Ντάβιντ Χίλμπερτ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Ντάβιντ Χίλμπερτ
Hilbert.jpg
Γέννηση 23 Ιανουαρίου 1862
Καίνιξμπεργκ (Πρωσία)
Θάνατος 14 Φεβρουαρίου 1943
Γκέτινγκεν (Γερμανία)
Εθνικότητα Γερμανική
Ιδιότητα μαθηματικός
Γνωστός για αμετάβλητη θεωρία, Αξιώματα Χίλμπερτ, Χώρος Χίλμπερτ

Ο Ντάβιντ Χίλμπερτ (David Hilbert) (Καίνιξμπεργκ (Πρωσία), 23 Ιανουαρίου 1862 - Γκέτινγκεν (Γερμανία) 14 Φεβρουαρίου 1943) ήταν Γερμανός μαθηματικός. Ο Χίλμπερτ επινόησε και ανέπτυξε ένα ευρύ φάσμα από νέες ιδέες, στο οποίο συμπεριέλαβε την αμετάβλητη θεωρία και τα Αξιώματα Χίλμπερτ. Επίσης διατύπωσε τη θεωρία του Χώρου του Χίλμπερτ[1], η οποία είναι ένα από τα θεμέλια της συναρτησιακής ανάλυσης .

Ο Χίλμπερτ υιοθέτησε και υπερασπίστηκε θερμά τη θεωρία του Γκέοργκ Κάντορ και των υπερπερασμένων αριθμών. Ένα διάσημο παράδειγμα της ηγεσίας του στα μαθηματικά είναι η παρουσίασή του το 1900 των προβλημάτων του Χίλμπερτ, η οποία έθεσε την αρχή για περισσότερη μαθηματική έρευνα του 20ού αιώνα.

Ο Χίλμπερτ και οι μαθητές του συνεισέφεραν σημαντικά στην ίδρυση αυστηρών και στην ανάπτυξη σημαντικών εργαλείων, τα οποία χρησιμοποιούνται στη μοντέρνα μαθηματική φυσική. Ο Χίλμπερτ είναι γνωστός ως ένας από τους ιδρυτές της αποδεικτικής θεωρίας και της Μαθηματικής λογικής, καθώς επίσης ήταν και από τους πρώτους διακεκριμένους μαθηματικούς και μεταμαθηματικούς[2].

Ζωή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Χίλμπερτ, ο οποίος ήταν το πρώτο από τα δυο παιδιά του Ότο και της Maria Therese (Erdtmann) Χίλμπερτ, γεννήθηκε στην Πρωσία - είτε στο Καίνιξμπεργκ (σύμφωνα με δήλωση του Χίλμπερτ) ή στο Βέλαου (Wehlau, γνωστό από το 1946 ως Znamensk) κοντά στο Καίνιξμπεργκ, όπου ο πατέρας του δούλευε την περίοδο της γέννησης του[3]. Το φθινόπωρο του 1872 πήγε στο Friedrichskolleg Γυμνάσιο του Friedrichskolleg (Collegium fridericianum, το ίδιο σχολείο το οποίο παρακολούθησε και ο Ιμμάνουελ Καντ[4] 140 χρόνια αργότερα) αλλά ύστερα από μια δυστυχή περίοδο μεταφέρθηκε (φθινόπωρο του 1879) και αποφοίτησε (άνοιξη 1880) από το Wilhelm Gymnasium[5] το οποίο προσανατολιζόταν στις επιστήμες. Μετά την αποφοίτηση εγγράφηκε (φθινόπωρο του 1880) στο Πανεπιστήμιο του Καίνιξμπεργκ. Την άνοιξη του 1882 ο Hermann Minkowski (ο οποίος ήταν δύο χρόνια νεότερος από τον Χίλμπερτ και καταγόταν και ο ίδιος από το Καίνιξμπεργκ αλλά ήταν τόσο ταλαντούχος που αποφοίτησε νωρίτερα από το το γυμνάσιο και πήγε στο Βερολίνο για τρία εξάμηνα)[6] επέστρεψε στο Καίνιξμπεργκ και μπήκε στο πανεπιστήμιο. "Ο Χίλμπερτ ήξερε την τύχη του από τη στιγμή που την είδε. Παρά την αποδοκιμασία του πατέρα του , έγινε σύντομα φίλος με τον ντροπαλό, προικισμένο Minkowski."[7] Τo 1884, o Adolf Hurwitz έφτασε από το Γκέτινγκεν σαν αναπληρωτής καθηγητής. Μια έντονη και προσοδοφόρα επιστημονική ανταλλαγή μεταξύ των τριών, και κυρίως μεταξύ των Μινκόφσκι και Χίλμπερτ, οι οποίοι ασκούσαν μια αμοιβαία επιρροή ο ένας στον άλλο σε διάφορες περιόδους στην επιστημονική τους καριέρα. Ο Χίλμπερτ απέκτησε το διδακτορικό του το 1885, με διατριβή, γραμμένη από τον Ferdinand von Lindemann, υπό τον τίτλο "Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen" («οι αμετάβλητες ιδιότητες των ειδικών δυαδικών μορφών, κυρίως των σφαιρικών αρμονικών συναρτήσεων»).

Ο Χίλμπερτ παρέμεινε στο Πανεπιστήμιο του Καίνιξμπεργκ σαν Privatdozent (λέκτορας) από το 1886 ως το 1895. Ο Χίλμπερτ νυμφεύτηκε την Käthe Jerosch (1864–1945), κόρη ενός εμπόρου από το Καίνιξμπεργκ, μια ειλικρινή, νέα κοπέλα με ανεξαρτησία μυαλού, το οποίο ταίριαζε στο δικό του.[8]. Στο Καίνιξμπεργκ απέκτησαν το παιδί τους, Φραντς Χίλμπερτ (1893–1969). Tο 1895, ως αποτέλεσμα της παρέμβασης του Felix Klein, διατήρησε τη θέση του καθηγητή των μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, που εκείνη την περίοδο ήταν το καλύτερο κέντρο έρευνας μαθηματικών στον κόσμο. Παρέμεινε εκεί για το υπόλοιπο της ζωής του.

Ο γιος του Φραντς υπέφερε κατά τη διάρκεια της ζωής του από μη διαγνώσιμη ψυχική ασθένεια, η κατώτερη του νοημοσύνη ήταν απογοήτευση για τον πατέρα του και αυτή η ατυχία ήταν ένα θέμα θλίψης στους μαθηματικούς και στους μαθητές του Γκέτινγκεν.[9] Ο Μινκόφσκι, ο καλύτερος και πιο αληθινός φίλος[10] του Χίλμπερτ, πέθανε πρόωρα από ρήξη εντέρου το 1909.

Το Μαθηματικό Ίδρυμα στο Γκέτινγκεν. Το νέο κτίριο,το οποίο κατασκευάστηκε με πόρους από το Ίδρυμα Ροκφέλερ, άνοιξε απο τον Χίλμπερτ και τον Κουράντ το 1930.

Η Σχολή Γκέτινγκεν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ανάμεσα στους φοιτητές του Χίλμπερτ ήταν ο Χέρμαν Βέιλ, ο πρωταθλητής του σκακιού Εμάνουελ Λάσκερ, ο Ερνέστος Ζερμέλο και ο Καρλ-Γκούσταβ Χέμπελ. Ο Τζον φον Νόιμαν ήταν βοηθός του. Στο πανεπιστήμιο Γκέτινγκεν ο Χίλμπερτ ήταν περιστοιχισμένος από κοινωνικό κύκλο μερικών από τους πιο σημαντικούς μαθηματικούς του εικοστού αιώνα, όπως η Έμμυ Ναίτερ και ο Αλόνσο Τσέρτς.

Ανάμεσα στους 69 PH.D. μαθητές του στο Γκέτινγκεν ήταν πολλοί οι οποίοι αργότερα έγιναν διάσημοι μαθηματικοί, περιλαμβανομένων (με ημερομηνία διατριβής) των: Όττο Μπλούμενταλ( 1898), Φέλιξ Μπέρνσταιν (1901), Χέρμαν Βέιλ (1908), Ρίχαρντ Κούραντ(1910), Έριχ Χέκε(1910), Χιούγκο Στάινχαουζ(1911) και Βίλχελμ Άκερμαν(1925).[11]Μεταξύ 1902 και 1939 ο Χίλμπερτ ήταν εκδότης του Mathematische Annalen, του κορυφαίου μαθηματικού περιοδικού της εποχής.

"Ωραία, δεν είχε αρκετή φαντασία ώστε να γίνει μαθηματικός."
Η απάντηση του Χίλμπερτ αφού άκουσε ότι κάποιος από τους μαθητές του τα παράτησε για να σπουδάσει ποίηση.[12]

Ύστερα χρόνια[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Χίλμπερτ έζησε για να δει την αποχώρηση συνεργατών του λόγω του Γερμανικού Εθνικοσοσιαλιμού, οι οποίοι ήταν εξέχοντα μέλη του Πανεπιστημίου του Καίνιξμπεργκ το 1933.[13] Ανάμεσα σε αυτούς που αποχώρησαν ήταν οι Χέρμαν Βέιλ (ο οποίος πήρε τη θέση του Χίλμπερτ όταν αυτός αποσύρθηκε το 1930), η Έμμυ Ναίτερ και και ο Έντμουντ Λάνταου (Edmund Landau). Ο Paul Bernays, ο οποίος αναγκάστηκε να φύγει απο τη Γερμανία, είχε συνεργαστεί με τον Χίλμπερτ στην Μαθηματική λογική και συνέγραψαν μαζί το πολύ σημαντικό βιβλίο Grundlagen der Mathematik (το οποίο τελικά εκδόθηκε σε δύο τόμους το 1934 και το 1939). Aυτό ήταν η συνέχεια του βιβλίου του Χίλμπερτ και του Άκερμαν το οποίο λεγόταν Αρχές της Μαθηματικής Λογικής του 1928. Το 1933 ο Χίλμπερτ παρευρέθηκε σε ένα συμπόσιο και κάθισε δίπλα στον νέο Υπουργό Παιδείας, Μπέρνχαρντ Ρουστ. Ο Ρουστ τον ρώτησε "Πώς είναι τα μαθηματικά στο Γκέτινγκεν τώρα που ελευθερώθηκαν από την εβραϊκή επιρροή;" ο Χίλμπερτ απάντησε "Μαθηματικά στο Γκέτινγκεν; Δεν υπάρχουν πια".[14]

Ο τάφος του Χίλμπερτ:
Wir müssen wissen
Wir werden wissen

Ως τη στιγμή που ο Χίλμπερτ πέθανε, το 1943, οι Ναζιστές είχαν σχεδόν αλλάξει ολόκληρο το προσωπικό του πανεπιστημίου, καθώς το μεγαλύτερο τμήμα του είτε ήταν Εβραίοι είτε ήταν παντρεμένοι με Εβραίους. Στην κηδεία του Χίλμπερτ παρευρέθηκαν περισσότεροι από μια ντουζίνα άνθρωποι, μόνο δύο από τους οποίους ήταν ακαδημαϊκοί συνάδελφοι, ένας από τους οποίους ήταν ο Άρνολντ Ζόμμερφελντ, ένας θεωρητικός φυσικός από το Καίνιξμπεργκ.[15] Τα νέα για τον θάνατο του έγιναν ευρέως γνωστά μόλις έξι μήνες αργότερα.

Στις θρησκευτικές του πεποιθήσεις ήταν αγνωστικιστής.[16] Επίσης υποστήριζε ότι η μαθηματική αλήθεια είναι ανεξάρτητη από την ύπαρξη του Θεού ή άλλες εκ των προτέρων υποθέσεις.[17]

Το επιτάφιο μνημείο του στο Γκέτινγκεν διακοσμείται από το περίφημο κείμενο που εκφώνησε στον επίλογο της συνταξιοδότησης του απευθυνόμενος στην Κοινωνία των Γερμανών Επιστημόνων και Φυσικών το φθινόπωρο του 1930. Τα λόγια δόθηκαν σε απόκριση του Λατινικού αποφθέγματος: «Ignoramus et ignorabimus» ή «Δεν ξέρουμε, δεν θα γνωρίζουμε»:[18]

Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.

Στα Ελληνικά:

Εμείς πρέπει να γνωρίζουμε.
Εμείς θα γνωρίζουμε.

Τη μέρα πριν ο Χίλμπερτ προφέρει αυτές τις φράσεις στην ετήσια συνάντηση του συλλόγου των Γερμανών Επιστημόνων και Φυσικών,ο Κουρτ Γκέντελ-σε μια επιτραπέζια συζήτηση κατά τη διάρκεια της διάσκεψης για την Επιστημολογία και τις συναντήσεις του Συλλόγου-διστακτικά ανακοίνωσε την πρώτη έκφραση του ανολοκλήρωτου θεωρήματός του.[19]

Ο Χίλμπερτ λύνει το πρόβλημα του Γκόρνταν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η πρώτη εργασία του Χίλμπερτ για τις αμετάβλητες λειτουργίες τον οδήγησε στην επίδειξη το 1888 του δημοφιλούς του finiteness θεωρήματος. Είκοσι χρόνια νωρίτερα, ο Πολ Γκόρνταν είχε επιδείξει το θεώρημα of the finiteness of generators για δυαδικές μορφές χρησιμοποιώντας μια πολύπλοκη υπολογιστική προσέγγιση. Προσπάθειες να γενικεύσει τη μέθοδό του σε λειτουργίες με περισσότερες από δύο μεταβλητές απέτυχαν λόγω της τεράστιας δυσκολίας των υπολογισμών που περιπλέκονταν. Προκειμένου να λύσει αυτό που είχε γίνει γνωστό σε μερικούς κύκλους ως το Πρόβλημα του Γκόρνταν, ο Χίλμπερτ συνειδητοποίησε ότι ήταν απαραίτητο να πάρει ένα εντελώς διαφορετικό μονοπάτι. Συνεπώς, επέδειξε το Βασικό Θεώρημα του Χίλμπερτ, αποδεικνύοντας την ύπαρξη μιας άπειρης σειράς γεννητριών, για τις αναλλοίωτες των quantics σε οποιοδήποτε πλήθος μεταβλητών, αλλά σε μια αφηρημένη μορφή. Δηλαδή, ενώ επιδείκνυε την ύπαρξη μιας τέτοιας ομάδας, δεν ήταν μία εποικοδομητική απόδειξη -δεν παρουσίαζε ένα "αντικείμενο"- αλλά μάλλον, ήταν μια απόδειξη ύπαρξης[20] και βασιζόταν στη χρήση της Αρχής του Αποκλειόμενου Μέσου μέσα σε μια άπειρη επέκταση.

Ο Χίλμπερτ έστειλε τα συμπεράσματά του στο Mathematische Annalen. Ο Γκόρνταν, ο εμπειρογνώμονας στη θεωρία των αναλλοιωτών για το Mathematische Annalen, δεν μπόρεσε να εκτιμήσει την επαναστατική φύση του θεωρήματος του Χίλμπερτ και απέρριψε το άρθρο, κριτικάροντας την έκθεση επειδή ήταν ανεπαρκώς περιεκτική. Το σχόλιό του ήταν:

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.
(Δεν είναι Μαθηματικά. Είναι Θεολογία.)[21]

Ο Κλέιν, από την άλλη πλευρά, αναγνώρισε τη σημαντικότητα της εργασίας, και εγγυήθηκε ότι επρόκειτο να δημοσιευτεί χωρίς καμία αλλαγή. Ενθαρρυμένος από τον Κλέιν, ο Χίλμπερτ σε ένα δέυτερο άρθρο επέκτεινε τη μέθοδό του, παρέχοντας εκτιμήσεις για το μέγιστο βαθμό της ελάχιστης σειράς γεννητριών, και το έστειλε πάλι στο Annalen. Αφού είχε διαβάσει το χειρόγραφο, ο Κλέιν του έγραψε, λέγοντας:

Χωρίς αμφιβολία αυτή είναι η πιο σημαντική εργασία πάνω στη γενική άλγεβρα που έχει δημοσιέυσει ποτέ το Annalen.[22]

Αργότερα, αφού η χρησιμότητα της μεθόδου του Χίλμπερτ ήταν παγκοσμίως αναγνωρισμένη, ο Γκότνταν ο ίδιος είπε:

Έχω πείσει τον εαυτό μου οτι ακόμη και η θεολογία έχει τα προτερήματά της.[23]

Για όλες τις επιτυχίες του, η φύση της απόδειξής του ξεσήκωσε περισσότερα προβλήματα από ό,τι ο Χίλμπερτ θα μπορούσε να έχει φανταστεί τότε. Παρ'όλο που ο Κρόνεκερ το είχε παραδεχτεί, ο Χίλμπερτ απάντησε αργότερα στις όμοιες κριτικές των άλλων πως "πολλές διαφορετικές κατασκευές εντάσσονται σε μία θεμελιώδη ιδέα" -με άλλα λόγια(to quote Reid): "Μέσω μιας απόδειξης ύπαρξης, ο Χίλμπερτ ήταν ικανός να βρει μια κατασκευή", "η απόδειξη" (i.e. the symbols on the page) ήταν "το αντικείμενο".[23] Δεν ήταν όλοι πεπεισμένοι. Ενώ ο Κρόνεκερ θα πέθαινε αμέσως μετά, η κονστρουκτιβιστική φιλοσοφία του θα συνέχιζε με το νέο Μπράουερ και την αναπτυσσόμενη διαισθητική "σχολή" του, πριν το βάσανο του Χίλμπερτ στα επόμενα χρόνια του.[24] Πράγματι ο Χίλμπερτ έχασε τον "προικισμένο μαθητή" του Γουέιλ στον ιντουιτιονισμό -"Ο Χίλμπερτ ενοχλήθηκε με τη γοητεία του πρώην μαθητή του από τις ιδέες του Μπράουερ, οι οποίες προκάλεσαν στο Χίλμπερτ τη μνήμη του Κρόνεκερ".[25] Ο Μπράουερ ο ιντουιτιονιστής ειδικότερα ήταν αντίθετος με τη χρήση της Αρχής του Αποκλειόμενου Μέσου πάνω από άπειρες σειρές (όπως ο Χίλμπερτ την είχε χρησιμοποιήσει). Ο Χίλμπερτ απάντησε:

Το να πάρεις την Αρχή του Αποκλειόμενου Μέσου από το μαθηματικό...είναι σαν να...απαγορεύεις στον πυγμάχο τη χρήση της γροθιάς του.[26]

Αξιώματα του Χίλμπερτ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Αξιώματα Χίλμπερτ

Η εργασία Grundlagen der Geometrie (μετ: Επί των θεμελίων της Γεωμετρίας) που δημοσιεύτηκε από τον Χίλμπερτ το 1899 προτείνει ένα επίσημο σύνολο, τα Αξιώματα Χίλμπερτ, υποκαθιστώντας τα παραδοσιακά Στοιχεία. Αυτά αποφεύγουν αδυναμίες που αναγνωρίζονται σε εκείνα του Ευκλείδη, του οποίου οι εργασίες εκείνη την εποχή χρησιμοποιούνταν ακόμη σαν βιβλίο μόδας. Ανεξάρτητα και ταυτόχρονα, ένας 19χρονος Αμερικανός φοιτητής ονόματι Ρόμπερτ Λι Μουρ δημοσίευσε μία ισάξια σειρά αξιωμάτων. Μερικά από τα αξιώματα συμπίπτουν, ενώ κάποια από τα αξιώματα στο σύστημα του Μουρ είναι θεωρήματα σε αυτό του Χίλμπερτ και αντίστροφα.

Η προσέγγιση του Χίλμπερτ σηματοδότησε την αλλαγή στο σύγχρονο αξιωματικό σύστημα. Σε αυτό ο Χίλμπερτ ήταν αναμενόμενος από την εργασία του Τζουζέπε Πεάνο από το 1889. Τα Αξιώματα δεν δίνονται σαν αυτονόητες αλήθειες. Η Γεωμετρία ίσως εκμετλλεύεται πράγματα, για τα οποία εμείς έχουμε ισχυρές διαισθήσεις, αλλά δεν είναι απαραίτητο να εκχωρείται κάθε σαφές νόημα στις απροσδιόριστες έννοιες. Τα στοιχεία, όπως το σημείο, η γραμμή, το επίπεδο, και άλλα, θα μπορούσαν να υποκατασταθούν, όπως λέει ο Χίλμπερτ, από τραπέζια, καρέκλες, μπουκάλια μπύρας και άλλα τέτοια αντικείμενα. Είναι οι ορισμένες σχέσεις τους που συζητώνται.

Ο Χίλμπερτ πρώτα απαριθμεί τις απροσδιόριστες έννοιες: σημείο, γραμμή, επίπεδο, βασιζόμενος (σε μία σχέση ανάμεσα στα σημεία και τα επίπεδα), στην αναμεσότητα, τη συμβατότητα των ζευγών σημείων, και τη μαθηματική αναλογία των γωνιών. Τα αξιώματα ενοποιούν και την Ευκλείδεια γεωμετρία και την Στερεομετρία του Ευκλείδη σε ένα μοναδικό σύστημα.

Τα 23 Προβλήματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Χίλμπερτ άρχισε μια πιο ισχυρή λίστα από 23 άλυτα προβλήματα στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στο Παρίσι το 1900. Αυτό εκτιμάται εύρεως ως το πιο επιτυχημένο και η πιο βαθειά συλλογή από ανοιχτά προβλήματα που παράχτηκαν ποτέ από ένα μόνο μαθηματικό. Ξαναδουλεύοντας τα θεμέλια της κλασσικής γεωμετρίας, ο Χίλμπερτ θα μπορούσε να έχει επεκτείνει και τα υπόλοιπα μαθηματικά. Η προσέγγισή του διέφερε, ωστόσο, από τον προηγούμενο "θεμελιωτή" Ράσελ-Γουάιτχεντ ή τον "εγκυκλοπαιδικό" Νικολά Μπουρμπακί και από τον σύγχρονο του Τζουζέπε Πεάνο. Ολόκληρη η μαθηματική κοινότητα μπορούσε να κατατάξει τα προβλήματα, τα οποία είχε αναγνωρίσει ως ζωτικής σημασίας πτυχές των περιοχών των μαθηματικών, στα οποία αυτός αποτελούσε σημαντικό κομμάτι. Το πρόβλημα του συνόλου ξεκίνησε ως ομιλία "Το Πρόβλημα των Μαθηματικών" που παρουσιάστηκε κατά τη διάρκεια του μαθήματος του Δεύτερου Διεθνές Συνέδριου των Μαθηματικων που πραγματοποιήθηκε στο Παρίσι.Εδώ είναι η εισαγωγή της παρουσίασης που έκανε ο Χίλμπερτ:

Ποιος ανάμεσα σε εμάς δεν θα ήταν ευτυχισμένος να άρει το πέπλο πίσω από το οποίο είναι κρυμμένο το μέλλον; να κοιτάξει στις επερχόμενες εξελίξεις της επιστήμης μας και στα μυστικά της ανάπτυξης της στους αιώνες που έρχονται; Ποια θα είναι τα άκρα προς τα οποία οι μελλοντικές γενιές των μαθηματικών θα τείνουν; Ποιες μέθοδοι, ποια νέα στοιχεία θα αποκαλύψει ο νέος αιώνας στο τεράστιο και πλούσιο πεδίο της μαθηματικής σκέψης;[27]

Παρουσίασε περισσότερα από τα μισά προβλήματα στο Συνέδριο, τα οποία δημοσιεύθηκαν στα πρακτικά του Συνεδρίου. Σε μια μεταγενέστερη δημοσίευση, επέκτεινε το πανόραμα, και έφτασε στη διατύπωση των πλέον 23 Προβλημάτων του Χίλμπερτ. Ολόκληρο το κείμενο είναι σημαντικό, δεδομένου ότι η εξήγηση των ερωτήσεων ακόμα μπορεί να είναι ένα θέμα αναπόφευκτης διαμάχης, όποτε ερωτάται πόσα έχουν λυθεί. Μερικά από αυτά λύθηκαν σε σύντομο χρονικό διάστημα. Άλλα έχουν συζητηθεί κατά τη διάρκεια του 20ου αιώνα, με λίγα πλέον να θεωρούνται απρεπώς ανοιχτού τύπου. Μερικά συνεχίζουν να παραμένουν μια πρόκληση για τους μαθηματικούς.

Φορμαλισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε ένα απολογισμό που είχε γίνει πρότυπο μέχρι τα μέσα του αιώνα,όπου το σύνολο των προβλημάτων του Χίλμπερτ ήταν επίσης ένα είδος μανιφέστου, άνοιξε το δρόμο για την ανάπτυξη του φορμαλιστικού σχολείου, ένα από τα τρία πιο σημαντικά σχολεία των μαθηματικών του 20ού αιώνα. Σύμφωνα με τον φορμαλιστή, τα μαθηματικά είναι η χειραγώγηση των συμβόλων σύμφωνα με συμφωνημένους τυπικούς κανόνες. Συνεπώς, είναι μια αυτόνομη δραστηριότητα της σκέψης. Ωστόσο, υπάρχει χώρος για αμφιβολίες κατά πόσο οι απόψεις του Χίλμπερτ ήταν απλά φορμαλιστικές στην ουσία.

Το Πρόγραμμα του Χίλμπερτ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το 1920 πρότεινε ρητά ένα ερευνητικο πρόγραμμα (στα μεταμαθηματικά, όπως χαρακτηρίστικαν τότε) το οποίο έγινε γνωστό σαν Το Πρόγραμμα του Χίλμπερτ. Ήθελε τα Μαθηματικά να διαμορφωθούν σε σταθερές και ολοκληρωμένες λογικές βάσεις. Κατ 'αρχήν, πίστευε ότι αυτό μπορούσε να γίνει, αποδεικνύοντας ότι:

  1. όλα τα μαθηματικά προκύπτουν από ένα σωστά επιλεγμένο πεπερασμένο σύστημα από αξιώματα και
  2. ένα τέτοιο αξιωματικό σύστημα είναι αποδεδειγμένα συνεπές με κάποιο τρόπο όπως ο υπολογισμός του έψιλον.

Φαίνεται ότι είχε και τεχνικές και φιλοσοφικές αιτίες για τη διατύπωση της πρότασης. Επιβεβαίωσε την απέχθειά του για το τι είχε γίνει γνωστό ως ignorabimus, το οποίο παρέμενε ένα ενεργό θέμα στην εποχή του στη Γερμανική σκέψη και ανάχθηκε στην διατύπωση του Εμίλ Ντε Μπουά-Ρεϋμοντ. Αυτό το πρόγραμμα εξακολουθεί να είναι αναγνωρίσιμο στην πιο διάσημη φιλοσοφία των μαθηματικών, όπου συνήθως ονομάζεται φορμαλισμός. Για παράδειγμα, η ομάδα των Μπουρμπακί υιοθέτησε μια αποδυναμωμένη και επιλεκτική έκδοση ως απαιτούμενη για τις απαιτήσεις των δίδυμων σχεδίων τους που αποτελούνταν από (α) τη γραπτώς θεμελιώδη δουλειά και από (β)την υποστηρικτική αξιωματική μεθόδου σαν ένα ερευνητικό εργαλείο. Η προσέγγιση αυτή υπήρξε επιτυχής και με επιρροή σε σχέση με το έργο του Χίλμπερτ στην άλγεβρα και στην συναρτησιακή ανάλυση, αλλά δεν κατάφερε να επηρεάσει με τον ίδιο τρόπο το ενδιαφέρον του στη φυσική και τη λογική.

Ο Χίλμπερτ έγραψε το 1919:

Δεν μιλάμε σε καμία περίπτωση για αυθαιρεσία. Τα μαθηματικά δεν είναι όπως ένα παιχνίδι του οποίου τα καθήκοντα καθορίζονται αυθαίρετα από θεσπισμένους κανόνες. Αντίθετα, είναι ένα εννοιολογικό σύστημα που διαθέτει εσωτερική ανάγκη που δεν μπορεί παρά να είναι έτσι και με κανένα τρόπο διαφορετικά.

Ο Χίλμπερτ δημοσίευσε τις απόψεις του πάνω στα θεμέλια των μαθηματικών σε 2-όγκου εργασιές το Grundlagen der Mathematik.

Η επιρροή του Γκέντελ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Χίλμπερτ και οι μαθηματικοί που συνεργάστηκαν μαζί του στην επιχείρησή του είχαν δεσμευθεί στο έργο αυτό. Η προσπάθεια του να υποστηρίξει αξιωματικά τα μαθηματικά με θεμελιώδεις αρχές, ώστε να επιλύσει θεωρητικές αβεβαιότητες, ήταν όμως καταδικασμένη να καταλήξει σε αποτυχία. Ο Κουρτ Γκέντελ απέδειξε ότι ένα μη αντιφατικό τυπικό σύστημα, αρκετά εκτενές ώστε να περιλαμβάνει τουλάχιστον αριθμητική, δεν μπορεί να επιδείξει την πληρότητά του μέσω μόνο των δικών του αξιωμάτων. Το 1931, τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ κατέδειξαν ότι το μεγάλο σχέδιο του Χίλμπερτ ήταν αδύνατο να επιτευχθεί έτσι όπως είχε οριστεί. Το δεύτερο σημείο δεν μπορεί με κανέναν λογικό τρόπο να συνδυαστεί με το πρώτο, εφόσον το σύστημα αξιωμάτων είναι πραγματικά πεπερασμένο.

Παρόλα αυτά, οι κατοπινές επιτυχίες της θεωρίας αποδείξεων τουλάχιστον αποσαφήνισαν τη συνοχή θεωριών κεντρικών για τα μαθηματικά. Η εργασία του Χίλμπερτ είχε εκκινήσει αυτήν την πορεία της αποσαφήνισης· στη συνέχεια η ανάγκη να κατανοηθεί η δουλειά του Γκέντελ οδήγησε στην ανάπτυξη της θεωρίας αναδρομής και της μαθηματικής λογικής ως αυτόνομου γνωστικού πεδίου, κατά τη δεκαετία του 1930. Οι βάσεις για τη μετέπειτα θεωρητική πληροφορική τέθηκαν κατόπιν από τον Αλόνσο Τσερτς και τον Άλαν Τούρινγκ, με υπόβαθρο ακριβώς αυτές τις εξελίξεις.

Συναρτησιακή Ανάλυση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γύρω στο 1909,ο Χίλμπερτ αφοσιώθηκε στη μελέτη των διαφορικών και ενιαίων εξισώσεων· το έργο του είχε άμεσες συνέπειες σε σημαντικά τμήματα της σύγχρονης συναρτησιακής ανάλυσης. Για την εκτέλεση αυτών των μελέτων, ο Χίλμπερτ εισήγαγε την ιδέα ενός άπειρου διαστάσεων Ευκλείδιου Χώρου, που αργότερα ονομάστηκε Χώρος Χίλμπερτ. Το έργο του σε αυτό το μέρος της ανάλυσης παρείχε τη βάση για σημαντικές συνεισφορές στα μαθηματικά της φυσικής στις επόμενες δύο δεκαετίες, αν και από μια απρόβλεπτη κατεύθυνση. Αργότερα, ο Στέφαν Μπάνα ενίσχυσε την έννοια, καθορίζοντας το Χώρο Μπάνα. Οι χώροι του Χίλμπερτ αποτελούν μια σημαντική κατηγορία αντικειμένων της Συναρτησιακής Ανάλυσης, ιδιαίτερα στη φασματική θεωρία των αυτοσυζυγείς γραμμικών φορέων, που αναπτύχθηκε γύρω από αυτό κατά τη διάρκεια του 20ού αιώνα.

Φυσική[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μέχρι το 1912 ο Χίλμπερτ ήταν σχεδόν αποκλειστικά ένας 'καθαρός' μαθηματικος. Όταν σχεδιάζοντας ένα ταξίδι από το Μπον, όπου βυθίστηκε στη μελέτη της φυσικής, οι συνάδελφοι του μαθηματικοί και ο φίλος του Έρμαν Μινκόφσκι αστειεύτηκαν ότι έπρεπε να περάσει 10 μέρες στην απομόνωση πριν να μπορέσει να επισκεφτεί τον Χίλμπερτ. Στην πραγματικότητα, ο Μινκόφσκι φαίνεται να ήταν υπεύθυνος για τις περισσότερες διερευνήσεις του Χίλμπερτ πριν το 1912, συμπεριλαμβανομένου του κοινού σεμιναρίου τους για το θέμα το 1905.

Το 1912, τρία χρόνια μετα το θάνατο του φίλου του,έστρεψε την εστίαση του στο αντικείμενο σχεδόν αποκλειστικά. Κανόνισε να έχει ένα "δάσκαλο φυσικής" για τον εαυτό του.[28] Άρχισε να μελετά τη Κινητική θεωρία και προχώρησε προς τη στοιχειώδη θεωρία της ακτινοβολίας και τη μοριακή θεωρία της ύλης. Ακόμη και μετά την αρχή του πολέμου το 1914, συνέχισε τα σεμινάρια και τα μαθήματα, όπου παρακολούθησε στενά τη δουλειά του Άλμπερτ Αϊνστάιν και άλλων.

Μέχρι το 1907 ο Αϊνστάιν είχε διαμορφωσεί τις βασικές αρχές της θεωρίας της βαρύτητας, αλλά στη συνέχεια αγωνίστηκε για σχεδόν 8 χρόνια με ε΄να μπερδεμένο πρόβλημα για να βάλει τη θεωρία στην τελική της μορφή.[29] Από τις αρχές του καλοκαιριού του 1915, το ενδιαφέρον του Χίλμπερτ για τη φυσική είχε εστιάσει στη Γενική θεωρία της Σχετικότητας, και προσκάλεσε τον Αϊνστάιν στο Γκέτινγκεν να παραδώσει διαλέξεις μιας εβδομάδας πάνω στο θέμα.[30] Ο Αϊνστάιν έλαβε μια ενθουσιώδη υποδοχή στο Γκέτινγκεν.[31] Κατά τη διάρκεια του καλοκαιριού ο Αϊνστάιν έμαθε ότι ο Χίλμπερτ εργαζόταν επίσης στις εξισώσεις πεδίου και διπλασίασε τις δικές του προσπάθειες. Κατά τη διάρκεια του Νοέμβρη του 1915 ο Αϊνστάιν δημοσίευσε πολλές εργασίες με αποκορύφωμα "Οι εξισώσεις πεδίου της βαρύτητας" (δες εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν). Σχεδόν ταυτόχρονα, ο Ντάδιντ Χίλμπερτ δημοσίευσε "Τα Θεμέλια της Φυσικής", μια αξιωματική πηγή των εξισώσεων πεδίου(δες δράση των Αϊνσταιν-Χίλμπερτ). Ο Χίλμπερτ πιστώνει πλήρως τον Αϊνστάιν ως δημιουργό της θεωρίας, και ποτέ δεν προέκυψε δημόσια διαφωνία που να αφορά τις εξισώσεις πεδίου μεταξύ των δύο ανδρών κατά τη διάρκεια της ζωής τους.[32] Δείτε περισσότερα στο Διαφορά σχετικότητας-προτεραιότητας.

