Δευτεροβάθμια εξίσωση

Στα μαθηματικά, δευτεροβάθμια εξίσωση ονομάζεται κάθε πολυωνυμική εξίσωση δευτέρου βαθμού. Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:

$\alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0,\,$

όπου τα γράμματα α, β και γ παριστάνουν σταθερούς αριθμούς, με

$\alpha\ne 0 \,$

Οι σταθερές α, β και γ ονομάζονται συντελεστές, με το α να είναι ο συντελεστής του x², το β να είναι ο συντελεστής του x και γ ο σταθερός όρος. Οι συντελεστές μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.

Απόδειξη με συμπλήρωση τετραγώνου [Επεξεργασία]

Θέλουμε να φέρουμε την εξίσωση $\alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0\quad$ στη μορφή $(a x +b)^2=c$ ώστε να είναι πιο εύκολο να λυθεί. Aρχικά εξετάζουμε τους όρους με $x^2$ και $x$ και τους χωρίζουμε από τη σταθερά γ: $\alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0\quad \iff\quad \alpha \left(x^2 +\frac{\beta}{\alpha} x\right)=-\gamma\qquad\qquad (1)$

Κατόπιν προσθαφαιρούμε στο αριστερό μέλος της εξίσωσης κατάλληλη σταθερά, ώστε να «συμπληρωθεί» το τετράγωνο:

$(1)\quad \iff\quad \alpha \left(x^2 +2\frac{\beta}{2\alpha}x+\frac{\beta^2}{4\alpha^2}-\frac{\beta^2}{4\alpha^2}\right)=-\gamma \iff\quad \alpha \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2-\,\alpha\left(\frac{\beta^2}{4\alpha^2}\right)=-\gamma\qquad\qquad (2)$

και φέρνουμε τη σταθερά στο δεξί μέρος

$(2)\quad \iff\quad \alpha \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\frac{\beta^2}{4\alpha}-\gamma \quad \iff\quad \alpha \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\frac{\beta^2-4\alpha\gamma}{4\alpha}\qquad\qquad (3)$

Φέρνουμε στο αριστερό μέρος όλα τα μεγέθη που μπορούν να γραφούν ως τετράγωνο

$(3)\quad \iff\quad (2\alpha)^2 \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\beta^2-4\alpha\gamma \quad \iff\quad \left(2\alpha x +\beta\right)^2=\beta^2-4\alpha\gamma\qquad\qquad (4)$

Το δεξί μέρος της εξίσωσης ονομάζεται διακρίνουσα $\Delta=\beta^2-4\alpha\gamma$ . Οπότε έχουμε φέρει την εξίσωση στη μορφή που θέλουμε και συγκεκριμένα:

$\left( 2\alpha x +\beta\right)^2=\Delta$

Επειδή κάθε πραγματικός αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι μη αρνητικός (αριστερό μέρος της εξίσωσης), η διακρίνουσα (δεξί μέρος της εξίσωσης) πρέπει να είναι και αυτή μη αρνητικός αριθμός, $\Delta\geq 0$ , για να έχει η εξίσωση λύση στους πραγματικούς. Σε αυτή την περίπτωση ισχύει:

$2\alpha x +\beta=\pm \sqrt{\Delta}\quad \iff\quad x=\frac{-\beta\pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}.$

Οι τύποι του Βιετά [Επεξεργασία]

Οι τύποι του Βιετά (François Viète) δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου και των συντελεστών του. Στην περίπτωση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνουν την ακόλουθη μορφή:

$x_+ + x_- = -\frac{\beta}{\alpha}$ , και

$x_+ \cdot x_- = \frac{\gamma}{\alpha}$

Αν συμβολίσουμε με $S$ το άθροισμα των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και με $P$ το γινόμενό τους τότε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται και ως εξής: