα σε μήκη Υ και Ζ, τότε ‘’υ’’ν’’ = ‘’w’’χ’’ =’’ y’’’’z’’

Η απόσταση από μία πλευρά προς το περίκεντρο ισούται με το μισό της απόστασης από την απέναντι κορυφή στο ορθόκεντρο

Τό άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τις κορυφές στο ορθόκεντρο συν το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών ισούται με 12 φορές το τετράγωνο της ακτίνας του περιγεγραμμένου.

Θεώρημα τριχοτομής του Morley

Το θεώρημα τριχοτομιών του Morley δηλώνει ότι σε κάθε τρίγωνο, τα τρία σημεία τομής των τριχωτόμiων σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο, το οποίο ονομάζεται το τρίγωνο του Morley.

Το τρίγωνο Morley, που προκύπτει από την τριχοτόμηση του κάθε εσωτερικού γωνίας.

Morley's trisector theorem states that in any triangle, the three points of intersection of the adjacent angle trisectors form an equilateral triangle, called the Morley triangle.

Σχήματα εφαπτόμενα σε ένα τρίγωνο

Όπως συζητήθηκε πιο πάνω, κάθε τρίγωνο έχει έναν μοναδικό εγγεγραμμένο κύκλο (incircle) που είναι εσωτερικό στο τρίγωνο και εφάπτεται σε όλες τις τρείς πλευρές.

Κάθε τρίγωνο έχει μια μοναδική εγγεγραμμένη έλλειψη (Steiner inellipse) η οποία είναι εσωτερική στο τρίγωνο και εφάπτεται στα μεσαία σημεία των πλευρών. Το θεώρημα του Madden δείχνει πως μπορούμε να βρούμε τις εστίες της έλλειψης αυτής. . Αύτη η έλλειψη έχει την μεγαλύτερη έκταση της κάθε εφαπτόμενης έλλειψης σε όλες τις τρείς πλευρές του τριγώνου.

Για οποιαδήποτε έλλειψη εφαπτόμενη σε ένα τρίγωνο ‘’ABC’’, και έστω οι εστίες είναι ‘’P’’ και ‘’Q’’. Τότε,

$\frac{\overline{PA} \cdot \overline{QA}}{\overline{CA} \cdot \overline{AB}} + \frac{\overline{PB} \cdot \overline{QB}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC}} + \frac{\overline{PC} \cdot \overline{QC}}{\overline{BC} \cdot \overline{CA}} = 1.$

Κάθε τρίγωνο έχει τρία εφαπτόμενα τετράγωνο (τετράγωνα στο εσωτερικό του, έτσι ώστε και οι τέσσερις κορυφές του τετραγώνου να βρίσκονται πάνω στο τρίγωνο, έτσι ώστε οι δύο να βρίσκονται πάνω στην ίδια πλευρά και ως εκ τούτου μια πλευρά του τετραγώνου να συμπίπτει με τμήμα μίας πλευράς του τριγώνου). Ωστόσο, στην περίπτωση ενός ορθογώνιου τριγώνου δύο από τις πλευρές συμπίπτουν και έχουν μία κορυφή στην ορθή γωνία του τριγώνου έτσι το ορθογώνιο τρίγωνο έχει μόνο δύο εγγεγραμμένα τέτοια τετράγωνα.Μέσα σε ένα τρίγωνο, μία επιπλέον κοινή πλευρά συνδέεται με ένα μικρότερο εγγεγραμμένο τετράγωνο. Αν ένα εγγεγραμμένο τετράγωνο έχει πλευρά μήκους q και το τρίγωνο έχει πλευρά μήκους a, μέρος της οποίας είναι η πλευρά του τετραγώνου, τότε q,a και το εμβαδόν του τριγώνου Τ σχετίζονται σύμφωνα με τον πιο κάτω τύπο:

$q=\frac{2Ta}{a^2+2T}.$

Ο μεγαλύτερος δυνατός λόγος του εμβαδού του εγγεγραμμένου τετραγώνου με το εμβαδό του τριγώνου είναι 1/2, όπου εμφανίζεται όταν a² = 2T, q = a/2 και το ύψος του τριγώνου από τη βάση μήκους είναι ίσο με α. Η μικρότερη δυνατή αναλογία της πλευράς ενός εγγεγραμμένου τετραγώνου προς την πλευρά ενός μη αμβλυγώνιου τριγώνου είναι $2\sqrt{2}/3 = 0.94....$ .

Διαμέρισα σε ισοσκελή τρίγωνα

Για κάθε ακέραιο n ≥ 4, κάθε τρίγωνο μπορεί να χωριστεί σε n ισοσκελή τρίγωνα.

Στοιχεία οριοθέτησης ενός τριγώνου

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, κάθε τρίγωνο έχει έναν μοναδικό περιγεγραμμένο κύκλο που διέρχεται από τις τρείς κορυφές, του οποίου το κέντρο είναι το σημείο τομής των μεσοκάθετων των πλευρών του τριγώνου.

Επιπλέον, κάθε τρίγωνο έχει μια μοναδική (Steiner circumellipse) περιγεγραμμένη έλλειψη, η οποία περνά μέσα από τις κορυφές του τριγώνου και έχει το κέντρο του στο κέντρο βάρους στο κέντρο βάρους του τριγώνου. Από όλες τις ελλείψεις που διέρχονται από τις κορυφές του τριγώνου, αυτή έχει το μικρότερο εμβαδό.

Μη επίπεδα τρίγωνα

Ένα μη επίπεδο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο το οποίο δεν περιέχεται σε έναν (επίπεδο) χώρο. Μερικά παραδείγματα μη-επίπεδων τριγώνων σε μη-Ευκλείδεια γεωμετρία είναι σφαιρικά τρίγωνα στην σφαιρική γεωμετρία και υπερβολικά τρίγωνα στην υπερβολική γεωμετρία.

Ενώ τα μέτρα των εσωτερικών γωνιών σε επίπεδα τρίγωνα πάντα συναθροίζονται σε 180 °, ένα υπερβολικό τρίγωνο έχει άθροισμα των γωνιών του λιγότερο από 180 °, και ένα σφαιρικό τρίγωνο έχει περισσότερες από 180 °. Ένα υπερβολικό τρίγωνο μπορεί να φτιαχτεί από αρνητική καμπύλη επιφάνεια, όπως μία επιφάνεια σέλα, και ένα σφαιρικό τρίγωνο μπορεί να ληφθεί από μία θετική καμπύλη επιφάνεια, όπως μια σφαίρα. Έτσι, αν κάποιος σχεδιάζει ένα γιγαντιαία τρίγωνο στην επιφάνεια της Γης, θα βρει κανείς ότι το άθροισμα των μέτρων των γωνιών του είναι μεγαλύτερη από 180 °. Στην πραγματικότητα θα είναι μεταξύ 180 ° και 540 °. [31] . Ειδικότερα. είναι δυνατό να σχεδιαστεί ένα τρίγωνο σε μια σφαίρα, έτσι ώστε το μέτρο κάθε γωνίας του να είναι ίσο με 90 °, προσθέτομενο στο συνολικό ποσό των 270°.

Συγκεκριμένα, σε μια σφαίρα το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι

180° × (1 + 4f),

όπου f είναι το ποσοστό της σφαίρας η οποία περικλείεται από το τρίγωνο. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε ζωγραφίσει ένα τρίγωνο στην επιφάνεια της Γης με κορυφές στο Βόρειο Πόλο, σε ένα σημείο στον ισημερινό σε γεωγραφικό μήκος 0 °, και ένα σημείο στον ισημερινό σε 90 ° δυτικού γεωγραφικού μήκους. Η μεγάλη κυκλική γραμμή μεταξύ αυτών των δύο σημείων είναι ο ισημερινός, και η μεγάλη κυκλική γραμμή μεταξύ ενός από αυτά τασημεία και τον Βόρειο Πόλο είναι μια γραμμή του γεωγραφικού μήκους. Έτσι υπάρχουν ορθές γωνίες στα δύο σημεία στον ισημερινό. Επιπλέον, η γωνία στο Βόρειο Πόλο είναι επίσης 90 °, επειδή οι ??άλλες δύο κορυφές διαφέρουν κατά 90 ° γεωγραφικού μήκους. Έτσι, το άθροισμα των γωνιών σε αυτό το τρίγωνο είναι 90° + 90° + 90° = 270°.Το τρίγωνο περικλείει το 1/4 του βόρειου ημισφαιρίου (90 ° / 360 °, όπως φαίνεται από το Βόρειο Πόλο) και ως εκ τούτου 1/8 της επιφάνειας της Γης, έτσι ώστε στον τύπο = 1/8}}. Έτσι ο τύπος δίνει σωστά το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ως 270 °.

Από τον παραπάνω τύπο μπορούμε επίσης να δούμε ότι η επιφάνεια της Γης είναι τοπικά επίπεδη: Αν σχεδιάσουμε αυθαίρετα ένα μικρό τρίγωνο στη γειτονιά ενός σημείου στην επιφάνεια της Γης, το κλάσμα ‘’f’’ της επιφάνειας της Γης, το οποίο περικλείεται από το τρίγωνο θα να είναι αυθαίρετα κοντά στο μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, ο τύπος απλοποιείται σε 180 °, όπου γνωρίζουμε ότι είναι στην Ευκλείδεια γεωμετρία, άρα μας λέει για τρίγωνα σε μια επίπεδη επιφάνεια.

Τρίγωνα στην κατασκευή

Η Flatiron Building στη Νέα Υόρκη διαμορφώνεται όπως ένα τριγωνικό πρίσμα

Τα ορθογώνια ήταν η πιο δημοφιλής και κοινή γεωμετρική μορφή για τα κτίρια αφού το σχήμα είναι εύκολο να ταχτοποιηθεί και να οργανωθεί.Ως πρότυπο, είναι εύκολο να σχεδιαστούν έπιπλα και φωτιστικά για να χωρέσουν μέσα σε ορθογώνια κτίρια. Όμως, τα τριγωνικά, ενώ είναι πιο δύσκολο να χρησιμοποιηθούν, προσφέρουν μια μεγάλη δύναμη. Καθώς η τεχνολογία υπολογιστών βοηθά τους αρχιτέκτονες στο δημιουργικό σχεδιασμό νέων κτιρίων, τριγωνικά σχήματα γίνονται όλο και πιο διαδεδομένα, όπως τμημάτων κτιρίων και ως πρωταρχικό σχήμα για ορισμένους τύπους των ουρανοξυστών, καθώς και σε οικοδομικά υλικά. Στο Τόκιο, το 1989, οι αρχιτέκτονες είχαν αναρωτηθεί αν ήταν δυνατό να οικοδομήσουμε ένα 500-όροφο πύργο για να παρέχετε οικονομικά προσιτός χώρος γραφείων για αυτή την πυκνή πόλη, αλλά με τον κίνδυνο σε κτίρια από τους σεισμούς, αρχιτέκτονες θεώρησαν ότι ένα τριγωνικό σχήμα θα ήταν αναγκαίο αν ένα τέτοιο κτίριο θα μπορούσε ποτέ να έχει κατασκευαστεί (δεν έχει από το 2011) . Στη Νέα Υόρκη, στο Broadway crisscrosses major avenues, τα προκύπτοντα κομμένα τεμάχια έχουν κοπεί ως τρίγωνα, και τα κτίρια έχουν κατασκευαστεί σε αυτά τα σχήματα. Ένα τέτοιο κτήριο είναι το τριγωνικού σχήματος κτίριο Flatiron που παραδέχονται πραγματικά οι άνθρωποι των ακινήτων έχει «κυκεώνας των αμήχανη χώρους που δεν φιλοξενήσει άνετα μοντέρνα έπιπλα γραφείου", αλλά αυτό δεν εμπόδισε τη δομή από το να γίνει ένα ορόσημο εικονίδιο. Οι σχεδιαστές έχουν κάνει σπίτια Νορβηγία με τριγωνικό θέματα σχήματα τριγωνικά έχουν εμφανιστεί σε εκκλησίες καθώς και δημόσια κτίρια, συμπεριλαμβανομένων των κολεγίων , καθώς και υποστηρίζονται για τα καινοτόμα σχέδια σε σπίτια .Τα τρίγωνα είναι ανθεκτικό, ενώ ένα ορθογώνιο μπορεί να καταρρεύσει σε μια παραλληλόγραμμη πίεση σε ένα από τα σημεία του, τα τριγωνικά έχουν μια φυσική δύναμη που υποστηρίζει την κατασκευή έναντι πλευρικών πιέσεων. Ένα τρίγωνο δεν θα αλλάξει σχήμα εκτός αν οι πλευρές του κάμπτονται ή να επεκταθεί ή να σπάσει ή αν σπάσει αρθρώσεις του. Στην ουσία, κάθε μία από τις τρεις πλευρές στηρίζει τις άλλες δύο. Ένα ορθογώνιο, αντίθετα, εξαρτάται περισσότερο από την αντοχή των αρθρώσεων της σε μια δομική έννοια. Μερικές καινοτόμοι σχεδιαστές έχουν προτείνει τούβλα κάνοντας τα όχι από ορθογώνια, αλλά με τριγωνικά σχήματα που μπορούν να συνδυαστούν σε τρεις διαστάσεις. Είναι πιθανό ότι τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν όλο και περισσότερο σε νέους τρόπους, όπως αυξήσεις αρχιτεκτονική στην πολυπλοκότητα. Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι τα τρίγωνα είναι ισχυρές από την άποψη της ακαμψίας, αλλά ενώ συσκευάζεται σε ένα tessellating τρίγωνων ρύθμιση δεν είναι τόσο ισχυρή όσο εξάγωνα υπό συμπίεση (εξ ου και η επικράτηση της εξαγωνικές μορφές στη φύση). Ψηφιδωτό τρίγωνα εξακολουθούν να διατηρούν ανώτερη δύναμη για προβόλους όμως, και αυτό είναι η βάση για ένα από τα ισχυρότερα κατασκευές άνθρωπο, η τετραδική αντηρίδες.