Επιπροσθέτως, η εργασία του Χίλμπερτ προέλαβε και βοήθησε πολλές αναπτύξεις στη Μαθηματική διατύπωση της κβαντικής μηχανικής. Η εργασία του ήταν μια βασική πτυχή της εργασίας του Χέρμαν Γουέιλ και τουΤζον φον Νόιμαν πάνω στη μαθηματική ισοδυναμία της Matrix μηχανικής του Βέρνερ Χάιζενμπεργκ και της Εξίσωσης Σρέντινγκερ του Έρβιν Σρέντινγκερ και ο συνώνυμός του Χώρος Χίλμπερτ έχει σημαντικό ρόλο στη κβαντική θεωρία. Το 1926 ο φον Νόιμαν έδειξε ότι αν οι ατομικές καταστάσεις ήταν κατανοητές σαν φορείς στο Χώρο Χίλμπερτ, τότε θα αντιστοιχούσαν στην θεωρία του Σρέντινγκερ και του Χάιζενμπεργκ.[33]

Κατά τη διάρκεια αυτής της απορρόφησης στη φυσική, ο Χίλμπερτ δούλεψε πάνω στην αυστηρότητα στα μαθηματικά της φυσικής. Ενώ εξαρτώνταν σε μεγάλο βαθμό από τα ανώτερα μαθηματικά, οι φυσικοί ήταν "πρόχειροι" με αυτά. Για έναν "αγνό" μαθηματικό όπως ο Χίλμπερτ, αυτό ήταν "άσχημο" αλλά και δύσκολο να το καταλάβει. Καθώς άρχισε να κατανοεί τη φυσική και το πώς οι φυσικοί χρησιμοποιούσαν τα μαθηματικά, ανέπτυξε μια συνεκτική μαθηματική θεωρία για αυτά που βρήκε, σημαντικότερα στο χώρο των ολοκληρωτικών εξισώσεων. Όταν ο συνάδελφός του Ριχάρδος Κούραντ έγραψε το κλασσικό τώρα Μέθοδοι της Μαθηματικής Φυσικής περιλαμβάνοντας κάποιες από τις ιδέες του Χίλμπερτ, πρόσθεσε το όνομα του Χίλμπερτ σαν συγγραφέα παρόλο που ο Χίλμπερτ δεν είχε συμβάλει ακριβώς στο γράψιμο. Ο Χίλμπερτ είπε "Η φυσική είναι πολύ σκληρή για τους φυσικούς", υποννοώντας ότι τα απαραίτητα μαθηματικά ήταν γενικά πέρα από εκείνους, το βιβλίο Κούραντ-Χίλμπερτ τα έκανε πιο εύκολα για εκείνους.

Θεωρία Αριθμών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Χίλμπερτ ενωποίησε το πεδίο της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών με την πραγματεία του Zahlbericht το 1987 (κυριολεκτικά "έκθεση σχετικά με τους αριθμούς»). Επίσης επέλυσε ένα μοναδικό στη θεωρία αριθμών πρόβλημα του Warring το 1770. Καθώς με το θεώρημά του, χρησιμοποίησε μια απόδειξη ύπαρξης που δείχνει ότι πρέπει να υπάρχουν λύσεις για το πρόβλημα αντί να παρέχουμε ένα μηχανισμό για να παράγει τις απαντήσεις.[34] Μετά είχε κάτι ακόμη να δημοσιεύσει πάνω στο θέμα, αλλά η εμφάνιση των Hilbert modular forms στη διατριβή ενός φοιτητή σημαίνει ότι το όνομά του είναι περισσότερο προσκολλημένο σε μια αρχική ιδέα.

Έκανε μια σειρά εικασιών για την κλασσική θεωρία πεδίου. Τα περιεχόμενα ήταν πολύ ισχυρά, και η δική του συνεισφορά βασίζεται στα ονόματα των Χίλμπερτ κλασσικό πεδίο και σύμβολο Χίλμπερτ της τοπικής κλασσικής θεωρίας πεδίου. Τα αποτελέσματα αποδείχθηκαν περισσότερο από το 1930, μετά την εργασία του Τέιτζι Τακάτζι.[35]

Ο Χίλμπερτ δεν εργάστηκε στις κεντρικές περιοχές της αναλυτικής θεωρίας αριθμών,αλλά το όνομά του είχε γίνει γνωστό για την εικασία Χίλμπερτ-Πόλυα, για λόγους ανεπίσημους.

Διάφορες συνομιλίες, δοκίμια, και εισφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

ών του περιείχαν "πολλά τεχνικά λάθη διαφόρου βαθμού"[37], όταν η συλλογή πρωτοδημοσιεύθηκε, τα λάθη διορθώνονταν και αυτό μπορούσε να γίνει χωρίς ουσιαστικές αλλαγές στις εκθέσεις των θεωρημάτων,με μία εξαίρεση -μια ισχυριζόμενη απόδειξη της Υπόθεσης του Συνεχούς.[38] Τα λάθη ήταν παρ 'όλα αυτά τόσο πολλά και σημαντικά που πήρε στην Όλγα Τόσκι-Τοντ τρία χρόνια για να κάνει τις διορθώσεις.[38]

Αποσπάσματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Δεν μιλάμε εδώ για αυθαιρεσία σε καμία περίπτωση. Τα μαθηματικά δεν είναι σαν ένα παιχνίδι του οποίου οι εργασίες καθορίζονται από αυθαίρετα θεσπισμένους κανόνες. Αντίθετα, είναι ένα εννοιολογικό σύστημα που διαθέτει εσωτερική ανάγκη που δεν μπορεί παρά να είναι έτσι και με κανένα τρόπο διαφορετικά.[39]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. «David Hilbert». Encyclopædia Britannica. 2007. http://www.britannica.com/eb/article-9040439/David-Hilbert. Ανακτήθηκε στις 2007-09-08. 
  2. Zach, Richard (2003-07-31). «Hilbert's Program». Stanford Encyclopedia of Philosophy. http://plato.stanford.edu/entries/hilbert-program/. Ανακτήθηκε στις 2009-03-23. 
  3. Reid 1996, pp. 1–2; also on p. 8, Reid notes that there is some ambiguity as to exactly where Hilbert was born. Hilbert himself stated that he was born in Königsberg.
  4. Richard Zach, "Hilbert's Program", The Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  5. Reid 1996, pp. 4–7.
  6. Reid 1996, p. 11.
  7. Reid 1996, p. 12.
  8. Reid 1996, p. 36.
  9. Reid 1996, p. 139.
  10. Reid 1996, p. 121.
  11. «The Mathematics Genealogy Project - David Hilbert». http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/html/id.phtml?id=7298. Ανακτήθηκε στις 2007-07-07. 
  12. David J. Darling (2004). The Universal Book of Mathematics. John Wiley and Sons. σελ. 151. ISBN 978-0-471-27047-8. http://books.google.com/?id=nnpChqstvg0C&pg=PA151&dq=%22He+did+not+have+enough+imagination+to+become+a+mathematician%22. 
  13. «"Shame" at Göttingen». http://www.mphpa.org/index.php?option=com_content&task=view&id=167.  (Hilbert's colleagues exiled)
  14. Reid 1996, p. 205.
  15. Reid 1996, p. 213.
  16. «David Hilbert». Soylent Communications. http://www.nndb.com/people/735/000087474/. Ανακτήθηκε στις 26 July 2012. «Listed as an agnostic in NNDB.com» 
  17. "Mathematics is a presuppositionless science. To found it I do not need God, as does Kronecker, or the assumption of a special faculty of our understanding attuned to the principle of mathematical induction, as does Poincaré, or the primal intuition of Brouwer, or, finally, as do Russell and Whitehead, axioms of infinity, reducibility, or completeness, which in fact are actual, contentual assumptions that cannot be compensated for by consistency proofs." David Hilbert, Die Grundlagen der Mathematik, Hilbert's program, 22C:096, University of Iowa.
  18. Reid 1996, p. 192
  19. "The Conference on Epistemology of the Exact Sciences ran for three days, from 5 to 7 September" (Dawson 1997:68). "It ... was held in conjunction with and just before the ninety-first annual meeting of the Society of German Scientists and Physicians ... and the sixth Assembly of German Physicists and Mathematicians.... Gödel's contributed talk took place on Saturday, 6 September [1930], from 3 until 3:20 in the afternoon, and on Sunday the meeting concluded with a round table discussion of the first day's addresses. During the latter event, without warning and almost offhandedly, Gödel quietly announced that "one can even give examples of propositions (and in fact of those of the type of Goldbach or Fermat) that, while contentually true, are unprovable in the formal system of classical mathematics [153]" (Dawson:69) "... As it happened, Hilbert himself was present at Königsberg, though apparently not at the Conference on Epistemology. The day after the roundtable discussion he delivered the opening address before the Society of German Scientists and Physicians -- his famous lecture Naturerkennen und Logik (Logic and the knowledge of nature), at the end of which he declared: 'For the mathematician there is no Ignorabimus, and, in my opinion, not at all for natural science either. ... The true reason why [no one] has succeeded in finding an unsolvable problem is, in my opinion, that there is no unsolvable problem. In contrast to the foolish Ignorabimus, our credo avers: We must know, We shall know [159]'"(Dawson:71). Gödel's paper was received on November 17, 1930 (cf Reid p. 197, van Heijenoort 1976:592) and published on 25 March 1931 (Dawson 1997:74). But Gödel had given a talk about it beforehand... "An abstract had been presented on October 1930 to the Vienna Academy of Sciences by Hans Hahn" (van Heijenoort:592); this abstract and the full paper both appear in van Heijenoort:583ff.
  20. Constance Reid 1996, pp. 36–37.
  21. Reid 1996, p. 34.
  22. Rowe, p. 195
  23. 23,0 23,1 Reid 1996, p. 37.
  24. cf. Reid 1996, pp. 148–149.
  25. Reid 1996, p. 148.
  26. Reid 1996, p. 150.
  27. [1], archived from [www.seas.harvard.edu/courses/cs121/handouts/Hilbert.pdf]
  28. Reid 1996, p. 129.
  29. Isaacson 2007:218
  30. Sauer 1999, Folsing 1998, Isaacson 2007:212
  31. Isaacson 2007:213
  32. Since 1971 there have been some spirited and scholarly discussions about which of the two men first presented the now accepted form of the field equations. "Hilbert freely admitted, and frequently stated in lectures, that the great idea was Einstein's."Every boy in the streets of Gottingen understands more about four dimensional geometry than Einstein," he once remarked. "Yet, in spite of that, Einstein did the work and not the mathematicians" (Reid 1996, pp. 141-142, also Isaacson 2007:222 quoting Thorne p. 119).
  33. It is of interest to note that in 1926, the year after the matrix mechanics formulation of quantum theory by Max Born and Werner Heisenberg, the mathematician John von Neumann became an assistant to David Hilbert at Göttingen. When von Neumann left in 1932, von Neumann's book on the mathematical foundations of quantum mechanics, based on Hilbert's mathematics, was published under the title Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. See: Norman Macrae, John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More (Reprinted by the American Mathematical Society, 1999) and Reid 1996.
  34. Reid 1996, p. 114
  35. This work established Takagi as Japan's first mathematician of international stature.
  36. Weyl, H. (1944). "David Hilbert. 1862-1943". Obituary Notices of Fellows of the Royal Society 4 (13): 547–526. doi:10.1098/rsbm.1944.0006
  37. Reid, chap.13
  38. 38,0 38,1 Rota G.-C. (1997), "Ten lessons I wish I had been taught", Notices of the AMS, 44: 22-25.
  39. Hilbert, D. (1919-20), Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920 in G\"ottingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (Edited and with an English introduction by David E. Rowe), Basel, Birkh\"auser (1992).

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πρωτογενής λογοτεχνία στην αγγλική γλώσσα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Ewald, William B., ed., 1996. From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford Uni. Press.
    • 1918. "Axiomatic thought," 1115–14.
    • 1922. "The new grounding of mathematics: First report," 1115–33.
    • 1923. "The logical foundations of mathematics," 1134–47.
    • 1930. "Logic and the knowledge of nature," 1157–65.
    • 1931. "The grounding of elementary number theory," 1148–56.
    • 1904. "On the foundations of logic and arithmetic," 129–38.
    • 1925. "On the infinite," 367–92.
    • 1927. "The foundations of mathematics," with comment by Weyl and Appendix by Bernays, 464–89.
  • Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press.
  • David Hilbert; Cohn-Vossen, S. (1999). Geometry and Imagination. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1998-4.  - an accessible set of lectures originally for the citizens of Göttingen.
  • David Hilbert (2004). Michael Hallett and Ulrich Majer. επιμ. David Hilbert's Lectures on the foundations of Mathematics and Physics, 1891–1933. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 3-540-64373-7. 


Δευτερεύουσα λογοτεχνία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


Εξωτερικοί Σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Wikisource logo
Στη Βικιθήκη υπάρχει υλικό που έχει σχέση με το θέμα:
Commons logo
Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα