Σχέση ισοδυναμίας

Στα μαθηματικά, σχέση ισοδυναμίας ονομάζεται μια σχέση που καθορίζει ποια στοιχεία ενός συνόλου είναι ισοδύναμα μεταξύ τους, ως προς τη σχέση αυτή. Έτσι, μια σχέση ισοδυναμίας διαμερίζει ένα σύνολο σε ανά δύο ξένα υποσύνολα, όπου κάθε υποσύνολο περιέχει τα μεταξύ τους ισοδύναμα στοιχεία. Τα υποσύνολα αυτά ονομάζονται κλάσεις ισοδυναμίας.

Ορισμός

Μια σχέση σε ένα σύνολο Α ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας ανν είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Δηλαδή ανν για κάθε a, b, c στο Α ισχύουν:

$a\sim a\quad$

$a\sim b\quad\iff\quad b\sim a$

$a\sim b , b\sim c\Longrightarrow a\sim c.$

Κλάσεις ισοδυναμίας

Σύμφωνα με τη σχέση ισοδυναμίας ορίζονται κλάσεις ισοδυναμίας, όπου ανήκουν όλα τα μεταξύ τους ισοδύναμα στοιχεία. Η κλάση ισοδυναμίας του a ορίζεται ως $\{b \in A | b \sim a\}$ και συμβολίζεται με $[a]$.

Το σύνολο όλων των πιθανών σχέσεων ισοδυναμίας του Α ως προς $\sim \,$ ονομάζεται σύνολο πηλίκο και συμβολίζεται με $A/\sim \,$.

Δείτε επίσης

• Διαμερισμός συνόλου