Ιδιότητες

• Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με μία ευθεία γωνία (180°).

Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου ισούται με μία πλήρη γωνία

Απόδειξη: Από την κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε παράλληλη χΆχ προς την απέναντι πλευρά ΒΓ, όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα. Επειδή οι χ'Αχ, ΒΓ είναι παράλληλες από κατασκευή, θα έχουμε τις ισότητες γωνιών χ'ΑΒ = Β και χΑΓ = Γ, ως ζεύγη εντός εναλλάξ γωνιών, άρα:

Α + Β + Γ = Α + χ'ΑΒ + χΑΓ = 180°

• Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών.

• Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, τότε έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες.

• Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓ ένα τρίγωνο και Κ, Λ τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Αν ΚΆ είναι το συμμετρικό του Κ ως προς το Λ τότε το ΑΚΆΓΚ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του ΑΓ και ΚΚΆ διχοτομούνται. Τότε τα Κ'Γ και ΑΚ είναι παράλληλα και ίσα, καθώς και τα Κ'Γ, ΚΒ· άρα το ΚΚΆΓΒ είναι παραλληλόγραμμο, αφού έχει ίσες και παράλληλες δύο απέναντι πλευρές. Τότε έχουμε: ΚΚ', ΒΓ παράλληλα και ίσα, άρα 2ΚΛ, ΒΓ παράλληλα και ίσα, άρα ΚΛ, ΒΓ/2 παράλληλα και ίσα.

• Αν από το μέσο μίας πλευράς τριγώνου φέρουμε παράλληλη προς μία άλλη πλευρά τότε η παράλληλη θα διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς.

Η παράλληλη από το μέσο πλευράς προς άλλη πλευρά διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓ τρίγωνο και Κ το μέσο της ΑΒ. Φέρνουμε Κχ παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Λ. Αν υποθέσουμε ότι είναι το μέσο της ΑΓ, τότε, από την προηγούμενη ιδιότητα, η ΚΛΆ θα είναι παράλληλη προς τη ΒΓ. Αυτό είναι άτοπο με βάση το αξίωμα παραλληλίας, αφού από το Κ θα διέρχονται δύο διαφορετικές παράλληλες προς τη ΒΓ.

Το τρίγωνο σε μη ευκλείδειες γεωμετρίες

Στις Ρημάνειες γεωμετρίες, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου γενικά διαφέρει των 180° (σε χώρους σταθερής καμπυλότητας η διαφορά είναι γενικά ανάλογη του εμβαδού του τριγώνου).

Δείτε επίσης

• Τρίγωνο θέσεως
• Τριγωνομετρία
• Τετράπλευρο
• Πολύγωνο